17 18 Σ

(1)

17 18 Σ

Nazwisko ⁰

Imię Indeks

ANALIZA 2, KOLOKWIUM nr

9

^, 7.05.2018, godz. 8:15–9:00 Wykład: J. Wróblewski

PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie

17.

(10 punktów)

W każdym z zadań 17.1-17.14 podaj sumę szeregu w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego.

Za n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0, n–4) punktów.

Niech a_n=n²

2ⁿ. Wiadomo, że

∞

X

n=1

a_n=

∞

X

n=1

n² 2ⁿ = 6 . Wobec tego:

17.1. ^X^∞

n=1

(a_n+ a_n+1) = . . . .

17.2. ^X^∞

n=1

(a_n+ a_n+2) = . . . .

17.3. ^X^∞

n=1

(a_n− a_n+1) = . . . .

17.4. ^X^∞

n=1

(a_n− a_n+2) = . . . .

17.5. ^X^∞

n=1

a²_n− a²_n+1= . . . .

(2)

17.6. ^X^∞

n=1

a²_n− a²_n+2= . . . .

17.7. ^X^∞

n=1

(4^aⁿ− 4^aⁿ⁺¹) = . . . .

17.8. ^X^∞

n=1

(4^aⁿ− 4^aⁿ⁺²) = . . . .

17.9. ^X^∞

n=1

(9^aⁿ− 9^aⁿ⁺¹) = . . . .

17.10. ^X^∞

n=1

(9^aⁿ− 9^aⁿ⁺²) = . . . .

17.11. ^X^∞

n=1

(16^aⁿ− 16^aⁿ⁺¹) = . . . .

17.12. ^X^∞

n=1

(16^aⁿ− 16^aⁿ⁺²) = . . . .

17.13. ^X^∞

n=1

√

1 + 48a_n−^q1 + 48a_n+1= . . . .

17.14. ^X^∞

n=1

√

1 + 48a_n−^q1 + 48a_n+2= . . . .

(3)

Zadanie

18.

(10 punktów) Niech

f_n(x) =cos(n! · x) (3n)! .

Wskazując odpowiednią liczbę całkowitą dodatnią k udowodnić, że szereg

∞

X

n=1

f_n^(k) jest

jednostajnie zbieżny, ale szereg

∞

X

n=1

f_n^(k+1) nie jest jednostajnie zbieżny.