Ćwiczenia nr 8, AM I, 29.11.2019 Szeregi II Zadanie 1. Wypisać pierwszych sześć wyrazów szeregu. Zbadać jego zbieżność i zbieżność bezwzględną: (a)

Ćwiczenia nr 8, AM I, 29.11.2019 Szeregi II

Zadanie 1. Wypisać pierwszych sześć wyrazów szeregu. Zbadać jego zbieżność i zbieżność bezwzględną:

(a) ^P∞_n=1 ^(−1)n+1

√n

2n+1 , (b) ^P∞_n=1 ^(−1)n+1

√n

2n−1 , (c) ^P∞_{n=1 n+(−1)}^(−1)n+1n+1, (d) ^P∞_n=1 ^√_n+(−1)^(−1)n+1n+1,

(e) ^P∞_n=1 ¹_nsin^(2n+1)π₄ , (f) ^P∞_{n=1 n}2⁽⁻¹⁾+(−1)ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹,

(g) ^P∞_n=1 ^√1_ncos(2πn/3) Zadanie 2. Wykazać, że szereg

∞

X

n=1

2 · (−1)ⁿ⁻¹

n (1 + cos(nπ)) + n²(1 + cos(n + 1)π) jest rozbieżny.

Zadanie 3. Niech S₁ = 1

1 −1 2 − 1

4 + 1 3− 1

6− 1 8 + 1

5 − 1 10 − 1

12 + 1 7 − 1

14− 1

16 + . . . , S₂ = 1

1 −1 2 +1

3 − 1 4+ 1

5− 1 6+ 1

7− 1

8 + . . . , 3₃ = 1

1 +1 3 −1

2 + 1 5 +1

7 − 1 4 + 1

9+ 1 11− 1

6 + 1 13+ 1

15 −1

8 + . . . , Uzasadnij, że S₃ = ³₂S₂ oraz S₂ = 2S₁.

Zadanie 4. Udowodnij, że szereg

−1 1+1

2−1 3+1

4+1 6−1

5+1 8+ 1

10+1 12−1

7+ 1 14+1

16+ 1 18+ 1

20−1 9+ 1

22+ 1 24+ 1

26+1 28+ 1

30− 1 11+ . . . jest rozbieżny, a dokładniej jego suma jest równa +∞.

Zadanie 5. Zbadaj zbieżność szeregów (a) ^P∞_n=1sin(π√

n²+ 1), (b) ^P∞_n=1 ^(−1)b

√nc

n ,

(c) ^P∞_n=1 ^ν(n)_n2 , gdzie ν(n) jest sumą cyfr

liczby n, (d) ^P∞_n=2 ^sin

nπ 12

ln n , (e) ^P∞_n=1 ⁽⁻¹⁾_{n ln n}^{bln nc}.

Zadanie 6. Oblicz iloczyn Cauchy’ego szeregu^P∞_n=0qⁿ przez siebie, gdzie |q| < 1.

Zadanie 7. Wykazać, że szereg będący iloczynem (Cauchy’ego) szeregów zbieżnych

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^α i

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^β

gdzie α, β > 0, jest szeregiem zbieżnym jeśli α + β > 1 oraz jest szeregiem rozbieżnym jeśli α + β < 1.

Zadanie 8. Wykazać, że liczby

(a) e =^P∞_{n=1 n!}¹, (b) ^P∞_n=1(n!)¹2, (c) cos√

2 =^P∞_n=0⁽⁻²⁾_(2n)!ⁿ są liczbami niewymiernymi. Wskazówka: Napisz α = ^a_b, gdzie a, b ∈ Z takie, że NWD(a, b) = 1 i uzasadnij, że jeśli α jest liczbą wymierną, to dla pewnej liczby b > 0 i dowolnego ciągu liczb wymiernych ^p_qⁿ

n różnych od α i zbieżnego do α zachodzi nierówność

α − p_n qn

­ 1 bqn

.

Zadanie 9. Czy jeśli^P∞_n=1a_n jest szeregiem zbieżnym, to również szereg^P∞_n=1a³_njest zbieżny?

Wskazówka: Wykorzystaj równość √3¹

n −₂√3¹

n − ₂√3¹

n = 0.

Zadanie 10. Dla jakich z ∈ C zbieżny jest szereg

(a) ^P∞_n=1(2ⁿ+ 3ⁿ) · zⁿ, (b) ^P∞_n=1 ¹_nz²ⁿ.

Zadanie 11. Udowodnij, że jeśli (a_n) jest ciągiem malejącym do zera, to szereg ^P∞_n=1a_nsin n jest zbieżny.

Zadanie 12. Zbadaj zbieżność szeregu (zastosuj kryterium Raabego)

∞

X

n=1

(2n)!

2²ⁿ(n!)²

2