Przykład 1
Kubuś Puchatek zaprosił przyjaciół na przyjęcie. Przygotował jabłek. Zaczął zastanawiać się, jak można podzielić owoce.
Ojej! Jeżeli nikt nie przyjmie zaproszenia? Będę sam! Wszystkie jabłka będą dla mnie:
A jeśli przyjdzie tylko Prosiaczek? Hm! Będzie nas dwóch, więc – możemy wziąć po jabłka.
Jeżeli przyjdzie jeszcze Kłapouchy i będzie nas trzech … To trudny podział!
r – nie da się podzielić jabłek po równo.
8
8 : 1 = 8
8 : 2 = 4 4
8 : 2 = 4
8 : 3 = 2 2
Podzielność liczb naturalnych Dzielniki i wielokrotności liczb
Temat: Dzielniki i wielokrotności liczb.
| – czytamy: jest dzielnikiem ,
– czytamy: nie jest dzielnikiem liczby . Liczba ma dzielniki: , , , .
Mówimy także, że liczba jest wielokrotnością swoich dzielników:
, , , .
Ale gdy przyjdą jeszcze oprócz nich Sowa i Kangurzyca z Maleństwem, nie będę umiał podzielić jabłek sprawiedliwie, bo przecież nie będę ich kroił! A jak przyjdą wszyscy, bo i Tygrysek, to:
Tak będzie najlepiej!
8 : 8 = 1
8 1 2 4 8
1 2 4 8 8
2 8 2 8
3 | 8 / 3 8
8 4 1 2 4 8
1 2 4 8 8
Przykład 2
Wypiszmy dzielniki wymienionych liczb naturalnych.
Liczba ...
Dzielniki liczb
...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21 34
1 1
2 1
3 1
24
15 1 23 6
17 1 24 8
31 9
21 105
1
Z rozważań Kubusia Puchatka wynika, że liczbę można podzielić bez reszty przez , , i . Mówimy, że , , i – to dzielniki liczby . Możemy zapisać, np.
3URV]Ċ]DSLVDüZ
]HV]\WDFK
Możemy odczytać, że dzielnikami liczby , są liczby: , , , . Dzielnikami liczby są liczby i .
Mówimy, że liczba jest wielokrotnością liczb: , , i . Liczba jest wielokrotnością liczb i .
Zwróćmy uwagę, że:
Każda liczba, różna od , jest dzielnikiem liczby . Liczba jest wielokrotnością każdej liczby.
Liczba jest dzielnikiem każdej liczby. Każda liczba jest wielokrotnością liczby .
Każda liczba, różna od , jest swoim dzielnikiem. Każda liczba jest swoją wielokrotnością.
6 1 2 3 6 7
1 7
0 0 0
1 1
0
Przykład 3
Wypiszmy wielokrotności liczby .
Przedstawmy tabelę mnożenia przez liczbę 4.
Wyróżnione liczby to kolejne wielokrotności liczby . Każda wielokrotność jest wynikiem mnożenia liczby przez liczbę naturalną. Kropki oznaczają, że jest
jeszcze bardzo dużo wielokrotności liczby i że nie można wypisać wszystkich tak, jak nie można wypisać wszystkich liczb naturalnych. Uwaga! Dalej będziemy
zajmować się tylko wielokrotnościami liczb naturalnych różnymi od zera.
4
⋅ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56
4 4
4
Liczba naturalna Dzielniki Liczba dzielników
Przykład 4
Wypiszmy liczby naturalne mniejsze od
18
i sprawdźmy, ile mają dzielników.
6 1 2 3 6
7 1 7
=DSLVDüZ]HV]\FLH
=DSLVDüZ]HV]\FLH
Poniższy schemat przedstawia podział liczb naturalnych ze względu na liczbę dzielników.
, , , , , , , , , , , ,
Liczba naturalna Dzielniki Liczba dzielników
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
Liczby wyróżnione w tabeli kolorem pomarańczowym mają dokładnie dwa dzielniki.
Są wielokrotnością liczby i samej siebie. Takie liczby to liczby pierwsze. Liczby, które mają więcej niż dwa dzielniki, to liczby złożone.
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 2 4 3
5 1 5 2
6 1 2 3 6 4
7 1 7 2
8 1 2 4 8 4
9 1 3 9 3
10 1 2 5 10 4
11 1 11 2
12 1 2 3 4 6 12 6
13 1 13 2
14 1 2 7 14 4
15 1 3 5 15 4
16 1 2 4 8 16 5
17 1 17 2
1
1. Wypisz wszystkie dzielniki liczb: , , , ,
2 4 6 8 12 9 15 32
, , , . Użyj symbolu |.2. Wszystkie dzielniki liczby
28
to liczby:A.
1 2 4 8 28
, , , , B.2 4 7 14
, , , C.1 2 3 4 7 14 28
, , , , , , D.1 2 4 7 14 28
, , , , ,3. Podaj po wielokrotności każdej z liczb: ,
5 3 11 25
, .4. Przeczytaj zdania i podaj, które są prawdziwe, a które fałszywe.
a) Liczby , , ,
1 2 4 16
to wszystkie dzielniki liczby16
. b) Dzielnikami liczby20
są: , , , ,1 2 4 5 10 20
, . c) Prawdą jest, że: |6 32
.d) Liczba jest dzielnikiem liczb:
1 23 125 1050
, i .5. Wypisz dzielniki każdej z liczb i . Sprawdź, czy iloczyn liczb i dzieli się przez
wypisane dzielniki.
10 12 10 12
6. Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej liczby pierwsze mniejsze od
20
.=DSLV]Z]HV]\FLH
