13.6.2019, kl 1b Liczby zespolone
Będziemy pracować z wyrażeniami postaci a + bi, gdzie a, b ∈ R natomiast i jest pewnym symbolem. Takie z := a + bi nazywamy liczbą zespoloną, a zbiór liczb zespolonych oznaczamy przez C. Jako zbiór, liczby zespolone można interpretować jako punkty płaszczyzny R2, C 3 a + bi 7→ (a, b) ∈ R2. Liczby zespolone można dodawać: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Okazuje się, że można też je mnożyć i dzielić: umawiamy się na regułę, że i · i = −1, a reszta jest konsekwencją aksjomatów ciała (F = C):
D1 ∀a,b∈Fa + b = b + a, D2 ∀a,b,c∈F(a + b) + c = a + (b + c), D3 ∃0∈F∀a∈Fa + 0 = a, D4 ∀a∈F∃b∈Fa + b = 0;
M1 ∀a,b∈Fa · b = b · a, M2 ∀a,b,c∈F(a · b) · c = a · (b · c), M3 ∃1∈F∀a∈Fa · 1 = a, M4 ∀06=a∈F∃b∈Fa · b = 1;
MD ∀a,b,c∈F(a + b) · c = a · c + b · c, ZJ 0 6= 1.
Definicja. ( postać trygometryczna liczby zespolonej) Każdą liczbę zespoloną z możemy zapisać w postaci
z = r(cos α + i sin α)
dla pewnych r, α ∈ R. Liczba r jest wyznaczona jednoznacznie (r =√
a2+ b2 dla z = a+bi) i jest nazywana modułem liczby zespolonej z. Liczbę te oznaczamy przez |z|. Liczbę α interpretujemy jako kąt (mierzony w radianach) jaki tworzy prosta przechodząca przez punkty 0 i z z dodatnią półosią {t · 1 : t 0}. Nazywamy ją argumentem liczby zespolonej z, arg z := α. Liczbę z := a − bi nazywamy sprzężeniem liczby zespolonej z. Część rzeczywistą Re z i część urojoną Im z definiujemy kładąc Re z := a, Im z = b.
Lemat. Zachodzą wzory (a) |z|2 = z·z, (b) z+z = 2 Re z, (c) z−z = 2i Im z, (d) z + w = z+w, (e) z · w = z · w, (f ) |zw| = |z| · |w|.
Twierdzenie. (Geometryczna interpretacja mnożenia liczb zespolonych) Moduł i argument ilo- czynu z · w liczb zespolonych z, w wynoszą
(i) |z · w| = |z| · |w|,
(ii) arg(z · w) = arg z + arg w.
Wniosek. (C, +, ·, 0 = 0 + 0i, 1 = 1 + 0i) spełnia aksjomaty ciała.
Zadanie 1. Oblicz (a) (2 + i)(3 − 4i), (b) 1+i1−i+1−i1+i, (c) 2+i1+i− 2i, (d) (1 + i)100, (e) (1 + i√ 3)9. (f) (3 + i)3+ (3 − i)3, (g) (1−i)(1+i)55−1+1
Zadanie 2. Znajdź wszystkie liczby z ∈ C takie, że (a) iz + 3 = 2i, (b) 2z + iz = 1 + 3i.
Zadanie 3. Znajdź |z| i arg z dla (a) z = 1 + i, (b) z = −1 + i√
3, (c) z = 2 +√
3 + i, (d) 1+ii , (e) 1 + cos8π9 + i sin8π9 .
Zadanie 4. Naszkicuje zbiory w C: (a) {z : |z − i| = 1}, (b) {z : |z − 1| = |z + 1|}, (c) {z :
|z − i| = |iz − 1|}, (d) {z : 1 ¬ |z − i| ¬ 2}, (e) {z : 1 ¬ | Re iz| < 2},
Zadanie 5. Udowodnij, że (a) |z|2 = zz,
(b) |z1+ z2| ¬ |z1| + |z2|,
(c) |z1+ z2| |z1| − |z2|, (d) ||z1| − |z2|| ¬ |z1− z2|,
(e) |z1+z2|2+|z1−z2|2 = 2(|z1|2+|z2|2). Podaj interpretację geometryczną tej tożsamości.
Zadanie 6. Kąty 0 < α, β, γ < π/2 są takie, że tg α = 1, tg β = 1/2, tg γ = 1/3. Znajdź α + β + γ.
Zadanie 7. Rozwiąż równania (a) z4 = z, (b) z3 = −z, (c) z2 = 3 + 4i, (d) z2 = z, (e) z3 = 4z, (f) z3+ |z|2+ z = 0, (g) (z + i)(z − i)2(iz − 1)3 = 64.
Zadanie 8. Oblicz Pnk=1cos k2πn i Pnk=1sin k2πn.
Zadanie 9. Udowodnij, że jeśli z1, z2, . . . , zn ∈ C są wierzchołkami n-kąta wypukłego (n 3), to wszystkie rozwiązania równania
1
z − z1 + 1
z − z2 + . . . + 1
z − zn = 0 leżą we wnętrzu tego n-kąta.
Zadanie 10. Oblicz iloczyn długości wszystkich boków i przekątnych n-kąta foremnego wpi- sanego w okrąg o promieniu 1.
Zadanie 11. Udowodnij, że 2+3iz6z−i ¬ 1 wtedy i tylko wtedy, gdy |z| ¬ 13.
Zadanie 12. Dane są liczby zespolone z1, z2, z3 takie, że |z1| = |z2| = |z3| i z1 + z2 + z3 = 0.
Udowodnij, że z21 + z22+ z32 = 0.
Zadanie 13. Liczba 1+z+z1−z+z22 jest rzeczywista. Udowodnij, że z ∈ R lub |z| = 1.
Zadanie 14. (a) Niech r > 0. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f : {z : |z| = r} → R określonej wzorem f (z) = z +1z .
(b) Niech a > 0, M = {z : z + 1z = a}. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f : M → R określonej wzorem f (z) = |z|.
Zadanie 15. Rozwiąż w liczbach zespolonych równania:
(a) |z| + |z − 1| + |z − 2| + |z − 3| = 4, (b) |z − 1| + |z + 1| + |z − i| + |z + i| = 4,
(c) |z − |z + 1|| = |z + |z − 1||,
(d) Pn−1i=0 |z − ωi| = n, gdzie ω ∈ C jest taka, że ωn = 1 (Rozwiąż najpierw przypadki 2|n i n = 3).
Zadanie 16. Niech z będzie liczbą zespoloną o module 1, natomiast n ∈ N. Udowodnij, że n|1 + z| + |1 + z2| + |1 + z3| + . . . + |1 + z2n| + |1 + z2n+1| 2n.
Zadanie 17. (∆102016) Czy możliwe jest wprowadzenie działania mnożenia w R3 tak, by speł- nione były aksjomaty ciała? (Umawiamy się, że dodawanie w R3 odbywa się po współ- rzędnych: (a, b, c) + (a0, b0, c0) = (a + a0, b + b0, c + c0).)
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry). Dowolny wielomian w ∈ C[x] stopnia n 1 ma pierwiastek, tj. istnieje α ∈ C taka, że w(α) = 0.
2
