Oblicz prawdopodobieństwo, że można je przykryć pewną półsferą o tym samym promieniu

(1)

Zadania RP 1, seria II. Termin oddania: 22.3.2020 Proszę wybrać dwa zadania.

Zadanie 1. Niech A₁, . . . , A_n będą dowolnymi zdarzeniami, r ¬ n. Udowodnić, że

P({zaszło dokładnie r zdarzeń z A1, . . . , A_n}) =

n

X

k=r

(−1)^k+rk r

S_k,

gdzie Sk=P

1¬i₁<...<i_k¬nP(Ai1∩ . . . ∩ Ai_k).

Zadanie 2. Cztery muchy usiadły na sferze. Oblicz prawdopodobieństwo, że można je przykryć pewną półsferą o tym samym promieniu.

Zadanie 3. Każdy z n pasażerów wchodzi do losowo przydzielonego wagonu pociągu. Wagonów jest 5, 5 ¬ n. Ob- licz prawdopodobieństwo, że w każdym wagonie będzie co najmniej jeden pasażer. Podać przybliżoną numeryczną wartość dla n = 10.

Zadanie 4. Losujemy po 13 kart z 52 dla każdego z graczy E, N , W , S. Obliczyć prawdopodobieństwo, że gracz N dostanie

(a) dokładnie 3 trefle, 4 piki, 4 kara, 2 kiery, (b) dokładnie 2 asy,

(c) każdy z graczy dostanie asa,

(d) gracze N i S zgarną wszystkie 4 asy.

Zadanie 5. W trójkącie równobocznym o boku długości 1 wybieramy losowo punkt P , a następnie losowo wybieramy liczbę r z przedziału [0,√

3/6]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że koło o środku w P i promieniu r będzie zawarte w tym trójkącie?

Zadanie 6. Niech P będzie funkcją określoną na σ-ciele F ⊂ 2^Ωtaką, że (a) P(A) 0, P(Ω) = 1;

(b) P(Sn

i=1Ai) =Pn

i=1P(Ai) dla zdarzeń A1, A2, . . . , An parami wykluczającymi;

(c) Jeśli A1⊃ A2⊃ A3⊃ . . . i T∞

i=1Ai= ∅, to limn→∞P(An) = 0.

Proszę udowodnić, że P jest prawdopodobieństwem.

Zadanie 7. Dzielimy kij długości 1 na trzy odcinki w następujący sposób:

(a) Losujemy pierwszy punkt podziału kija, punkt a ∈ (0, 1), zgodnie z prawdopodobieństwem geome- trycznym. Otrzymujemy dwa odcinki długości a i 1 − a, odpowiednio.

(b) Rzucamy monetą, aby ustalić, który odcinek będziemy dzielić dalej: orzeł oznacza, że będzie to ten długości a.

(c) Losujemy liczbę q ∈ [0, 1] zgodnie z prawdopodobieństwem warunkowym. Następnie dzielimy odcinek wyznaczony w poprzednim punkcie w stosunku q : 1 − q. Na przykład, jeśli q = 1/2, to dzielimy go na dwie równe części.

Oblicz prawdopodobieństwo, że z uzyskanych odcinków można złożyć trójkąt.