6WUHV]F]HQLH –SUDF\SRGDMHVLĊWZLHUG]HQLD NWyUHPRJą E\üSRGVWDZąGRRV]DFRZDQLD ]JRGQLH]]DVDGDPLVWDW\VW\NL PDWHPDW\F]QHMIXQNFMLQLH]DZRGQRĞFLRELHNWXSRSUDZLRQHJR

6HULD,,, 0$7(0$7<.$67262:$1$ ;;,,

- R D F K LP ' R P V W D 

*GDĔVN

2V]DFRZDQLHIXQNFMLQLH]DZRGQRĞFLSU]HZLG\ZDQHM

GODRELHNWXSRSUDZLRQHJRQDSRGVWDZLHGDQ\FK

RWUZDáRĞFLLW\SDFKXV]NRG]HĔRELHNWXQLH SRSUDZLRQHJR

3UDFDZSá\QĊáDGR5HGDNFML

6WUHV]F]HQLH –SUDF\SRGDMHVLĊWZLHUG]HQLD NWyUHPRJą E\üSRGVWDZąGRRV]DFRZDQLD ]JRGQLH]]DVDGDPLVWDW\VW\NL PDWHPDW\F]QHMIXQNFMLQLH]DZRGQRĞFLRELHNWXSRSUDZLRQHJR

.RU]\VWDVLĊSU]\W\P]GDQ\FKRRELHNFLHSU]HGMHJRSRSUD

ZLHQLHP :\UyĪQLRQRGZDURG]DMHPHWRGSRSUDZLDQLD

SU]H]VHOHNFMĊ

SU]H]XV]ODFKHWQLHQLH

2PyZLRQRQLHNWyUHLQWHUSUHWDFMHUR]ZDĪDQ\FKPRGHOL

 :352:$'=(1,(

=DMPRZDüVLĊEĊG]LHP\PRGHODPLSRSUDZLDQLDRELHNWX RNWyUHJR

SU]HMĞFLXGRVWDQXQLHSU]\GDWQRĞFLVWDQRZLSU]HNURF]HQLH

SU]H]SHZLHQMHGQRZ\PLDURZ\SDUDPHWUVWDQXHNVSORDWDF\MQHJR

7 ZDUWRĞFLSURJRZHM 7H  ZáDĞFLZHMNDĪGHPXHJ]HPSODU]RZL

H SRSXODFMLJHQHUDOQHM WHJRRELHNWX 3U]\MPXMHP\ ĪH 7H MHVWOLF]EąU]HF]\ZLVWą

=HZ]JOĊGXQDQDMSURVWV]HLQWHUSUHWDFMHOLF]EĊ 7H QD]\ZDP\WUZDáRĞFLąHJ]HPSODU]D H  IXQNFMĊ 7 QD]\ZDP\

3UDFDF]ĊĞFLRZRZ\NRQDQDZUDPDFK3UREOHPX:Ċ]áRZHJR 

ZODWDFK Z,QVW\WXFLH0DWHPDW\NL8QLZHUV\WHWX

*GDĔVNLHJR

(O@

J.DOMSTA trwałością obiektu, natomiast liczbę T - czasem eksploatacji, Możliwe są również inne interpretacje, których przykłady umie- szczone zostały w rozdziale 6 . Oczywiście podane nazwy bar- dziej odpowiadałyby rzeczywistości, gdyby założyć, że funkcja T przyjmuje wartości dodatnie. Jednakże to mogłoby błędnie sugerować ograniczoność słuszności zastosowań, przedstawionych twierdzeń.

Oznaczmy przez U (e) typ uszkodzenia, jakim kończy się przydatność egzemplarza e . Przyjmujemy, że U (©") jest ele- mentem zbioru skończonego dl - wszystkich a priori możliwych typów uszkodzeń.

Wprowadzenie funkcji T oraz U ma oznaczać, iż przyj- mujemy, że trwałość oraz typ uszkodzenia są jednoznacznie przyporządkowane poszczególnym egzemplarzom obiektu.

Ponieważ zajmujemy się cechami egzemplarza losowo wybra- nego z populacji generalnej, poprawianie obiektu będziemy wy- rażać posługując się charakterystykami rozkładu prawdopodo- bieństwa P,p ^ tych cech w populacji nie poprawionej i odpo- wiednio charakterystykami rozkładu P„ TT w populacji popra-

• ł

wionej.

Poprawianie obiektu w praktyce osiąga się przez zmniej- szenie szans wystąpienia najwcześniej ujawniających się typów uszkodzeń. Takie postępowanie powinno być poprzedzone odpowie- dnim rachunkiem dotyczącym spodziewanego efektu. Wyniki ra- chunku mogą wtedy stanowić o wyborze najlepszego rozwiązania, uwzględniającego koszty poprawy i spodziewane zyski, np.

wskutek zwiększenia trwałości.

Dlatego interesuje nas, jak parametry charakteryzujące poprawianie wyznaczają zależność P^ ^ od P^, ^ . W para- grafach 3 i ^ omówiono modele dwu rodzajów poprawiania (do- kładniej - zmieniania) stochastycznych cech populacji obiektu, przy tym:

- zmiana X rodzaju polega na usunięciu wadliwych egzemplarzy;

- zmiana II rodzaju polega na uszlachetnieniu egzemplarzy.

Przedstawiony sposób wyznaczania rozkładu prawdopodobień-

stwa trwałości obiektu zmienionego można stosować w sytuacji,

gdy dysponujemy danymi jedynie o trwałości obiektu przed do-

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 131 konaniem jego zmiany; dokładniej - gdy pełną informację sta- tystyczną zawierają zaobserwowane w próbie losowej prostej dane o trwałości i typie uszkodzenia w populacji obiektu nie zmienionego i gdy dane są parametry poprawiania. Odpowiednie twierdzenia, będące podstawą estymacji statystycznej rozkładu P,p y sformułowano w § 5 _.

Wprawdzie pominięto zagadnienia związane z wyznaczaniem (estymacją) parametrów charakteryzujących, poprawianie, ale w niektórych przypadkach są to problemy co najwyżej natury tech- nicznej (por. przykłady w §§ 3 i 4),

Zaletą proponowanego schematu postępowania jest to, że wykorzystywane dane można uzyskiwać w prosty sposób w badaniach eksploatacyjnych.

W celu ułatwienia czytelnikowi zastosowań przedstawio- nych wyników, w §§ 6 _i 7 omówiono interpretację niektórych modeli w zakresie szerszym niż wynika to z przyjętej termino- logii .

2. STOCHASTYCZNA CHARAKTERYSTYKA POPULACJI GENERALNEJ OBIEKTU Zgodnie z treścią 11 Wprowadzenia11, jako podstawowy parametr o- pisujący populację generalną obiektu poprawionego i nie po- prawionego przyjmujemy odpowiednio rozkłady prawdopodobieńs-

twa P^ y i P^ trwałości T i typu uszkodzenia U , Są to miary probabilistyczne skupione na zbiorze $1**11, f gdzie $ : = (- oo ; oo) , natomiast *IL jest zbiorem skończo- nym.

Przyjmujemy, źe

■U= {i fc} . gdzie k€ dP: = {i ,2,...}.

Oznaczmy symbolami ^ i odpowiednie rodziny wszy- stkich miar probabilistycznych na OL 1 J2 . Z ogólnych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa wynika, że rozkład PT U Jest jednoznacznie wyznaczony przez ciąg rozkładów

(P 0 »P 1 , ...,Pk)€ , gdzie

i gdy u = 0 ,

Zastosowano przy tym symbol p<riU-u d:La oznaczenia warunko- wego rozkładu zmiennej losowej T , gdy zachodzi zdarzenie

{u = u} . Spełnione są następujące równości dla u€?if t€$ : (2.1') ([t, oo)x{u}) = Pr {

^ t, U = u} = pu . Ru (t) , gdzie

(2,1") Pu : = P0 ( H ) = Pr{u = u}j

Ku (t)i = Pu ([t,oo)) = P

{

> t|U = u}

Ponieważ rozkłady prawdopodobieństw na $ są jednoznacz- nie wyznaczone przez swoje dystrybuanty, a tyra samym przez odpowiadające im funkcje niezawodności, możemy równoważnie przyjąć jako charakterystykę rozkładu Pp ^ ciąg

(p,F.j , • • • lub (p»R.j t . . . fRjj) i gdzie p = (P^ > • • • >P^) wyznacza rozkład PQ = Py , zaś warunkowa dystrybuanta Fu lub warunkowa funkcja niezawodności wyznacza warunkowy rozkład P^ = P-plU-u dla uC ^ » zgodnie z równościami (2*1)*

Oczywiście, spełniona jest równość

(2.2) Fu (t) s = Pr|T < tIU = u} = 1 - Ru (t).

2.1. U w a g a* Gdy elementy ciągu p są dodatnie, wówczas istnieje dokładnie jeden ciąg (PQ,P1,...,Pk) charakteryzują-

cy rozkład P™ TT zgodnie z zależnościami (2.1). Jeśli zaś i, u niektóre z elementów ciągu p są równe zero, wówczas odpo- wiadające im warunkowe funkcje niezawodności są nieistotne.

Uwidacznia się to szczególnie w następującej zależności bez- warunkowej funkcji niezawodności od ciągu (p,R , • • • ,R^) :

(2.3) R (t): = Pr{T> t} = 5 ] P * R <t).

Oznaczając analogicznie parametry rozkładu Pp y dla populacji obiektu poprawionego (zmienionego) , otrzymujemy

(2.40 PTjU([t, oo) = Pu'Ku (t) ,

(2.4") pu = PQ ( {u}), Ru (t) = Pu (C*,oo)) ,

(2.5) Fu (t) = 1 - Ru (t) ,

(2.6) R(t)= 2 p • R (t) , u BU u u

3. MODEL POPRAWIANIA I RODZAJU

Poprawianie I rodzaju polega na usuwąniu egzemplarzy uznawa- nych za zmniejszające jakość populacji. Przyjmujemy, że - selekcję przeprowadza się wśród egzemplarzy "nowych”;

- w wyniku selekcji egzemplarze dzieli się na "gorsze" i

"lepsze", przy czym "gorsze" usuwa się z populacji egzemp- larzy wprowadzanych do eksploatacji.

Jako model poprawiania I rodzaju służy zmienna losowa W przyjmująca wartość 1 lub 0 odpowiednio wtedy, gdy egze- mplarz jest uznawany za lepszy lub gorszy. Zgodnie z ogólny- mi zasadami interpretacji modeli probabilistycznych przyjmu- jemy, że rozkład PT u (trwałości i typu uszkodzenia) w po- pulacji poprawionej określa równość

(3.1) PT|U ([*.“>)- W ) = Pr{T > t, U = u|w = i) dla t€$ , uett , Z twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa wynika, że przy- kładem pełnej charakterystyki probabilistycznej układu zmien- nych lpsowych T, U, W są rozkład P,p ^ i rodzina prawdopo- dobieństw warunkowych

(3.2) ji(t,u): = Prjw = 11T = t , U = u]*, dla (t,u )e # x U . Zgodnie z wzorem Bayesa mamy bowiem

(3.3') Pr{T > t, U = ul¥ = i} =

= J PriW = 1 |T = s , U = ujdP (s,u)/C ,

s > t 1 J ’

gdzie

| OO r -

(3.3") C: s , J Prjw = 11T = t, U = u| dPT u (t,u).

u 6 U -oo ’

Wobec przyjętych oznaczeń mamy

(3,4') pu = Pr{u = ulw = i} = Pu‘cu/c . gdzie

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 133

(3.4") C = P {w = 1 |U = u} = ] Jl(t,u) dP (t) ,

—oo

= S Cu -Pu = Pr{« = i}, C u € <UL

oraz

(3.5) &u (t) = Pr{T >t|U = u, W = i} =

= J TC(t',u) dFu (t#)/Cu , jeśli Cu > O . Zależności (3.4) i (3.5) są rozttfiązaniem zagadnienia wy- znaczania charakterystyk obiektu poprawionego na podstawie charakterystyk obiektu nie poprawionego i parametru jc opi- sującego poprawianie.

3.1. PRZYKŁAD. Parametr TC nie wymaga oszacowania, gdy poprawianie polega na odrzucaniu tych egzemplarzy, które za-

kończą trwałość jednym z typów uszkodzeń z podzbioru OL c • Wtedy mamy

^1, jeśli

€ % \

LL‘

(3.6)

(t,u) = <

O, jeśli u£ U' , oraz

(3.7) pu

.0 dla u 6 OL*,

(3.8) R (t) = Ru Ct) dla u e U

(dla u6 W zależność R (t) jest nieistotna dla opisu bezwarunkowej funkcji n±eza\*odności R , por. (2*6) oraz (7)) •

Oczywiście przyjęcie tego modelu zakłada możliwość roz-

poznania przed rozpoczęciem eksploatacji (np. w fazie "brako-

wania11), jakiego typu będą uszkodzenia poszczególnych egzemp-

larzy.

3.2. PRZYKŁAD (Model uwzględniający błędy selekcji).

Przyjmijmy, że starając się dokonywać selekcji zgod- nie z równością (6) popełniamy błędy. Jako ich chara- kterystykę przyjmujemy prawdopodobieństwa

{ ^{Pr jw = 1} | U = u]> dla u 6 ^ ,

r

Pr|W s OlU = u} dla u e U \ U

(liczby są tyra mniejsze, im selekcja jest do- kładniejsza). Przyjmując dodatkowo, że błąd kwalifi- kacji nie zależy od trwałości, mamy

{ ^{1 -} jeśli u€*U/. ^{jeśli u 6 ,} Z równości (*0 i (5) wynika wtedy, że

fpu'(l - < 3 _{^) /C dla u £} (3.90 Pu

pu* qu/C dla u6<^' ł (3.9") C = q* p + 5 ] (1 - <Ł,)*PU >

ueU'

GOI

U' ( 3 . 10 ) Ru (t) s Ru (*0 dla u 6 0 L .

3.3. PRZYKŁAD. Przyjmijmy, że w wyniku selekcji spośród egzemplarzy, dla których U = u , pozostawia się te, których trwałość wynosi przynajmniej t , gdzie t e fi dla każdego u 6 01 . Wtedy mamy:

(i , jeśli t > t u , TT (t,u) = •<

[o poza tym.

Przyjmując następującą identyczność zdarzeń

-[w = 1, U = u} < = > {t > t u , U = u } ,

otrzymujemy

Pr-jw = 1 | U = uj- = Pr-jl ^t^lU = uj = R^ (t^) .

Zatem

(3.11) p„ = R (t )*p / j R (t )-p , v ' u u u u U 6 _'uu J. u u u

(3.12) = Pr{T > t |u a U, W a 1 _{} =}

= Pr-[

> t, U = u, T > tu}/Pr{T>tu , U = p}=

= Pr^T >max{t,tu }lU = u}/Pr{T ^ t^lU = uj-=

= min I Lu ’ u u J / u u

(t) , R (t )} /R (t ) =

= min{l , Ru (t) /R^ (tu)}.

3.4. Uwaga. W praktyce, w wyniku selekcji uzyskuje się populacje, dla których na ogół spełniony jest warunek

(3.13) Ru ( t ) > R u (t).

Wynika to z tego, że dążąc do usunięcia wadliwych egzemplarzy w istocie odrzucamy te, które uszkodzą się najwcześniej (oczy*

wiście, jeśli selekcja jest poprawna). Z zależności (4) i ( 5 ₎ oraz (2.6) wynika równość

(3.14') H(t) = S p t -R (t), u 6 OJL

gdzie (por. (4'))

(3.14") ru : = Cu/C = Pr{w = 1|U = u}/Pr{w = 1 _{} .}

Zatem, bezwarunkową funkcją niezawodności R można oszacować o d d o ł u następująco

(3.15) R(t) I S R (t)-p * r / S p r , u£U u u u ue<a u u

jeśli mamy podstawę do przyjęcia hipotezy ( 13 ) . Oszacowanie

(15) może mieć istotne znaczenie praktyczne, gdy jedynymi da-

nymi o sposobie poprawiania są parametry r ,...,r. określo- I K

ne prjsez (14") i (4#/) oraz warunek ( 13 ) • Warto też dodać,

że ewentualna konieczność oszacowania prawdopodobieństw r

wymaga znacznie raniej badań eksperymentalnych niż estymacja

pełnej charakterystyki modelu poprawiania, jaką jest fynkcja

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI

71 określona równością ( 2 _). ¹³⁷

4. MODEL POPRAWIANIA II RODZAJU

Poprawianie II rodzaju polega na ulepszaniu pojedynczych, egzemplarzy poprzez zmianę parametrów mających wpływ na prze- bieg procesów niszczenia) prowadzących ostatecznie do uszko- dzenia. W praktyce oznacza to użycie do produkcji np. lep- szych materiałów, dokładniej obrobionych elementów, zastoso- wanie dodatkowych systemów zabezpieczających lub stworzenie lepszych mniej agresywnych warunków eksploatacji.

Opiszemy formalny model wpływu tych zabiegów na funkcję niezawodności. Uwzględniony zostanie w literaturze często spo-

tykany pogląd, że w czasie eksploatacji w obiekcie przebiega- ją procesy prowadzące do każdego spośród a priori możliwych typów uszkodzeń, a jedynie różnorodność intensywności tych przebiegów decyduje o tym, które z nich pojawia się wcześniej od innych i stanowi o przejściu obiektu w stan nieprzydatnoś- ci.

Jako podstawowy model uszkodzeń przyjmujemy układ T = (

^ ; u€ 0 l) zmiennych losowych o wartościach w (R, , spełniający warunek

(4.1) Pr«[T^u)= T (v)}= 0 dla u v, u,v 6 01 := {l,...,k}.

Jako model trwałości T i typu uszkodzenia U przyjmu- jemy zmienne losowe określone przez relacje

(4.2) T = min-fr^ ; u€ 'U.}, Pr{ /\ ( u = u ^ T ^ =

)}= 1.

L u fc OJL

(Dzięki warunkowi (i), z prawdopodobieństwem równym 1 _istnie- je dokładnie jeden typ uszkodzeń u 6 Oj. taki, że T ^ = T ).

Zmienną losową T ^ można interpretować jako hipotety-

czną trwałość obiektu w sytuacji, gdyby różne od u typy u-

szkodzeń nie ujawniały się. Dlatego współrzędne układu T na-

zywamy trwałościami składowymi. Jest to szczególnie uzasad-

niona nazwa w przypadku, gdy obiekt ma strukturę szeregową

[złożoną z k składników, których trwałości są reprezentowane

[Przez współrzędne układu zmiennych losowych T . Typ uszko-

dzenia można wtedy identyfikować z numerem składnika ulegają-

cego uszkodzeniu najwcześniej.

138

**•1. U w a g a . Eliminację uszkodzenia typu u w oma- wianym modelu uzyskuje się przez zwiększenie trwałości Skła- dowej T ^ do wartości przewyższającej wszystkie wartości T ^ , v yć u , z prawdopodobieństwem 1 . W celu uniknięcia za- łożenia, że zmienne losowe T ^ przyjmują wartość oo , « • przyjmujemy, że dla obiektu poprawionego zbiór <11 możliwych typów uszkodzeń jest podzbiorem zbioru 01 typów uszkodzeń możliwych przed poprawieniem. Dlatego też podstawowy model

trwałości obiektu poprawionego, oznaczony symbolem , jest miarą probabilistyczną na , gdzie k s card fil •

Jako model zmiany XX rodzaju przyjmujemy funkcję (4.3) ?(PT) = Pf, .

która opisuje zależność rozkładu P,j; od rozkładu P^ • W szczególności może to być relacja wynikająca z deterministy- cznej zależności

(4.4) » = <y(T),

k k

gdzie jest funkcją borelowską. Wtedy mamy p~ - p o m - 1 . T T T *

gdzie (p „■i oznacza przeciwobraz odwzorowania <p ,

Na podstawie przyjętych założeń i oznaczeń, charakterys- tykę (p,R^ ,,., jR^.) , a tym samym charakterystykę (P 0 ,P^,,,.

,,,,Pk) rozkładu PT ^ wyznaczają następujące równości, słuszne dla t 6 _{, u} 6 01 _:

C^.5) Pu = Pr-Jr^ < minjT^ ; v 6 <U. , v ^ u}}’ ,

(^. 6 ) PU'RU ^ = Pr{t < T < min^T ^ ; v€qi , v 4 u}| . Zatem

(4.7) Pu = ,....t^kb i dla v 4 uj- , (4.8) Pu -Ru (*) = PT {(* (1) ; t < t (u)< t (v)dla vjA>

Analogicznie przedstawić można zależność (p,R ,,,,,

rozkładu P~ . Oznacza to, że w celu określenia zależności charakterystyki (p,R1, . . . ,Rg) od (p,R| ,. • . ,11^) należy u- zyskać zależność rozkładu od charakterystyki

• • • fRjj.) • Można pokazać, że równości (4.7) i (4*8) nie wyzna- czają rozkładu P^ jednoznacznie. Dlatego interesujące jest, przy jakich dodatkowych, założeniach usunąć można tę niejedno- znaczność. Przykład pozytywnej odpowiedzi, dla przypadku sto- chastycznie niezależnych współrzędnych układu trwałości skła- dowych T , zawierają następujące twierdzenie i wniosek.

4.2. TWIERDZENIE. Jeśli zmienne losowe (T ^ ; u 6 <lL=:T, Rl : = -|l ,. . . ,kj- , są niezależne, to warunek (4.l)

pozwalający na określenie zmiennych losowych (T,U) zgodnie z warunkiem (4.2) jest spełniony dokładnie wtedy, gdy zbiory punktów nieciągłości dystrybuant

F ^U\t) : = Pr|

< t }

są parami rozłączne. Ponadto, jeśli spełniony jest warunek (4.1) , to łączny rozkład P^ _T pary (T,U)

, u jest jednoznacznie wyznaczony przez następujące rów- ności:

(4.9) PT u ([t,o>)x{u})= pu -R (t) = J ]7 R (v)(tO dF(u)(t') ,

' t Vj^U

v 6 <li

gdzie R ^(t) = 1 - F ^ (t) dla te# , u^fy, .

Korzystając z równości (2.1) - (2.3) oraz (2) otrzymuje- my

4.3.WNIOSEK. Przy założeniach twierdzenia 2, charakte- rystyka (p,R 1 , . . . ,Rlt) rozkładu PT y spełnia wa- runki

(i) P ' li (t) = TT ^{R W (t) dla t 6 & ;}

u 6 U u u€U oo

(ii) Pu = J TT R (v) (t)dF^ (t) dla u 6 01 , -oo VjtU

(iii) Miara probabilistyczna Pu wyznaczona przez funkcję

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 139

niezawodności R^ jest absolutnie ciągła względem miary probabilistycznej P ^ wyznaczonej przez R ^ , jeśli p^ > 0 ; pochodna Radona-Nikodyma spełnia równanie

HP 'R-OO

(,. 10 ) = i_. n ^ (v)« = f u- > y f V r -

dP u v=u u R (t)

v 6 lt

dla P ^ — p . w. t ;

(iv) Spełnione jest równanie całkowe dla t ^ t : (ił. 11') F (U,(t) = 1 - R (u)(t) = p • | — dF (t),

-

gdzie

(4.11 ") t ;= sup -ft ; p *R (t) > ojj L ueu

funkcja podcałkowa jest przy tym ciągła w każdym punkcie nieciągłości dystrybuanty F^ , znajdującym się w prze- dziale (-oo , tQ] .

4.4. U w a g a . Treści punktów (iii) oraz (iv) pozwala- ją na wyznaczenie rozkładu P^ = P ^ *...* p(lc^ nieładu

T = (T(U) ; u 6 <10 na podstawie charakterystyki rozkładu P^

jednakże tylko w przedziale (- oo , Jest to minimalny, domlaiięty, od dołu nieograniczony przedział, w którym zmienna losowa T przyjmuje wartości z prawdopodobieństwem 1, gdyż na podstawie ( 2 ) i ( 1 1 #/) mamy

P r{T < *o} = 1 - Prl T > * 0 } = 1 - P riu^ t(U ) > * o } =

= 1 _- TT R (u) (t + o) = 1 - ]>Tp-R (t +o)=i

ueu 0 _{ueu u u} 0

Ograniczenie słuszności równania (11 *) ma naturalną interpre-

(u) .

tację statystyczną. Jeśli któraś ze współrzędnych T jest

z prawdopodobieństwem równym 1 ograniczona od góry liczbą tQ

to na podstawie obserwacji zmiennych (T,U) określonych zgod-

nie z ( 2 ), nie można wyciągać wniosków o rozkładach prawdopo- dobieństwa pozostałych współrzędnych, powyżej liczby t . Wyjaśnia się to tym, że obserwując tylko minimum współrzęd- nych nigdy nie zaobserwujemy wartości powyżej t .

Uwzględniając treść uwagi 4 , w celu uproszczenia anali- zy, przyjmujemy w dalszym ciągu, że charakterystyka (p,Rj,..

,. , ,Rk) rozkładu ^ spełnia warunki

P = (P. , . . . i P ^ , gdzie p > 0 dla u^U, I p =1

U ufeU u

(4.12) > 0 dla te# i » Ru jest funkcją ciągłą, dla ueli Zgodnie z równaniem ( 1 0) otrzymujemy

^ S = aA (u ,(t)'

gdzie

/ .\ t p dF (tO

fr.13') A (t)= \ , = — --- , dla ttft , ue U .

-

i 2 > U- V t ' ) uelJL

Całka w (i 3*) jest oczywiście zbieżna ze względu na o- graniczoność funkcji podcałkowej w każdym przedziale postaci

( -

, t] . Zatem możemy wyznaczyć funkcję niezawodności od- powiadające trwałościom składowym T ^ zgodnie z równością

(4,13") R^U\t) = exp (- A (U\t)), dla , uelŁ . Łatwo można sprawdzić, że (l3#/) jest jedynym rozwiązaniem równań ^ 11 ) w klasie funkcji niezawodności, jeśli spełniony jest warunek (1 2 ) ,

Dalsze kroki algorytmu zilustrujemy na przykładach,

4,5* PRZYKŁAD. Przyjmijmy, że w wyniku poprawiania każdy

egzemplarz obiektu zmienia swe trwałości składowe

T ^ do wartości c ^*T ^ , z dodatnimi współczynni-

kami, tzn.

T ^ = c ^ T ^ , gdzie c (U^ > 0 dla u 6 _{tt ,}

Dane współczynniki c ^ (charakteryzujące poprawianie) , wykorzystujemy następująco:

(4.14) R (u) (t) = Pr j? (u1 > tj-s Pr^T ^ > t/o ^ j- =

=

(u) (t/c(u)).

Następnie, parametry (g>,Rj , . .. yRj^) wyznaczamy zgodnie z równościami analogicznymi do ( 9 ) ; dzięki zachowaniu niezależności składowych T ^ :

( 4 . 15 ) pu = T n & (v) (*)<łF(u) (t),

• -do vp^u

(4.16) Pu’Su (t) = PT,U (&'00) * {"}) =

= f Tl R fv) (t')dFW (tO.

t v/u

W szczególności na podstawie odpowiednika własności (i) (por. Wniosek 3) otrzymujemy

(4.17) R (t) = PrjT > t} = TT R ^ (t) = U 6 *U

_ S

(u) (t/o(u>)\

u6tL /

4.6. PRZYKŁAD. Przyjmijmy, że w wyniku poprawiania, w każdym egzemplarzu zatrzymują się procesy prowadzące do uszkodzeń z podzbioru typów * 11 *c <11 i że procesy prowadzące do uszkodzeń z podzbiorem typów RJt = 41VU/

przebiegają tak samo jak przed poprawieniem. Wtedy otrzymujemy

T = ( t ^ j u £ U ) jeśli W = (t ^ ; u eU).

** ( ■q') **

Zatem mamy R v = R'- ' dla u 6 <11 , a tym samym

( 4 . 18 ) p = T TT r (v) (t),

U -03 W u

ueCC

0^.19) Pu R (t) = f TT r(V) (*)dF(u) (t), t V^U

usiL

gdzie R ^ dane jest równościami ( 13 ) ; w szczególnoś- ci, bezwarunkową funkcję niezawodności obiektu poprawio- nego określa równość

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 143

(4.20) R(t) = TT R (U) (t).

u€^L

W ogólnym przypadku poprawiania II rodzaju, opisanym równością ( 3 ) , ze względu na niezależność składowych jako rozkład P^ przyjmujemy produkt miar

(4.21)

gdzie

(4.22) P (u) ([t,+oo)) = R ^ (t) .

Gdy znamy operację ^ (por, (3)) , wtedy możemy wyzna- czyć P~ , a następnie - zgodnie z równościami analogi- cznymi do ( +* AjA 7 ) i ( 8 ) - wyznaczyć parametry jp = (p ;ueli) a/

oraz R dla u 6 <U. , charakteryzujące rozkład P„i ,u obiektu poprawionego.

5. ESTYMACJA PARAMETRÓW ROZKŁADU P„ I , U

Twierdzenia niniejszego punktu uzasadnić mają, kiedy estyma- cja rozkładu pary zmiennych losowych (T,U) Staje się względ- nie prosta. One też stanowiły o wyborze ciągu (Pn ,...,P ) w J£

jako charakterystyki rozkładu P^ ^ (por. rozdział 2 ).

Najpierw pokażemy, kiedy jest możliwe rozdzielne estymo- wanie metodą największej wiarygodności (nw) każdego z para- metrów P^,...,?^ . W tym celu przyjmijmy, że rozkłady warunko- we P^ , u = 1 ,...,k , mają gęstość f , tzn. że

(5 •1) pu ([t,oo)) = Ru (t) = J f u (t') dt ' dla u 6 _{U , ttH.}

^odstawą estymacji niech będą wyniki pomiarów trwałości i ty-

pu uszkodzenia

(5.2) j = 1 _» = ((T (&^ » u (ej))»

j =

egzemplarzy ei»***>en pobranych z populacji badanego obiek- tu przed poprawianiem, jako próby losowej prostej , gdzie n 6 _{JlT s=} Tym samym przyjmujemy, że pary

są realizacjami ciągu par zmiennych, losowych (T.,U ) , two- J 1-

rżących układ n niezależnych par o wspólnym rozkładzie

U cecłl w populacji generalnej obiektu.

Zgodnie z ogólnymi zasadami statystyki matematycznej, funkcję wiarygodności W 1 _^ obliczaną na podsta- wie próbki ( 2 ) przedstawia równość (por. ( 2 _. 1 _{)) :}

(3.3') w(Ę0,...,Pk) = f[ Pu;fu .(t ) = w (P0)-...-wk (P ), J=1 J J

gdzie

TT

^P„

* TT

^{P„ U gdy u = 0}

j =1 j ueftJL (5.3") wu (Pu>«= \ '

TT ^{f (t.) gdy uEOL,}

^ J

(5.3'") =|j; uj = u} > “u = oard Ju dla u e 'U> • Tak więc funkcja Wq , zależna wyłącznie od PQ , jest jednoznacznie wyznaczona przez ciąg n = (n^; u 6 Tl zaobser- wowanych liczebności tych części Ju próby, w których zaob- serwowano odpowiednio uszkodzenia typu u . Ponadto dla każ- dego u 6 <11 , funkcja W (zależna wyłącznie od Pu ) .jest jednoznacznie wyznaczona przez te spośród zaobserwowanych trwałości, którym towarzyszyło uszkodzenie typu u .

5.1. WNIOSEK. Jeśli rodzina a priori dopuszczonych roz- kładów (P~, .. . ,P.) jest produktem pewnych podrodzin U IC.

^ c Przy elementy rodzin

P^ mają gęstość dla ueTl , wówczas ich estymacja metodą NT/ polega na rozdzielnym estymowaniu tą me-

todą

- parametru P

na. podstawie ciągu liczebności n. ; - każdej z funkcji gęstości f rozkładu P na podsta-

wie układu danych : = (t ^; j ć ^ u) , tak samo jak gdyby pochodziły one z obserwacji nu - elementowej próby losowej prostej o rozkładzie P^G .

Rzeczywiście, na podstawie (3), funkcja W osiąga maksi- mum w punkcie

• • • 61 * • • •* wtedy i tylko wtedy, gdy W^ osiąga maksimum w punkcie , dla ie{o,,t,,k}

= ₀₁ .

Zauważmy, że jeśli 3^ = (&or* rozńział 2), to esty- matorami NW elementów ciągu prawdopodobieństw f> = (p^ , * .

...,Pk) odpowiadających rozkładowi P

są częstości zaobser- wowane

p = —ii *u n n dla u 6 41 .

Oczywiście, 5 ^ jest rodziną (k- 1 )-parametrową, gdyż S p u=1#

Zatem, przy odpowiednim doborze dla każdego typu u€<U , po- wiedzmy dwuparametrowej rodziny

rozkładów mających gęstość, łączny rozkład zmiennych losowych (T,U) możemy iden- tyfikować w rodzinie rozkładów [ 2 k + (k - 1 )] -parametrowych, pokonując przy tym trudności właściwe dla rodzin tylko dwupa- rame trowych.

Okazuje się, że rozdzielne estymowanie parametrów

Pg,...,?^ jest nieco ogólniejszą właściwością rozkładu P,p ^ , jeśli rodzina a priori dopuszczonych rozkładów jest produktem

*^QX» * niezależnie od tego, czy gęstości tych rozkładów istnieją.

Wniosek ten opiera się na następującym twierdzeniu:

5.2. TWIERDZENIE. Niech ((T ., U.); j = 1,...,n) oznacza J J probabilistyczny model wyników n-elementowej próby losowej prostej obserwacji cech (T,U) o rozkładzie

(2.1) , gdzie U przyjmuje wartości w skończonym zbiorze 41= , . .. ,kj», k > 1 _.

Wówczas, dla każdego warunku

( 5 . 8 ) {card = nu dla u 6 Ot}, gdzie > 0 , ^ n^ = n,

empirycznie warunkowe empiryczne funkcjo niezawodnoś- ci określone równością

(5.9) = card Tj ^ tf J*6 Jv}/n > dla t€-^» ue<2Z}

mają warunkowy rozkład prawdopodobieństwa taki sam, jak empiryczne funkcje niezawodności odpowiednio wy- ników obserwacji zmiennych losowych o funkcjach nie- zawodności Ru w n^ - elementowych próbach losowych prostych.

Ponadto, funkcje losowe Ru , u £ *11 , są warunkowo niezależne dla każdego warunku postaci (8).

Jako uzupełnienie warto tutaj sformułować w terminologii statystyki matematycznej następujące, dobrze znane z elemen- tarnego rachunku prawdopodobieństwa

5.3. TWIERDZENIE. Przy założeniach twierdzenia 5.2 łącz- ny rozkład prawdopodobieństwa zmiennych losowych N : = (card j u 6 <U.) jest jednoznacznie określony przez prawdopodobieństwa p = (p^ » • • • iPj^) zgodnie z

zależnością r nu

n! T T ~ - r sdy

J UĆflil U V I _

(5.10) Pr | card ^ = nu , dla u e nu“n ’

„0 poza tyra.

Interpretując treść powyższych twierdzeń można powiedzieć że pełna empiryczna informacja o prawdopodobieństwach ciągu p (czyli o rozkładzie Pq) jest zawarta w zaobserwowanych liczebnościach n = (nu > u 6 * 11 ) , a o rozkładach warunkowych

- w zbiorach danych tu : = Je ) > odpowiednio dla każdego u oddzielnie.

5.4. WNIOSEK. Testowanie hipotez prostych o parametrach p oraz przeprowadza się rozdzielnie dla każdego parametru odpowiednio na podstawie ciągu n

oraz zbiorów >•••»*]£ (oznaczenie - por, wniosek 1 )»

5.5. WNIOSEK. Gdy jest spełnione założenie wniosku 5.1 (o postaci produktowej zbioru dopuszczonych wartości ciągu (Pq,...jP^)), wówczas również estyraować można

pu

każdy z parametrów P 0 ,...,Pk rozdzielnie na podsta- wie danych, tak jak wyżej podzielonych odpowiednio na bloki, jeżeli funkcja kosztów błędu I-go rodzaju jest sumą kosztów takich błędów dla każdego parametru.

W ogólnym przypadku bez słuszności założenia Wniosku 5.1 rozdzielne estymowanie parametrów (|>,F^,...,Fk ) nie jest po- prawne, gdyż przy rozdzielnym estymowaniu uzyskany wynik może nie spełniać ewentualnie założonej relacji między oszacowywany parame trami.

6 . INTERPRETACJA PARAMETRU x

Podstawowym przykładem interpretacji parametru

jest czas trwania użytkowania obiektu (nazywany krótko - czasem eksploa- tacji). Wybór tej interpretacji jest szczególnie dogodny dla takiego obiektu technicznego, który jest cały czas jednakowo obciążony w trakcie użytkowania. Wystąpienie uszkodzenia ozna- cza, że wartość parametru X przekroczyła wartość trwałości T.

Powyższe ograniczenia mogą być uznane za nieistotne, gdy w przypadku zmiennych warunków użytkowania można przyjąć ist- nienie odpowiedniej funkcji f spełniającej rolę przelicznika czasu użytkowania w realnych zmiennych warunkach na czas użyt- kowania w warunkach umownie uznanych za nominalne. Wtedy rolę wartości parametru x przyjmują wartości funkcjonału całkowe- go

( 6 , 1 ) t (t ) s = / f (x (t)) dt dla t > 0 ,

° C0,t 1

1 o

w którym tQ oznacza długość przedziału czasu użytkowania, x (s) - wartość czynników zewnętrznych (w tym intensywności eksploatacji) w chwili s , f - funkcję-przelicznik, która przyporządkowuje nieujemną liczbę każdej wartości xe 3C ze zbioru wartości czynników zewnętrznych. Przyjmując, że całkowa- nie w ( 1 ) jest możliwe, dla każdej \mrtości t > 0 , wartość funkcji f (x) można interpretować jako intensywność starzenia się obiektu,gdy warunki zewnętrzne mają wartość x , zaś war- tość parametru T (tQ) jako wiek eksploatacyjny obiektu w chwi- li to

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 1^7

6.1. U w a g a . O modelach, dla których o przejściu do stanu nieprzydatności stanowi spełnienie po raz pierwszy nie- równości

T (tQ) > T (e) ,

gdzie T (e) jest hipotetyczną trwałością egzemplarza e w warunkach nominalnych, mówimy, że spełniają postulat o addyty wnej kumulacji uszkodzeń (a.k.u.) . Statystyczną weryfikację modeli tego rodzaju opisuje Bogdanovicjus [1]. Modele spełnił

jące postulat o a.k.u. są bardzo przydatne jako podstawa teo- retycznych rozważań pozwalających analizować wyniki przyspie- szonych badań niezawodności (por. np. [ 6 ]).

Termalny "wiek" oraz "trwałość" mogą ulegać zmianie jako nazwy parametru T i T , gdy jedynym kryterium stanowiącym o uszkodzeniu jest np. ilość pracy wykonanej, ilość doznanych wstrząsów, wartość obciążenia napięciowego w impulsie elektry- cznym, ilość skoków temperatury o przynajmniej 20K itp. Tym interpretacjom parametru T będą odpowiadały praca wykonalna wytrzymywalna ilość wstrząsów, napięcia przebicia,wytrzymywali ilość skoków temperatury itp. jako interpretacje parametru I 7. UWAGI KOŃCOWE

W pracy nie wyczerpano wszelkich możliwych modeli poprawiania własności populacji obiektu ze względu na jego trwałość. Wyda- ło się jednak celowe wyróżnienie tych, które omówiono w roz- działach 3 i 4 , gdyż są one chyba najbardziej naturalne. Sto- sowanie wyników tych rozdziałów jest uwarunkowane możliwością określenia parametrów charakteryzujących rozkład P,p ^ obieK- tu przed poprawieniem oraz parametrów charakteryzujących poptf wianie (funkcję TT dla modeli I rodzaju oraz operację lyl funkcję dla modeli II rodzaju). Pominięto omawianie

nień związanych z estymacją parametrów modelu poprawiania.

Estymacja ta bowiem może okazać się zbędną. Dotyczy to zwłasz-

cza modeli opisanych w przykładach 3«1 oraz 4.6. Musimy wtedy

dysponować jedynie metodami technicznymi określenia typu usz-

kodzenia, jakim zakończy się trwałość egzemplarza, przed prze-

kazaniem go do eksploatacji (ad przykład 3 *l}» bądź musimy

mieć możność taiciej zmiany konstrukcji (lub/i eksploatacji lub/i materiałów), aby rzeczywiście zaniedbywalne były proce- sy prowadzące do uszkodzeń wybranych typów (ad przykład 4.6).

Warto dodać, że każdy z tych sposobów poprawiania daje inne efekty. Ilustruje to następujący bardzo prosty

7.1. PRZYKŁAD. Niech U = { 1 , 2 } , p = i , p2 = | ,

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 149

Ru-(t) =1 - (t-a ) u , ^

» t > au ’ gdzie 0 < a^ < a^ •

Wtedy usunięcie egzemplarzy, które zakończą trwałość usa- kodzeniam typu 111 11 prowadzi do następującej funkcji niezawod- ności obiektu poprawionego (por. (3*7) * ( 3 * 8 ) oraz (2.5))

R (t) = R 2 (t) .

Poprawianie drugiego rodzaju prowadzi do następujących parametrów (por. (4.20)) s

R (t) = R (2) (t) , gdzie (por. (4.13)

1 dla t ^ a^ ,

dla t > a 2 _,

Tak więc poprawianie przez zlikwidowanie możliwości po- wstawania uszkodzenia *' 1 ** daje tutaj lepsze efekty niż usu- nięcie tych egzemplarzy, które miałyby zakończyć trwałość tym

typem uszkodzenia.

Odnośnie do estymacji charakterystyk rozkładu

(obiektu niepoprawionego) ograniczono się do omówienia metody

NI/ w przypadku produktowej postaci zbioru dopuszczonych cha-

rakterystyk (Wniosek 5.1), zwrócenia uwagi na rozdzielne tes-

towanie hipotez dotyczących poszczególnych elementów charak- terystyki (PQ,...,Pk) (wniosek 5*4) oraz do treści wniosku 5#5 , których podstawą są twierdzenia 5*2 i 5*3»

Twierdzenia rozdziału 5 oraz zależności rozdziałów 3 i 4 mogą być ponadto podstawą do poszukiwania estymatorów np. o

jednostajnie najmniejszej wariancji parametrów rozkładu P,^

obiektu poprawionego lub też parametrów kosztów i zysków po- prawiania, po odpowiednim uwzględnieniu modelu tych wielkości, W konsekwencji przedstawione zależności mogą być przydatne przy wyznaczaniu optymalnego sposobu poprawiania obiektu.

Dość złożone okazuje się zagadnienie takiego wyboru ro- dziny cPq * P * ,,,x x tffy' a priori dopuszczonych wartości charakterystyki PolP1,,,#łEk rozkładu y t at,y uzyskać żądany kształt np. funkcji gęstości rozkładu P,p (np,, aby miała co najwyżej 2 maksima lokalne). Ponadto, aby roz- kład P,p trwałości składowych wyliczony na podstawie wyników rozdziału 4 , był właściwy. Ostatni warunek może nie być speł- niony, co ilustruje następujący

7.2. PRZYKŁAD. Przyjmijmy, że p1 ,p2 € (0; 1) , p1 + pg = 1 oraz że

t ^ 0 ,

, t > 0

gdzie źl > 0 dla u = 1,2. ¥ zależności (4.13) otrzy- mujemy

rl dla t < 0 ,

V ^ 3 ^{-u~ ^u^}

[p3-u+pu'exp (A3-

- Au} ‘J

dla t > 0.

Zatem lim R ^ (t) > 0 , gdy /l > /{ > 0.

t — •> co ^ 1

Wyniki pełniejszych badań nad tym zagadnieniem zostaną

omówione w innych pracach.

Model poprawiania I rodzaju był już wcześniej omawiany przez innych autorów [ 2 ],[4],[ 5 ]• Ciekawe spostrzeżenia, zbie- żne z poczynionymi w § 3 » podaje autorka pracy [. 3 ] » która o- mawia również pewne określenia związane z modelem poprawiania II rodzaju, uwzględniające współzależność trwałości składo-

w y c h .

Jako oryginalną część niniejszej pracy można uznać pro-

pozycję wyznaczania metodą NW rozkładu ^ Cpor. roz- dział 5) oraz zależność (4.13) rozkładu trwałości składowych

= P ^ *...*P^ od rozkładu p/p p •

Na zakończenie autor pragnie wyrazić podziękowanie Docen- towi Ryszardowi Zielińskiemu za wartościowe dyskusje.

DODATEK

D.1. Szkic dowodu twierdzenia 4.2

Odnośnie do pierwszej części,twierdzenia,ograniczymy się do przypadku k = 2 . Oczywiste jest , że jeśli dystrybuanty F ^ oraz F ^ mają wspólny punkt nieciągłości (oznaczmy go lite- rą t), to

Pr {

^ = T ^ } > P r { T ^ = t = T ^ } =

=

(1)( t+0)- F (t)] - [F t+0) - F ^ (t)] > 0.

Aby pokazać implikację odwrotną, przedstawmy rozkład P (2 )

2

zmiennej losowej T jako sumę nieujemnych miar P ^ s P ^ + P W , d c ’

gdzie P^2^ (

) := p ^ (An^ , przy czym ^ ^ oznacza

zbiór punktów nieciągłości dystrybuanty F . Wtedy dystrybuanta (i)

(2) (2)

F^ ' miary P^ , spełniająca równość

F

(t) =

(t) -

( [f (2) (t'+0) - F

(t')] ,

c t' & K }

t' < t

jest ograniczoną niemałejącą funkcją ciągłą, a tym samym je- (1) ( 2 )

dnostajnie ciągłą. Jeśli dystrybuanty F i F nie mają wspólnych punktów nieciągłości, tzn. jeśli

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 151

P ^ ({t})-P(2^ ({t}) = O dla t e $ , to stosując oznaczenie

diag$2 : = t1 = t 2 » t1»t 2 6 ® T otrzymuj emy

p (1)X p^(2) (diagS2) = P )* P ^ (dia g <£ =

= 2 ^{p (1)} ({t})-p(2^ ({t}) = o . t e <4 ^

Ponadto, dla dowolnego ciągu coraz drobniejszych podziałów Jn

= "^ijn « 1 = °' i 1' • ^ j n = [ai ;n ’ ai+1;r)’

=»

spełniających warunki lim a . = + oo , x:n —

i — ► +oo * , lim sup (a. - a ) = O, i — *.oo i X,n 1 1,n ze względu na jednostajną ciągłość dystrybuant , speł- nione jest oszacowanie

P (1)xp W ( d ± a e ® 2 ) = lim n — ► oo -co 2 p(1) (I±.n)‘Pc2)(Ii-n)< f *

ś; ")> P ^ (i. ) ’ lim x’>n - ™ a '1 © v a;n; sup(F ^ (a. )- F ^2\a, < )) = c i-1 ;ny/

oo n — ► oo -co oo

-oo n — ► oo i

= 1 . 0 = 0 .

Odnośnie do równości (4.9) należy zauważyć, że

- jako zakres jej słuszności tradycyjnie przyjmuje się zakres sensowności wyrażeń występrijących po jej obu stronach;

- ze względu na przyjęte założenia, prawa strona jest sensow-

na poza co najwyżej przeliczalnym zbiorem ^ p u n k t ó w nie-

ciągłości dystrybuanty F ^ ,

ostatniej uwagi wynika, że zakres sensowności prawej strony jst wystarczający do jednoznacznego określenia prawdopodobiea>- tw f> = i warunkowych funkcji niezawodności

^ ; U 6 1A) .

Ze względu na niezależność trwałości składowych oraz określe- nie (4.2) możemy następująco przekształcać prawą stronę (4,9) t

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 153

P (4.9) = Pr{T(V) > ; dla v jś u}dPCu)(t') = t

= Pr-jT ^ < T ^ dla v ^ u , T (u^ > t j =

= Pr^T > t , U = u J- = ^(4,9)* c.k.d, D.2, Szkic dowodu wniosku 4,3

Stosując równość F + R ^ = 1 , na podstawie uogólnienia wzoru na całkowanie przez części dla całek Stieltjesa oraz równości (4,9) otrzymujemy

P,.. = J d f J J R (u) (t'))= - 2 / T T R (u)(t#) dR(u:)(t')=

'-1/ t ueU ue<H t vjśu

= P -R (t) = L ,

u u W

dla te , Wykorzystując lewostronną ciągłość wyra- żeń po prawej i lewej stronie równości (i) , otrzymujemy jej słuszność dla t 6 ,

Równość (ii) wynika z (4,9) poprzez przejście do granicy przy t — ► - 00 _,

Pierwsza równość w (4,10) , a tym samym treść wniosku (iii) wynika bezpośrednio z równości (4,9). Druga równość w (4.10) wynika z podstawienia równości (i) oraz (ii) . Zauważyć przy tym należy, że zbiór *[t; R t ) = 0 } ma p^u) - miarę zero.

Równanie całkowe (4.11) jest wnioskiem z własności po-

chodnej Radona-Nikodyma miary P ^ względem P^: jest ona od-

wrotną wartością pochodnej dP^/dP ^ , jeśli jest to funkcja

całkowalna względem miary P^ . Ponieważ odwrotność tej pocho-

dne j , zgodnie z (4.10) jest funkcją niemalejącą i ograniczoną w przedziale (- oo , t ), miara Pu zaś jest ograniczona ja- ko miara probabilistyczna, więc warunek całkowalności jest spełniony w tym przedziale. Co więcej, zbiór punktów nieciąg- łości tej pochodnej nie ma elementów wspólnych z

) ^ ,

(v) /

gdyż zależy jedynie od funkcji R , gdzie v jt u , dla u £ HM . Zatem równość (4.11*) ma sens i jest prawdziwa dla t < tQ . Jej prawdziwość dla t = t wynika z lewostronnej ciągłości. Należy też dodać, że przypadek p^ = 0 nie ograni- cza słuszności równania (4.11') , gdyż wtedy mamy

Pr(t > T ^ dla v / u} = 1 ,

co implikuje - ze względu na niezależność trwałości składowyct - istnienie liczby t > t takiej, że 1 O /

P r j r ^ ^ t j. = Pr-fl4^ < t1 dla v ^ u) = 1.

Zatem w tym przypadku doszliśmy do wniosku, że F ^ (t) = 0 dla t < t , czyli że równanie (4.11*) jest spełnione wobec p - O .

D.3. Dowód twierdzenia 5.2

Niech tJ = ; ufe oznacza rodzinę podziałów zbioioi 3Ł na skończone ilości przedziałów, zaś symbol n = (n Tj u , i u u £ % ) - indeksowaną rodzinę liczb naturalnych nieujemnych.

Ponadto, dla zmiennych losowych określonych równością

N T : = card -[j; T.€l, U. = ul , dla u £ u,I J J J , wyróżnijmy następujące zdarzenia

: = J N* = n T dla Ie J , u e % \ ,

,n 1 u,I u , X u -1

dla dowolnej rodziny podziałów cl i dowolnego układu n . Z twierdzenia 5.3 wynika, że teza twierdzenia 5.2 jest równo- ważna prawdziwości następującej równości:

(D.3.1) Pr { A 3 1 card JL = nu d la n

= n , n I u

U , I

nu,i!

dla dowolnych rodzin podziałów ć) i takich układów n , że (D.3.2) TE] n = n , T E n = n .

i e ^ ue%

Wykorzystując niezależność ciągu par ^(T.,U.); j = 1,...,n) 3 3 otrzymujemy

(D.3.3) Pr{A 3 } = n! J T T T _{u e % Ie< 3} u u,I! u u T [ pu'Pu W] 1 ’

(por. twierdzenie 5.3 )• Gdy spełniony jest warunek (D. 3 . 2 ), wówczas zdarzenie A ^ zawarte jest w zdarzeniu

|card <DU = n^ dla u e % j . Zatem równość (D. 3 _. 1 ) jest praw- dziwa, gdyż jest wynikiem dzielenia stronami równości (D. 3 _. 3 ₎ i ( 5 . 10 ), co kończy dowód.

LITERATURA

[1] V.B.BOGDANOVICJUS, Prowierlca gipotiezy additiwnogo nako- pliwanija powriezdienij (w jęz.ros.); w: Tiezisy dokładow, Wtóraja Yilnjusskaja Konfieriencyja po Tieorii Wierojat- nostiej i Matiematiczeskoj Statistikie, Institut matieraa- tilci AN Litowskoj SSR, Wilno 1977.

[ 2 ] H.A.DAVID, On Chiang*s proportionallty assnmption in the theory of competing rislTs, Biometrics 2ó(l970), str. 336 - -339.

[ 3 ] R.C.ELANDT-JOHNS ON, Conditional failure time distributions under competing risk theory with dependent failure

times and proportional hazard rates, Scand. Actuarial J.

(1976), str. 37-51.

[4] M . L .MOESCHBERGER, H.A.DAVID, Life test under competing risk causes of failure and the theory of competing risks, Biometrics 27 (1971) , str. 909-933.

[ 5 ] J.SETHURAMAN, On characterization of the three limiting types of extreme, Sańkhya Ser.A. 27(l965)f str. 357-364.

[ó] JU.V . SKORYNIN, Uskoriennyje ispytanija dietalej maszyn i oborudowanija na iznosostoikost1(w jęz.ros.), Nauka i Tie- chnilca, Mińsk 1972.

OSZACOWANIE FUNKCJI NIEZAWODNOŚCI 155