Wykład Nr 2

Integralność konstrukcji

Wykład Nr 2

Inżynierska i rzeczywista krzywa rozciągania

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

http://zwmik.imir.agh.edu.pl/Dydaktyka/IMIR/index.htm

Ekstensometr liniowy i średnicowy:

Maszyna wytrzymałościowa:

Aparatura badawcza:

Geometria próbki:

2.2. Inżynierska krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania

siła os iow a F

wydłużenie l F

F

materiał elasto-plastyczny

Naprężenia inżynierskie:

Odkształcenia inżynierskie: 𝜺 = ∆𝒍 𝒍

𝝈 = 𝑭 𝑨

𝝈 = 𝑭

𝑨

(MPa)

𝜺 = ∆𝒍 𝒍

𝑨

– początkowe pole

przekroju poprzecznego

𝒍

– długość początkowa,

R

R

(R

) R

(R

) R

R

R

R

materiał

sprężysto-plastyczny

materiał sprężysto-kruchy

 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝑬

E – moduł Younga (MPa)

F

𝑵

Charakterystyczne granice wytrzymałościowe:

Granica plastyczności (R

) to wartość naprężenia inżynierskiego przy którym zaczynają powstawać nieodwracalne odkształcenia plastyczne. Przy tzw. wyraźnej granicy plastyczności następuje wyraźny wzrost odkształceń bez przyrostu, lub nawet przy chwilowym spadku, naprężeń. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym odkształcenia plastyczne osiągają pewną umowną wartość (np. 0.2%

przy R

).

Wytrzymałość na rozciąganie (R

) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sile rozciągającej F

uzyskanej w czasie statycznej próby rozciągania.

Wytrzymałość na ściskanie (R

) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sile ściskającej F

uzyskanej w czasie statycznej próby ściskania.

Naprężenie zrywające (R

) to rzeczywista wartość naprężenia działającego w miejscu zniszczenia próbki w momencie utraty spójności, odpowiadająca sile przyłożonej do próbki w chwili zniszczenia (F

), odniesionej do rzeczywistego pola przekroju poprzecznego próbki (A

) w miejscu jej rozerwania (R

=F

/ A

).

Granica proporcjonalności (R

) to naprężenie inżynierskie wyznaczające koniec zakresu w obrębie którego zachodzące odkształcenie jest proporcjonalne do wywołującego je naprężenia (granica liniowej sprężystości, granica obowiązywania prawa Hooke’a)

Granica sprężystości (R

) to naprężenie inżynierskie, po przekroczeniu którego

ciało, mimo odciążenia, nie powraca już do pierwotnych kształtów bądź

wymiarów. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym

odkształcenia trwałe osiągają pewną umowną wartość (np. 0.05% przy R

).

2.2. Inżynierska krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania Charakterystyczne parametry:

Przewężenie (q) – względna zmienna pola przekroju poprzecznego próbki w miejscu jej zerwania:

gdzie: 𝑨

− pole przekroju poprzecznego próbki po zerwaniu, 𝑨

− początkowe pole przekroju poprzecznego próbki,

𝒒 =

𝟎

;

Odkształcenia do zniszczenia (A lub 

) – trwałe odkształcenie inżynierskie próbki zmierzone po zerwaniu:

gdzie: 𝒍

− łączna długość próbki po rozerwaniu, 𝒍

− długość początkowa próbki

𝜺

=

𝟎

;

materiał E, GPa guma 0.01-0.1 polipropylen 1.5-2 drewno (dębina) 11

beton ~30

szkło 50-90 aluminium 69

miedź 100-115 stal 190-210 diament 1050-1200 Moduł Younga (E) (moduł sprężystości podłużnej) – stała określająca

sprężystość materiału, wyrażająca się zależnością względnego odkształcenia liniowego materiału (  ) od działającego wzdłuż tego samego kierunku normalnego naprężenia (σ), w zakresie odkształceń sprężystych. Moduł Younga odpowiada tangensowi kąta nachylenia inżynierskiej krzywej rozciągania σ –  do osi odkształceń (  ) w zakresie obciążeń poniżej granicy proporcjonalności (R

).

𝑬 = 𝛔 𝜺 𝛔 = 𝑬 ∙ 𝜺 - prawo Hooke’a

Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek Oznaczenia: , 

R , początek

szyjki

( 

, 

)

R , płynięcie

(b) (a)

(a)

(b)





(c) (d)

(c)

(d)

0

 _u

m

e

Rys.2.1 Schemat inżynierskiej krzywej rozciągania typowego materiału ciągliwego

(cechy charakterystyczne: płynięcie, zazwyczaj szyjka).

2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie

Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek Oznaczenia: , 

o e

e

A

R  P

o

m

A

R  P

o f

f

A

 P



o o f

f

L

L L 

 

Stałe materiałowe o charakterze inżynierskim:

 wytrzymałość doraźna:

 inżynierskie naprężenie niszczące:

 inżynierskie odkształcenie niszczące:

gdzie: A

- początkowa powierzchnia przekroju L

(L

)- długość pomiarowa początkowa (końcowa)

 granica plastyczności:

R













(a) (b) (c)





A B E

p



=?

E

 _pl 0.002

0 0 0

R

R

R

R

=

Rys.2.2 Kształt początkowej części krzywej rozciągania: a) większość metali i stopów; b) z

górną i dolną granicą plastyczności (np. stal miękka); c) bez zakresu liniowego

2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie

 E - moduł Younga: - tylko przypadek a) i b)

 granica proporcjonalności: 

- tylko przypadek a) i b)

 umowna granica plastyczności: R

jest najdogodniejszym parametrem do zidentyfikowania początku odkształceń plastycznych (przy  = R

; 

= 0,002)

 górna i dolna granica plastyczności: R

i R

(R

- duży rozrzut, R

 R

).

A B

A

E











 

Ciągliwość: zdolność materiału do akomodacji odkształceń plastycznych bez zniszczenia.

Materiały kruche: zniszczenie bez makroskopowych odkształceń plastycznych, mała energia potrzebna do zniszczenia, R

=

Materiały ciągliwe: zniszczenie poprzedzone znacznymi odkształceniami plastycznymi, duża energia potrzebna do zniszczenia (energia - pole pod wykresem  - ), często R

> 

*) Shah K.P. The Hand Book on Mechanical Maintenance http://practicalmaintenance.net/?p=1135

*)

*)

2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie

gdzie:

L

, L

– odpowiednio początkowo i końcowa długość pomiarowa.

A

, A

– odpowiednio początkowe i końcowe pole przekroju poprzecznego.

Posługiwanie się naprężeniami i odkształceniami inżynierskimi jest korzystne, gdy zmiany wymiarów próbki są niewielkie. Przy dużych odkształceniach plastycznych właściwsze jest używanie naprężeń i odkształceń rzeczywistych.

Rys.2.3. Krzywa rozciągania materiału ciągliwego i kruchego

𝜺

= 𝑳

− 𝑳

𝑳

Miary ciągliwości:

 odkształcenie do zniszczenia:

 przewężenie:

materiał kruchy: 

 5 % ; materiał ciągliwy: 

> 5 % 𝒒 = 𝑨

− 𝑨

𝑨

n apr ęż en ie, 

odkształcenie,  kruchy ciągliwy

energia do zniszczenia

(2.2) (2.1)

(2.3)

Oznaczenia: 𝝈 , 𝜺

1) Naprężenia rzeczywiste:

gdzie: A - bieżąca powierzchnia przekroju 2) Odkształcenie rzeczywiste:

gdzie: zmiana długości mierzona jest w małych przyrostach l

, l

, l

itd., a aktualna długość pomiarowa l

, l

, l

, itd. jest użyta do obliczenia odkształcenia dla każdego przyrostu.

Gdy l

są bardzo małe:

gdzie: l = l

+ l - długość końcowa, l

- długość początkowa.

𝝈 = 𝑷 𝑨

𝜺 = ∆𝒍

𝒍

𝜺 = 𝒅𝒍 𝒍

𝒍

𝒍_𝟎

= 𝒍𝒏 𝒍

𝒍

2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste

(2.5) (2.4)

(2.6)

l

 l

 

 ^



l

l_o

l

l l

dl ln

 ~ (2.3)

 ^ 

   



 



  

 

 ln  ln 1 ln 1

~

o o

o

l l l

l l

 0







ldA Adl

const l

A

d d A

A A

A A

A

dA

A

0 0

0

~ ln 2 ln

~ ln

0









  ^

 ^(2.7)

zaś, odkształcenia inżynierskie:

to na podstawie (2.3) i (2.4) otrzymujemy:

Ponieważ przy dużych odkształceniach

plastycznych objętość pozostaje niezmienna, tzn.:

to na podstawie (2.3) i (2.6):

Ponieważ odkształcenia rzeczywiste:

(2.9) (2.8)

A P

A   

 



^~

l l A

Al A l

A const

l

A

0 0

0

  







 

 



  

 

 





0 0

0 0

0 0

~

l l l

l l

l l

l l A

A   





Z definicji 𝝈 i 𝝈 :

a uwzględniając (2.6):

otrzymamy:

 ^ 



 ~  1 

stąd:



A A

~ 

 

2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste

  







    





 1

~

o o

o

l

l l

l l

Rys. 2.4 Porównanie rzeczywistej i inżynierskiej krzywej rozciągania dla stali miękkiej

Wnioski:

 𝝈 jest większe niż 𝝈

 𝜺 ≅ 𝜺 w zakresie niewielkich odkształceń,

 po pojawieniu się szyjki: 𝜺 ≫ 𝜺

  

   



 



  

 

 ln  ln 1 ln 1

~

o o

o

l l l

l l

Uwaga:

Z dobrą dokładnością można przyjąć:

𝜺 ≅ 𝜺, 𝝈 ≅ 𝜺 dla: 𝜺 ≤ 𝟐𝜺

gdzie:

𝜺

- odkształcenie inżynierskie przy jakim rozpoczyna się płynięcie

materiału: 𝜺

= 𝜺(𝑹

)

f f f

f

f

A

A A

P

~ 

   (2.10)

f

f A

A ₀

~  ln

 ^(2.11)

Własności materiału o charakterze rzeczywistym:

(współrzędne 𝜺 i 𝝈 charakterystycznych punktów na krzywej rozciągania)

 rzeczywiste naprężenia niszczące 𝝈

(J):

gdzie: 

- współrzędna  punktu  na krzywej inżynierskiej,

A

, A

- przekrój odpowiednio początkowy i po zniszczeniu

 rzeczywiste odkształcenie niszczące (por. rów. 2.7):

2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste

Zakres ważności różnych wzorów z próby rozciągania

Równania (2.5) i (2.9):

można stosować tylko do utworzenia się szyjki, bo potem wydłużenie nie jest równomierne na długości pomiarowej Po utworzeniu się szyjki:

tylko równania (2.1) i (2.7) Równanie (2.9):

może być stosowane przy dość

znacznych odkształceniach plastycznych bo oparte jest na założeniu stałej

objętości materiału (2.6).

n p

e E H

~ 1

~ ~

~

~ 



 



 





    



𝜺

i 𝜺

- odpowiednio sprężysta i plastyczna składowa odkształcenia,

n - wykładnik umocnienia (--)

H - współczynnik wytrzymałości (MPa)

Stałe materiałowe H i n wyznacza się przedstawiając otrzymane doświadczalnie punkty 𝜺 i 𝝈 we współrzędnych podwójnie logarytmicznych

(2.12)

Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych

Równanie Ramberga – Osgooda:

2.5. Matematyczny opis krzywej rozciągania dla metali

Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych

E  e

 ~ log log ^~

log  

log ~ log   H n  log ~  _p

 wykres 𝝈 - 𝜺

jest linią prostą o współczynniku kierunkowym n:

 wykres 𝝈 - 𝜺

jest linią prostą o współczynniku kierunkowym 1:

Uwaga! We współrzędnych podwójnie logarytmicznych:

Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b)

podwójnie logarytmicznych

E 

 ~ log log ^~

log  

log ~ log   H n  log ~ 

 wykres 𝝈 - 𝜺

jest linią prostą o współczynniku kierunkowym n:

 wykres 𝝈 - 𝜺

jest linią prostą o współczynniku kierunkowym 1:

Uwaga! We współrzędnych podwójnie logarytmicznych:

E – wartość 𝝈 przy 𝜺

= 𝟏 , ; H - wartość 𝝈 przy 𝜺

= 𝟏

Zakres małych odkształceń: wykres wypadkowy bliski wykresowi 𝝈 - 𝜺

Zakres dużych odkształceń: wykres wypadkowy bliski wykresowi 𝝈 - 𝜺

Uwaga: zależność 𝝈 = 𝑯𝜺

jest ważna od 𝜺

= 𝟎 aż do zniszczenia

Stąd:

2.5. Matematyczny opis krzywej rozciągania dla metali

Wyznaczenie wykładnika umocnienia „n” w równaniu na podstawie inżynierskiej krzywej

n

H ( ~

)

~ 

 



  A

P   ^~  dP   ^~  dA  Ad  ^{~ (2.13)}

(A): W chwili utworzenia się szyjki dP=0

Wówczas, na podstawie (2.13) i (A):

A dA d  





~

~

(2.14) (B): Przy odkształceniach plastycznych V=Al=const, tzn. dV=0

(B)  Adl+ldA=0 

A dA l

dl   gdzie: d  ^~ (2.15)

l dl



stąd, uwzględniając (2.14) i (2.15)

w chwili tworzenie sią szyjki: 



 _~

~

~

d  d lub



 ^~  _~ ^~ d

 d ^(2.16)

(C): Ponieważ w chwili tworzenia się szyjki można przyjąć:  ~  

 p

 ^~  ^~

Równanie

H ( ~

)

~ 

  uwzględniając (C) oraz (2.15) ma postać:

~

~ )

(

 Hn

H   ^{(2.17) stąd:} n   ^~ _p

𝝈

𝜺

R

R

∆𝒍   = 2R

Jeżeli przy obciążaniu materiału wykazującego efekt umocnienia przekroczona zostanie granica plastyczności, to przy zmianie kierunku obciążenia (odciążaniu) odwrócone płynięcie materiału nastąpi gdy zmiana naprężenia osiągnie wartość   = 2R

, tj. powyżej poziomu granicy plastyczności przy monotonicznym ściskaniu.

𝝈

𝜺

R

 =f()

pojawienie się odkształceń plastycznych przy odciążaniu

(początek tzw. odwróconego płynięcia - „reversed yielding”)

2.7. Modele materiałów

idealnie sprężysty





sztywno – idealnie plastyczny





sprężysto – idealnie plastyczny





sprężysto – plastyczny

z umocnieniem liniowym



odkszt. plastyczne   ^~

 ^~

sprężysto – plastyczny

z umocnieniem nieliniowym

odkszt. plastyczne