3. Funkcje mierzalne
w. 3.1 Podaj przykªad funkcji f : R → R nieci¡gªej w ka»dym punkcie x ∈ R i borelowskiej.
w. 3.2 Podaj przykªad funkcji f : R → R, która nie jest borelowska, ale f2 jest borelowska.
w. 3.3 Niech f : R → R, f(x) = sgnx. Wyznacz σ(f).
w. 3.4 (1997) Niech f, g : R → R,
f (x) = 1
2sin(πx)
, g(x) = sgn (sin(πx)) . Czy zachodz¡ inkluzje σ(f) ⊆ σ(g) i σ(g) ⊆ σ(f)?
w. 3.5 (1997) Niech f, g : R+ → R+,
f (x) =
∞
X
n=0
nI[n,n+1)(x), g(x) =
x2, gdy x ∈ N [x + 1][x], gdy x /∈ N . Czy zachodz¡ inkluzje σ(f) ⊆ σ(g) i σ(g) ⊆ σ(f)?
w. 3.6 (2003) Niech f, g : ([1, +∞), B[1,+∞)) → (R, BR) b¦d¡ dane wzorami f (x) = log([x]), g(x) = tanπ
3[x] . Porównaj σ(f) i σ(g) wzgl¦dem zawierania.
w. 3.7 (2004) Dana jest funkcja f : (0, +∞) → R,
f (x) =
(ex, x ∈ N [x]2, x /∈ N.
Sprawd¹ jakie inkluzje zachodz¡ mi¦dzy σalgebrami σ(f) i σ({[n2, +∞), n ∈ N}).
w. 3.8 (2004) Dana jest funkcja f : [0, 1] → R,
f (x) =
∞
X
n=1
1I[n+1n ,1](x).
Sprawd¹ zawieranie pomi¦dzy σalgebrami σ(f) i σ(An, Bn; n ∈ N ∪ {0}), gdzie An= n+1n ,n+1n+2 , Bn= n
n+1 .
