Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne

Wykład 3. Funkcje holomorficzne

Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Paweł Mleczko

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

Plan wykładu

W czasie wykładu omawiać będziemy

| funkcje zespolone oraz ich własności (m.in. ciągłość)

| pochodną funkcje w sensie zespolonym (m.in. poznamy warunki konieczny i dostateczny różniczkowalności, warunki

Cauchy’ego–Riemanna z dowodem)

| funkcje harmoniczne jako części rzeczywista i urojona funkcji holomorficznej

| różnicę między różniczkowaniem w sensie zespolonym i rzeczywistym.

2

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Niech A ⊂ C. Funkcja

f = u + iv : A → C

f (z) = f (x + iy ) = u(x , y ) + iv (x , y ), z = x + iy ∈ A Jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej.

Rzeczywiste funkcje u i v dwóch zmiennych rzeczywistych nazywamy:

Re f := u : A → Rczęścią rzeczywistąfunkcji f , Im f := v : A → Rczęścią urojonąfunkcji f .

Przykład

Przykładem funkcji zespolonej zmiennej zespolonej jest funkcja f : C → C dana wzorem

f (z) = f (x + iy ) = xy + 2iy .

4

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Niech A ⊂ C. Funkcja

f = u + iv : A → C

f (z) = f (x + iy ) = u(x , y ) + iv (x , y ), z = x + iy ∈ A Jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej.

Rzeczywiste funkcje u i v dwóch zmiennych rzeczywistych nazywamy:

Re f := u : A → Rczęścią rzeczywistąfunkcji f , Im f := v : A → Rczęścią urojonąfunkcji f .

Przykład

Przykładem funkcji zespolonej zmiennej zespolonej jest funkcja f : C → C dana wzorem

f (z) = f (x + iy ) = xy + 2iy .

4

Część rzeczywista i część urojona funkcji zespolonych

Czasami wygodniej jest pisać funkcje z wykorzystaniem zmiennej z. Na przykład w : C → C

w (z) = a0+ a1z + · · · + anzⁿ, z ∈ C, aⁱ ∈ C, i = 0, 1, . . . , n jest wielomianem (zespolonym).

Zadanie

Wskazać części rzeczywistą i urojoną wielomianu w (z) = z²− z + 1.

Weźmy z = x + iy

w (z) = (x + iy )²− (x + iy ) + 1 = x²+ 2ixy − y²− x − iy + 1

= (x²− x − y²+ 1) + i (2xy − y )

u(x , y ) = x²− x − y²+ 1 v (x , y ) = 2xy − y .

5

Część rzeczywista i część urojona funkcji zespolonych

Czasami wygodniej jest pisać funkcje z wykorzystaniem zmiennej z. Na przykład w : C → C

w (z) = a0+ a1z + · · · + anzⁿ, z ∈ C, aⁱ ∈ C, i = 0, 1, . . . , n jest wielomianem (zespolonym).

Zadanie

Wskazać części rzeczywistą i urojoną wielomianu w (z) = z²− z + 1.

Weźmy z = x + iy

w (z) = (x + iy )²− (x + iy ) + 1 = x²+ 2ixy − y²− x − iy + 1

= (x²− x − y²+ 1) + i (2xy − y )

u(x , y ) = x²− x − y²+ 1 v (x , y ) = 2xy − y .

5

Ciągłość funkcji zespolonych zmiennej zespolonej

Funkcja f = u + iv ma w punkcie x₀+ iy₀granicę a + ib wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista u ma granicę a, natomiast część urojona v – granicę b.

Twierdzenie

Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f = u + iv : A → C. Funkcja f jest ciągła w punkcie z0∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy w punkcie z0ciągłe są funkcje u i v .

6

Pochodna zespolona

Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f : A → C. Funkcja f jestróżniczkowalna w z₀∈ Ajeśli istnieje granica

z→zlim₀

f (z) − f (z₀) z − z0

.

Jeśli tak jest, wartość granicy nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z₀.

Przykład

Obliczymy pochodną funkcji C 3 z 7→ f (z) = z². Ustalmy z0 ∈ C. Mamy

z→zlim₀

f (z) − f (z0) z − z₀ = lim

z→z₀

z²− z₀² z − z₀

= lim

z→z₀

(z − z0)(z + z0) z − z₀

= lim

z→z₀z + z0

= 2z0.

7

Pochodna zespolona

Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f : A → C. Funkcja f jestróżniczkowalna w z₀∈ Ajeśli istnieje granica

z→zlim₀

f (z) − f (z₀) z − z0

.

Jeśli tak jest, wartość granicy nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z₀.

Przykład

Obliczymy pochodną funkcji C 3 z 7→ f (z) = z². Ustalmy z0 ∈ C.

Mamy

z→zlim₀

f (z) − f (z₀) z − z0

= lim

z→z₀

z²− z₀² z − z0

= lim

z→z₀

(z − z0)(z + z0) z − z₀

= lim

z→z₀z + z0

= 2z0.

7

Równoważny zapis

Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f : A → C. Funkcja f jestróżniczkowalna w z0, jeśli istnieje granica

∆z→0lim

f (z₀+ ∆z) − f (z₀)

∆z .

Jeśli tak jest, wartość granicy nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z0.

8

Własności różniczkowania

Reguły różniczkowania są takie jak w przypadku funkcji rzeczywistych.

Jeśli f , g mają pochodną w punkcie z₀, natomiast c ∈ C, to (cf )⁰(z0) = cf⁰(z0)

(f ± g )⁰(z0) = f⁰(z0) ± g⁰(z0) (fg )⁰(z₀) = f⁰(z₀)g (z₀) + f (z₀)g⁰(z₀)

f g

0

(z₀) = f⁰(z0)g (z0) − f (z0)g⁰(z0) g²(z₀)

(z 7→ zⁿ)⁰(z₀) = nz₀ⁿ⁻¹

Złożenie funkcji różniczkowalnych jest różniczkowalne.

Uwaga!

Istota różniczkowalności w sensie zespolonym polega na tym, że w defi- nicji pochodnej z może dążyć do z₀na dowolny sposób na płaszczyźnie zespolonej (niekoniecznie wzdłuż prostych). Ten fakt ma bardzo ciekawe konsekwencje.

9

Funkcja nieróżniczkowalna

Rozważmy funkcję f : C → C daną wzorem f (z) = z, z ∈ C.

Dla dowolnego z0= x0+ iy0∈ C mamy (z = x + iy) f (z) − f (z₀)

z − z0

= z − z₀ z − z0

= x − x0+ i (−y + y0) x − x₀− i(y + y0) .

Jeśli z = x + iy dąży do x₀+ iy₀wzdłuż prostych, dla których y = y₀, to powyższa granica wynosi 1, jeśli natomiast wzdłuż prostych, dla których x = x0, granica wynosi −1.

Zatem funkcja z 7→ z nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie płaszczyzny C.

Ta sama funkcja jest oczywiście ciągła na płaszczyźnie!

10

Funkcje holomorficzne

Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty. Mówimy, że f : A → C jestholomorficzna w A (i piszemyf ∈ H(A)), jeśli f jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A.

Jeśli f : C → C jest holomorficzna w każdym punkcie płaszczyzny C, to nazywamy jąfunkcją całkowitą.

11

Równania Cauchy’ego–Riemanna

Warunek konieczny różniczkowalności

Twierdzenie (Warunki Cauchy’ego–Riemanna)

Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym. Jeśli f = u + iv : A → C jest różniczkowalna w z0= x0+ iy0∈ A oraz ciągłą w pewnym otoczeniu z0, to pochodne cząstkowe funkcji f w z0 istnieją oraz spełniają w tym punkcie zależności

∂u

∂x(x0, y0) = ∂v

∂y(x0, y0),

∂u

∂y(x₀, y₀) = −∂v

∂x(x₀, y₀).

13

Funkcja nieróżniczkowalna – znacznie prościej

Uzasadnimy, że funkcja z 7→ z, z ∈ C, nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie płaszczyzny.

Weźmy x + iy₀∈ C. Zauważmy, że u(x, y) = x, v(x, y) = −y, natomiast nie są spełnione warunki Cauchy’ego–Riemanna, gdyż

∂u

∂x(x0, y0) = 1 6= −1 = ∂v

∂y(x0, y0).

14

Idea dowodu

Z założenia (o różniczkowalności w z₀) wynika istnienie granicy f⁰(z) = lim

∆z→0

f (z₀+ ∆z) − f (z₀)

∆z .

W szczególności granice istnieją i są sobie równe dla dwóch szczególnych dróg, gdy z dąży do z0wzdłuż półprostej równoległej do prostej Re oraz wzdłuż półprostej równoległej do Im. Następnie porównuje się części rzeczywiste i urojone.

Re Im

z₀

z₀+ ∆z

15

Dowód twierdzenia (1)

Przyjmijmy f = u + iv , ∆z = ∆x + i ∆y , z₀= x + iy . Wówczas

f⁰(z) = lim

∆z→0

f (z0+ ∆z) − f (z0)

∆z

= lim

∆z→0

u(x + ∆x, y + ∆y ) + iv (x + ∆x, y + ∆y ) − u(x, y ) + iv (x, y )

∆x + i ∆y .

Niech teraz z dąży do z0wzdłuż półprostej równoległej do osi Re.

Wówczas ∆y = 0, więc ∆z = ∆x . Stąd

f⁰(x + iy ) = lim

∆x →0

u(x + ∆x, y ) + iv (x + ∆x, y ) − u(x, y ) + iv (x, y )

∆x

= lim

∆x →0

u(x + ∆x , y ) − u(x , y )

∆x + i lim

∆x →0

v (x + ∆x , y ) − v (x , y )

∆x

= ∂u

∂x(x , y ) + i∂v

∂x(x , y ).

16

Dowód twierdzenia (2)

Wybierając drugi ze sposobów dążenia z do z0(wzdłuż półprostej równoległej do Im), mamy wówczas ∆x = 0 i w konsekwencji ∆z = i ∆y . Stąd

f⁰(x + iy ) = lim

∆y →0

u(x, y + ∆y ) + iv (x, y + ∆y ) − u(x, y ) + iv (x, y )

i ∆y

= lim

∆y →0

u(x , y + ∆y ) − u(x , y )

i ∆y + i lim

∆y →0

v (x , y + ∆y ) − v (x , y ) i ∆y

= −i∂u

∂y(x , y ) +∂v

∂y(x , y ).

17

Dowód twierdzenia (3)

Podsumowując:

f⁰(x + iy ) = ∂u

∂x(x , y ) + i∂v

∂x(x , y ) = −i∂u

∂y(x , y ) +∂v

∂y(x , y ).

Porównując części rzeczywiste oraz urojone powyższych liczb otrzymujemy:

∂u

∂x(x , y ) = ∂v

∂y(x , y ),

∂u

∂y(x , y ) = −∂v

∂x(x , y ).

18

Wzór na pochodną

Jeśli f = u + iv jest różniczkowalna w punkcie x0+ iy0pochodną, to

f⁰(x0+ iy0) = ∂u

∂x(x0, y0) + i∂v

∂x(x0, y0) = −i∂u

∂y(x0, y0) +∂v

∂y(x0, y0).

19

Warunek tylko konieczny: kontrprzykład Przykład

Rozważmy funkcję

f (x + iy ) =

(p|xy |, x + iy 6= 0 0, x + iy = 0..

Mamy

∂u

∂x(0, 0) = lim

∆x →0

p|(x + ∆x)0|

∆x = 0

∂v

∂y(0, 0) = ∂u

∂y(0, 0) = ∂v

∂x(0, 0) = 0 Ale

n→∞lim q

|_n¹2|

1

n+ i¹_n = 1

1 + i 6= 1

1 − i = lim

n→∞

q

|_n¹2|

1 n− i¹_n

20

Warunek dostateczny różniczkowalności

Twierdzenie

Jeśli funkcje u, v mają w otoczeniu punktu (x0, y0) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i te pochodne są ciągłew tym punkcie oraz spełniają warunki Cauchy’ego–Riemanna

∂u

∂x(x₀, y₀) = ∂v

∂y(x₀, y₀),

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0),

to funkcja f = u + iv ma w punkcie z0= x0+ iy0pochodną.

J. Chądzyński

Wstęp do analizy zespolonej Warszawa 1999, str. 24.

21

Przykład Zadanie

Wskazać punkty, w których różniczkowalna jest funkcja f : C → C dana wzorem

f (x + iy ) = x²+ 2iy², x , y ∈ R.

Rozwiązanie

Przyjmijmy u(x , y ) = x², v (x , y ) = 2y². Mamy^∂u_∂x(x , y ) = 2x ,^∂v_∂y(x , y ) = 4y , ^∂u_∂y(x , y ) = 0, ^∂v_∂x(x , y ) = 0. Zauważmy, że pochodne cząstkowe są ciągłe. Ponadto, warunki Cauchy’ego–Riemanna spełnione są w punk- tach

2x = 4y . Stąd funkcja f ma pochodną na prostej 

x ,^x₂

: x ∈ R , w tych punktach zaś

f⁰ x + i^x₂
= 2x.

22

Przykład Zadanie

Wskazać punkty, w których różniczkowalna jest funkcja f : C → C dana wzorem

f (x + iy ) = x²+ 2iy², x , y ∈ R.

Rozwiązanie

Przyjmijmy u(x , y ) = x², v (x , y ) = 2y². Mamy^∂u_∂x(x , y ) = 2x ,^∂v_∂y(x , y ) = 4y , ^∂u_∂y(x , y ) = 0, ^∂v_∂x(x , y ) = 0. Zauważmy, że pochodne cząstkowe są ciągłe. Ponadto, warunki Cauchy’ego–Riemanna spełnione są w punk- tach

2x = 4y . Stąd funkcja f ma pochodną na prostej 

x ,^x₂

: x ∈ R , w tych punktach zaś

f⁰ x + i^x₂
= 2x.

22

Funkcje harmoniczne

Równanie Laplace’a

Niech A ⊂ R², A zbiór otwarty. Niech funkcja f : A → R. Poniższe wyrażenie nazywamyrównaniem Laplace’a

∇²f =∂²f

∂x² +∂²f

∂y² = 0.

Funkcje spełniające powyższe równanie nazywamyfunkcjami harmonicznymi.

24

Re f , Im f funkcji holomorficznej f są funkcjami harmonicznymi

Twierdzenie

Części rzeczywista oraz urojona funkcji holomorficznej są funkcjami har- monicznymi.

Dowód

Niech f = u + iv będzie funkcją holomorficzną. Wówczas z warunków Cauchy’ego–Riemanna wynika, że

∂²u

∂x²+∂²u

∂y² = ∂

∂x

∂u

∂x + ∂

∂y

∂u

∂y = ∂

∂x

∂v

∂y − ∂

∂y

∂v

∂x

= ∂²v

∂x ∂y − ∂²v

∂y ∂x = ∂²v

∂x ∂y − ∂²v

∂x ∂y = 0,

gdzie przedostatnia równość jest konsekwencją twierdzenia Sylwestra. Podobnie dla funkcji v .

25

Re f , Im f funkcji holomorficznej f są funkcjami harmonicznymi

Twierdzenie

Części rzeczywista oraz urojona funkcji holomorficznej są funkcjami har- monicznymi.

Dowód

Niech f = u + iv będzie funkcją holomorficzną. Wówczas z warunków Cauchy’ego–Riemanna wynika, że

∂²u

∂x²+∂²u

∂y² = ∂

∂x

∂u

∂x + ∂

∂y

∂u

∂y = ∂

∂x

∂v

∂y − ∂

∂y

∂v

∂x

= ∂²v

∂x ∂y − ∂²v

∂y ∂x = ∂²v

∂x ∂y − ∂²v

∂x ∂y = 0,

gdzie przedostatnia równość jest konsekwencją twierdzenia Sylwestra.

Podobnie dla funkcji v .

25

Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista

Pochodna funkcji f : R

→ R

Niech f = (f₁, f₂) : A → R², A ⊂ R², A będzie zbiorem otwartym, x₀, x₀+ h ∈ A. Macierz D nazywa siępochodnąliniową funkcji f , jeśli

lim

khk→0

kf (x₀+ h) − f (x₀) − Dh^∗k

khk = 0.

Jeśli f ma pochodną, to

D =









∂f₁ x1

(x0) ∂f₁ x2

(x0)

∂f₂ x1

(x₀) ∂f₂ x2

(x₀)









Przypomnijmy:

khk = q

h²₁+ h²₂, h = (h1, h2) ∈ R². Ponadto h^∗oznacza transpozycję wektora h.

27

Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista

Twierdzenie

Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0 = x₀+ iy₀∈ A.

Następujące warunki są równoważne

| f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z0

| f jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym (w sensie

f : R²⊃ A → R²) oraz spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna

∂u

∂x(x0, y0) =∂v

∂y(x0, y0),

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0).

28

Warunki Cauchy’ego–Riemanna – inne spojrzenie

Płaszczyzna zespolona jest izomorficzna ze zbiorem macierzy postaci

 a b

−b a



a, b ∈ R z działaniem dodawania i mnożenia macierzy.

Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z⁰= x0+ iy0∈ A.

Jakobian odwzorowania f jest równy









∂u

∂x(x0, y0) ∂u

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) ∂v

∂y(x0, y0)









Jeśli f jest holomorficzna w z₀= x₀+ iy₀, to spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna, więc jakobian jest równy









∂u

∂x(x0, y0) ∂u

∂y(x0, y0)

−∂u

∂y(x₀, y₀) ∂u

∂x(x₀, y₀)









29

Pochodna zespolona jako odwzorowanie C-liniowe

Odwzorowanie R-liniowe D : C → C dane za pomocą macierzya b c d

 , a, b, c, d ∈ R jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy D(iz) = iD(z).

Mnożenie przez i jest dane za pomocą macierzy0 −1

1 0



(bo jest to obrót o kąt ^π₂). Zatem D jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy

a b c d

 0 −1

1 0



=0 −1

1 0

 a b c d



wtedy i tylko wtedy, gdy a = d , b = −c, czyli

D = a b

−b a

 .

Wniosek

Funkcja f jest holomorficzna w punkcie z0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym oraz R liniowe odwzorowanie Df (z0) jest C-liniowe.

30

Przykład funkcji R-różniczkowalnej, która nie jest C-różniczkowalna

Rozważmy funkcję f = (u, v ) : R²→ R² daną wzorem f (x , y ) = (x , 2y ), x , y ∈ R.

Funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie (0, 0). Istotnie

D =1 0 0 2



Weźmy h = (h1, h2)

kf (h₁, h₂) − f (0, 0) − D(h₁, h₂)^∗k

k(h1, h2)k =k(h₁, 2h₂) − (h₁, 2h₂)k k(h1, h2)k = 0 Ale w punkcie (0, 0) nie są spełnione warunki Cauchy’ego–Riemanna.

31

Podsumowanie wykładu

Po wykładzie wiedzieć należy:

| co to są funkcje zespolone

| jak definiuje się pochodną zespoloną

| jakie są warunki konieczny i dostateczny różniczkowalności funkcji zespolonych

| jaki jest wzór na pochodną zespoloną

| co to są funkcje harmoniczne

| części rzeczywista i urojona funkcji holomorficznych są harmoniczne

| znać związek między pochodną funkcji w sensie rzeczywistym a zespolonym dla funkcji z płaszczyzny w płaszczyznę.

32