Funkcje analityczne
Wykład 3. Funkcje holomorficzne
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
1 Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A ⊂ C. Funkcja
f = u + iv : A → C
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A Jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej.
Rzeczywiste funkcje u i v dwóch zmiennych rzeczywistych nazywamy: Re f := u : A → R częścią rzeczy- wistą funkcji f , Im f := v : A → R częścią urojoną funkcji f .
Część rzeczywista i część urojona funkcji zespolonych
Czasami wygodniej jest pisać funkcje z wykorzystaniem zmiennej z. Na przykład w : C → C w(z) = a0+ a1z + · · · + anzn, z ∈ C, ai∈ C, i = 0, 1, . . . , n
jest wielomianem (zespolonym).
Ciągłość funkcji zespolonych zmiennej zespolonej
Funkcja f = u + iv ma w punkcie x0+ iy0 granicę a + ib wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista u ma granicę a, natomiast część urojona v granicę b.
Twierdzenie 1. Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f = u + iv : A → C. Funkcja f jest ciągła w punkcie z0∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy w punkcie z0 ciągłe są funkcje u i v.
Pochodna zespolona
Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty, f : A → C. Funkcja f jest różniczkowalna w z0∈ A jeśli istnieje granica
z→zlim0
f (z) − f (z0) z − z0 .
Własności różniczkowania
Reguły różniczkowania są takie jak w przypadku funkcji rzeczywistych. Jeśli f, g mają pochodną w punk- cie z0, natomiast c ∈ C, to
(cf )0(z0) = cf0(z0)
(f ± g)0(z0) = f0(z0) ± g0(z0) (f g)0(z0) = f0(z0)g(z0) + f (z0)g0(z0)
f g
0
(z0) =f0(z0)g(z0) − f (z0)g0(z0) g2(z0)
(z 7→ zn)0(z0) = nz0n−1 Złożenie funkcji różniczkowalnych jest różniczkowalne.
Uwaga! 1. Istota różniczkowalności w sensie zespolonym polega na tym, że w definicji pochodnej z może dążyć do z0 na dowolny sposób na płaszczyźnie zespolonej (niekoniecznie wzdłuż prostych). Ten fakt ma bardzo ciekawe konsekwencje.
Funkcje holomorficzne
Niech A ⊂ C, A zbiór otwarty. Mówimy, że f : A → C jest holomorficzna w A (i piszemy f ∈ H(A)), jeśli f jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A.
Jeśli f : C → C jest holomorficzna w każdym punkcie płaszczyzny C, to nazywamy ją funkcją całkowitą.
2 Równania Cauchy’ego–Riemanna
Warunek konieczny różniczkowalności
Twierdzenie 2 (Warunki Cauchy’ego–Riemanna). Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym. Jeśli f = u + iv : A → C jest różniczkowalna w z0= x0+iy0∈ A oraz ciągłą w pewnym otoczeniu z0, to pochodne cząstkowe funkcji f w z0 istnieją oraz spełniają w tym punkcie zależności
∂u
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0),
∂u
∂y(x0, y0) = −∂v
∂x(x0, y0).
Idea dowodu
Z założenia (o różniczkowalności w z0) wynika istnienie granicy f0(z) = lim
∆z→0
f (z0+ ∆z) − f (z0)
∆z .
W szczególności granice istnieją i są sobie równe dla dwóch szczególnych dróg, gdy z dąży do z0 wzdłuż półprostej równoległej do prostej Re oraz wzdłuż półprostej równoległej do Im. Następnie porównuje się części rzeczywiste i urojone.
Re Im
z0
z0+ ∆z
Wzór na pochodną
Jeśli f = u + iv jest różniczkowalna w punkcie x0+ iy0 pochodną, to f0(x0+ iy0) = ∂u
∂x(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0) = −i∂u
∂y(x0, y0) +∂v
∂y(x0, y0).
Warunek tylko konieczny: kontrprzykład Przykład 1. Rozważmy funkcję
f (x + iy) =
(p|xy|, x + iy 6= 0 0, x + iy = 0..
Mamy
∂u
∂x(0, 0) = lim
∆x→0
p|(x + ∆x)0|
∆x = 0
∂v
∂y(0, 0) = ∂u
∂y(0, 0) = ∂v
∂x(0, 0) = 0 Ale
n→∞lim q|n12|
1
n + i1n = 1
1 + i 6= 1
1 − i = lim
n→∞
q|n12|
1 n− in1 Warunek dostateczny różniczkowalności
Twierdzenie 3. Jeśli funkcje u, v mają w otoczeniu punktu (x0, y0) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i te pochodne są ciągłe w tym punkcie oraz spełniają warunki Cauchy’ego–Riemanna
∂u
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0),
∂u
∂y(x0, y0) = −∂v
∂x(x0, y0),
3 Funkcje harmoniczne
Równanie Laplace’a
Niech A ⊂ R2, A zbiór otwarty. Niech funkcja f : A → R. Poniższe wyrażenie nazywamy równaniem Laplace’a
∇2f = ∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2 = 0.
Funkcje spełniające powyższe równanie nazywamy funkcjami harmonicznymi.
Re f , Im f funkcji holomorficznej f są funkcjami harmonicznymi
Twierdzenie 4. Części rzeczywista oraz urojona funkcji holomorficznej są funkcjami harmonicznymi.
4 Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista
Pochodna funkcji f : R2→ R2
Niech f = (f1, f2) : A → R2, A ⊂ R2, A będzie zbiorem otwartym, x0, x0+ h ∈ A. Macierz D nazywa się pochodną liniową funkcji f , jeśli
lim
khk→0
kf (x0+ h) − f (x0) − Dh∗k
khk = 0.
Jeśli f ma pochodną, to
D =
∂f1 x1
(x0) ∂f1 x2
(x0)
∂f2 x1
(x0) ∂f2 x2
(x0)
Przypomnijmy:
khk =q
h21+ h22, h = (h1, h2) ∈ R2. Ponadto h∗ oznacza transpozycję wektora h.
Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista
Twierdzenie 5. Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0= x0+ iy0∈ A. Następujące warunki są równoważne
| f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z0
| f jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym (w sensie f : R2 ⊃ A → R2) oraz spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna
∂u
∂x(x0, y0) =∂v
∂y(x0, y0),
∂u
∂y(x0, y0) = −∂v
∂x(x0, y0).
Warunki Cauchy’ego–Riemanna – inne spojrzenie
Płaszczyzna zespolona jest izomorficzna ze zbiorem macierzy postaci
a b
−b a
a, b ∈ R
z działaniem dodawania i mnożenia macierzy.
Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0 = x0+ iy0 ∈ A. Jakobian odwzorowania f jest równy
∂u
∂x(x0, y0) ∂u
∂y(x0, y0)
∂v
∂x(x0, y0) ∂v
∂y(x0, y0)
Jeśli f jest holomorficzna w z0 = x0+ iy0, to spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna, więc jakobian jest równy
∂u
∂x(x0, y0) ∂u
∂y(x0, y0)
−∂u
∂y(x0, y0) ∂u
∂x(x0, y0)
Pochodna zespolona jako odwzorowanie C-liniowe
Odwzorowanie R-liniowe D : C → C dane za pomocą macierzya b c d
, a, b, c, d ∈ R jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy D(iz) = iD(z). Mnożenie przez i jest dane za pomocą macierzy 0 −1
1 0
(bo jest to obrót o kąt π2). Zatem D jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy
a b c d
0 −1
1 0
=0 −1
1 0
a b c d
wtedy i tylko wtedy, gdy a = d, b = −c, czyli
D = a b
−b a
.
Wniosek 1. Funkcja f jest holomorficzna w punkcie z0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym oraz R liniowe odwzorowanie Df (z0) jest C-liniowe.
5 Zadania na ćwiczenia
1. Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji:
| f (z) = z2,
| f (z) = Re(z)/z.
2. Zbadać, czy istnieje funkcja ciągła Γ : C → C taka, że Γ|C\{0}= f , gdzie
|
5. W jakich punktach płaszczyzny zespolonej różniczkowalna jest funkcja f (z) = eiz+ z2? 6. Udowodnić, że odwzorowanie liniowe przestrzeni R2 dane za pomocą macierzy
a b c d
jest C liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy a = d oraz b = −c.
