Pierścienie półniezmienników kołczanów

Pierścienie półniezmienników kołczanów

na podstawie referatu Jerzego Weymana (Boston) 14 maja 2002

Wszystkie rozważane kołczany będą skończone i bez zorientowanych cykli, zaś K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte.

Jeśli α jest wektorem wymiaru, to mamy rozmaitość Rep(Q, α) oraz grupę SL(α) = Q

x∈Q0SL(α(x)) działające na rozmaitości Rep(Q, α). Pier- ścień półniezmienników to SI(Q, α) = K[Rep(Q, α)]^SL(α). Możemy zapisać SI(Q, α) = L

σ∈(Z^Q0)^∗SI(Q, α)_σ.

Jeśli V i W są dwiema reprezentacjami kołczanu Q o wektorach wymiaru β i γ odpowiednio, to mamy odwzorowanie

d^V_W : M

x∈Q0

HomK(V (x), W (x)) → M

a∈Q1

HomK(V (ta), W (ha)),

dane wzorem d^V_W((f (x))) = (f (ha)V (a) − W (a)f (ta)). Wtedy Ker d^V_W = Hom_Q(V, W ), zaś Coker d^V_W = Ext¹_Q(V, W ). W szczególności otrzymujemy, że dim_KL

x∈Q0Hom_K(V (x), W (x)) = dim_KL

a∈Q1Hom_K(V (ta), W (ha)), wte- dy i tylko wtedy, gdy hβ, γi_Q= 0. W tej sytuacji przez c^V oznaczać będziemy funkcję Rep(Q, γ) → K, W 7→ det d^V_W. Funkcja c^V jest półniezmiennikiem wagi hβ, −i. Można pokazać, że SI(Q, γ)_σ = 0, jeśli σ nie jest postaci hβ, −i, oraz przestrzeń SI(Q, γ)hβ,−i jest generowana przez półniezmienniki postaci c^V, gdzie hβ, dim V i = 0.

Przypuśćmy, że β i α są dwoma wektorami wymiaru. Przez N (β, α) ozna- czać będziemy ilość podreprezentacji o wektorze wymiaru β w generycznej reprezentacji o wektorze wymiaru α. Można pokazać, że N (β, β + γ) = dim SI(Q, γ)hβ,−i, jeśli hβ, γi_Q = 0. Dowód powyższego faktu wykorzystu- je obserwację, że licząc wyrażenia po obu stronach równości korzystamy z reguły Littlewooda–Richardsona.

Niech R będzie zbiorem relacji w kołczanie Q. Rozmaitość Rep(Q/R, β) ma rozkład na składowe nieprzywiedlne S

jRep(Q/I, β)_j. Można badać pier- ścienie SI((Q/R, β)_j) = K[Rep_K(Q/R, β)_j]^SL(β). Będziemy też zakładać, że

1

charakterystyka ciała K jest równa 0, gdyż wtedy grupa SL(β) jest linio- wo reduktywna. Jeśli P₁ → P₀ → V → 0 jest minimalną prezentacją pro- jektywną reprezentacji V kołczanu (Q/R), to definiujemy c^V(W ) jako wy- znacznik odwzorowania Hom_Q/R(P₀, W ) → Hom_Q/R(P₁, W ), o ile wymia- ry tych przestrzeni są równe. Można pokazać, że jeśli V ∈ Rep(Q, β) i c^V| Rep(Q/R, β)_j 6= 0, to c^V = c^{V /IV}.

Składową Rep(Q/R, β)_j nazywamy wierną, jeśli nie są na niej spełnio- ne relacje spoza R. Jeśli składowa Rep(Q/R, β)_j jest wierna, to przestrzeń SI((Q/R, β)_j) jest generowana przez półniezmienniki c^V takie, że wymiar projektywny V jest nie większy niż 1 oraz hβ, dim V i_Q/R= 0.

Można pokazać, że twierdzenie o saturacji nie jest prawdziwe dla kołcza- nów z relacjami. Niech Q będzie kołczanem

x

a1

a2 //

a3

==y

b1

b2 //

b3

>>z

ograniczonym przez relacje R = {bsas, bsat+ btas} oraz β = (1, 3, 3). Istnieje jedyna składowa Rep(Q/R, β)₁, dla której det(W⁰(a₁), W⁰(a₂), W⁰(a₃)) 6= 0.

Można udowodnić, że SI(Q/R, β)₁)_σ = 0, ale SI((Q/R, β)₁)_2σ 6= 0, gdzie σ = (0, 1, −1).

2