Zbiór zer półniezmienników dla kołczanów

Zbiór zer półniezmienników dla kołczanów

na podstawie referatu Grzegorza Zwary 14 stycznia 2003

Niech G będzie grupą algebraiczną nad ciałem liczb zespolonych, np.

G = GL_n(C). Przypomnijmy, że reprezentacja grupy G w przestrzeni li- niowej V , to homomorfizm grup algebraicznych G → Aut_CV . Wiadomo, że Aut_CC = C^∗. Reprezentacje postaci G → C^∗ nazywamy charakterami gru- py G. Przez X(G) będziemy oznaczać grupę charakterów grupy G. Funkcję f ∈ C[V ] będziemy nazywać półniezmiennikiem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje charakter χ ∈ X(G) taki, że f (gv) = χ(g)f (v). Charakter χ nazy- wamy wagą półniezmiennika f . Przez SI(V )_χ będziemy oznaczać podprze- strzeń liniową w C[V ] złożoną z półniezmienników o charakterze χ. Zbiór SI(V ) = L

χ∈X(G)SI(V )_χ jest pierścieniem, który nazywamy pierścieniem półniezmienników.

Niech d = (d1, . . . , dn) ∈ Nⁿoraz GL(d) = GL(d1) × · · · × GL(dn). Wtedy X(GL(d)) = {χ : GL(d) → C^∗ | χ(g₁, . . . , g_n) = (det g₁)^α1· · · (det g_n)^αn, α₁, . . . , α_n ∈ Z} ' Zⁿ. Ponadto dla dowolnego GL(d)-modułu V mamy SI(V ) = C[V ]^SL(d), gdzie SL(d) = SL(d1) × · · · × SL(dn).

Załóżmy, że G-moduł V jest prejednorodny, tzn. w V istnieje otwarta G- orbita Gv₀. W tej sytuacji G \ (Gv₀) = Z₁∪ · · · ∪ Z_r∪ Z_r+1∪ · · · ∪ Z_s, gdzie Z_i, i = 1, . . . , s, są nieprzywiedlnymi składowymi, przy czym codimV Zi = 1, i = 1, . . . , r, oraz codim_V Z_i > 1, i = r + 1, . . . , s. Istnieją jedyne z dokładnością do skalara wielomiany nierozkładalne f₁, . . . , f_r ∈ C[V ] takie, że Zi = Z(f_i).

Sato i Kimura udowodnili, że w powyższej sytuacji SI(V ) = C[f¹, . . . , fr] oraz wielomiany f₁, . . . , f_r są algebraicznie niezależne.

Przez Z_V będziemy oznaczać zbiór wspólnych zer wszystkich półniezmien- ników, które nie są funkcjami stałymi. Innymi słowy ZV = Z(f1, . . . , fr).

Wiemy, że codim_V Z_V ≤ r. Interesującym problemem jest pytanie, kiedy codim_V Z_V = r. Motywacją dla studiowania tego problemu jest badanie G- modułowej struktury pierścienia C[V ], gdy G jest grupą reduktywną. Wia- domo bowiem, że w takiej sytuacji C[V ] =L

λ(M_λ⊗ V_λ), gdzie M_λ jest nie- przywiedlnym G-modułem, zaś V_λjest SI(V )-modułem. Gdy codim_V Z_V = r, to moduły Vλ są wolne.

1

Niech d = (d₁, d₂) oraz V = Md1×d2(C). Definiujemy działanie grupy GL(d) na przestrzeni V wzorem (g₁, g₂)m = g₁mg⁻¹₂ . Innymi słowy V = C^d1 ⊗ (C^d2)^∗. Okazuje się, że moduł V jest prejednorodny, gdyż macierze maksymalnego rzędu tworzą orbitę otwartą. Gdy d₁ 6= d₂, to SI(V ) = C, zaś gdy d₁ = d₂, to SI(V ) = C[det]. Wtedy ZV = Z(det) oraz codim_V Z_V = 1.

Można dostrzec, że V = rep(Q, d), gdzie Q = · ^//·.

Niech Q będzie skończonym kołczanem. Przez rep(Q, d) rozumiemy prze- strzeńL

α∈Q1Mdtα×dsα(C). Grupa GL(d) działa na rep(Q, d) zgodnie ze wzo- rem

(g_i)_i∈Q0(m_α)_α∈Q1 = (g_tαm_αg_sα⁻¹)_α∈Q1.

Jeśli T ∈ rep(Q, d), to dim rep(Q, d) − dim GL(d)T = dim_CExt¹_Q(T, T ). W szczególności moduł rep(Q, d) jest prejednorodny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reprezentacja T ∈ rep(Q, d) taka, że Ext¹_Q(T, T ) = 0. Wiadomo, że gdy moduł rep(Q, d) jest prejednorodny, to kołczan Q nie zawiera zorien- towanych cykli. Z drugiej strony, gdy Q jest kołczanem Dynkina, to moduł rep(Q, d) jest prejednorodny dla dowolnego wektora wymiaru d.

Od tego momentu będziemy zakładać, że moduł rep(Q, d) jest prejedno- rodny, a więc istnieje reprezentacja T ∈ rep(Q, d) taka, że Ext¹_Q(T, T ) = 0.

Wiemy, że T = Lr

i=1T_i^αi, gdzie reprezentacje T_i są nierozkładalne, parami nieizomorficzne, oraz α_i > 0. Definiujemy T^⊥ = {Y ∈ rep Q | Hom_Q(T, Y ) = 0, Ext¹_Q(T, Y ) = 0}. W naszej sytuacji kategoria T^⊥ jest równoważna ka- tegorii rep(Q⁰) dla pewnego kołczanu Q⁰ takiego, że |Q⁰₀| = n − r, gdzie n = |Q₀|. Niech S₁, . . . , S_n−r będą prostymi obiektami w T^⊥. Schoefield pokazał, że nieprzywiedlne składowe kowymiaru 1 w rep(Q, d) \ GL(d)T są postaci {X ∈ rep(Q, d) | Hom_Q(X, S_i) 6= 0}, i = 1, . . . , n − r. Stąd Z_rep(Q,d) = {X ∈ rep(Q, d) | Hom_Q(X, S_i) 6= 0, i = 1, . . . , n − r}.

Niech Q będzie kołczanem

·

·



·

· oraz d = ^{1 1 1}₂ . Jeśli

T = C

[¹₀] C

[¹₁]



C [⁰₁]

~~

C²

,

to Ext¹_Q(T, T ) = 0. Okazuje, że V1

h1

V2 h2



V3 h3

~~V₄

∈ T^⊥

2

wtedy i tylko wtedy, gdy [h₁|h₂|h₃] jest izomorfizmem. Zatem obiekty proste w T^⊥ to

S₁ = C

1 

0



0 C

, S₂ = 0

C

1

0 C

, S₃ = 0

0



C

 1

C

.

Stąd Z_rep(Q,d)

= (V₁

m1

V₂

m2 

V₃

m3

~~V₄

det[m₂|m₃] = 0, det[m₁|m₃] = 0, det[m₁|m₂] = 0 )

= (V₁

m1

V₂

m2 

V₃

m3

~~

V₄

rk[m1|m2|m3] ≤ 1 )

.

Otrzymujemy więc, że dim rep(Q, d) − dim Z_rep(Q,d) = 2 < 3. Jeśli natomiast d = ^{2 2 2}₄ = 2(^{1 1 1}₂ ), to dim rep(Q, d) − dim Z_rep(Q,d) = 3.

Rozważmy T₁, . . . , T_r ∈ rep Q takie, że Ext¹_Q(T_i, T_j) = 0, i, j = 1, . . . , r.

Wtedy Ext¹_Q(T, T ) = 0 dla każdej reprezentacji T postaci Lr

i=1T_i^λi, więc moduł rep(Q, d) jest prejednorodny dla d = dim T =Pr

i=1λ_idim T_i. Riedt- mann i Zwara pokazali, że istnieje liczba naturalna N = N (T₁, . . . , T_r) taka, że dim rep(Q, d) − dim Z_rep(Q,d) = n − r, jeśli λ₁, . . . , λ_r ≥ N .

Okazuje się ponadto, że można przyjąć

N =







1 Q jest typu An lub ˜Aⁿ, 2 Q jest typu Dynkina, 3 Q jest typu Euklidesa.

3