GRUPY ALGEBRAICZNE, Lista 6 (funkcje addytywne) K jest ciałem algebraicznie domkniętym, σ jest automorfimem K. Niech K[X

GRUPY ALGEBRAICZNE, Lista 6 (funkcje addytywne)

K jest ciałem algebraicznie domkniętym, σ jest automorfimem K. Niech K[X

] będzie pierścieniem, którego uniwersum jest K[X], dodawanie jest dodawaniem wielomianów i

(

i

a

X

) · (

j

a

X

) :=

i,j

a

(σ

(b

))X

.

1. Udowodnić, że każdy lewy ideał w K[X

] jest główny i każdy prawy ideał w K[X

] jest główny.

2. Niech M będzie skończenie generowanym lewym K[X

]-modułem.

Udowodnić, że:

(a) M jest sumą prostą modułów cyklicznych.

(b) Jeśli M jest beztorsyjny, to M jest wolny.

3. Niech G, H będą afinicznymi grupami algebraicznymi i Hom(G, H) oznacza zbiór homorfizmów grup algebraicznych pomiędzy G i H. Za- łóżmy, że char(K) = p > 0. Opisać strukturę lewego K[X

]-modułu na Hom(G, G

) zadaną przez działanie składania Hom(G

, G

) na Hom(G, G

) (Fr to automorfizm Frobeniusa Fr(x) = x

).

4. Niech G i K będą jak w zadaniu 3. Udowodnić, że:

(a) Jeśli G jest spójna, to Hom(G, G

) jest lewym K[X

]-modułem, który jest beztorsyjny.

(b) Jeśli f

, . . . , f

∈ Hom(G, G

) są liniowo niezależne nad K[X

], to są algebraicznie niezależne nad K (w K[G]).

(c) Udowodnić, że dla każdych f

, . . . , f

∈ Hom(G, G

) istnieją g

, . . . , g

∈ Hom(G, G

) takie, że K[f

, . . . , f

] = K[g

, . . . , g

] i g

, . . . , g

są algebraicznie niezależne nad K.

(d) Załóżmy, że istnieją f

, . . . , f

∈ Hom(G, G

) takie, że

K[G] = K[f

, . . . , f

]. Udowodnić, że G jest grupą wektorową.

1