• Nie Znaleziono Wyników

K jest ciałem algebraicznie domkniętym, n ∈ N >0 . 1. Udowodnić, że:

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "K jest ciałem algebraicznie domkniętym, n ∈ N >0 . 1. Udowodnić, że:"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

GRUPY ALGEBRAICZNE, Lista 2

K jest ciałem algebraicznie domkniętym, n ∈ N >0 . 1. Udowodnić, że:

• D n (K) 0 = D n (K),

• GL n (K) 0 = GL n (K),

• SL n (K) 0 = SL n (K),

• T n (K) 0 = T n (K),

• UT n (K) 0 = UT n (K),

• O n (K) 0 = SO n (K), gdzie O n (K) := {A ∈ GL n (K) : A T A = I}

(A T to macierz transponowana), SO n (K) := O n (K) ∩ SL n (K).

2. Mnożenie w ciele K jest też algebraicznym działaniem G m (K) na G a (K) poprzez automorfizmy grup algebraicznych. Udowodnić, że:

• G a (K) o G m (K) jest afiniczną grupą algebraiczną.

• G a (K) o G m (K) jest rozwiązalna.

• G a (K) o G m (K) nie jest nilpotentna.

• Znaleźć izomorfizm G a (K)oG m (K) z liniową grupą algebraiczną.

• Udowodnić, że G a (K) o G m (K) jest izomorficzna z grupą ele- mentów odwracalnych pierścienia (K[X], +, ◦), gdzie ◦ jest dzia- łaniem składania wielomianów.

3. Załóżmy, że char(K) = p > 0. Udowodnić, że A ∈ GL n (K) jest unipo- tentna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje r ∈ N taki, że A p

r

= I.

4. Znaleźć addytywny rozkład Jordana

"

1 1 1 1

# .

5. Niech X, Y, Z będą afinicznymi rozmaitościami algebraicznymi. Załóż- my, że morfizm f : X → Z jest dominujący oraz X i Y są nierozkła- dalne. Dowieść, że X × Y oraz Z są nierozkładalne.

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 80.79 KB )

Powiązane dokumenty

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych k ¬ n prawdziwa jest równość n k  1 kn = 1 k

Pokaż też, że powyższe twierdzenie nie działa w drugą stronę, to znaczy znajdź ciąg {a n } który nie jest zbieżny, chociaż {|a n |}

Udowodnić zbieżność szeregu ∞ X n=1 (−1)n· n · (n + 1

164. Wśród poniższych sześciu szeregów wskaż szereg zbieżny, a następnie udowodnij jego zbieżność.. musi być rozbieżny). N - może być zbieżny lub

Udowodnić, że n Y i=1 ai+ n Y i=1 bi ¬ n Y i=1 ci+ n Y i=1 di

Rozwiązania zadań należy starannie uzasadniać i wpisać do zeszytu zadań domowych.. Proszę wybrać

Udowodnij, że n X k=1 (2k − 1

Wpisz w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by jego dwa sąsiednie wierzchołki należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i

Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej n zachodzi równość: n X k=1 k(k − 1) n k

Udowodnij, że istnieją wśród nich trzy, tworzące trójkąt (być może zdegenerowany) o obwodzie nie większym niż

Udowodnić, że dla n &gt

grupa młodsza piatek, 26 września

2. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewnym σ-ciałem podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli test tej osoby dał wynik

Fakt 1. Niech (x n ) n∈N i (y n ) n∈N będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że

Umieszczenie przysłówka „bezwzględnie” w nawiasie oznacza, że wszystkie lub prawie wszystkie wyrazy szeregu mają ten sam znak i zbieżność bezwzględna jest