Sáowa kluczowe: równanie Fouriera, materiaáy typu FGM, uĞrednianie tolerancyjne
13
0
0
Pełen tekst
(2) 4. V. Bagdasaryan, W. Nagórko. OĝRODEK WIELOSKàADNIKOWY TYPU FGM Kon¿guracją oĞrodka bĊdzie obszar R3, = (0, L1) × (0, L2) × (0, L3). BĊdziemy rozwaĪaü materiaáy záoĪone z poáączonych skáadników bĊdących prostopadáoĞcianami o wymiarach lk, k = 1, 2, 3. Wymiary lk są ustalone, czyli lk, k = 1, 2, 3 są liczbami oraz L1 = n1l1, L2 = n2l2, L3 = n3l3, gdzie nk, k = 1, 2, 3 są liczbami naturalnymi takimi, Īe lk << Lk, k = 1, 2, 3. Oznacza to, Īe prostopadáoĞcianów w rozpatrywanym oĞrodku jest duĪo, N (rys. 1a). QN SRMHG\QF]DNRPyUND DVLQJOHFHOO. . . . . . . . . /. /. . . /. . . . . . . Rys. 1. Fig. 1.. Kon¿guracja przewodnika: a – schemat caáego przewodnika, b – pojedyncza komórka Conductor’s con¿guration: a – whole conductor’s diagram, b – a single cell. BĊdziemy rozwaĪaü takĪe oĞrodki záoĪone z poáączonych belek o wymiarach przekroju lĮ, Į = 1, 2 i dáugoĞci L3 bądĨ poáączonych warstw o gruboĞci l1 i pozostaáych wymiarach L2, L3 (rys. 1b). L L L Oznaczmy Ğrodki prostopadáoĞcianów o wymiarach lk, przez [ [ [
(3) , i = 1, 2, ..., n1 · n2 · n3. Wtedy kaĪdy z tych prostopadáoĞcianów moĪna zapisaü jako zbiór: 'i R3 , 'i. ( x1i . l l l1 i l1 l l , x1 ) u ( x2i 2 , x2i 2 ) u ( x3i 3 , x3i 3 ) 2 2 2 2 2 2. (1). Dla oĞrodka záoĪonego z belek elementem powtarzającym siĊ jest prostokąt, który moĪna zapisaü: 3i R2 , 3i. ( x1i . l1 i l1 l l , x1 ) u ( x2i 2 , x2i 2 ) 2 2 2 2. (2). L L gdzie: [ [
(4) L Q Q są jego Ğrodkami.. Acta Sci. Pol..
(5) Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego.... 5. L Z kolei dla laminatu powtarzającym siĊ elementem jest odcinek o Ğrodku [ w postaci:. / L 5 / L. [L . O L O [
(6) . (3). gdzie i = 1, 2, ..., n1. ZaáóĪmy dalej, Īe kaĪdy z obszarów ' L 3 L / L moĪna podzieliü na skáadniki páaszczyznami równolegáymi do odpowiednich osi wspóárzĊdnych oraz przechodzącymi przez punkty podziaáu krawĊdzi elementów ' L 3 L lub / L tak, Īe punkty te de¿niują odcinki o dáugoĞci OD OE OF D DR E ER F FR . Zachodzi wtedy:. O. DR. ¦ OD . ER. ¦ OE . O. D . E . O. FR. ¦ OF. (4). F . ProstopadáoĞciany o wymiarach l1a, l2b, l3c, prostokąty l1a, l2b i odcinki o dáugoĞci l1a oznaczymy odpowiednio przez: ' DEF 3 DE / D JeĪeli wymiary obszarów ' DEF 3 DE / D są takie same w kaĪdym obszarze, to mamy do czynienia z oĞrodkiem periodycznym. Elementem reprezentatywnym albo komórką periodycznoĞci jest wtedy ' O
(7) u O
(8) u O
(9) lub analogicznie 3 O
(10) u O
(11) i / O
(12) – rysunek 1b. Dla oĞrodków periodycznych moĪna zde¿niowaü komórkĊ periodycznoĞci w punkcie l l l l [ [ [
(13) : takim, Īe ( x1 1 , x1 1 ) (0, L1 ), ( x2 2 , x2 2 ) (0, L2 ), 2 2 2 2 O O [ [
(14) /
(15) w postaci: ' [ [ [
(16) 3 [ [
(17). / [
(18). [ . [ . [ . O O O O O O [
(19) u [ [
(20) u [ [
(21) . O O O O [
(22) u [ [
(23) . O O [
(24) . W pracy rozwaĪaü bĊdziemy oĞrodki nieperiodyczne, czyli takie, dla których liczby l1a, l2a, l3a mogą byü róĪne w róĪnych elementach ' L 3 L / L , speániające jednak warunki (4). O skáadnikach ' DEF 3 DE / D zaáoĪymy, Īe są jednorodne. Oznacza to, Īe wáasnoĞci materiaáowe oĞrodka: gĊstoĞü masy (ȡ), ciepáo wáaĞciwe (c), skáadowe tensora prze-. Architectura 12 (3) 2013.
(25) 6. V. Bagdasaryan, W. Nagórko. wodnictwa cieplnego . mamy:. U [ [ [
(26) _ F [ [ [
(27) _. . NO
(28) N O są w ' DEF 3 DE / D staáe. I tak dla 'abc. [ [ [
(29) ' DEF. [ [ [
(30) ' DEF. . NO [ [ [
(31) _. { U DEF { FDEF. [ [ [
(32) ' DEF. (5). { . NODEF. Podobnie jest dla 3 DE L/ D JeĪeli istnieją co najmniej dwa elementy ' DEF ' D E F dla których zachodzi przynajmniej jeden z warunków U DEF z U D E F FDEF z FD E F . DEF z . D E F , analogicznie dla 3 DE 3 D E . U DE z U D E FDE z FD E . DE z . D E oraz dla / D / D . U D z U D FD z FD . D z . D to taki oĞrodek nazwiemy wieloskáadnikowym. L Oznaczmy przez K DEF nasycenie skáadnikiem ' DEF komórki ' L :. L K DEF. {. ' LDEF. (6). OOO. gdzie ' LDEF jest objĊtoĞcią skáadnika 'abc w prostopadáoĞcianie 'i. OczywiĞcie dla kaĪdego i = 1, 2, ..., n1 · n2 · n3 zachodzi równoĞü: DR ER FR. L ¦ ¦¦K DEF. . (7). D E F . L Podobnie de¿niujemy K DE oraz K DL . Na niejednorodnoĞü oĞrodka narzucimy ograniczenia w postaci zaáoĪenia, Īe funkcje L L L K DEF K DE K DL okreĞlone na dyskretnym zbiorze punktów [ L [ L [ L
(33) [ L [ L
(34) , lub [, . . . . . mają ciągáe i róĪniczkowalne ekstrapolacje do funkcji okreĞlonych w caáym obszarze . Oznaczymy je przez ij. Tak wiĊc:. M DEF [ [ [
(35) _ M DE [ [
(36) _ M D [
(37) _. [ [L. [ [ [
(38) [L [L [L
(39). [ [
(40) [L [L
(41). L { K DE. L { K DEF. (8). { K DL. OĞrodki opisane relacjami (1) – (8) nazywaü bĊdziemy oĞrodkami wieloskáadnikowymi o funkcyjnej gradacji wáasnoĞci materiaáowych. Acta Sci. Pol..
(42) Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego.... 7. Tak zde¿niowane oĞrodki powinny takĪe speániaü dodatkowe warunki narzucone na strukturĊ niejednorodnoĞci w komórce, czyli wzajemne rozmieszczenie skáadników w komórce [Jikov i in. 1994]. OĝRODKI DWUSKàADNIKOWE. . Jednym z najprostszych przykáadów ciaá wieloskáadnikowych są kompozyty dwuskáadnikowe. Rozpatrzmy przypadek ciaáa, w którym element ' záoĪony jest z oĞmiu prostopadáoĞcianów jednorodnych, po cztery dla obu materiaáów, naprzemiennie rozáoĪonych. Skáadniki te mają wymiary: OD O E OJ D E J (rys. 2). Rozpatrzmy równieĪ ciaáo, w którym element záoĪony jest z czterech czĊĞci ab, a, b = 1, 2 o wymiarach OD O E D E (rys. 3).. . . . . . . . . . Rys. 2. Fig. 2.. . . Schemat pojedynczej komórki – 3D A single cell diagram – 3D. Rys. 3. Fig. 3.. . Schemat pojedynczej komórki – 2D A single cell diagram – 2D. JeĪeli zaáoĪymy, Īe elementy ab są zbudowane z dwu róĪnych materiaáów, to mamy do czynienia z oĞrodkiem dwuskáadnikowym typu szachownica (rys. 4a), zbrojonym (rys. 4b) lub laminatem (rys. 4c).. D. Rys. 4. Fig. 4.. E. F. Przykáady rozkáadu materiaáów w komórce: a – przewodnik typu szachownica, b – przewodnik zbrojony, c – laminat Examples of material distribution in a cell: a – chess-type conductor, b – reinforced conductor, c – laminate. Architectura 12 (3) 2013.
(43) 8. V. Bagdasaryan, W. Nagórko. W przypadku a) i b) mamy do czynienia z niejednorodnoĞcią w dwu kierunkach, w przypadku zaĞ c) – z niejednorodnoĞcią w jednym kierunku [Nagórko 2010]. PRZEWODZENIE CIEPàA W OĝRODKACH WIELOSKàADNIKOWYCH TemperaturĊ zde¿niujemy jako funkcjĊ skalarną miejsca w przewodniku oraz czasu ș = ș (x1, x2, x3, t), (x1, x2, x3) : t < to, t1 >, co zapiszemy w postaci T : u WR W ! o 5 Model Fouriera przewodnictwa cieplnego opisany jest relacją pomiĊdzy strumieniem ciepáa o skáadowych TN TN [ [ [ W
(44) a gradientem temperatury ș,k, k = 1, 2, 3 postaci: TN. . NOT O. (9). gdzie: Kkl są skáadowymi tensora przewodnictwa cieplnego, a T O {. wT . Skáadowe Kkl są w[O. w ogólnym przypadku funkcjami: . NO : o 5 N O . Kolejną relacją w modelu Fouriera jest równanie bilansu energii postaci: TN N FT. I. (10). gdzie c = c(x1, x2, x3), (x1, x2, x3) : jest ciepáem wáaĞciwym, a f = f(x1, x2, x3, t), t < to, t1 > – wydajnoĞcią Ĩródeá ciepáa. Ciepáo wáaĞciwe jest wielkoĞcią skalarną okreĞloną w obszarze :; (c: : ĺ R). WydajnoĞü Ĩródáa ciepáa równieĪ jest wielkoĞcią skalarną, ale okreĞloną w obszarze : oraz w zadanym przedziale czasowym I : u WR W ! o 5
(45) . Podstawiając zaleĪnoĞü (9) do (10), otrzymamy równanie przewodnictwa cieplnego w postaci: FT . NOT O
(46) N. I. (11). Równanie przewodnictwa ciepáa (11) jest równaniem róĪniczkowym liniowym o zmieniających siĊ skokowo wspóáczynnikach. Dla takiego przypadku moĪna zbudowaü model prostszy, w którym wspóáczynniki bĊdą ciągáe i wolnozmienne. Model prostszy otrzymamy, stosując technikĊ uĞredniania tolerancyjnego [WoĨniak i Wierzbicki 2000, WoĨniak i in., red. 2008]. Zgodnie z tą techniką zakáadamy mikro-makro dekompozycjĊ pola temperatury T [ [ [ W
(47) , która w przypadku oĞrodka o elementach ǻ przyjmie postaü:. T [ [ [ W
(48) - [ [ [ W
(49) K $ [ [ [
(50) \ $ [ [ [ W
(51). (12). gdzie: A = 1, 2, ..., M, a, funkcje - \ $ są funkcjami wolnozmiennymi, co zapisujemy - \ $ 69H '
(52) . Funkcje hA, wystĊpujące w związku (12), są danymi, ǻ-periodycznymi, oscylującymi funkcjami ksztaátu. Funkcjami poszukiwanymi są - oraz \ $ . FunkcjĊ naleĪy interpretowaü jako temperaturĊ uĞrednioną, a funkcje \ $ , nazywane Àuktuacjami, uwzglĊdniają wpáyw niejednorodnoĞci przewodnika na rozkáad temperatury. Acta Sci. Pol..
(53) Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego.... 9. Zapiszmy teraz równanie (11) w postaci: ª w3 º w3 w3 « » T W w wT wT.
(54) » N N ¼ ¬«. (13). . gdzie W FT . NOT N T O
(55) I T . 3. (14). oraz IJ są parametrami. Równania na - i \ $ w technice uĞredniania tolerancyjnego otrzymuje siĊ w postaci: ªw 3 !º w 3! w 3! « » w«¬ w - N
(56) »¼ N W w-. ª « w 3! «w \ $ N «¬.
(57). º » w 3!w 3! » W w\ $ w\ $ »¼ N. (15)1. . . (15)2. gdzie <P> jest funkcjonaáem otrzymanym z funkcjonaáu (14) przez podstawienie dekompozycji (12) oraz uĞrednienie: 3 !{. '. ³ 3G[G[ G[. (16). '. W przypadku materiaáów o strukturze z elementami lub ȁ postĊpujemy analogicznie, przyjmując w związku (12) funkcje ksztaátu zaleĪne odpowiednio od (x1, x2) lub x1. LAMINATY DWUSKàADNIKOWE O FUNKCYJNEJ GRADACJI WàASNOĝCI Rozpatrzmy, za Nagórko [2010], przewodnik záoĪony z dwóch róĪnych materiaáów jednorodnych. WprowadĨmy ukáad wspóárzĊdnych tak, by oĞ x1 = x byáa prostopadáa do lamin. Przyjmijmy L1 = L oraz Ȝ1 = Ȝ. Materiaáy rozmieszczone są naprzemiennie. Jeden z nich bĊdzie opisany staáymi . F U , a drugi .. F. U. . Oznaczmy Ğrodek komórki Li, i = 1, 2, ..., n1 jako: [L. L
(58) O . O . gdzie i = 1, 2, ..., n1. Architectura 12 (3) 2013. (17).
(59) 10. V. Bagdasaryan, W. Nagórko. ZaáóĪmy, Īe zmiennoĞü warstw w poszczególnych komórkach nie bĊdzie dowolna, ale opisana nastĊpującymi funkcjami nasycenia:. M [ L
(60). L Q. M [L
(61). Q L Q. (18). Funkcje (18) są funkcjami dyskretnymi – zostaáy okreĞlone w Ğrodkach komórek. Funkcja ij1 okreĞla, ile jest w komórce materiaáu pierwszego, a funkcja ij2 – ile drugiego. Q I tak w komórce pierwszej materiaá pierwszy zajmuje , a drugi dáugoĞci komórki, Q Q Q a w ostatniej odwrotnie – pierwszy , a drugi dáugoĞci komórki. Przy takim opisie Q Q dáugoĞci poszczególnych lamin wynoszą O. D
(62). Q. oraz O. O. O. Q. (rys. 5).. E
(63). Q. Rys. 5. Fig. 5.. O. Q. Q. Q. Schemat rozkáadu materiaáów w komórce: a – pierwszej, b – ostatniej Diagram of material’s distribution in a cell: a – the ¿rst one, b – the last one. Taki rozkáad materiaáów pozwala na liniową ekstrapolacjĊ funkcji (18) do funkcji:. M [
(64). Q [ Q Q/. M [
(65). Q Q [ Q Q /. (19). Wykresy tych funkcji przedstawiono na rysunku 6. Rozpatrzmy i-tą komórkĊ / L L Q , która jest przedziaáem ograniczonym punktami [L L
(66) O L[L LO . Zgodnie z zasadą mikro-makro dekompozycji (12) temperaturĊ (ș) przedstawimy w postaci:. T [
(67) - [
(68) K [
(69) \ [
(70). (20). gdzie: W t L-
(71) 69G /
(72)
(73) + /
(74)
(75) \
(76) 69G /
(77)
(78) + R /
(79)
(80) .. Acta Sci. Pol..
(81) Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego.... 11. Q . . Q. / Rys. 6. Fig. 6.. Wykresy ekstrapolacji funkcji nasycenia Extrapolation of saturation functions. Dla tak opisanego laminatu zastosujemy lokalnie technikĊ uĞredniania tolerancyjnego. ZaáóĪmy, Īe komórek jest tyle, iĪ sąsiednie komórki niewiele siĊ róĪnią z punktu widzenia nasycenia materiaáami – moĪna je uznaü za takie same. MoĪemy wiĊc wyliczyü dla nich wartoĞci uĞrednione ciepáa wáaĞciwego (c) i wspóáczynnika przewodnoĞci cieplnej (K). Ciepáo wáaĞciwe i wspóáczynnik przewodnoĞci cieplnej w i-tej komórce opisują funkcje:. F [
(82). °°F. ® °F. °¯. . [
(83). °° .. ® ° .. °¯. L [ [L [L O
(84) Q L Q L O
(85) [ [L O [L Q Q L [ [L [L O
(86) Q L QL O
(87) [ [L O [L Q Q. (21). L gdzie [ / .. PowyĪsze funkcje po uĞrednieniu przyjmą postaü: F [
(88) . [
(89). F M [
(90) F. M [
(91) . M [
(92) .. M [
(93). (22). Przyjmijmy funkcjĊ ksztaátu (lokalnie dla komórki Li) w postaci funkcji przedziaáami liniowej, z tym Īe te przedziaáy okreĞlonoĞci bĊdą siĊ zmieniaü zgodnie z przyjĊtymi funkcjami nasycenia (19).. Architectura 12 (3) 2013.
(94) 12. V. Bagdasaryan, W. Nagórko. I tak dla [ / L L Q przyjmiemy: ° O O2 ° x i ° i O O 2( O O ) °n n ° ° O ®i x ° O °n ° O2 ° O x i °i 2( O O ) °¯ n O O n. h( x ). dla x . dla x . dla x . O 2. ,. 1i O! 2n. 1i 1i O, O! 2n 2n. (23). 1i O O, ! 2n 2. Wykorzystując zapis (23), otrzymano: . wK [
(95). . wK
(96) [
(97). . c . cc. . cM [
(98) . ccM [
(99) M [
(100) M [
(101). Podstawiając zaleĪnoĞü (20) oraz wyliczone wielkoĞci do uĞrednionego funkcjonaáu (14), równanie (15)2 moĪna zapisaü w postaci:. \. . MM . c . cc
(102) w. cM . ccM. (24). a równanie (15)1 po podstawieniu zaleĪnoĞci (23) przyjmie postaü: F ! - w . HII ! w-
(103) . ! -. . (25). gdzie: . HII. . M. .c. . M. . cc. . c. cc . ccM . cM . W równaniu (25) www { w { w[ w[. wprowadzono. (26). oznaczenia. -. w - w -
(104) . . oraz. WielkoĞü (26) nazywamy wspóáczynnikiem efektywnym przewodnictwa cieplnego. WystĊpujące w równaniu (26) uĞrednione wspóáczynniki nie są staáe, lecz wolnozmienne. PRZYKàAD ROZWIĄZANIA ZAMKNIĉTEGO Jako przykáad rozpatrzymy jednowymiarowe, stacjonarne zagadnienie przewodzenia ciepáa, bez Ĩródeá ciepáa. ZaáóĪmy, Īe brzeg przewodnika x = 0 jest poddany temperaActa Sci. Pol..
(105) Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego.... 13. turze 0°, a temperatura otoczenia wynosi 18°. Przewodnikiem bĊdzie laminat opisany w punkcie 4. Równanie przewodzenia ciepáa dla tak sformuáowanego problemu ma postaü: w . HII ! w-
(106). . (27). z warunkiem - (0) 0q . Poszukiwaną funkcjĊ temperatury uĞrednionej otrzymamy poprzez dwukrotne caákowanie równania (27):. -. & ª . cc . c . cc . c
(107) Q
(108) º . c[ [ [ » & « c cc .. ¬ Q Q/ ¼. (28). Staáe C1 i C2 wyznaczamy z warunków brzegowych - (0) 0q i - ( L) 18q , stąd . .. C2 = 0 i & . .. .
(109) Q
(110) .. .. . / / / Q Q W celu zilustrowania tego rozwiązania numerycznie zaáoĪono, Īe dáugoĞü przewodnika wynosi L = 120 cm, a komórki skáadają siĊ z warstw styropianu . : P .
(111) oraz betonu komórkowego .. : P .
(112) .. T . . . . Rys. 7. Fig. 7.. . . . . . . [. Rozkáad makrotemperatury w przewodniku dla róĪnej liczby komórek Distribution of macrotemperature in the conductor for a different number of cells. Na rysunku 7 przedstawiono rozkáad temperatury (ș) w przewodniku dla n = 10, n = 21, n = 50, gdzie jest liczbą komórek w przewodniku. W przypadku gdy laminat jest periodyczny, równanie (27) ma postaü: w -. . Architectura 12 (3) 2013. (29).
(113) 14. V. Bagdasaryan, W. Nagórko. którego rozwiązaniem jest funkcja liniowa:. -. & [ &. gdzie: C1. (30). 3q , C2 20 cm. 0.. Na rysunku 8 przedstawiono rozkáad temperatury (ș) w przewodniku periodycznym o dáugoĞci 120 cm, záoĪonym z 20 komórek, dla x1 <0, 18>.. T . [ . Rys. 8. Fig. 8.. . . . . . . Rozkáad makrotemperatury w przewodniku periodycznym Distribution of macrotmperature in the periodic conductor. Wykres makrotemperatury dla laminatu dwuskáadnikowego o zmieniających siĊ funkcyjnie wáasnoĞciach termicznych (rys. 7) nie jest liniowy i zaleĪy od parametru. WystĊpuje wiĊc tutaj efekt skali. W przypadku oĞrodka periodycznego temperatura uĞredniona jest liniowa, a makrotemperatura zaleĪy od struktury niejednorodnoĞci przewodnika (rys. 8). PODSUMOWANIE W klasycznym modelu przewodzenia ciepáa opisanym równaniem Fouriera na maáych przedziaáach okreĞlonoĞci funkcji dla rozwaĪanych przewodników wystĊpują wspóáczynniki nieciągáe, skokowo zmienne. Przedstawiony model, opisany równaniem na uĞrednioną temperaturĊ, ma wspóáczynniki ciągáe i wolnozmienne. Po wyznaczeniu temperatury uĞrednionej áatwo znajduje siĊ (przez dwukrotne róĪniczkowanie) funkcje opisujące wpáyw struktury niejednorodnej na temperaturĊ caákowitą. Skonstruowany model wydaje siĊ byü wygodnym narzĊdziem do badania przewodnictwa ciepáa w materiaáach wieloskáadnikowych.. Acta Sci. Pol..
(114) Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego.... 15. PIĝMIENNICTWO Jikov V.V., Kozlov C.M., Oleinik O.A., 1994. Homogenization of differential operators and integral functionals. Springer Verlag, Berlin – Heidelberg. Nagórko W., 2010. Przewodnictwo cieplne w oĞrodku o funkcyjnej gradacji wáasnoĞci termicznych. XLIX Sympozjum „Modelowanie w mechanice”, Wisáa. WoĨniak C., Wierzbicki E., 2000. Averaging techniques in thermomechanics of composite solids. Tolerance averaging versus homogenization. Wydawnictwo Politechniki CzĊstochowskiej, CzĊstochowa. WoĨniak C., Michalak B., JĊdrysiak J. (red.), 2008. Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures. Tolerance averaging approach. Politechnika àódzka, àódĨ.. MODELLING OF HEAT CONDUCTION IN MULTICOMPONENT SOLIDS WITH FUNCTIONALLY GRADED THERMAL PROPERTIES Abstract. The subject of the paper are composite conductors which consist of homogeneous components. The distribution of the components in the conductor can be described with the use of slowly varying functions. The work consists in forming a model of heat conduction in which the Fourier equation with discontinuous highly oscillating coef¿cients was substituted with an equation with continuous and slowly varying coef¿cients. The inÀuence of the conductor on the temperature is described with additional functions which determined knowing the averaging temperature from the closed form formulas. In the special case of a periodic conductors the equation of heat conduction contains constant coef¿cients. The paper presents simple examples of numerical solutions. Key words: Fourier’s law, functionally graded materials, tolerance averaging. Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 22.07.2013. Architectura 12 (3) 2013.
(115)
Powiązane dokumenty
Z uwagi na róĪny sens ¿zyczny opisywanych wspóáczynników statecznoĞci zastosowano nastĊpujące oznaczenia: SF – wspóáczynnik statecznoĞci Safety Factor, bĊdący wynikiem
„stawiam tezę” – udało mi się podkreślić, że niniejszy artykuł prezentuje nie dogma- ty, a moje poglądy na problem czytelności dokumentacji graficznej.. W każdym razie
3U]\NáDG 0DNOHU JLHáGRZ\ LQWHUHVXMH VL SU]\FKRGDPL MDNLH PR*QD RVLJQü ORNXMF NDSLWDá Z RNUHORQ\FK DNFMDFK 0DNOHU MHVW SU]HNRQDQ\ *H.. SU]\FKyG ] DNFML PD UR]NáDG QRUPDOQ\ SU]\
:VW S 0DWHULDá\REHMPXMLQIRUPDFMHGRW\F]FHSLHUZV]HMF] FLüZLF]HODERUDWRU\MQ\FK MHGHQ semestr, w zakresie chemii sanitarnej RUD] WHFKQRORJLL ZRG\ L FLHNyZ UHDOL]RZDQ\FK
EH] SRGDQLD UyGáD Z VSRVyE Z\PDJDQ\ SU]H] SUDZR DXWRUVNLH GDMH SRGVWDZ GR X]QDQLD SU]HVW SVWZD SODJLDWX -HGQDN*H QLH W\ONR Z SU]\SDGNX SUDF\ PDJLVWHUVNLHM NZHVWLD WD MHVW EDUG]R
,QQ\P RJUDQLF]HQLHP F]DVRZ\P W\U\VWRUD MHVW W]Z NU\W\F]QD VWURPRüQDUDVWDQLDQDSL FLDEORNRZDQLD du AK >9µV@ dt s -HVW WR QDMZL NV]D ZDUWRü VWURPRFL QDUDVWDQLD
który odb tóry odbędzie si tóry odb tóry odb dzie si dzie si dzie się w dniu w dniu w dniu 1 w dniu 13 1 1 3 3 3....01.2010 01.2010 01.2010 01.2010 o godz. Dionizy Czekaj
8II 1D SLHUZV]\ UD] WR FK\ED Z\VWDUF]\ $E\ QLH XWUDFLü VZRMHJR SLHUZV]HJR SURJUDPXPXVLV]JRMHV]FH]DSDPL WDüF]\OL]DSLVDüQDG\VNX:W\PFHOXZ\ELHU]SROHcenie Save =DSDPL WDM z
