Matematika 1 MA1. 1 Konvexnost a konkávnost. 2 Asymptoty. 5. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 20

(1)

Matematika 1

5. pˇredn ´aˇska

MA1

1 Konvexnost a konk ´avnost

2 Asymptoty

3 Pr ˚ub ˇeh funkce

4 Glob ´aln´ı extr ´emy

5. pˇredn ´aˇska (27.10.2010) Matematika 1 1 / 20

(2)

skripta strany 120 - 127

(3)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

f(x₁) f(x

2)

f(x3)

x1 x

2 x

3 (f(x1)(x

3−x 2)−f(x

3)(x 2−x

1))/(x 3−x

1)

Definice

Funkce f je na intervalu Jryze konvexn´ı, resp.ryze konk ´avn´ı, jestliˇze pro kaˇzdou trojici bod ˚u x1,x2,x3∈ J, x1<x2<x3plat´ı

f (x2) −f (x1) x2− x1

<f (x3) −f (x1) x3− x1

, resp. f (x2) −f (x1) x2− x1

>f (x3) −f (x1) x3− x1

.

Funkce f je na intervalu Jkonvexn´ı, resp.konk ´avn´ı, jestliˇze pro kaˇzdou trojici bod ˚u x1,x2,x3∈ J, x1<x2<x3plat´ı

f (x2) −f (x1) x₂− x1

≤f (x3) −f (x1) x₃− x1

, resp. f (x2) −f (x1) x₂− x1

≥f (x3) −f (x1) x₃− x1

.

Graf funkce ryze konvexn´ı na intervalu leˇz´ı

”nad teˇcnou” sestrojenou v jak ´emkoliv jeho bod ˇe.

Graf funkce ryze konk ´avn´ı na intervalu leˇz´ı

”pod teˇcnou” sestrojenou v jak ´emkoliv jeho bod ˇe.

(4)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

f(x1) f(x₂)

f(x₃)

x₁ x₂ x₃

(f(x₁)(x₃−x₂)−f(x₃)(x₂−x₁))/(x₃−x₁)

Nechˇt f m ´a druhou derivaci na intervalu obsahuj´ıc´ım body x1, x2, x3. Nerovnost^{f (x}_x²^{)−f (x}¹⁾

2−x1 <^{f (x}_x³^{)−f (x}¹⁾

3−x1

je ekvivalentn´ı nerovnosti f (x2) <f (x1)^x_x³^−x²

3−x₁ +f (x3)^x_x²^−x¹

3−x₁

a nerovnosti^{f (x}_x²^{)−f (x}¹⁾

2−x₁ <^{f (x}_x³^{)−f (x}²⁾

3−x₂ .

Z Lagrangeovy v ˇety v´ıme, ˇze oba pod´ıly lze nahradit derivacemi v bodech unvitˇr interval ˚u (x₁,x₂)a (x₂,x₃).

Chceme-li zjistit pom ˇer mezi pod´ıly, staˇc´ı v ˇed ˇet, jak se chov ´a derivace - roste nebo kles ´a.

A to zjist´ıme zdruh ´e derivace.

V ˇeta

Nechˇt je funkce f spojit á na intervalu I a nechˇt f⁰⁰(x ) > 0, resp. f⁰⁰(x ) < 0, v kaˇzd ém vnitˇrn´ım bod ˇe intervalu I. Potom f je na I ryze konvexn´ı, resp. ryze konk ávn´ı.

Zat´ımco monotonie funkce vypov´ıd ´a o jej´ım ”trendu”, charakterizuje konvexnost nebo konk ´avnost jej´ı ”prohnut´ı” nebo ”trend trendu”.

(5)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−3

−2

−1 0 1 2

y = f(x)

konvexni

konkavni

Definice

Nechˇt je f spojit ´a a m ´a derivaci v bod ˇe c. Oznaˇcme y = T (x ) teˇcnu grafu funkce v bod ˇe [c, f (c)].

Bod c jeinflexn´ım bodemfunkce f , jestliˇze existuj´ı jednostrann á ne úpln á okol´ı U1= (c − δ, c) a U₂= (c, c + δ) takov á, ˇze body [x , f (x )] leˇz´ı v opaˇcných polorovin ách odd ˇelených grafem y = T (x ) pro x ∈ U1a pro x ∈ U2.

Nutn ´a podm´ınka inflexe:

V ˇeta

Je-li c bodem inflexe funkce f , pak bu ˇd f⁰⁰(c) neexistuje nebo f⁰⁰(c) = 0.

Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky inflexe:

V ˇeta

Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro existenci inflexe funkce f v bod ˇe c je jedna z n ´asleduj´ıc´ıch skuteˇcnost´ı, a) f⁰⁰(c) = 0 a existuje δ > 0, ˇze bu ˇd f⁰⁰(c) > 0 na (c − δ, c) a f⁰⁰(c) < 0 na (c, c + δ), nebo

naopak;

b) f⁰⁰(c) = 0 a f⁰⁰⁰(c) existuje a f⁰⁰⁰(c) 6= 0.

(6)

−4 −2 0 2 4

−30

−20

−10 0 10 20 30

y = x³−9x

−4 −2 0 2 4

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6

y = x / (1+x²) Pˇr´ıklady.

Funkce f (x ) = x³− 9x.

Derivace jsou f⁰(x ) = 3x²− 9 a f⁰⁰(x ) = 6x . Funkce f je konvexn´ı na intervalu h0, ∞)

a konk ´avn´ı na intervalu (−∞, 0i. Inflexn´ı bod c = 0.

Funkce f (x ) = ^x

1+x².

Derivace jsou f⁰(x ) =^1+x²^−2x²

(1+x²)² = ^1−x²

(1+x²)² a f⁰⁰(x ) = ^−2x(1+x²⁾²^−(1−x²^)(1+x²^)4x

(1+x²)⁴ =

=^−2x(1+x²^)((1+x²^)+2(1−x²⁾⁾

(1+x²)⁴ =^−2x(3−x²⁾

(1+x²)³ . Funkce f je konvexn´ı na intervalu h−√

3, 0i a na intervalu h√ 3, ∞) a konk ´avn´ı na intervalu (−∞, −√

3i a na intervalu h0,√ 3i.

Inflexn´ı body jsou c1= −√

3, c2=0 a c3=√ 3.

Funkce f (x ) je definov ´ana:

f (x ) =x³prox < 0a f (x ) =x²prox ≥ 0.

Pak f⁰(0) = 0, ale f⁰⁰(0) neexistuje.

Nicm ´en ˇe, f m ´a inflexn´ı bod x = 0.

(7)

−4 −2 0 2 4

−30

−20

−10 0 10 20 30

y = x³−9x

−4 −2 0 2 4

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6

Funkce f (x ) = ^x

1+x².

(1+x²)² = ^1−x²

(1+x²)² a f⁰⁰(x ) = ^−2x(1+x²⁾²^−(1−x²^)(1+x²^)4x

(1+x²)⁴ =

=^−2x(1+x²^)((1+x²^)+2(1−x²⁾⁾

(1+x²)⁴ =^−2x(3−x²⁾

3, c2=0 a c3=√ 3.

(8)

−4 −2 0 2 4

−30

−20

−10 0 10 20 30

y = x³−9x

−4 −2 0 2 4

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6

Funkce f (x ) = ^x

1+x².

(1+x²)² = ^1−x²

(1+x²)² a f⁰⁰(x ) = ^−2x(1+x²⁾²^−(1−x²^)(1+x²^)4x

(1+x²)⁴ =

=^−2x(1+x²^)((1+x²^)+2(1−x²⁾⁾

(1+x²)⁴ =^−2x(3−x²⁾

3, c2=0 a c3=√ 3.

(9)

2 Asymptoty

(10)

Zkoum áme, zda je n ˇejak á ˇc ást grafu ”t ém ˇeˇr pˇr´ımka”.

Definice

a) Pˇr´ımka x = c, c ∈ R, jesvislou asymptotougrafu funkce f , jestliˇze aspo ˇn jedna z limit limx →c₋f (x ), limx →c₊f (x ) je nevlastn´ı, t.j. +∞ nebo −∞.

b) Funkce f m áˇsikmou asymptotu, jestliˇze pro c = ∞ nebo c = −∞ existuj´ı re áln é konstanty k a q tak, ˇze

k = lim

x →c

f (x )

x , q = lim

x →c(f (x ) − kx ).

Pak ˇr´ık ´ame, ˇze funkce f m ´a ˇsikmou asymptotu v nekoneˇcnu, resp. v minus nekoneˇcnu. Tato asymptota je pˇr´ımka

y = kx + q.

Tedy funkce m ´a ˇsikmou asymptotu, jestliˇze je definovan ´a na (d , ∞) (nebo na (−∞, d )), kde f (x ) ≈ kx + q,

f (x ) x ≈ k +q

x ≈ k . Pˇr´ıklad.Urˇcete asymptoty grafu funkce f (x ) = ln x . Svisl ´a asymptota: v bod ˇe x = 0 m ´a rovnicix = 0.

Sikm ´a asymptota: limˇ x →∞ln x

x =0, limx →∞ln x − 0 · x = ∞, tedy fnem ´a ˇsikmou asymptotu.

(11)

0 2 4 6 8 10 12

−20

−10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

y = 3x + 1/(x−5)

asymptota y = 3x asymptota x = 5

Pˇr´ıklady.

Asymptoty grafu funkce f (x ) = 3x +_{x −5}² .

V bod ˇe c = 5 m á funkce nevlastn´ı jednostrann é limity, tedy graf funkce f m ásvislou asymptotux = 5.

Pro c = ∞:

k = limx →∞f (x )

x =limx →∞3 +_{x (x −5)}¹ =3, q = limx →∞f (x ) − kx = limx →∞ 2

x −5 =0, funkce m ´aˇsikmou asymptotuy = 3x v okol´ı ∞.

Podobn ˇe pro c = −∞:

k = limx →−∞f (x )

x =limx →−∞3 +_{x (x −5)}¹ =3, q = limx →−∞f (x ) − kx = limx →−∞ 2

x −5=0, funkce m ´aˇsikmou asymptotuy = 3x v okol´ı −∞.

(12)

−5 0 5 10 15

−4

−2 0 2 4 6 8 10 12

y = 2x/3 + sin(x)

asymptota neex.!

Asymptoty grafu funkce f (x ) = 7x + sin x . f je spojit ´a na R, protonem ´a svislou asymptotu.

Pro c = ∞:

x =limx →∞7 +^{sin x}_x =7, q = limx →∞f (x ) − kx = limx →∞sin x neexistuje.

V okol´ı c = ∞ graf funkce fnem ´a asymptotu.

Podobn ˇe pro c = −∞.

Asymptoty grafu funkce f (x ) = x².

f je spojit ´a na R, protonem ´a svislou asymptotu.

Pro c = ∞:

x =limx →∞x = ∞ /∈ R,

proto v okol´ı c = ∞ graf funkce fnem ´a asymptotu.

(13)

−5 0 5 10 15

−4

−2 0 2 4 6 8 10 12

y = 2x/3 + sin(x)

asymptota neex.!

Asymptoty grafu funkce f (x ) = 7x + sin x . f je spojit ´a na R, protonem ´a svislou asymptotu.

Pro c = ∞:

x =limx →∞7 +^{sin x}_x =7, q = limx →∞f (x ) − kx = limx →∞sin x neexistuje.

V okol´ı c = ∞ graf funkce fnem ´a asymptotu.

Asymptoty grafu funkce f (x ) = x².

f je spojit ´a na R, protonem ´a svislou asymptotu.

Pro c = ∞:

x =limx →∞x = ∞ /∈ R,

proto v okol´ı c = ∞ graf funkce fnem ´a asymptotu.

(14)

2 Asymptoty

(15)

Pr ˚ub ˇeh funkce.

Funkce f (x ) = . . . .

Definiˇcn´ı obor.

Pr ˚useˇc´ıky s osami.

Sudost, lichost, periodiˇcnost.

Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru.

Asymptoty.

Prvn´ı derivace.

Monotonie. Lok áln´ı extr émy. Glob áln´ı extr émy.

Druh ´a derivace.

Konvexnost a konk ´avnost.

(16)

Funkce f (x ) = . . . .

Asymptoty.

Prvn´ı derivace.

Druh ´a derivace.

(17)

Funkce f (x ) = . . . .

Asymptoty.

Prvn´ı derivace.

Druh ´a derivace.

(18)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

y = ln(1 + cos(x))

−π −π/2 π/2 π

Pˇr´ıklad. Urˇcete pr ˚ub ˇeh funkce f (x ) = ln (1 + cos x ).

Definiˇcn´ı oborje D(f ) = R \ {π + 2k π, k ∈ Z}.

Pr ˚useˇc´ıky s osami: {[^π₂ +k π, 0], k ∈ Z}.

Sudost, lichost, periodiˇcnost- funkce f je sud á a periodick á - nad ále budeme zkoumat jen interval h0, π).

Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: limx →π−f (x ) = limx →π−ln (1 + cos x ) = −∞.

Asymptoty: Svisl ´a asymptota x = π, periodicky se opakuje, x = π + 2k π, k ∈ Z.

Funkce nen´ı definovan á na n ˇejak ém okol´ı ∞ nebo −∞, tedy nem á ˇsikmou asymptotu.

Prvn´ı derivaceje f⁰(x ) =_{1+cos x}^{− sin x}.

Monotonie: f⁰(x ) < 0 pro vˇsechna x ∈ (0, π), tedy f je klesaj´ıc´ı na intervalech h2k π, π + 2k π) a rostouc´ı na intervalech (π + 2k π, 2k πi, k ∈ Z.

Lok ´aln´ı maximav bodech x = 2k π, k ∈ Z.

Glob ´aln´ı neostr ´a maximav bodech x = 2k π, k ∈ Z.

Lok ´aln´ı ani glob ´aln´ı minimanejsou.

Druh ´a derivaceje

f⁰⁰(x ) = ^{− cos}²x −cos x −sin²x

(1+cos x )² = ^{− cos x−1}

(1+cos x )² <0 pro x ∈ D(f ).

Konvexnost a konk ávnost: funkce f je na kaˇzd ém souvisl ém podintervalu definiˇcn´ıho oboru konk ávn´ı.

(19)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

y = ln(1 + cos(x))

−π −π/2 π/2 π

Druh ´a derivaceje

(1+cos x )² = ^{− cos x−1}

(1+cos x )² <0 pro x ∈ D(f ).

(20)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

y = ln(1 + cos(x))

−π −π/2 π/2 π

Druh ´a derivaceje

(1+cos x )² = ^{− cos x−1}

(1+cos x )² <0 pro x ∈ D(f ).

(21)

2 Asymptoty

(22)

Podle Weierstrassovy v ˇety nabýv á spojit á funkce na uzavˇren ém a omezen ém intervalu sv é nejmenˇs´ı a nejv ˇetˇs´ı hodnoty, t.j.sv é maxim áln´ı a minim áln´ı hodnoty na tomto intervalu.

Jak naj´ıt extr ´emy funkce f na intervalu ha, bi:

Body, ve kter´ych jef⁰(x ) = 0, body, ve kter´ychf⁰(x ) neexistuje, bodya,b.

Vypoˇcteme funkˇcn´ı hodnoty ve vˇsech t ˇechto bodech a porovn ´ame je.

Nejv ˇetˇs´ı, resp.nejmenˇs´ı, z t ˇechto hodnot jeglob ´aln´ı maximum, resp.minimum, funkce f na ha, bi.

Co s neomezen´ym intervalem?

Speci áln´ı posouzen´ı. Napˇr. jestliˇze je f spojit á a f⁰(x ) > 0 na (−∞, c) a f⁰(x ) < 0 na (c, ∞), potom f nabýv á sv ého glob áln´ıho maxima v bod ˇe c. Pr ˚ub ˇeh funkce.

D ˚uleˇzit á pozn ámka. Lze se setkat s ot ázkou

”Nabýv á funkce f (x ) = . . . na intervalu h. . . , . . . i sv ého minima (resp. maxima)?”

Napˇr. f (x ) = x²na h3, 7i . . . Ano, v bod ˇe x0=3.

(23)

Pˇr´ıklady.

Najdeme glob ´aln´ı extr ´emy funkcef (x ) = x²na intervaluh−1, 3i.

Derivace je f⁰(x ) = 2x .

Derivace je rovna nule v bod ˇe x1=0.

V ostatn´ıch bodech derivace existuje a je nenulov ´a.

Spoˇcteme hodnoty funkce f v krajn´ıch bodech intervalu−1a3a v bod ˇe x₁: f (−1) =1, f (0) =0, f (3) =9.

Porovn ´ame:

0<1<9.

Funkce f m á na intervalu h−1, 3i glob áln´ı minimum0v bod ˇe0a glob áln´ı maximum9v bod ˇe3.

(24)

Pˇr´ıklady.

Najdeme glob ´aln´ı extr ´emy funkcef (x ) = x + sin 2xna intervaluh0, πi.

Derivace je f⁰(x ) = 1 + 2 cos 2x .

Derivace je rovna nule v bodech x1=¹₃πa x2=²₃π.

V ostatn´ıch bodech derivace existuje a je nenulov ´a.

Spoˇcteme hodnoty funkce f v krajn´ıch bodech intervalu0aπa v bodech x₁a x₂: f (0) =0, f (¹₃π) = ¹₃π +

√ 3

2 , f (²₃π) = ²₃π −

√ 3

2 , f (π) =π.

Porovn ´ame:

0<²₃π −

√ 3 2 <¹₃π +

√ 3

2 <π (neboˇt0<4π − 3√

3<2π + 3√ 3<6π).

Funkce f m á na intervalu h0, πi glob áln´ı minimum0v bod ˇe0a glob áln´ı maximumπv bod ˇeπ.

(25)

Glob ´aln´ı extr ´emy

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

0 0.05 0.1 0.15 0.2

[e^1/2,e⁻¹/2]

[1,0]

[e,e⁻²]

y = x⁻²ln(x) na <1,e>

Najdeme glob ´aln´ı extr ´emy funkcef (x ) = x⁻²ln xna intervaluh1, ei.

Derivace je

f⁰(x ) = −2x⁻³ln x + x^{−2 1}_x = −2x⁻³(ln x −¹₂).

Derivace je nulov ´a jen v bod ˇe x₁=e^1/2.

Spoˇcteme hodnoty funkce f v krajn´ıch bodech intervalu1aea v bod ˇe x1: f (1) =0, f (e^1/2) = ¹₂e⁻¹, f (e) =e⁻².

Porovn ´ame 0<e⁻²<¹₂e⁻¹.

Funkce f m ´a na intervalu h1, ei glob ´aln´ı minimum0v bod ˇe1

a glob ´aln´ı maximum¹₂e⁻¹v bod ˇee^1/2.

Jak é extr émy m á funkcef na intervaluh1, ∞)? A nah2, ∞)?

(26)

−1 −0.5 0 0.5 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

S v

a R

Do kruˇznice o polom ˇeruRvepiˇste rovnoramenn´y troj ´uheln´ık nejv ˇetˇs´ıho obsahu.

Oznaˇcme polovinu z ákladny troj úheln´ıkaaa výˇskuv. Jist ˇe budev > R.

Obsah troj ´uheln´ıka jeS = av.

Z ákladna a výˇska jsou sv áz ány vztahemR²= (v − R)²+a², tedya =pR²− (v − R)². Tedy pro obsah plat´ıS = av = vpR²− (v − R)².

1)T´ım m áme obsahSjako funkci výˇsky troj úheln´ıkaS(v ) = vpR²− (v − R)². 2)Definiˇcn´ım oborem funkceSje interval(R, 2R).

3)Najdeme maximum funkceSna intervalu(R, 2R).

Derivace funkceSpodlevje

S⁰(v ) =pR²− (v − R)²+v ^{−2(v −R)}

2√

R²−(v −R)² =

=^R²^{−(v −R)}√ ²^{−v (v −R)}

R²−(v −R)² =√^{v (3R−2v )}

R²−(v −R)².

Na intervalu(R,³₂R)je derivaceSkladn ´a, a tedySrostouc´ı.

Na intervalu(³₂R, 2R)je derivaceSz ´aporn ´a, a tedySklesaj´ıc´ı.

To znamen á, ˇze na intervalu(R, 2R)nabýv á funkceS sv ého maxima prov =³₂R.

Obsah takov ´eho troj ´uheln´ıka je pakS(³₂R) = · · · = ³

√ 3 4 R².

(27)

Urˇcete úhelαtak, ˇze kuˇzel svinutý z kruhov é výseˇce o stˇredov ém úhluαa polom ˇeruRm á maxim áln´ı objem.

Oznaˇc´ıme-lirpolom ˇer podstavy kuˇzele, bude objem kuˇzele V =¹₃πr²v.

Plat´ıαR = 2πraR²=v²+r²=v²+^α²^R²

4π² . 1)Tedy objem jako funkce ´uhluαjeV (α) =¹₃π^α_4π²^R₂²

q

R²−^α²^R²

4π² =^α_24π²^R₂³p

4π²− α². 2)Definiˇcn´ım oborem je interval(0, 2π).

3)Najdeme maximum funkceVna intervalu(0, 2π).

DerivaceVpodleαje V⁰(α) = ^αR³

12π²

p4π²− α²+^α²^R³

24π²

−2α 2

√

4π²−α² = ^αR³

24π²

2(4π√²−α²)−α² 4π²−α² = ^αR³

24π² 8π²−3α²

√

4π²−α². Derivace je nulov ´a v bod ˇeα0=2π

q2 3. Na intervalu(0, 2π

q2

3)je derivace kladn ´a, tedyVrostouc´ı.

Na intervalu(2π q2

3,2π)je derivace z ´aporn ´a, tedyVklesaj´ıc´ı.

Kuˇzel bude m´ıt maxim ´aln´ı objem proα0=2π q2

3. Objem pak budeV =²

√ 3 27 R³π.