Edward Nieznański
Elementarna teoria systemów
porządkowych
Studia Philosophiae Christianae 9/1, 207-217
S tu d ia P hilosophiae C h ristian a e ATK
9/1973/1
EDWARD NIEZNAŃSKI
ELEMENTARNA TEORIA SYSTEMÓW PORZĄDKOWYCH1 I. W prow adzenie. II. 1. E le m en ta rn e rac h u n k i r i τ*. 2. S ystem y po rządkow e. 3. S em antyczne m odele zbioru fo rm u ł: 3. 1. P ojęcie r e p re zentow ania, 3. 2. P ojęcie w artościow ania, 3. 3. P ojęcie denotow ania, 3. 4. P ojęcie spełniania, 3. 5. P ojęcie praw dziw ości w system ie re la cyjnym , 3. 6. P ojęcie m odelu. 4. System y porządkow e ja k o m odele
■rachunków τ i г*. III. Zakończenie. IV. Sum m ary.
I. T eoria zbiorów uporządkow anych jest w ykładana jako dział teo rii mnogości lu b jako frag m en t n ieelem entarnego ra chunku logicznego zbiorów i relacji. Zostanie tu w ykazane, że elem en tarn ą (czyli pierw szego rzędu) teo rią zbiorów uporząd kow anych jest sylogistyka arystotelesow a 2.
II. Rozw iązania pro p o n u jem y w prow adzać w czterech eta pach. N ajp ierw (pod 1) zdefiniow ać elem entarne rachu nk i
1 W niniejszym a rty k u le zostały w ykorzystane m iędzy in n y m i: (1) ak - sjo m aty k a sylogistyki po d an a (na s. 124) w A. M ostow ski, L ogika m a tem atyczna, W arszaw a—W rocław , 1948; (2) w ystęp u jące w ty m sam ym podręczniku (rozdz. X III) pojęcie przedm iotów o danej bazie; (3) m eto dy m orfologicznego d efin io w an ia rac h u n k ó w z a w arte w H. R asiow a an d R. Sikorski, T he M athem atics o f M etam athem atics, W arszaw a, 1963; (4) pojęcie k o n k aten a cji w prow adzone aksjo m aty czn ie (n a s. 24—25) w A. T arski, Pojęcie p ra w d y w ję zy k a c h n a u k d ed u k cy jn y ch , W arszaw a, 1933; (5) aksjo m aty czn a m etodologia n a u k d ed u k c y jn y c h A lfre d a T arskiego; (6) m etody p osługiw ania się stru k tu raln o -o p iso w y m m etajęzy k iem w y łożone w R. M. M artin, T ru th and D enotation, Chicago, 1958.
2 M am y tu n a m yśli sylogistykę bez negacji nazw otw órczej, zaw ie r a ją c ą p ra w a k w a d ra tu logicznego, k o n w ersji i niezaw odne try b y sylo- gistyczne.
w sposób w tym sensie czysto form alny, że w oderw an iu od znaczeń, k tó re ew en tu aln ie są kojarzone z pierw o tn y m i w y ra zam i w łaściw ym i ty ch rach u n k ów i bez u stalan ia zak resu zm ienności znaków zm iennych. N astępnie, w yd aje się celow ym , z jed nej stro n y (pod 2) określić w język u zerm elow skiej teo rii mnogości pojęcie system u porządkow ego, a z dru giej (pod 3) — pojęcie m odelu sem antycznego, by w końcu (pod 4) w ykazać, że w łaśnie system y porządkow e są m odelam i sem antycznym i określonych n a w stępie rachunków .
1. E lem e n ta rn e rac h u n k i t i t*
R ach un ki τ i τ* zostan ą tu określone w oparciu o szereg d efin icji pom ocniczych.
Df. 1 W m etajęzy k u , k tó ry m się obecnie posłużym y, n ozna
cza u —n je s t pierw szym , a u je s t dru g im elem entem w jedn ej z n astęp u jący ch p a r: („ ix ”, „ x ” ), („ig rek ” , „ y ” ), („ z e t”, „z” ), („A s”, „A ” ), („Ó s”, „O ” ), („ Is”, „ I ” ), („E s”, „E ” ), („ n e g ”, („ко п ”, „ Л ” ), („im p ”, („ e k w ”, „ = ” ), („ id ”, „ = ” ), („sig”, „ Σ ” ), („ p i”, „ П ” ), („C n”, o p eracja lo gicznej k o n sek w en cji), ( „ ^ ”, k o n k a te n a c ja ), („ak e”,
(,rn l ”, „(” ), („ n p ”, „)” )
D f. 2 V = ( ^ Z )W i.2(Z), gdzie Wi(Z) = ΐχεΖ,
W 2(Z) s (Π νεΖ ) [(v~akc)EZ], W i-2(Z) = (Wi(Z)A W 2(Z)], ar(/~iX) φ(Χ) = (П Х ) [cp(X)->asX], K lasa V będzie później (pod 3) in te rp re to w a n a jako klasa znaków zm iennych. B ędzie m y rów nież odtąd używ ali jak o skrótów : igrek dla i x ^ a k c , zet d la ix ^'ak cr'ak c
D f. 3 P = (A s, Es, Is, Os}. D f. 4 F = (im p , ekw , k o n ). D f. 5 Q = (sig, p i).
Df. 6 S = (V , F, Q, (A s, id, neg, nl, np}}. D f. 7 S* = (V , F, Q, P, (id , neg, nl, np}}.
R odziny zbiorów S i S* m ożem y nazyw ać słow nikam i. A po niew aż sum a w szystkich elem entów ro d zin y S zaw iera się w s u m ie w szystkich elem entów rodziny S*, o słow niku S* m ów im y, że je s t rozszerzeniem słow nika S.
D f. 8 Φ = (ftZ ) W i-5(Z), gdzie: W i(Z) s (П а,ЬгУ ) [(a^id^bJeZ ], W 2(Z) = (Па,ЬеУ ) [(A iT a~b)eZ ], Ws(Z) = (Π αεΖ) [(n e g ^ n l^ a ^ n p ^ Z ], W*(Z) = ( I IoeF) (Πα,βεΖ) [(η 1 '·'α ~ η ρ ''ρ ''η 1 ''β ''η ρ )ε Ζ ], Ws(Z) = (П агУ ) ( I l f eQ) (Π αεΖ ) [(ni f a np n i a ηρ)εΖ], W i-5(Z ) s [W i(Z) ... W s(Z)]. Df. 9 Φ* = (λΖ) [Wi(Z) /4W 2*(Z )/4W 3(Z )/4W 4(Z )/\W e(Z )], gdzie W 2*(Z) = (П а , ЬгУ) ( n g s P ) [(g a b)eZ], a pozostałe w a ru n k i ja k w Df. 8. Z biory Ф i Ф* m ożem y nazyw ać klasam i fo rm u ł. A poniew aż Ф zaw iera się w Ф*, o klasie Ф* m ów im y, że jest rozszerzeniëm zbioru Ф.
Df. 10 L = (S/I>). Df. 11 L* = (SVl>*).
O bie p a ry L i L* m ożem y nazyw ać językam i. A poniew aż S* je s t rozszerzeniem S oraz Ф* jest rozszerzeniem Ф, o języ k u L* m ów im y, że jest rozszerzeniem języ ka L.
Df. 12 В = { A s~ ix ~ ix , n l^ A s ^ ix ^ i g r e k ^ k o n ^ A s ^ ig r e k ^ ix ~ n p ~ im p ~ ix 'H d ^ ig re k , nl ''A s '' ig re k -^ z e t'4 k o n ^ A s ^ ix ^ ig r e k ^ n p ^ im p ^ A s ^ ix ^ z e t} . D f. 13 D = ( I s ^ i x ^ i g r e k ^ e k w ^ n l ^ s i g ^ e t ^ n p ^ n l ^ A s ^ e t · ^ ix ^ k o n ^ A s ^ z e f S g r e k ^ n p , E s ^ ix ^ i g r e k ^ e k w ^ n e g ^ n l^ I s ^ x ^ i g r e k ^ n p , O s ^ i x ^ ig r e k ^ e k w ^ n e g ^ n l^ A s ^ ix ^ ig r e k ^ n p ) .
K lasę D zam ierzam y p rzy ty m rozum ieć i stosow ać tylk o jako zbiór odpow iednich tautologii logicznych skróconych w edług założonej zasady sk racania:
n l ^ s i g ^ c ^ p ^ n l ^ A s ^ c ^ a ^ k o n ^ A s ^ c ''b '^ n p ''p rz e z I s '^ a '4 b, neg ~ nl '"'sig '"'c '"'np ' ' n i ''A s ' ' c ' ' a ''k o n ''A s '' с ''b ''n p przez E s ^ a ^ b , n e g '-' n l ^ A s ^ a ^ b ^ n p przez O s ^ a ^ b , dla w szelkich a, b, ceV.
Df. 14 τ = (L, Cn, B ). Df. 15 T = CnB.
Df. 16 τ* = (L*, Cn, B u D ) , Df. 17 T* = C n (B ^ D ).
T rójk i uporządkow ane τ i τ* n azyw am y rac h u n k am i lu b te oriam i sform alizow anym i, a zbiory T i T* — klasam i tw ierd zeń ty c h teorii. Poniew aż B C B u D , a stąd C n B C C n (B u D ), czyli T C T *, o teorii τ* m ów im y, że jest rozszerzeniem teorii τ. Roz szerzenie to zresztą jest nieisto tn e, tzn. Φ π Τ * = T.
D efinicje Df. 14 — Df. 17 o k reślają rac h u n k i istn iejące w sposób a b strak cy jn y . W postaci k o n k retn ej m ogą być p rzy toczone jed y nie ich frag m en ty . Oto, dla ilu stracji, przykładow y fra g m e n t zbioru T* ra c h u n k u τ*: B I. A xx. B2. (А х у л A yx)->x = y. B3. (A y z/\A x y )-> A x z. D l. Ix y = (Σζ) (Azx Azy). D2. Exy = ~ (Ix y ). D3. О ху = ~ (A x y ). T l. (Α ζ χ Λ A zy)->Ixy, T le C n { D l). T2. A xy—*Jxy, T2eC n{T l, BI}. T3. A x y -> ~ (E x y ), Τ3εΟη{Τ2, D2}. T4 Е х у ^ О х у , Τ4εΟη{Τ2, D2, D3}. T5. ~(Ixy)->-O xy, Τ5εΟη{Τ4, D2}. Τ6. (AzyA Α χ "'ζ)-^ Α χ "у, Τ6εΟη{Β3) Т7. (А гуЛ Α χ ' ζ λ Α χ "х)->(А х " 'х л А х ' у), Τ7εΟη{Τ6}. Т8. (A zy A (^ x " ) (Ах "z А Α χ " χ ) ) - ^ ( Σ χ ') (А х '"х А А х '"у ), Τ8εΟη{Τ7). T9. (A zy Л Izx)->Ixy, Τ9εΟη{Τ8, D l) . TIO. Ix y s ly x , Τ10εΟη{Τ9, B l) . T i l . E x y = Eyx, Τ11εΟη{Τ10, D2}. T12. A x y ^ I y x , Τ12εΟη{Τ2, TIO). T13. E x y —vOyx, Τ13εΟη{Τ4, T l i ) . T14. (Ayz Λ Oxz)->O xy, Τ14εΟη(Β3 ,D3). Τ15. (O zyA A zx)-*O xy, Τ15εΟη(Β3, D 3). T16. (E zy Λ ίχ ζ ) —^Oxy, Τ16εΟη(Τ9, D2, D3). T17. (Eyz A A xz)->E xy, T17eCn{T9, D 2).
T18. (EzyA A xz)->O xy, Tl8eCn{T16, T2}. T19. (E yzл A xz)->O xy, T19tCn{T18, T li} . T20. (E y zA lx z)^-O x y , T20eCn{T16, T li} . T21. ( Е г у л Axz)—>-Exy, T21tC n(T17, T li} . T22. (IzyaA zx)->-Ixy, T22eCn{T21, D2}. T23. (AyzAEzx)->-Exy, Τ23εϋη{Τ17, T li} . T24. (Iyz a A z x ) —>-Ixy, T24fCn{T22, T10}. T 2 5 ,-(Eyz A lzx )-* O x y , T25eCn{T20, T10}. T26. (A y zΛ Exz)—>-Exy, T26sCn{T23, T li} . T27. (A zyΛ Ixz)—э-Ixy, T27fCn{T9, T10}. T28. (E zy A Izx)—>-Oxy, Τ28ε(Ιη{Τ16, T10}. T29. (A zyл Axz)—>-Ixy, Τ29εΟη{Β3, T2}. T30. (A y z A E x z )^ O x y , T30tCn{T26, T4}. , T31. (EzyΛ A zx)->O xy, T3D Cn{T28, T2}.
T32. (Ayz A Azx)->-Ixy, T32eCn{T29, T10}. T33. (A yzA E zx)-> O xy, T33sCn{T30, T l i} . T34. (E yzA A zx)-> O xy, T34fCn{T25, T2}.
2. S ystem y porządkow e
P ojęcie system u porządkow ego zostanie tu w prow adzone w oparciu o szereg d efinicji pom ocniczych.
D f. 18 Rodzinę w szystkich zbiorów, k tó ry ch istn ien ie jest zagw aran to w an e n a gru n cie zerm elow skiej teo rii mnogości przez istn ien ie zbioru U, nazyw am y rodziną zbiorów n a ba zie U i oznaczam y sym bolem Zu. (W takim razie np. U fZ U( 2υ εΖυ, υ ηεΖυ, Χ<=:22υ^ Χ ε Ζ υ , U ^ 2 ut'Zu;- itd).
Df. 19 SystR elu = {(X , R ) : ΧεΖυ aX ^ Aa Rc X 2}.
Zbiór S ystR elu nazy w am y klasą system ów relacy jn y ch n a bazie U z jed n ą rela cją dw uczłonową. Jeżeli p rzy ty m (X , R )fS y stR elu , to pierw szy elem en t tej pary, X, n azy w am y , u n iw ersu m sy stem u relacyjnego. P rzy kład am i system ów rela - cy jn y c h określonych w Df. 19 są chociażby te oto p a ry :
S I. (X i, R i^ S y s tR e lu i, gdy baźą Ui jest zbiór w szystkich liczb rzeczyw istych, u n iw e rsu m X i stanow i klasa liczb n a tu
-ralnych, a Ri jest relacją niew iększości obciętą do uniw ersum , czyli Ri — { (x, y )sX 2 :x^ y } .
52. (X2, R2)£SystR elu2, gdy bazą U2 jest klasa ludzi, un i w ersum X2 = 2U2, a R2 = {(x, y } fX 2: x y}.
53. (Хз, R3)£SystRelu3, gdy bazą U3 jest klasa fo rm uł Ф określona w Df. 8, X 3 = {Η ε2^: CnH = H}, a R3 = {(G , H) *X*:G C nH ).
54. {Х4, R 4 )eSystR elu4, g d y U4 = X 4 jest zbiorem w sz y st k ic h pracow ników , p o w ied zm y ATK, a R4 = {{x, y )e X } ' x jest zw ierzch n ikiem y -k a }.
55. {Х 5, R5}eSystRelu5, gdy Us jest n-elem entow ym (n > 3 ) zbiorem określonych przedm iotów , Xs = {ai, аг, аз}, gdzie ai, аг, a3sU5 i Rs = {(ai, a i), (аг, аг), (аз, аз), (ai, аг), (аг, аз),
(аг, аз)}.
56. (Χβ, Re ) eSystRelu6, gdy Ue jest klasą zdarzeń w okre ślonym przedziale czasu, o = {(x, y ) e U | : x, у przebiegają ró w nocześnie}, Χβ = Ue/ρ (klasa ilorazow a bazy w zględem relacji w spółw ystępow ania zdarzeń), Re = {(G , H )e X |:(2 x e G ) (SysH) (x przebiega nie później niż y)}.
Df. 20 zwr(X) = {Re2X2: (П авХ ) ((a, a)eR)}.
Zbiór zwr(X ) nazyw am y klasą relacji zw rotnych w zbiorze X. Df. 21 antysym (X ) = (R s2x2: (П а,ЬеХ ) ((a,b),(b,a)eR -> - —>a = b)}.
Z biór antysym (X ) nazy w am y k lasą rela cji antysy m etryczn ych w zbiorze X.
Df. 22 przech(X) = {Rs2x2: (n a ,b ,m e X )((m ,b ),(a ,m )8 R -> -*-(a,b)eR)}.
Zbiór przech (X) nazyw am y k lasą relacji przechodnich w zbio rze X.
Df. 23 porz (X) = zw r(X )^ an ty sy m (X )i~vprzech(X).
Z biór porz (X) nazyw am y klasą relacji p o rząd ku jący ch3 zbiór X.
3 R elacje n azw an e tu porząd k u jący m i są czasem nazyw ane w lite ra tu rz e logicznej re la cja m i częściowo porząd k u jący m i w odróżnieniu od tych, k tó re będąc zw rotnym i, an ty sy m e try c zn y m i i przechodnim i są p o n ad to spójnym i. Z innych w zględów są one też n azyw ane re la cja m i sła
Df. 24 SystPorzu = {(X , R)if SystR elu : Reporz(X)}.
Zbiór S y stP orzu nazyw am y klasą system ów porządkow ych n a bazie U. Podane pod S I —S6 przyk ład y system ów relacyjnych, jak łatw o spraw dzić, są rów nocześnie przykładam i system ów porządkow ych.
3. Sem antyczne m odele zbioru form uł
O kreślenie m odelu (3.6) zostanie poprzedzone om ów ieniem k il ku niezbędnych pojęć: rep rezen tow an ia (3.1), w artościow ania (3.2), denotow ania (3.3), spełniania (3.4) i praw dziw ości (3.5).
3. 1. Pojęcie reprezentow ania
Przyjm ujem y , że ogólnie rzecz biorąc, reprezentow anie jest n iep u sty m iloczynem k artezjań sk im o um ow ie ustalonej lew ej i praw ej dziedzinie. P rzedm io ty należące do lew ej dziedziny relacji rep rezento w an ia nazyw am y znakam i zm iennym i, a p rzedm ioty należące do jej praw ej dziedziny — w artościam i zm iennych.
Df. 25 T u p rzy jm u jem y um owę, że relacją reprezento w ania
jest iloczyn k artezjań sk i V X X ,‘ gdy X jest u n iw ersu m do w olnie w ybranego system u relacyjnego (V jest określone w Df. 2).
3. 2. Pojęcie w artościow ania
W artościow aniem , w ogóle, nazyw am y każdy niep u sty pod zbiór relacji reprezen to w an ia będący fu n k cją określoną na zbiorze w szystkich znaków zm iennych (określoną n a lew ej dziedzinie relacji reprezentow ania). W takim - razie (i w n a stępstw ie Df. 25) o trzym ujem y:
Df. 26 W artościow aniem jest każdy elem ent klasy odwzo
row ań X v, gdy X jest uniw ersu m dowolnie w ybranego syste m u relacyjnego. (Stąd X v jest klasą wartościow ań).
bo porząd k u jący m i w o d różnieniu od rela cji asym etryczno-przechodnich (porządkujących bez pętli, czyli przeciw zw rotnie).
3. 3. Pojęcie denotow ania
In te rp re ta c ją bądź denotow aniem , w ogóle, n azy w am y um ow nie u sta lo n y n iep u sty zbiór p a r u p orządkow anych b ędący fu n k c ją różnow artościow ą o lew ej dziedzinie rozłącznej w zglę dem lew ej dziedziny rep rezen to w an ia. E lem en ty lew ej dzie dziny in te rp re ta c ji n azy w am y zn ak am i stałym i, a elem en ty p ra w e j dziedziny tej fu n k cji — d en o tatam i stałych. T u z in te r
p re tu je m y jedyn ie p ierw o tn e stałe specyficzne rach u n k ó w τ i τ*; in te rp re ta c ja bow iem ich pozostałych znaków stały ch je s t
zd eterm in o w an a w z n an y sposób.
D f.,2 7 φ = {(A s, R )} , gdzie R je s t re la c ją w dow olnie w y b ra n y m system ie relacy jn y m .
3. 4. P ojęcie spełn ian ia
S p ełn ianie je s t re la c ją czteroczłonow ą zachodzącą m iędzy form u łą, sy stem em rela cy jn y m , in te rp re ta c ją i w artościow a niem . O znaczam y ją sy m b o le m \ = ,a n a p is (X , R ) a czy ta m y : „fo rm u ła a je st sp ełn io n a w sy stem ie re la c y jn y m (X R ) p rzy in te rp re ta c ji φ i w arto ścio w an iu ω”. P rz y jm u ją c sym bol W a n a oznaczenie zb io ru w szy stk ich zm ien n y ch w olnych w form u le et, spełn ianie d e fin iu je m y in d u k cy jn ie :
Df. 28 (X, R ) ((X , R ), Ψ, ω, Y}eSystRelu X { ((A s , R ) } } X X VX <I’A ( (X, R ), φ, ω, 7 )E(r»Z)Wi-e(Z), gdzie:
Wi(Z) = ( I I a, bsV) [((X , R ), φ, ω, a ^ id '-'b je Z = <o(a) = co(b)], W 2(Z) = ( I I a, beV) [((X , R ), φ, co, A s ~ a ~ b ^ Z = ^ (co(a), oi(b) >eR], .Ws(Z) s (ΠαεΦ) [((X , R ), φ, co, n e g ^ n l^ a ^ n p js Z = = ((X , R ), φ, co, «) ^ Z], ,W4(Z) s (Π α β εΦ )[((X , R ), ф, co, n P a ^ n p ^ i m p ^ n l ^ ß ^ n p ) εΖ = = ((<X, R ), Φ, co, u) i, Zv ( (X , R ) , φ, co, β)εΖ)], \ ν 5(Ζ) = (ΠαβεΦ)[<(Χ, R ), φ, ω, η η α ^ η ρ ^ ο η ^ η 1 ''β 'Λη ρ )ε Ζ = (({X , R ), Φ , со, « )εΖ ((X , R ) , φ, ω, β)εΖ], Λ ν6(Ζ)=(Π αβεΦ)[{(X , R ), φ, co, n l ^ a ^ n p ^ e k w ^ n l ^ ^ n p j e Z ^ = ( <
<x,
R ), ч·, ω, α ) ε Ζ = ( ( Χ , R ), φ, со, β)εΖ)],\ντ(Ζ )= (Π α εΦ ) ( Π ν ε ν — Wot) (Ilfe Q ) [ ( ( X , R ), «p, ω, η Γ ί ^ η ρ ^ η ΐ^ α ^ η ρ ) εΖ = ( ( ( X , R ), φ, ω, α)εΖ )],
W 8(Z)=(Ilc^I>) (Ilv sW a ) [( (X , R ), φ, ω, n l^ sig -^ v ^ n p ^ n l α ^ η ρ )εΖ = (EasX) ( ( ( X , R ), φ, ω — { { ν , ω (ν ))}'ν ν ^ { (ν , a ) } , α)εΖ )],
W9(Z) = (I I a 8 ® )(n v E W a )[{ { X ; R ) , φ, ω, nl/' p i rV '^ ip '4iil/v .. α/,'η ρ ) ε Ζ = (Π 3 ε Χ ) ( ( (X , R ) , φ, ω — { ( ν , ω (ν )} } ^
^ { ( ν , a ) } , β ) ε Ζ) ] ,
W i-9(Z )= W i(Z ) ... Wo(Z).
•3. 5. P o jęcie praw d ziw ości w sy stem ie relacyjn ym K lasę form u ł należących do Φ p raw d ziw ych w· sy stem ie re la cy jn y m M przy in terp retacji φ oznaczam y sym b olem E(M, φ) i od pow iednio dla Φ* — sy m b olem E(M, φ)*.
D f. 29 Μ = (X , R ) A M 8S y s tR e lu A 9 = { (A s , R ) } - > -*E (M , φ) = (αεΦ: (Π ω εΧ ^) (Μ 1 = а)}. D f. 30 Μ = (X , R )A k l£ S y s tR e lu Aφ = { (A s , R } } ->
->E(M , φ)* = {αεΦ*: (Π ω εΧ ν ) (Μ 1 = а)}.
3. 6. P ojęcie sem antyczn ego m o d e lu 4 dla zbioru form u ł K lasę m odeli na bazie U dla zbioru form uł ΖΟΦ* oznaczam y sym b olem Ku(Z).
D f. 31 Ku(Z) = { ( X , R )e S y stR elu :
Ψ — { (A s , R ) } A Z C E ( ( X , R ), φ)*}.
4 N a u ży tek logiki ro zró żn ia się zw ykle m odele sem atyczne, sy n ta k - tyczne i algebraiczne. (Zob. np. L. A postel, T ow ards th e F orm al S tu d y o f M odels in th e N o n fo rm a l Sciences, w : T he C oncept and th e Role of th e M odel in M a th em a tics and N a tu ra l and Social Sciences, D ordrecht, 1961). M odele sem atyczne czasam i u to ż sam ia się z tzw . sem im odelam i (system am i re la cy jn y m i p rzy p o rząd k o w an y m i d an e m u rac h u n k o w i przez ok reślo n e re la c je sem atyczne) lu b n a w e t z sam ym i sy stem am i re la c y j nym i. R ozróżnia się też n ie k ie d y m odele sem atyczne je d n o - i w ielo za- k reso w e (zależnie o d ilości u n iw ersó w w je d n y m m odelu).
4. System y porządkowe jako modele rachunków τ i t* Korzystając z pojęć dotąd wprowadzonych możemy już ściśle odnotować podstawowe tw ierdzenie pracy, że modelami rachunków τ i τ* są system y porządkowe: К и(Т) = К и(Т*) = = SystPorZ(j. Dowód tego tw ierdzenia oprzemy na kilku le matach.
LI. CnE(M, q>)e(E(M, <p), gdzie Μ = (X, R jeSystR elu i Ф = = { (As, R}}.
Dla dowodu tego lem atu zauważmy, że jeżeli aeCnE(M, φ), bo istnieją: ß, (n l''ß ''n p ''im p ^ n l^ a ''n p )8 E (M , φ), to 1°. (ΠωεΧν ) (M fipS β) oraz 2°. ( ΠωεΧν) [ M ^ Ś ( п Г ß ~ n p ~ im p ~ n l~ a~ n p )], czyli 3°. (ΠωεΧν ) ( Μ | ^ ß - ^ M ^ a ) i —wobec 1° i 3°— αεΕ(Μ, φ). Podobnie, jeśli veV w ystępuje w formule a jako zm ienna wolna i αεΟηΕ(Μ, φ), bo istnieje βεΕ(Μ, ф) ze zmien ną trV wolną w β, przy czym β tym tylko się różni od a, że w form ule β w ystępuje zmienna t jako wolna na w szystkich tych miejscach, na których w ystępuje w a zmienna wolna v, to αεΕ(Μ, φ).
L2 . B C D E(M, φ) = T CE(M, φ) , Μ = (X, R)8SystRelu,
Φ = {(As, R)}. Zauważmy bowiem, że: BezE(M, φ) =
=C nB cC nE(M , ф)=СпВСЕ(М, ф )=Т С Е(М , ф), bo LI i Df. 15.
L3. Ки(В) = Ки(Т), bo Df. 31 i L2. L4. Ku(B) = Syst.Porzu, bo:
(X, R )8 K u (B )= (X , R )8S ystR eluA ç = {(As, R)}A 'B CE((X , R)> Φ) — (X> R jfS y stR e lu A ^ = {(As, R ) }д (As'^ix/^ix)8E((X, R)> ф)Л (nl'^A s'^ix'^igrekT^kon'^A s'^igrekr'ix'^np'^im p^ixr'id
igrek)8E((X, R), ф )д (nl^A sfM grekA zetf^kon^A s^ixf^igrek^ np'^im p/^As/^ixv>zet)8E((X, R ), φ) = (X ,R )εS ystR eluΛ φ = = { (As, R) }A (ΠωεΧν )((Χ, R ) As ^i x^i x) (Π ω ε χ ν )[(χ , R } 1 1 ^ (η1~A s'^ix'^igrek'-' k o n ^ A s ^ g r e k ^ ix '^ n p ^ im p ^ ix 'i'id ^
igrek)]A (ΠωεΧν)[(Χ, R)|[cp(Ci> (nl~A s/"igrek~zet'~4k o n ''> A s~ i x ^ i g r e k '^ n p ''im p ^ A s ^ ix ^ zet)] = (X, R )εS ystR eluΛ φ = = {(As, R ) } λ (Π ωεΧ ν)((ω(ϊχ), co(ix))8R)A (Πα>εχν)[(Χ,
(A s^ ix ^ ig re k )л (X, R ) |foZ 7 (A s~ ig rek ~ ix )^-(X, R ) ( i *~ id ~igrek)] A ( Π ωεΧν) [ ( X, R ) | { = (A s^ig rek^ zet) Λ ( X, R )
(A s~ix~igrek)->-{X , R)j{ ćp7ćo" (A s ^ ix ^ z e t)j = (X, R jeS y stR ely A Λ φ = {(A s, R )} (Π ω εΧ ν )(Π α = co(ix)((a, а)гН)/ч(ПсоеХу)- [(ω(ΐχ), w(igrek) ), (co(igrek), <o(ix)) tR —>ω(ίχ) = w(igrek)] A д (IIcûEXv [(œ(igrek), <w(zet)), (ω(ίχ), oj(igrek))eR->{co(ix), co(zet)) eR] s (X, R je S y stR e lu A T = ({As, R) } д ( П а е Х ) ( ( а ,
a ) e R ) A (Г1шеХу) (П а = co(ix))(f[b = ®(igrék)}({a,b), ( b ,a ) s R ^ —>-a = Ь )Л (Пс1№Ху) (П а = а>(1х))(ПЬ = o>(zdt))(nm = w(igrek)) ((m ,b ), ( a ,m ) f R ^ ( a ,b ) e R ) = (X, R } eS y stR elu A T = {(A s, R )} A (ria e X )((a , a )e R )A (I Ia , beX )((a, b ), (b, a)sR->-a = b ) A д ( П а , b, m eX )((m , b ), (a, m ) e R ^ ( a , b )fR ) = (X, R )e S y st-
R eluA Reporz(X) = (X, R )eS y stP orzu . L5. Ku(T) = S ystP orzu, bo L4 i L3.
Poniew aż jed n ak klasa tw ierd zeń T* różni się od klasy T tylko tym , że n iek tó re tezy należące do T są w T* pow ielone przez dokonanie jed ynie odpow iednich skrótów — rów nież dla r a ch u n k u τ* obo w iązu ją le m a ty analogiczne do L I —L5:
LI*. CnE(M, φ)*εζΕ(Μ, φ)*, Μ = (X, R jeS ystR elu , φ = {( As, R ) }.
L2*. B ^D C E(M , φ)* = Τ*θΕ(Μ , φ)*, Μ = (X, R )E SystR elU( φ = {(A s, R )}.
L3*. K u (B o D ) = Ku(T*). L4*. Kjj(B '-'D ) = S y stP arzu . L5*. Ku(T*) = S ystP orzu.
III. O statecznie w ięc n astęp stw em lem atów L5 i L5* jest tw ierdzen ie, że Ku(T) = Κ υ·(Τ*) = SystPorzu- Jeżeli przeto utożsam iam y sylogistykę ary stotelesow ą z teo rią τ*, to okazuje się, że jest ona e le m en ta rn ą teo rią system ów porządkow ych.
IV. A n E le m en ta ry T heory of O rdered Sets (sum m ary)
T h e m a in th e sis of th is p a p e r is th e a risto te lia n syllogistic to be an e le m e n ta ry th e o ry o f o rd e re d sets. In o rd e r to p rove th is th e sis a re gi v e n : firs tly th e d efin itio n s o f tw o fix e d calcu li τ a n d τ* o f th e f irs t o rd er, f a r th e r th e d efin itio n s o f th e n o tions o f a re la tio n a l system a n d a n o rd e re d set, su b se q u en tly th e d efinition o f a notion o f a sem an tical m odel, an d fin a lly on th e b asis of th ese definitions a n d A lfred T a rsk i’s a x io m a tic a l m ethodology is given th e proof of th e m a in thesis.
