ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1985
Seria: g ó r n i c t w o z. 138 Nr kol. 840
Bernard ORZąŻLA Aleksander MENOECKI
ZASTOSOWANIE UÓGOLNIONEO ODWROTNOŚCI MOORE’A-PENROSEGO PO LOKALIZACOI OGNISK WSTRZĄSÓW
Streązczenle. Zadanie wyznaczania współrzędnych ognisk wstrzęsów, rozwiązywane w tak zwanym procesie Joint hypocentre location (wspól
nej lokalizacji ognisk) sprowadzono, drogę odpowiednich przekształ
ceń, do wielokrotnego rozwiązywania układów równań liniowych z ele
mentami nadliczbowymi. Wykorzystano tu uogólnioną odwrotność Mooret>- Penrosego, podano jej własności oraz przykład zastosowania w algo
rytmie jednoczesnej lokalizacji zdarzeń sejsmicznych dla górotworu sejsmicznie anizotropowego.
1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O U0GÓLNI0NE3 OOWROTNOŚCI MACIERZY
Uogólnioną odwrotnością (lubi g - odwrotnością) macierzy A stopnia n x n nazywamy taką macierz A ” stopnia n x m, dla której wektor X » A Y Jest rozwiązaniem równania AX * Y lub dla której zachodzi związek a a-A -
• A, Rao [lO] .
Rozpatrzmy równanie
gdzie: A Jest macierzą m x n dowolnego rzędu. Oast oczywistym, że ist
nieje rozwiązanie równania AX ■ gdzis Jest i-tą kolumną macie
rzy A, które można zapisać umownie X * A~a^.
Z rozwiązania tego wynika, że AA~a1 » ait co, uwzględniając, ze speł
niane jest dla każdego i, prowadzi do związku:
Z zależności (1.2) widać, że Jeśli macierz A~ istnieje, to: a a a x » a x, czyli AA- Y <* Y, czyli X = A— Y Jest rozwiązaniem równania (l.l). Można dowieść M * ie macierz A~ istnieje i te rząd A- £ rząd A.
Definicja g- odwrotności nie określa mBCierzy A- w sposób Jednoznacz
ny. Często nakładane są dla wielu zastosowań pewna dodatkowa warunki, tak Jak w przypadku Moore'a [5] i Penrosego [7] , którzy określili uogólnioną macierz odwrotną A° o następujących własnościach:
AX ■ Yj (1.1 )
AA A » A (l.2>
60 B. Drzęila, A. Mendecki
AA°A «■ Aj (AA°)T <= AA0 ;
Każda macierz A stopnie m x n ma dokładnie > jedną odwrotność Moore'a- Penrosego (MP-odwrotność) A° stopnia n x m. Łatwo wykazać. Ze A -1 speł
nia wszystkie warunki (1.3).
Peters i Wilkinson [8] wykazali. Ze MP-odwrotność dowolnej macierzy prostokątnej A moZna określić w naturalny sposób, jako taką macierz, któ
ra między macierzami A~~ minimalizującymi normę euklideeową U b - AA~b|| , gdzie b jest wektorem kolumnowym, ma najmniejszę normę.
Przyjęcie więc rozwięzania x « A°b, układu równań liniowych o elemen
tach nadliczbowych, to Jest układu, w którym liczba równań jest większa niZ rzęd macierzy | A(m > rz) a także rzęd macierzy [Ab] jest większy niż rzęd macierzy A(rz > rz), oznacza znalezienie takiego x, dla którego suma kwadratów odchyłek równań jest najmniejsza. Oeet to zatem rozwiąza
nie w sensie najmniejszych kwadratów.
Ola macierzy prostokątnej A stopnia m x n. gdzie m > n, o rzędzie zupełnym, rz ■ n, MP-odwrotność można obliczyć bezpośrednio ze wzoru, Nashed [6] .
A°AA° = A°j
(A°A)T A°A; (1.3)
A° - (ATA)-1AT , (1.4)
gdzie ATA jest symetryczną, dodatnio określoną macierzą nieosobliwą rzę
du n. Rozwiązanie układu równań liniowych z elementami nadliczbowymi bę
dzie miało wtedy postać:
x » (ATA)-1AT b (1,5)
W przypadku, gdy rząd macierzy podstawowej układu równań liniowych A jest mniejszy od liczby niewiadomych (rz < n) oraz mniejszy od liczby równań (rz < m), przy (rz'> rz), można skorzystać z wyprowadzonej przez geodetę szwedzkiego Bjerhonunara odwrotności N° macierzy osobliwej:
N ■ ATA, dla d « n - r z > O j N° » N(NN)- 1 , z czego wynika. Ze
A° - N°AT » N(NN)-1AT (1.6)
Macierz N, jak również macierz NN są osobliwe, celem więc obliczenia odwrotności (NN)-1 należy znaleźć podraacierz nieosobliwą rzędu rz i po jej odwróceniu tak uzyskaną macierz uzupełnić zerami do wymiarów tabeli NN, co sygnalizuje oznaczenie NN""1 , Prószyński [?] .
Zastosowani« uogólnionej odwrotności.. 61
2. ALGORYTM WSPÓLNEJ L0KALIZAC3I WSTRZĄSÓW W OŚRODKU ANIZOTROPOWYM Z WYKORZYSTANIEM MP-ODWROTNOŚCI
Zakłada się, ża w górotworze, w dwóch prostopadłych kierunkach nożna wyróżnić maksymalną i minimalną ¡wartość prędkości fali P a czoło tej fa
li Jest w każdej chwili elipsoidą, której osie mają kierunek zgodny z kie
runkami wyróżnianych prędkości. Oznacza to, że przyjęty model opisują 4 parametry anizotropiiii
Vj, Vj • ekstremalne wartości prędkości fali P oraz
^ - kąty określająca kierunki osi elipsoidy.
Z obliczeń opartych na praktycznych rejestracjach wstrząsów w kopal
niach wynika, że tak przyjęty model sejsmiczny górotworu daje wyniki loka
lizacji tak samo dokładne jak model 6-parametrowy, Drzężla, Mendecki [2] , zapewnia jednak bliższe rzeczywistości, w sensie fizycznym wartości wyzna
czanych w procesie lokalizacji parametrów anizotropii prędkości fal sejs
micznych. Wynika to z faktu, że wraz ze wzrostem liczby wyznaczanych pa
rametrów w procesie obliczeń pogarsza się numeryczna poprawność, stabil
ność oraz uwarunkowanie stosowanych algorytmów.
Dla opisanego wyżej modelu górotworu można napisać następujący ukłaa równań stacyjnych<
K i - x'i >2 . K i - *'i >2 K i - zi )2
v l (tiJ - »oi*2 v l (tij - * o i ^ vI (tij - *•!>
1. (2.1)
gdzie :
xói»Xói*zói “ współrzędne ogniska i-tego wstrząsu, w nowym, określonym przez kierunki anizotropii układzie współrzędnych 1 tQi - czas powstania ogniska i-tego wstrząsu»
x',y',z' - współrzędne w układzie kierunków anizotropii, j-tego sta
nowiska sejsmometru»
tŁj - czas wejścia fali P do J-tego stanowiska w przypadku i-tego wstrząsu»
v3 ,v1 - prędkości fali P w wyznaczanych kierunkach anizotropii»
xv ■ x coaf * y sinf ♦ z sini1»
y'm x sinfcosi1 + y cos^cos» ♦ z si n“^ (2.2)
62 B. Drzęźle, A. Mendacki
*P, v' - kety precesji i nutacji Eulera (ket właściwego obrotu V przyj
mujemy równy O), określaJece obrót podstawowego układu współ
rzędnych do wyznaczanych kierunków anizotropii) 1 ■ 1,2,....w; w - liczba wspólnie lokalizowanych wstrzesów,
J • 1,2,...,8) s - maksymalna liczba stanowisk sejsmometrów, które za
rejestrowały Jeden z lokalizowanych wstrzesów.
W celu wyeliminowania niewiadomych współrzędnych ognisk wstrzesu w kwa
dracie, odejmujemy stronami równanie dla k-tego stanowiska od pozostałych równaó, przy czym k może być różne dla różnych wstrzesów.
Po wykonaniu wskazanych działań oraz przyjęciu poniższych oznaczsń otrzymamy, dla i-tego wstrzesu układ s-1 równań liniowych ze względu na xol' Voi- zoi oraz 'oi*
"lXJxói + "lY> ó i + "32Jz;i + ^ * 0 1 - Rij (2*3 >
gdzie:
XJ “ 2 K - XJ>» Yj " 2 < K ~ Vj>* 2J “ 2(zk “ zj>*
TiJ “ 2(tiJ " *ik>*- "l " T * *3 " J ?
V 1 3
Rłj " " l ^ " XJ2 ’ + " i t y * - *J2 > + w3 (zk2 - Z J2 > + »ij " *ik
i * 1,2,... ,W| J ■ 1,2,... ,8) J kl B ^ 5.
Proces wspólnej lokalizacji wstrzesów (Joint hypocentre location) po
lega na tym, Ze iz układu (2.3), rozwiezanego z zastosowaniem MP-odwrotno- ści, otrzymujemy rozwiezania Jawne na xo i , yQ i , zQl oraz tQ l , które eę oczywiście funkcjami parametrów anizotropii. Następnie tworzymy funkcję strat (błędu lokalizacji), jako sumę kwadratów różnic niespełnienia w y j ściowego układu (2.1) po wszystkich stanowiskach i po wszystkich wstrze- sach, w której te jawne rozwiezania występuję i minimalizujemy Je ze względu na parametry anizotropii. Wartości tych parametrów, które zapew- nlaję minimum funkcji strat daję tym samym, po uwzględnieniu ich w jaw
nych rozwięzsniach na xQ l , yQ l , zoi oraz tQi , ostateczne rozwiezania lokalizacji grupy wstrzęsów, a wyznaczane parametry anizotropii można, w zależności od Jakości i liczby danych, traktować Jako średnie reprezen
tatywne dla danego rejonu. 3ak z tego wynika, proces minimalizacji funk
cji strat przebiega w czterowymiarowsj przestrzeni parametrów anizotropii.
Zastosowanie uogólnionej odwrotności.. 63
a w każdym kroku poszukiwanie minimum naleZy oprócz transformacji układu współrzędnych, według wzorów (2.2) rozwiązać dla każdego wstrząsu układ (2.3). W przypadku, gdy liczba stanowisk sejsmometrów, która zarejestro
wała kaZdy z wstrząsów spełnia warunek s > 5, to układ (2.3) jest ukła
dem o rzędzie zupełnym, a w przypadku, gdy s > 5 , to układem o rzędzie zupełnym z elementami nadliczbowymi. Rozwiązanie takiego układu, w sen
sie najmniejszych kwadratów zapewnia wzór (2.3) w postaci macierzowej:
(2.4) A iHi - b'i
gdzie:
- jest macierzą prostokątną (w szczególności 8^ x 4, a s i “ oznacza liczbę stanowisk rych został zarejestrowany i-ty wstrząs:
"lX i "i Y l W 3Z 1 T il A i ‘ • • • • • ••• • • • • ••••
" l ^ - l w3Zsi-l T i,s1-l
< « [XOi* yoi' zói* ‘oij
b'i ’ K i —
(2.5)
Rozwiązania układu (2.4) moZna dokonać w oparciu o wzór (1.5) - są one funkcjami w 1> w3 ,f oraz ■J’ i można je zapisać w postaci:
(2.6)
Otrzymane rozwiązanie lokalizacji i-tego wstrząsu, Jako funkcji para
metrów przyjętego modelu anizotropii, wprowadzane Jest do tworzonej nume
ryczne funkcji strat zdefiniowanej następująco:
w si r ---- ,
. L(w1 ,w3 .^>.ł) - 2 2 [yw i<xói'xJ )2 + " l (vói-yj )2 + w 3 (2ól_2j )2 "
i-i J-l '
(2.7)
B. Orzęźla, A. Mendecki
Minimum funkcji (2,7), dajęc najlepsze wartości parametrów modelu, za
pewnia wzorami (2.6) rozwiązanie zadania lokalizacji; natomiast wyznacza
ne kierunki anizotropii oraz ekstremalne wartości prędkości fali P w tych kierunkach, a zwłaszcza ich zmiany w czasie, mogę być cennę wskazówkę dla oceny stanu górotworu.
Oak wynika z układu (2.4) minimalna liczba stanowisk, na których zare
jestrowany jest jakikolwiek ze wspólnie lokalizowanych wstrzęsów wynosi 5.
Pozostaje do określenia konieczna liczba wspólnie lokalizowanych wstrzę
sów z danego rejonu (grupa wstrzęsów), która przy rejestracjach każdego zdarzenia na e± stanowiskach, s^ > 5, spełni nierówność* sumaryczna
w
liczba równać « 2 e. musi być większa lub równa liczbie niewiadomych i-i l
m 4w ♦ |4i
w
2 sŁ - 4w - 4 > Ol przy 8± > 5 dla i ■ 1,2,...,8 (2.8) 1-1
Oak łatwo zauwaZyć, zaleZność (2.8) Jest spełniona, przy rejestracjach 4 wstrzęsów na 5 stanowiskach sejsmometrów.
W przypadku, gdy w procesie lokalizacji wyznaczamy tylko wartości i v 3 dla zadanych (znanych) kierunków anizotropii, relacja (2.8) przyjmie postać t
i"
2 Si - 4 w - 2 > 0 (2.9)
i-i
3. PROBLEMY NUMERYCZNE ZWIĄZANE Z REALIZACOĄ PRZEDSTAWIONEGO ALGORYTMU
Praktyczna realizacja omówionego algorytmu, zwłaszcza przy korzystaniu z maszyny cyfrowej, może napotkać na następujęce problemy natury numerycz
nej :
1) złe uwarunkowanie zadania;
2) numeryczna poprawność oraz stabilność zbudowanego algorytmu;
3) sposób obliczania macierzy jj[A^)TaJ - wzór (2.6);
4) możliwość pojawienia się wśród wspólnie lokalizowanych wstrzęsów takiego, dla którego dane (czasy wejścia fali P) obarczone sę wyjętkowo dużym błędem (pomyłka-, nieczytelna rejestracja itp.);
5) złożony, w sensie numerycznego poszukiwania minimum, kształt funk
cji strat lub wielość jej minimów.
Zastosowania uogólnionej odwrotności..
Ad 1. Niekorzystne położenia analizowanej grupy wstrząsów względem sie
ci stanowisk rejestrujęcych lub błędy w odczytach czasów mogą spowodować, że rozwiązywany wielokrotnie układ (2.4) będzie żle uwarunkowany. Oznacza to, że niewielka względna zmiana danych, np. na skutek zaokrągleń w pro
cesie obliczeń, może spowodować duże zmiany względna rozwiązania. Miarą (wskaźnikiem) uwarunkowania układu równań liniowych jest wartość iloczynu normy uogólnionej odwrotności macierzy podstawowej układu przez normę tej macierzy, czyli tzw. condition:
cond(A^) - ||A^ |j . ||(A^)°|| - || a; || || [ K ) ^ ] - 1 (A^)T || (3.1)
gdzie 8ymbol||o|| może oznaczać Jedną z norm wektorowych Hóldera.
W tym przypadku proponuje się przyjąć normę euklidesowę macierzy, tzn.
liczbę rzeczywistą nieujemną taką, żet
K I
Si-l
2
p-i
4
2 |
q-l i.p.q - T r [ w l • (3.2)
gdzie <
a^ p q - elementy macierzy A^.
Można wykazać, Dryja i inni [3] , że za względu na błąd reprezentacji danych w arytmetyce zmiennopozycyjnej, calowe : jest rozwiązywanie jedynie
' *
tych układów, dla których wskaźnik uwarunkowania jest mniejszy od 2 , gdzie t Jest liczbą cyfr binarnych przeznaczonych na reprezentację man- tysy. Jeżeli więc w procesie obliczeń część z analizowanych wstrząsów nie spełnia tej relacji lub też gdy ich wartości cond(A^) są duże, w porów
naniu z wartościami dla pozostałych wstrząsów, to przy tworzeniu funkcji strat można wprowadzić wagę, która będzie odwrotnością wskaźnika uwarun
kowania układu (2.4) dla danego wstrząsu. W przypadku gdy wszystkie wspól
nie lokalizowane wstrząsy charakteryzują się dużymi wartościami wskaźnika uwarunkowania,należy przeanalizować geometrię stanowisk względem rozpatry
wanego rejonu wstrząsów, w miarę możliwości należy wybrać inną konfigura
cję stanowisk rejestrujących lub przeprowadzić przebudowę sieci tak, aby otrzymywać w danym rejonie mała wartości cond (A^). Jeżeli zmiana geome
trii stanowisk względem rejonu Jest niemożliwe, można próbować poprawić uwarunkowanie zadania przez tzw. skalowanie układu. Polega ono na skon
struowaniu takich macierzy diagonalnych i Oj aby wskaźnik uwarun
kowania, cond (Dj A^ D2 ) był możliwie mały.
w szczególnym przypadku może to być Jedna macierz diagonalna O.
Smith [li] wykazuje, że rolę macierzy skalującej może spełniać taki dobór jednostek, w których podajemy dane (czasy wejście fali i współrzędne sta
nowisk), aby elementy macierzy podstawowej układu były rzędu 1.
66 B. Drzęźla, A. Msndeckl
Ad 2 . Nie zawsze Jednak układy równań dobrze uwarunkowane maje wektor residualny, w tym przypadku ri ■ (A^H^ - b^), mały, spełniający warunek algorytmu numerycznie poprawnego, tzn. takiego,dla którego zachodzi nie
równości
||rj < k 2* 1 A;i ||H^|, (3.3)
gdzie: k ma być najwyżej rzędu e3.
Z kolei, z dwóch algorytmów numerycznie poprawnych, spełniajęcych wa
runek (3.3), wektor residualny o mniejszej normie nie zawsze odpowiada dokładniejszemu rozwięzaniu. Często, wobec trudności zbudowania algorytmu numerycznie poprawnego zachodzi pytanie, jakie minimalne wymagania należy postawić przed danym algorytmem. Otóż konieczną własnością algorytmu jest ograniczoność utraty dokładności rozwiązania w stosunku do możliwości stosowanej arytmetyki, tzn. obliczone rozwiązanie powinno być tak dokład
ne na ile pozwala przybliżona reprezentacja danych i wyniku.
Własność ta nazywana jest numeryczną stabilnością algorytmu i w przy
padku układów równań liniowych są to rozwiązania spełniające, dla omawia
nego tu przykładu, nierówność [3] t
llHŁ k 2_t cond(Aj[) II II 1 - k 2"t cond(A^)
gdzie oę Jest rozwiązaniem dokładnym; k rzędu co najwyżej s3 ,
□la wstrząsów bardzo źle uwarunkowanych, gdzie cond(A^) * 2*, błąd (3.4) może być bliski jedności.
Ad 3 . Oedna z metod obliczania macierzy [(A Í)TA^]",1 polega na obli
czeniu najpierw macierzy (A^)TA^, a następnie na jej odwróceniu. Można to Jednak zrobić bezpośrednio, korzystając z twierdzenia o sprowadzaniu macierzy do postaci trójkątnej za pomocą macierzy ortogonalnej: a[ ■
" gdzie Jest macierzą ortogonalną m x n, a r' macierzą górną trójkątną n x m. Można wykazać, że:
[ K ) TaH - - (r;)-1 ^ ) 1] - 1 (3.5)
Rozkładu ortogonalno-trójkątnego macierzy A można dokonać metodami Cho- lesky‘ego-Banachiewicza (około ^ n3 działań), Grama-Schmldta (około m x n 2 działań), przekształceń Householdera (mn2 - | n3 działań) oraz obrotów Glvensa. Metoda Grama-Schmidta Jest numerycznie stabilna, natomiast ms- toda Householdera oraz obrotów Givensa są numerycznie poprawne w klasie macierzy posiadających pełny rząd [13] . Odwracanie bezpośrednie, rozkład QR, zmniejsza z pierwiastkiem kwadratowym uwarunkowanie zadania.
Zastosowania uogólnionej odwrotności,. 67
Ad 4 . W calu pomniejszenia wpływu watrzęsów obarczonych dużymi błędami na kształt funkcji strat, a tym samym na dokładność obliczeń, nożna za«
atosować odpowiednie wsianie tworzonej w aposób numeryczny funkcji (2.7).
Błęd lokalizacji i-tego wstrzęsu dla znanych, w danym kroku poszukiwania minimum, parametrów anizotropii wynosit
Bi " 2[ f" !(xói-xP 2 * "l(VÓi-Vj)2 + "3(zoi-Zj)2 - ««ij^oii*
J_1 (3.6)
OznaczaJęc przezt A » min(B,)j B ■ max(B,) dla i ■ 1,2,...,w, oraz C ■ B — uA
« gdzie 0 < u < 1, można jako wagę dla i-tago wetrzęsu przyjęć iloraz
Pi ■ (3*7 >
Przyjęcie takiej wagi oznacza. Ze wstrzęe obarczany największym błędem otrzymuje wagę u, natomiast najmniejszym wagę 1.
Ważona funkcja strat (błędu) wyniesie wówczas i
(B - UA) 2 Bi “ d - u) 2
W L --- 1=^--- (3.B)
w(B - uA) - (1 - u) 2 Bi i-i
Ad 5 . W każdym przypadku numerycznego budowania oraz dalej minimalizo
wania funkcji wielu zmiennych, w tym przypadku funkcji strat (2.7), poja
wia się niebezpieczeństwo wielości minimów oraz skomplikowanych kształtów funkcji, co pomnaZa liczbę kroków koniecznych do odnalezienia minimum.
Z dotychczasowych doświadczeń autorów wynika. Ze w szerokim zakresie fi
zycznie możliwych parametrów anizotropii badane funkcje błędu lokalizacji maję Jedno minimum.Z uwagi jednak na kształt ich warstwie zawodzę, nej- częściej stosowane, proste metody poszukiwania minimum, np. metoda gra
dientu. Zadawalajęce wyniki, zarówno co do czasu obliczeń. Jak 1 dokład
ności wyznaczenia minimum, uzyskano dopiero po zastosowaniu algorytmu gradientu sprzężonego Fletchera-Reevsa i metody kierunków sprzężonych Powelle w połęczeniu z metodę węwozowę Gelfanda-Cetlina. Ola porównania warto może powiedzieć. Ze przy etoeowanej poczętkowo pewnej odmianie me
tody Gauaea-Seidela czas obliczeń na maszynie 00RA 1305 wynosił kilka go
dzin, podczas gdy obecnie wynosi kilka do trzydziestu kilku minut.
68 B. Drzęźla, A. Mandackl
LITERATURA
[1] Bolt B. t Earthquake location for small networks using the generall- zed inverse matrix. Bull. Seism. Soc. Am. vol. 60, no. 6, 1823-1828, 1970.
[2] Drzężla B . , Mendocki A. < Joint hypocentre location of mining tremors and determination of anisotropy parameters of P-wave velocity, Acta Geophyaica Polonica, vol. 30, no. 4, 321-333, 1982.
[3] Dryja M . , Jankowska I . , Jankowski M. s Przeględ metod 1 algorytmów numerycznych. Cz. II, WNT, Warszawa 1982, 13-29.
[4] Oenner T.I., Loizon G . : Some new bounds of the condition numbers of optimally scaled matrices. J. ACM, 1974, no. 21, 514-524.
[_5] Moore E.H. t General analysis, American Phil. Soc. Philadelphia, 1935.
[6] Nashed M.Z. : Generalized inverses and applications. Proceedings of an Advaced Seminar, Univ. of Wisconsin-Medison 1973.
[7] Penrose R. : A generalized Inverse for matrices. Proc. Camb. Phil.
Soc. 51, 406-413, 1955.
[8] Peters G . , Wilkinson J.H. t The least squares problem and pseudoinver
ses. The Computer Journal, v. 13, no. 3, 309-316, 1970.
[9] Prószyński W. j Wprowadzenie do zastosowań odwrotności uogólnionej Moore'a-Penrosego w wybranych zagadnieniach wyrównawczych, Geodezja 1 Kartografia, tom 30, z. 2, 123-130, 1981.
[id] Rao C.R. : Modele liniowe statystyki matematycznej. PWN, Warszawa 1982, 42-45.
[11] Smith E.G.C. t Scaling the equations of condition to improve condi
tioning. Bull Seism. Soc. Am., vol. 66, no. 6, 2075-2081, 1976.
[12] Warmus M . : Uogólnione odwrotności macierzy. PWN, Warszawa 1972.
[is) Wilkinson J.H., Reinsch C. t Handbook for automatic computation, vol.
2, Linear algebra. Springer 1971.
Recenzent s Prof. dr inZ. Józef A. LEDWOfi
Wpłynęło do Redakcji w lipcu 1984 r.
nPHMEHEHHE 0B0BIĘEHH0H OBPAIHOH MATPHIJH UyPA-IIEHPOCA JIM JI0KAJIH3AIÍKH O'iATOB rOPHHX yjUPOB
P e 3 i a 1
3 a f l a 3i a o n p e j i e j i e H a s K O o p z H H a r c m a r o B c o i p a c e H H f l , p e n a e u a a b i . h . n p o q e o c e o ó m e f t j i O K a J i H3 a u a H ó n a a c B e a e H a , « i e p e3 c o o T B e i c T B y n z e e n p e o 6 p a 3 0 B a H a e , k m h o - r o K p a T H O u y p e n e t u n o c z c T e M j ¡ B H e ü H a x y p a B H e H H f i , c n p e B i m a m a m i c s e p x H o p M H K O Z H a e c T B O u a z e u e H T O B , H c n o z b a o B a n a 3 Ą e c h o O o O b S h h s u l o C p a m a a n a i p z i i a k y p a - n e n p o c a . n p e f l C T a B J i e m i e e c b o f t C T B a a T a x x e n p H s e z e H n p o n u e p n p a u e H e a u a 8 a z r o p H T u e o * H O B p e i i e H H o f l z o K s u i H 3 a i { H H c e t t c u H H e c K K x H B a e H z f l f l z a c e f t c m m e c x H a H H3 o i p o n H o r o r o p o o O p a s o B a H M ,
Zaatoaowanie uogdlnlonej odwrotnoAcl.. 69
APPLICATION OF GENERALIZED MOORE-PENROSE INVERSE FOR LOCATING TREMOR HYPOCENTRES
S u m m a r y
The problem of determining the coordirtatee of tremor foci, eolved in the so-called joint hypocentre location, has been reduced, through suita
ble transformations, to multiple solution of linear equations system with supernumerary elements. A generalized Moore-Penrose Inverse has bsen used here and its properties, as well as an example of its application in an algorithm of simultaneous location of seismic avents for aelemlcally anisotropic rock mass, have been given.
