Zadania z Analizy II R
Operatory liniowe i ich normy - 13 marca
Zadanie 1
(MKo i MW)
Ustalmy t0 ∈ [−1, 1]. Sprawdzić, że na przestrzeni X = C[−1, 1] funkcjonał ewaluacji φ : X → R, φ(x) = x(t0) nie jest ciągły w normie kxk1 = R−11 |x(t)|dt, natomiast jest ciągły dla normy kxk∞= sup |x(t)|.
Zadanie 2
(PS i SK)
Niech X0 := C[0, 1] oraz X1 := C1[0, 1]. Zbadać ciągłość (i ewentualnie obliczyć normę) operatora różniczkowania D : X1 → X0, Dx = ˙x, jeśli w X0 i X1 normy są zadane wzorami:
a) kxk1 :=R01|x(t)|dt, kyk0 =R01|y(t)|dt;
b) kxk1 := sup |x(t)| + sup | ˙x(t)|, kyk0 = sup |y(t)|.
Zadanie 3
(MR i SŻ) Zbadać, czy operator liniowy F : `1(N) → `∞(N) dany wzorem F (x1, x2, . . .) = (x1, x1+ x2, x1+ x2+ x3, . . .)
jest ograniczony. Jeśli tak, znaleźć jego normę. Zbadać, czy operator F−1 : imF → `1(N) jest ograniczony.
Zadanie 4
(WC i PT)
Znaleźć normę operatora
F (x) :=
"
3 −4 11
5 2 −6
#
x
jeśli normy w X = R3 i Y = R2 dane są wzorami:
a) kxk = max |xi|, kyk = max |yi|;
b) kxk = max |xi|, kyk =Pi|yi|.
1
Zadanie 5
(MG i MKu)
Niech Y będzie dowolną skończenie wymiarową przestrzenią unormowaną. Niech na Rn zadana będzie norma `1. Niech F : Rn → Y będzie operatorem liniowym. Udowodnić, że F ograniczony i kF k = maxjkF ejk, gdzie ej to baza standardowa Rn.
2
