Zadania z Analizy II R

(1)

Zadania z Analizy II R

Różniczkowanie złożeń odwzorowań - 17 marca

Zadanie 1

(MR i SK)

Niech f ∈ C

¹

(R

²

\ {0}). Sprawdzić, że

x ∂f

∂y − y ∂f

∂x = 0 ⇐⇒ ∃g ∈ C

¹

(0, ∞) : f (x, y) = g(x

²

+ y

²

).

Zadanie 2

(PS i MW)

Niech u ∈ C

¹

(R

²

), p ∈ R. Dowieść, że

(1 + x

²

)u

⁰_x

− 2pxyu

⁰_y

= 0 ⇐⇒ [u jest postaci u(x, y) = φ(y(1 + x

²

)

^p

)]

gdzie φ ∈ C

¹

(R).

Zadanie 3

(MKo i SŻ - pierwsze dwa podpunkty, WC i MKu - ostatnie dwa podpunkty)

Niech u będzie funkcją klasy C

²

na obszarze Ø ∈ R

³

, zaś funkcje U = U (ρ, φ, z) i ˜ U = ˜ U (r, θ, φ) jej przedstawieniami we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Wyprowadzić wzory:

(1)|∇u|

²

= (U

_ρ⁰

)

²

+

_ρ¹2

(U

_φ⁰

)

²

+ (U

_z⁰

)

²

; (2)∆u = U

_ρρ⁰⁰

+

¹_ρ

U

_ρ⁰

+ U

_zz⁰⁰

+

_ρ¹2

U

_φφ⁰⁰

;

(3)|∇u|

²

= ( ˜ U

_r⁰

)

²

+

_r¹2

( ˜ U

_θ⁰

)

²

+

_r2sin¹²θ

( ˜ U

_φ⁰

)

²

;

(4)∆u = ˜ U

_rr⁰⁰

+

_r¹2

U ˜

_θθ⁰⁰

+

_r₂_sin¹2θ

U ˜

_φφ⁰⁰

+

²_r

U ˜

_r⁰

+

^{ctg θ}_r2

U ˜

_θ⁰

.

Tutaj f

_x⁰

oznacza pierwszą pochodną funkcji f po z zaś f

_xx⁰⁰

druga pochodną funkcji f po z.

Zadanie 4

(MG i PT)

Niech u = u(x, y) będzie funkcją klasy C

²

na pewnym obszarze w R

²

, a U = U (ρ, φ) jej przed- stawieniem we współrzednych biegunowych. Wyrazić wielkość L :=

_∂ρ^∂ ¹_ρ^∂U_∂φ

we współrzędnych kartezjańskich (x = ρ cos φ, y = ρ sin φ).

1