Zadania z Analizy II R Przestrznie Banacha - 10 marca

Zadania z Analizy II R

Przestrznie Banacha - 10 marca

Zadanie 1

Pokazać, że przestrzeń

l^p := {zbiór ciągów (an)^∞_n=1 ∈ R takich, że

∞

X

n=1

|a_n|^P < ∞}

jest zupełna.

Zadanie 2

Niech X będzie przestrzenią Banacha a K zbiorem zwartym. Pokazać, że przestrzeń funkcji ciągłych z K w X (ozn. C(K, X)) z normą kf k = sup_t∈Kkf (t)k_X jest przestrzenią Banacha.

Zadanie 3

Sprawdzić, że na przestrzeni X = C¹[0, 1] normy kxk1 := sup_t∈[0,1]|x(t)| + sup_t∈[0,1]| ˙x(t)|, kxk2 :=

|x(0)| + sup_t∈[0,1]| ˙x(t)| oraz kxk₃ :=^R₀¹|x(t)|dt + sup_t∈[0,1]| ˙x(t)| są równoważne. Dowieść, że prze- strzeń X jest zupełna względem tych norm.

Zadanie 4

Sprawdzić, że na przestrzeni X = C[a, b] norma kxk∞:= sup_t∈[a,b]|x(t)| jest mocniejsza od normy kxk₁ :=^R_a^b|x(t)|dt, to znaczy, że istnieje stała C₀ > 0 taka, że kxk₁ ¬ C₀kxk∞ dla każdego x ∈ X natomiast nie istnieje stała C > 0 taka, że kxk∞ ¬ Ckxk₁ dla każdego x ∈ X.

1