Zadania maturalne z analizy
25 pa´ zdziernika 2018
1. W´sr´od wszystkich graniastos lup´ow prawid lowych tr´ojkatnych, w kt´orych suma d lugo´sci wszystkich krawedzi jest r´owna 12, jest taki, kt´ory ma najwieksza objeto´s´c. Oblicz d lugo´sci krawedzi tego graniastos lupa i jego objeto´s´c.
2. Rozwa˙zmy wszystkie ostros lupy prawid lowe sze´sciokatne, w kt´orych suma d lugo´sci kr´otszej prze- katnej podstawy i wysoko´sci ostros lupa jest r´owna 9. Wyznacz d lugo´s´c krawedzi podstawy tego z rozwa˙zanych ostros lup´ow, kt´orego objeto´s´c jest najwieksza. Oblicz te najwieksza objeto´s´c.
3. Wyka˙z, ˙ze r´ownanie 2x33x25 = 0 ma w przedziale (2, 3) dok ladnie jedno rozwiazanie.
4. Wielomian f jest dany wzorem f (x) = 3x4− 4kx3+ 6x2− 12kx z parametrem rzeczywistym k.
Wyznacz wszystkie warto´sci k, dla kt´orych funkcja f jest rosnaca w przedziale [2; +∞) i nie jest rosnaca w ˙zadnym przedziale postaci [a; +∞) dla a < 2.
5. Funkcja wymierna f jest dana wzorem f (x) = x2+2x+2x+1 . Wyznacz warto´s´c najmniejsza i warto´s´c najwieksza, jakie ta funkcja przyjmuje dla argument´ow z przedzia lu [3, ].
6. Na kuli opisano sto˙zek, o najmniejszej objeto´sci. Oblicz stosunek pola powierzchni tego sto˙zka do pola powierzchni kuli.
7. Dana jest funkcja f okre´slona wzorem f (x) = |x+3|+|x3|x dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x 6= 0.
Wyznacz zbi´or warto´sci tej funkcji.
8. Dane sa funkcje f (x) = ax+12x+b oraz g(x) = ax+cax+1, o kt´orych wiadomo, ˙ze ich wykresy maja punkt wsp´olny P (9,1113), a miejscem zerowym funkcji g jest liczba: 53. Wyznacz warto´sci parametr´ow a, b, c.
9. Funkcja f jest okre´slona wzorem f (x) = xx−12+1 dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz r´ownanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (1, 0).
10. Przeprowadzono prosta r´ownoleg la do osi Ox, kt´ora przecie la wykres funkcji f (x) = x−2w punktach A i B. Niech C = (3, 1). Wyka˙z, ˙ze pole tr´ojkata ABC jest wieksze lub r´owne 2.
11. Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni ca lkowitej P . Oblicz wysoko´s´c i promie´n podstawy tego walca, kt´orego objeto´s´c jest najwieksza. Oblicz te najwieksza objeto´s´c.
12. Rozpatrujemy wszystkie trapezy r´ownoramienne, w kt´ore mo˙zna wpisa´c okrag, spe lniajace waru- nek: suma d lugo´sci d lu˙zszej podstawy a i wysoko´sci trapezu jest r´owna 2.
(a) Wyznacz wszystkie warto´sci a, dla kt´orych istnieje trapez o podanych w lasno´sciach.
(b) Wyka˙z, ˙ze obw´od L takiego trapezu, jako funkcja d lugo´scia d lu˙zszej podstawy trapezu, wyra˙za sie wzorem L(a) = 4a2−8a+8a .
(c) Oblicz tangens kata ostrego tego spo´sr´od rozpatrywanych trapez´ow, kt´orego obw´od jest naj- mniejszy.
13. Styczna do paraboli o r´ownaniu y =√
3x2− 1 w punkcie P = (x0, y0) jest nachylona do osi Ox pod katem 30o. Oblicz wsp´o lrzedne punktu P .
14. Funkcja f jest okre´slona wzorem f (x) = xx−12+1 dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz r´ownanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (0, 1).
1
15. Udowodnij, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nier´owno´s´c x4− x2− 2x + 3 > 0.
16. Funkcja f okre´slona jest wzorem f (x) = x3− 2x2+ 1 dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz r´ownania tych stycznych do wykresu funkcji f kt´ore sa r´ownoleg le do prostej o r´ownaniu y = 4x.
17. Zbadaj monotoniczno´s´c i wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x) = 2x3− 15x2+ 36x + 144.
18. Zbadaj monotoniczno´s´c i wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x) = x2x+1. 19. Zbadaj monotoniczno´s´c i wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x) = x +√
1 − x.
20. Dla jakich warto´sci parametu m, gdzie m ∈ (−∞, 0) ∪ (4, ∞), prosta k o r´ownianiu y = −x + 0, 5 jest styczna do wykresu funkcji f (x) = 43x3+ 2x2+ log24√3(m2− 4m)?
21. Udowodnij, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nier´owno´s´c x4− 2x3− 2x2+ 9 > 0.
22. Rozwa˙zmy zbi´or wszystkich trapez´ow r´ownoramiennych o przekatnej d lugo´sci 10√
6. Wyznacz sume d lugo´sci podstaw tego trapezu, kt´orego pole jest najwieksze. Jaka warto´s´c ma to pole?
23. Rozpatrujemy wszystkie tr´ojkaty r´ownoramienne ostrokatne wpisane w okrag o promieniu d lugo´sci 2. Wyznacz d lugo´s´c wysoko´sci tego z rozpatrywanych tr´ojkat´ow, kt´orego pole jest najwieksze.
Oblicz to pole.
24. Wyznacz najwieksza warto´s´c funkcji okre´slonej wzorem f (x) = 9x − x3 w przedziale < 0; 2 >.
25. Przez poczatek uk ladu wsp´o lrzednych poprowadzono styczne do paraboli o r´ownaniu y = 14x2+ 3.
Oblicz miare kata ostrego miedzy stycznymi.
26. Wyznacz r´ownania wsp´olnych stycznych do wykres´ow funkcji f (x) = x2−x+l i g(x) = 12x2−x+2.
27. Punkty A i B le˙za na krzywej o r´ownaniu x2− y + 1 = 0 i sa symetryczne wzgledem punktu M = (−1, 4) i wraz z punktem C le˙zacym na tej krzywej pomiedzy punktami A i B wyznaczaja tr´ojkat. Uzasadnij, ˙ze pole tr´ojkata ABC jest najwieksze, je´sli C = (−1, 2).
28. Rozpatrujemy wszystkie tr´ojkaty o obwodzie L i jednym z kat´ow o mierze 120o. Oblicz d lugo´sci bok´ow tego tr´ojkata, dla kt´oego pole ko la wpisanego w ten tr´ojkat bedzie najwieksze.
29. Do wykresu funkcji f (x) = x3− 3x − 2 poprowadzono styczna k w punkcie M o odcietej x = −2.
Prosta k przecie la wykres funkcji f w punkcie A, A 6= M . Wyznacz wsp´o lrzedne punktu A.
2
