6. PROCENT SKŁADANY

(1)

6. PROCENT SKŁADANY

6.7. PRZYKŁADY

6.7.1. Oblicz liczbę okresów kapitalizacji niezbędnych do powiększenia kapitału początkowego P = 2000 zł do wysokości najbliższej zadanej kwocie F = 5000,00 zł przy kapitalizacji półrocznej i stopie procentowej r = 26%. .

Rozwiązanie:

Zgodnie z drugim wzorem z cz. 6.2. dla i=r/2=0,13 obliczam [n]:

n 

  

log log

F P i

n

( ) , ,

1

5000 2000

1 13 7 4972 log

log

; [n]=7

Po 7 półroczach otrzymuje się kwotę 4705,21 zł, a po 8 półroczach - kwotę 5316,89 zł (por.

wzór z cz. 6.1).

Odpowiedź: Liczba półrocznych okresów kapitalizacji niezbędnych do powiększenia kapitału P=2000 zł do wysokości najbliższej kwocie F=5000 zł wynosi 7; otrzymana po 7 półroczach kwota będzie nieco mniejsza od 5000 zł (będzie równa 4705,21 zł).

6.7.2. Oblicz kapitał podstawowy P i współczynnik dyskontujący dla kwoty F = 300 zł, uzyskanej po 8 latach przy oprocentowaniu r = 20 % i kapitalizacji kwartalnej.

Rozwiązanie:

Dane:

 F = 300 zł

 r = 0,20 kapitalizacja kwartalna, skąd i = r/4 = 0,05

 n = 8 lat = 32 okresy kapitalizacyjne

Szukane:

 P = ?

 Współczynnik dyskontujący ( 1 + i )^-n = ?

Wartość aktualną kapitału P wyznacza się na podstawie znajomości przyszłej wartości kapitału F:

P F(1i)^ⁿ 300 1 0 05(  , )^³² 62 96, zł Współczynnik dyskontujący:

(1i)^ⁿ (1 0 05 , )^³² 0 2098,

Odpowiedź: Wartość kapitału podstawowego wynosi 62,96 zł , a współczynnik dyskontujący jest równy 0,2098.

6.7.3. Które oprocentowanie jest korzystniejsze dla inwestora: 22 % z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21 % z codzienną kapitalizacją odsetek ?

Rozwiązanie:

Dla ^rm= 22 % ( kapitalizacja odsetek co miesiąc )

r r

eff

 ( )k   ( ,  

) ,

1 1 1 0 22

12 ¹² 1 0 2436

k czyli ^r^{m eff}^, ^{ 24 36%}^,

Dla rd = 21 % ( kapitalizacja odsetek co dzień )

r r

eff  ( )k   ( ,  

) ,

1 1 1 0 21

365 ³⁶⁵ 1 0 2336

k czyli ^r^{d eff}^, ^{ 23 36%}^,

Odpowiedź: Dla inwestora korzystniejsze jest oprocentowanie 22 % z kapitalizacją odsetek co miesiąc.

(2)

6.7.4. Podaj oprocentowanie efektywne dla stopy procentowej r = 20 % przy kapitalizacji miesięcznej.

Rozwiązanie:

r_eff ( i)^k (  ,  

) ,

1 1 0 20

12 ¹² 1 0 2194 Odpowiedź: Oprocentowanie efektywne wynosi 21,94 %.

6.7.5. Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał P przy miesięcznej kapitalizacji odsetek , jeśli w ciągu dwóch pierwszych lat stopa procentowa wynosiła r1 = 20 % , a przez następne trzy lata była równa r2 = 24 % .

Rozwiązanie:

Zapiszemy najpierw w tabeli, jakie stopy procentowe roczne i miesięczne obowiązywały w poszczególnych latach:

Rok 1,2 Rok 3,4,5

r1 = 20% r2 = 24%

i1 = 0,0166666667 i2 = 0,02 n1 = 24 n2 = 36

Po n1 miesiącach kwota P urosła do kwoty P (1 i₁)ⁿ¹; podczas następnych n2 miesięcy pomnażana była kwota P (1 i₁)ⁿ¹; ostatecznie po pięciu latach otrzymujemy w wyniku kwotę F określoną następująco:

F P  (1 i₁) (ⁿ¹  1 i₂)ⁿ²   P (1 0 0166666667, ) (²⁴ 1 0 02, )³⁶ 3 0331, P Odpowiedź: Kapitał P wzrośnie do kwoty 3,0331P.

6.8. Zadania

6.8.1. Oblicz wartość przyszłą kapitału i wysokość odsetek przy następujących danych:

a) P = 2000 zł, r = 18%, n = 2 lata, kapitalizacja odsetek co pół roku;

b) P = 300 zł, r = 20%, n = 27 miesięcy, kapitalizacja odsetek co kwartał;

c) P = 1000 zł, r = 19%, n = 5 lat, kapitalizacja odsetek co rok;

d) P = 400 zł, r = 22%, n = 4 lata, kapitalizacja odsetek co miesiąc;

e) P = 200 zł, r = 25%, n = 2 lata, ciągła kapitalizacja odsetek;

f) P = 1000 zł, r = 18%, n = 3 lata, ciągła kapitalizacja odsetek.

6.8.2. Oblicz liczbę okresów kapitalizacji (przy oprocentowaniu ciągłym - liczbę lat), niezbędnych do powiększenia kapitału początkowego P do wysokości najbliższej zadanej kwocie F:

a) P = 2000 zł, F = 5000 zł, r = 24%, kapitalizacja odsetek co pół roku;

b) P = 300 zł, F = 1000 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał;

c) P = 1000 zł, F = 2000 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok;

d) P = 400 zł, F = 5000 zł, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesiąc;

e) P = 200 zł, F = 400 zł, r = 15%, ciągła kapitalizacja odsetek;

f) P = 1000 zł, F = 1100 zł, r = 18%, ciągła kapitalizacja odsetek.

6.8.3. Dla podanych niżej danych oblicz dokładny (co do dnia) czas, po którym kapitał P powiększy się do wysokości F.

a) P = 2000 zł, F = 5000 zł, r = 18%, kapitalizacja odsetek co pół roku;

b) P = 300 zł, F = 1000 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał;

c) P = 1000 zł, F = 2000 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok;

(3)

d) P = 400 zł, F = 5000 zł, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesiąc.

6.8.4. Oblicz kapitał podstawowy i współczynnik dyskontujący:

a) F = 200 zł, r = 18%, kapitalizacja odsetek co pół roku, n = 5 lat;

b) F = 300 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał, n = 8 lat;

c) F = 100 zł, r = 19%, kapitalizacja odsetek co rok, n = 10 lat;

d) F = 400 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co miesiąc, n = 15 lat;

e) F = 200 zł, r = 25%, ciągła kapitalizacja odsetek, n = 25 lat;

f) F = 100 zł, r = 18%, ciągła kapitalizacja odsetek, n = 5 lat.

6.8.5. Podaj okres podwojenia kapitału przy danych dotyczących P, r oraz okresu kapitalizacji jak w zadaniu 6.8.1.

6.8.6. Które oprocentowanie jest korztystniejsze dla inwestora:

a) 20% z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21% z kapitalizacją odsetek co pół roku?

b) 20% z kapitalizacją odsetek co pół roku czy 19% z ciągłą kapitalizacją odsetek?

c) 22% z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21% z codzienną kapitalizacją odsetek?

d) 32% z kapitalizacją odsetek co kwartał czy 30% z kapitalizacją odsetek co miesiąc?

6.8.7. Która z propozycji oprocentowania lokaty terminowej jest najkorzystniejsza:

a) 13% z kapitalizacją roczną?

b) 12,5% z kapitalizacją półroczną?

c) 12% z kapitalizacją ciągłą?

6.8.8. Bank proponuje wypłaty od ręki lub za jakiś czas. Która z nich jest korzystniejsza?

a) 200 zł teraz czy 350 zł za 3 lata (oprocentowanie20% i kapitalizacja odsetek co miesiąc)?

b) 2000 zł teraz czy 4000 zł za 4 lata (oprocentowanie 21% i kapitalizacja odsetek co pół roku)?

c) 10 000 zł teraz czy 15 000 zł za 2 lata (oprocentowanie 28% i kapitalizacja odsetek co kwartał)?

d) 10 zł teraz czy 10 000 zł za 25 lat (oprocentowani 40% i ciągła kapitalizacja odsetek)?

6.8.9. Podaj oprocentowania równoważne dla następujących danych:

a) 20%, kapitalizacja miesięczna; równoważne przy kapitalizacji półrocznej?

b) 20%, kapitalizacja półroczna; równoważne przy kapitalizacji ciągłej?

c) 23%, kapitalizacja miesięczna; równoważne przy kapitalizacji dziennej?

d) 36%, kapitalizacja roczna; równoważne przy kapitalizacji miesięcznej?

e) 32%, kapitalizacja kwartalna; równoważne przy kapitalizacji miesięcznej?

f) 36,5%, kapitalizacja dzienna; równoważne przy kapitalizacji ciągłej?

6.8.10. Podaj oprocentowanie efektywne dla danych jak w zadaniu 6.8.8.

6.8.11. Za otrzymaną obecnie pożyczkę 10 000 zł zobowiązano się zwrócić 16 500 zł po 3 latach. Obliczyć roczną nominalną stopę procentową przy kapitalizacji odsetek

a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej, d) ciągłej.

6.8.12. Rachunek bankowy jest oprocentowany w stosunku rocznym na 24%. Za każdy pełny rok nalicza się odsetki składane, a za okres krótszy od roku - odsetki proste. Jaka wpłata przyjmie po 3 latach i 9 miesiącach wartość 5000 zł?

(4)

6.8.13. W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa przy kwartalnej kapitalizacji odsetek wynosiła 30%, 34%, 33%, 37%. Oblicz przeciętną roczną stopę procentową, przeciętną kwartalną stopę procentową oraz wynikającą z niej efektywną roczną stopę procentową.

6.8.14. Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał P (przy rocznej kapitalizacji odsetek), jeśli w ciągu dwóch pierwszych lat stopa procentowa wynosiła r1 , a przez następne trzy lata będzie równa ^r2 ?

a) r1 = 38%, r2 =36%; b) r1 = 20%, r2 =24%; c) r1 = 28%, r2 =22%.

6.8.15. Rozwiązać zadanie 6.8.14 dla przypadku kapitalizacji odsetek a) co miesiąc b) co kwartał c) co pół roku.

6.8.16. W ciągu pierwszych n₁ lat kapitał był oprocentowany przy stopie rocznej r₁ , a przez następne n₂ lat - przy stopie r₂ . Jaką kwotę zdeponowano w banku, jeśli po czasie

n₁+n₂ stan konta wyniósł F?

a) r₁ = 38%, r₂ =36%, n₁= 3 lata, n₂= 2 lata, kapitalizacja roczna, F = 15 000 zł;

b) ^r₁ = 20%, ^r₂ =24%, ⁿ₁= 2 lata, ⁿ₂= 1 rok, kapitalizacja kwartalna; F = 10 000 zł;

c) r1 = 28%, r2 =22%, n1= 1 rok, n2= 1,5 roku, kapitalizacja półroczna; F = 10 000 zł.

7. OPROCENTOWANIE

WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH

7.5. PRZYKŁADY

7.5.1. Przez N = 2 lata mamy otrzymywać wpłaty po W = 500 zł kwartalnie. Oblicz, ile warte są te pieniądze na początku i na końcu okresu wpłat . Zakłada się, że nominalna stopa procentowa jest równa r = 12%, a kapitalizacja odsetek następuje co rok.

Rozwiązanie:

Dane:

 N = 2 lata

 W = 500 zł

 r = 12 % przy kapitalizacji rocznej, co oznacza, że r = i = 0,12

 m = 4 gdyż wpłaty są kwartalne (w podokresach)

Szukane:

 K₀= ?

 K_n= ?

1. Wpłaty dokonywane „z dołu”

Wzory:

K W m i m K W m i m

n o

      

[ ( )]

21

1 2

1 1

s a

n|i

Po podstawieniu danych:

K₂ 500[4 ¹₂ 0 12 4 1, (  )]s_2|0,12 4430 80, zł K_o 500 4  [ ₂¹ 0 12 4 1, (  )]a_2|0,12 3532 20, zł

(5)

2. Wpłaty dokonywane „z góry”

Wzory:

K W m i m K W m i m

n o

      

[ ( )]

1 2 12

1 1

s a

n|i

Po podstawieniu danych:

K₂ 500 4[  ¹₂ 0 12 4 1, (  )]s_2|0,12 4558 00, zł K_o 500[4 ₂¹ 0 12 4 1, (  )]a_2|0,12 3633 60, zł

Odpowiedź: Na początku okresu przy wpłatach „z dołu” pieniądze są warte 3532,20 zł , a na końcu 4430,80 zł ; natomiast przy wpłatach „z góry” pieniądze na początku okresu wynoszą 3633,60 zł , a na końcu 4558,00 zł.

7.5.2. Do kapitału 600 zł oprocentowanego w wysokości 12% dodaje się z końcem każdego roku kwotę 100 zł . Jaki powstanie z tego kapitał po 5 latach , jeśli kapitalizacja jest roczna ? Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku ?

Rozwiązanie:

Dane:

 P = 600 zł

 W= 100 zł

 N = 5

 r = i = 12 %

Szukane:

 K₀  ?

 K₅  ?

Obliczamy przyszłą wartość wkładów oszczędnościowych:

K₅_W Ws_n|i 100s_5|0,12 635 28, zł Obliczamy wartość przyszłą kapitału 600 zł :

K₅_P   P (1 i)ⁿ 600 1 0 12 ( , )⁵1057 40, zł Obliczamy wartość końcową kapitału:

K₅  K₅_W K₅_P 635 28 1057 40 1692 68,  ,  , zł Obliczamy zdyskontowaną wartość powstałego kapitału:

K_o P W a_n|i 600 100 a_5|0,12 960 48, zł

Odpowiedź: Po pięciu latach powstanie kapitał o wartości 1692,68 zł a jego zdyskontowana wartość na początek pierwszego roku wynosi 960,48 zł.

7.5.3. Przez ile lat należy wpłacać miesięcznie „z dołu” kwotę 1000 zł, aby przy stopie procentowej 18% i kapitalizacji rocznej przyszła wartość wkładów oszczędnościowych wynosiła około 20 000 zł ?

Rozwiązanie:

Dane:

 wpłaty miesięczne „z dołu” W = 1000,00 zł

 m = 12

 r = i = 18 % kapitalizacja roczna ,

 K_n= 20 000,00 zł

Szukane:

 n = ?(liczba lat)

(6)

Obliczamy liczbę okresów kapitalizacji, korzystając ze wzoru z cz. 7.2. dla wpłat „z dołu”:

 

   

 

n

20000 0,18 +1000 12+0,09 11 1000 12+0,09 11



   







 









 

 

 

log

K i W

W

i

n m 1

2 m 1 m 1

2 m 1 i

i log

log

( ) log , ,

1 1 18 1 47794

Ponieważ sens ma tylko odpowiedź całkowita, więc przyjmujemy, że będzie to jeden okres kapitalizacji (jeden rok). Dla tego okresu czasu zebrana kwota będzie miała wartość

 

K_nW  i 





    





 

m 1

2 m 1 s_n|i 1000 12 1 s_1|0,18

20 18 12 1, ( ) 12990 zł.

Warto zauważyć, że wielkość ^s^n|i dla n = 1 jest równa jeden!

Dla n = 2 otrzymujemy K₂ = 28318,20 zł, czyli rzeczywiście kwota uzbierana po roku jest najbliższa kwoty 20 000 zł.

Odpowiedź: Aby przyszła wartość wkładów oszczędnościowych była najbliższa kwocie 20 000 zł , kwotę 1000 zł należy wpłacać przez 1 rok.

7.6. Zadania

7.6.1. Planowane wpłaty pod koniec trzech kolejnych miesięcy wynoszą odpowiednio A, B i C zł. Oblicz łączna wartość tych wpłat na koniec trzeciego miesiąca oraz na początku pierwszego miesiąca, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi r, a kapitalizacja odsetek jest miesięczna.

a) A = 300 zł, B = 500 zł, C = 600 zł, r = 24%;

b) A = 200 zł, B = 300 zł, C = 400 zł, r = 12%;

c) A = 300 zł, B = 200 zł, C = 500 zł, r = 18%.

7.6.2. Rozwiąż zadanie 7.6.1. dla przypadku wpłat dokonywanych na początku każdego miesiąca.

7.6.3. Przez N lat mamy otrzymywać wpłaty po A zł kwartalnie. Oblicz, ile warte są te pieniądze na początku i na końcu okresu wpłat. Zakłada się, że nominalna stopa procentowa jest równa r, a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał.

a) N = 2, A = 500 zł, r = 12%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry;

b) N = 3, A = 600 zł, r = 18%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry;

c) N = 5 , A = 900 zł, r = 16%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry.

7.6.4. Rozwiąż zadanie 7.6.3. dla przypadku:

a) wpłat miesięcznych i kapitalizacji półrocznej, b) wpłat kwartalnych i kapitalizacji rocznej, c) wpłat miesięcznych i kapitalizacji kwartalnej.

7.6.5. Dealer sprzedaje samochody za cenę 28 000 zł. 70% zapłata może być rozłożona na 36 miesięcznych rat płatnych „z dołu” przy stopie procentowej r. Jaka będzie wysokość raty, jeśli stopa procentowa wynosi a) 18% b) 24%, c) 26%, d) 30%, a kapitalizacja odsetek jest (1) roczna, (2) miesięczna?

7.6.6. Rozwiązać zadanie 7.6.5. przy ratach płatnych „z góry”.

(7)

7.6.7. Jaka jest wartość 10-letnich wkładów oszczędnościowych na początku i na końcu 10 lat przy:

a) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 18%, kapitalizacja miesięczna;

b) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 19%, kapitalizacja kwartalna;

c) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 20%, kapitalizacja roczna;

d) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 12%, kapitalizacja miesięczna;

e) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 18%, kapitalizacja półroczna;

f) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 14%, kapitalizacja roczna.

7.6.8. Do kapitału 600 zł oprocentowanego w wysokości 12%, dodaje się z końcek każdego roku kwotę 100 zł. Jaki powstanie z tego kapitał po 5 latach, jeśli kapitalizacja jest a) roczna, b) kwartalna, c) miesięczna. Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku?

7.6.9. Do kapitału 1000 zł oprocentowanego w wysokości 18%, dodaje się z początkiem każdego miesiąca kwotę 100 zł. Jaki powstanie z tego kapitał po dwóch latach przy kapitalizacji a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej? Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku?

7.6.10. Z kapitału 15 000 zł złożonego na koncie oprocentowanym w takiej wysokości, że przy kapitalizacji półrocznej kapitał ten podwoiłby się po 10 latach, pobierano z końcem każdego miesiąca kwotę 200 zł. Na początku szóstego roku na konto wpłacono dodatkowo kwotę 10 000 zł. Jaki kapitał pozostanie na koncie po okresie 10 lat, jeśli kapitalizacja odsetek jest półroczna?

7.6.11. Zachowując pozostałe warunki rozwiązać zadanie 7.6.10. dla przypadku miesięcznej kapitalizacji odsetek.

7.6.12. Przez ile lat należy wpłacać rocznie „z góry” kwotę 1000 zł, aby przy stopie procentowej 18% i kapitalizacji a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej przyszła wartość wkładów oszczędnościowych wynosiła około 20 000 zł?

7.6.13. Rozwiązać zadanie 7.6.12. dla przypadku wpłat miesięcznych „z dołu”.

7.6.14. Jaka powinna być kwota miesięcznej opłaty „z góry” za dzierżawę komputera, aby po pięciu latach, przy oprocentowaniu 12%, teraźniejsza wartość wszystkich opłat była równa 5000 zł przy: a) rocznej, b) półrocznej, c) miesięcznej kapitalizacji odsetek.

7.6.15. Przez ile kwartałów należy wpłacać „z dołu” po 1200 zł, aby zebrać fundusz wynoszący 12000 zł przy oprocentowaniu 16%? Jaka musi być wysokość ostatniej wpłaty, aby zebrać równo 12000 zł?

7.6.16. Koszt budowy domku jednorodzinnego wyniósł 100 000 zł. Domek ten ma zostać wydzierżawiony, a opłata za jego użytkowanie ma być wnoszona z końcem każdego roku.

Przewiduje się, że domek przetrwa 100 lat. Obliczyć wysokość czynszu, zakładając, że ma on zwrócić koszt budowy oraz przynieść właścicielowi zysk 20-procentowy zysk, jeśli przewidywana stopa procentowa (stopa dyskontowa) wynosi 9%, a kapitalizacja odsetek jest roczna.

(8)

7.6.17. Rozwiązać zadanie 7.6.16. dla przypadku czynszu płaconego co miesiąc z góry i miesięcznej kapitalizacji odsetek.

7.6.18. Jak zmieni się czynsz obliczony w zadaniu 7.6.16, jeśli przewiduje się, że domek będzie stał wiecznie?

7.6.19. Jak zmieni się czynsz obliczony w zadaniu 7.6.17, jeśli przewiduje się, że domek będzie stał wiecznie?

7.6.20. Jaki był koszt 1 m²powierzchni mieszkalnej domu, w którym czynsz za właśnie otrzymane mieszkanie o powierzchni 60 m²jest równy 350 zł miesięcznie, płatne z końcem miesiąca, jeśli zakłada się wysokość stopy procentowej 6% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek?

7.6.21. Jaki był koszt 1 m²powierzchni mieszkalnej domu z zadania 7.6.20, jeśli czynsz wynosi 440 zł miesięcznie płatne z góry, a założona stopa procentowa wynosi 9% przy kapitalizacji rocznej?