ze wzoru k

STATYSTYKA OPISOWA - TEORIA

Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ losow¡. Statystyki pozycyjne uzyskuje si¦ poprzez upo- rz¡dkowanie zmiennych Xi, i = 1, . . . , n w kolejno±ci niemalej¡cej:

X1, . . . , Xn=⇒ X1:n ≤ . . . ≤ Xn:n, gdzie Xi:n jest i-t¡ statystyk¡ pozycyjn¡, i = 1, . . . , n.

Oznaczenia:

n - ilo±¢ obserwacji,

k - ilo±¢ klas w szeregu rozdzielczym, dla szeregu przedziaªowego liczymy np. ze wzoru k '√

n,

α - dokªadno±¢, z jak¡ podawane s¡ warto±ci obserwacji, x⁻_i - dolna granica i-tego przedziaªu, np. x⁻1 = x1:n− α

2,

b - dªugo±¢ przedziaªu w szeregu rozdzielczym przedziaªowym, np. b = x_n:n− x⁻₁

k ,

n_i - liczebno±¢ i-tej klasy, i = 1, . . . , k,

x⁰_i - ±rodek przedziaªu i-tej klasy (w szeregu przedziaªowym), i = 1, . . . , k.

MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ

• ‘rednia arytmetyczna:

¯ x_n = _n¹

n

P

i=1

x_i - szereg szczegóªowy,

¯ x_n = _n¹

k

P

i=1

x_in_i - szereg punktowy,

¯ x_n = _n¹

k

P

i=1

x⁰_in_i - szereg przedziaªowy.

• Mediana:

Med=





 xⁿ⁺¹

2 :n n-nieparzyste

x_n/2:n+x_n/2+1:n

2 n −parzyste

- szereg szczegóªowy,

Med=





 xⁿ⁺¹

2 :n n-nieparzyste

' x_n/2:n n −parzyste - szereg punktowy, Med=x⁻m+ bm

n_m

 n 2 −

m−1

P

i=1

n_i



- szereg przedziaªowy,

gdzie: m - numer klasy, w której znajduje si¦ mediana, za± bm to jej dªugo±¢.

1

• Kwantyle rz¦du _pⁱ, i = 1, . . . , p − 1:

Szereg szczegóªowy i punktowy:

Qⁱ

p =



k + 1 − (n + 1)i p

 xk:n+



(n + 1)i p − k



xk+1:n, gdzie k = h

(n + 1)_pⁱi. Dla szeregu przedziaªowego kwantyle wyznaczamy ze wzoru:

Qⁱ

p = x⁻_q + b_q nq

i pn −

q−1

X

i=1

n_i

! ,

gdzie: q - numer klasy, w której znajduje si¦ kwantyl, za± bq to jej dªugo±¢.

• Dominanta (moda):

W przypadku szeregu szczegóªowego lub punktowego D = xi, gdzie xi jest naj- cz¦stszym wariantem badanej cechy (odpowiada mu najwi¦ksza liczebno±¢). W przy- padku szeregu przedziaªowego jest to albo ±rodek najliczniejszej klasy, gdy liczno±ci klas s¡siednich s¡ identyczne, albo

D = x⁻_d + n_d− n_d−1

(n_d− n_d−1) + (n_d− n_d+1)bd,

gdy liczno±ci s¡siednich klas s¡ ró»ne, gdzie d jest klas¡ najliczniej reprezentowan¡, za± bd jej dªugosci¡.

Je»eli w szeregu rozdzielczym najliczniejsze s¡ klasy skrajne, to szereg ten nazywamy antymodalnym (typu U lub typu J).

MIARY ROZPROSZENIA (ROZRZUTU)

• Wariancja (dyspersja):

s² = _n−1¹

n

P

i=1

(x_i− ¯x_n)² - szereg szczegóªowy, s² = _n−1¹

k

P

i=1

n_i(x_i− ¯x_n)² - szereg punktowy, s² = _n−1¹

k

P

i=1

n_i(x⁰_i − ¯x_n)² - szereg przedziaªowy.

• Odchylenie standardowe: s = √ s².

• Odchylenie przeci¦tne od ±redniej:

2

d₁ = _n¹

n

P

i=1

|x_i− ¯x_n| - szereg szczegóªowy, d₁ = _n¹

k

P

i=1

n_i|x_i− ¯x_n| - szereg punktowy, d₁ = _n¹

k

P

i=1

n_i|x⁰_i − ¯x_n| - szereg przedziaªowy.

• Odchylenie przeci¦tne od mediany:

d₂ = _n¹

n

P

i=1

|x_i−Med| - szereg szczegóªowy, d₂ = _n¹

k

P

i=1

n_i|x_i−Med| - szereg punktowy, d₂ = _n¹

k

P

i=1

n_i|x⁰_i −Med| - szereg przedziaªowy.

• Rozst¦p: R = xn:n− x_1:n

MOMENTY I INNE CHARAKTERYSTYKI

• Moment zwykªy rz¦du k:

m_k = 1 n

n

X

i=1

x^k_i, k ∈ N.

• Moment centralny rz¦du k:

M_k = 1 n

n

X

i=1

(x_i− ¯x_n)^k, k ∈ N.

• Moment absolutny (zwykªy) rz¦du k:

a_k = 1 n

n

X

i=1

|x_i|^k, k ∈ N.

• Absolutny moment centralny rz¦du k:

A_k= 1 n

n

X

i=1

|x_i− ¯x_n|^k, k ∈ N.

• Wspóªczynnik asymetrii (sko±no±ci):

sk = c · M₃ s³ , 3

gdzie c = _{(n−1)(n−2)}ⁿ² lub c = (_n−1ⁿ )^3/2.

Je»eli sk > 0, to rozkªad jest prawostronnie sko±ny (ma dªu»szy prawy ogon), je»eli sk < 0, to rozkªad jest lewostronnie sko±ny (ma dªu»szy lewy ogon), za± gdy sk = 0, to rozkªad jest symetryczny.

• Wspóªczynnik koncentracji (skupienia) - kurtoza:

K = n²[n(n + 1)M₄− 3(n − 1)M₂²] (n − 1)(n − 2)(n − 3)s⁴ .

Im wi¦ksza jest kurtoza, tym wi¦ksza jest koncentracja, tzn. tym bardziej warto±ci zmiennej koncentruj¡ si¦ wokóª ±redniej. Je»eli K < 0, to rozkªad jest bardziej spªaszczony od standardowego normalnego, za± gdy K > 0, to rozkªad jest bardziej wysmukªy od standardowego normalnego.

Je»eli kurtoz¦ liczymy ze wzoru

K₁ =

 n n − 1

2

· M₄ s⁴ ,

to porównujemy jej warto±¢ nie z 0, ale z 3 (dla rozkªadu standardowego normalnego K₁ = 3).

• Wspóªczynnik spªaszczenia - eksces:

ek = M₄ s⁴ − 3.

• Wspóªczynnik zmienno±ci wyra»a jak¡ cz¦±¢ ±redniej arytmetycznej stanowi od- chylenie standardowe:

γ = s

¯

x_n100%.

Im mniejsze γ, tym mniejsze jest zró»nicowanie zmiennej.

• Wspóªczynnik nierównomierno±ci:

H = d₁

¯

x_n100%.

4