Marek Porwolik
Operacja konsekwencji a operacja
domknięcia - przerzucane mosty
Studia Philosophiae Christianae 43/1, 152-159
M A R E K P O R W O L IK
Instytut Filozofii UKSW, Warszawa
OPERACJA KONSEKW ENCJI A OPERACJA DOM KNIĘCIA - PRZERZUCANE MOSTY
1. W R O W A D Z E N IE
Początków systematycznej refleksji m etodologicznej dotyczącej nauk dedukcyjnych dopatruje się zazwyczaj w sform ułowanym przez Davida H ilberta program ie finistycznego ugruntow ania p o d staw m atem atyki. B adania te, zwane przez niego „m etam atem aty- ką” skoncentrow ane były zasadniczo nad przeprow adzeniem do w odu niesprzeczności m atem atyki1. Stąd, nazwano je również „teo rią dow odu”. Później pojawiły się i inne nazwy: „m etalogika” oraz „teoria systemów dedukcyjnych”. Główny kierunek badań wytyczy ły tu rezultaty uzyskane przez K urta G ódla i A lfreda Tarskiego. Prace tego ostatniego przyczyniły się do ujęcia m etalogiki jako pewnej, form alizowalnej nauki dedukcyjnej2.
Niniejsza praca nawiązuje do pierwszych prezentacji aksjomatycz- nych składni systemów dedukcyjnych autorstw a Tarskiego. W pierw szej części rozważań, poświęconej ogólnej teorii konsekwencji, opie ram się zasadniczo na artykule Urszuli Wybraniec-Skardowskiej A k-
sjomatyzacje teoryj konsekwencji i systemów dedukcyjnych, który zbie
ra w jed n ą całość interesujące nas wyniki uzyskane przez Tarskiego3. Po przedstawieniu własności operacji konsekwencji porównam je z tymi, które charakteryzują operację domknięcia w przestrzeni to pologicznej. N a koniec sform ułuję pewne wnioski.
2. A K J O M A TY O G Ó L N E J T E O R II K O N S E K W E N C JI T
Pierwsze próby formalizacji teorii systemów dedukcyjnych za wdzięczamy pracom Tarskiego dotyczących aksjomatyzacji teorii
1 Por. J. Woleński, Metamatematyka a epistemologia, PWN, Warszawa 1993, 7-9. 2 A. Tarski, Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften, M onatshefte für M athematik und Physik 37(1930), 361-404; A. Tarski, Über einige fu n
damentale Begriffe der Metamathematik, Comptes Rendus des séances de la Société des
Sciences et des Lettres de Varsovie 23(1930), 22-29; A. Tarski, Pojęcie prawdy w języ
kach nauk dedukcyjnych, Towarzystwo Naukowe Warszawskie, Warszawa 1933.
3 U. Wybraniec-Skardowska, Aksjomatyzacje teoryj konsekwencji i systemów dedukcyjnych,
konsekwencji. Chodzi tu zarów no o ogólną - T, jak i bogatszą T -
teorie systemów dedukcyjnych. Ta ostatnia charakteryzuje pojęcie konsekwencji klasycznej.
Pojęciami pierwotnym i ogólnej teorii systemów dedukcyjnych T są: zbiór S wszystkich zdań dowolnego, lecz ustalonego języka i ope
racja konsekwencji Cn określona w klasie P (S) wszystkich podzbio
rów zbioru S. O peracja ta jest funkcją Cn: P (S) -> P (S), przypo rządkow ującą dow olnem u zbiorowi z d a ń /l zbiór CnA będący zbio rem konsekwencji tego zbioru. Przyjmujemy ponadto, że zm ienne
a, b, c,... przebiegają zbiór S, a zm ienne A , B, C,... - rodzinę P (S).
W celu scharakteryzow ania operacji Cn Tarski zaproponow ał następujący układ aksjomatów:
A l. card (S) < K0 - przeliczalność zbioru S, A2. A œ C vA ęr S - zwartość konsekwencji Cn,
A3. Cn(C nA ) = CnA - idem potentność konsekwencji Cn, A 4’. CnA = U{CnB : В e Fin (A )} - finitystyczność konsekwencji
Cn.
W tym miejscu w arto zauważyć, że:
a) O statni z powyższych aksjom atów (A 4’) jest równoważny n a stępującej parze wyrażeń:
A4. A (z B => CnA ę CnB - m onotoniczność konsekwencji Cn, A5. CnA ę= U {CnB : В e Fin(A)}.
b) A ksjom atykę teorii T podaje się najczęściej w postaci aksjo m atów A1-A5.
c) Aksjom aty A3 i A4 m ożna zaś zastąpić aksjom atem: A3-4. A ç CnB Æ S ç C nC =>Aęz CnC
Używając pojęć pierwotnych ogólnej teorii konsekwencji T, m oż na określić najważniejsze syntaktyczne pojęcia teorii systemów de dukcyjnych takie jak: system, aksjomatyka, aksjomatyzowalność, nie
zależność. N a gruncie teorii T m ożna ponadto zdefiniować dość p o
m ocne, zrelatywizowane pojęcie konsekwencji, a mianowicie k o n
sekwencji ze względu na pewien zbiór A ' çz S:
D C nA, Спл .А = Cn(A' u A )
Zauważmy, że tak określona operacja CnA, spełnia ogólne aksjoma ty A1-A5 teorii T. Jest to zatem pewien rodzaj operacji konsekwencji.
Ponadto, teorię T można dalej rozszerzać, wzbogacając ją o kolejne nowe definicje. Na szczególną uwagę zasługuje ło, że w ten sposób
m ożna zdefiniować tm . funkcję odrzucania. Odpowiada ona pojęciu
odrzucania wprowadzonemu do logiki przez Łukasiewicza4. Z tym p o
jęciem związane jest również pojęcie konsekwencji dualnej („odwrot nej” do zwykłej konsekwencji) oraz tzw. konsekwencji jednostkowej.
Konsekwencję jednostkową C nl m ożna scharakteryzow ać aksjo
m atem przyjmowanym w teorii T dla zbioru S i następującym ak sjom atem specyficznym, charakteryzującym to pojęcie:
Ax1 Cn1 A = {b : За e A (Cn1 {b} <z Cn1 {a})}
D ane zdanie jest więc konsekwencją jednostkow ą zbioru A w te dy i tylko wtedy, gdy zbiór konsekwencji jednostkow ej tego zdania nie wyprowadza poza zbiór konsekwencji jednostkow ej jakiegoś zdania ze zbioru A . M amy tu znów do czynienia ze szczególnym przypadkiem ogólnej operacji konsekwencji.
Przy przyjętych powyżej określeniach zachodzą następujące dwa m etatw ierdzenia:
MTw. 1.
O peracja C n1 spełnia ogólne aksjomaty A1-A5 teorii T oraz w a runki:
Cn1 (A u B) - Cn1 A u Cn1 В - jest operacją addytywną, Cn1 0 - 0 - j e s t operacją norm alną,
b e Cn1 A => За e A (b e Cn' {a}) - jest finitystyczną operacją
jednostkow ą. MTw. 2.
D ołączając do ogólnych aksjomatów A1-A5 teorii T dla Cn w aru nek addytywności Cn i w arunek C n 0 = 0 , określamy Cn jako kon sekwencję jednostkow ą (czyli operację spełniającą warunek Α χ1).
Na gruncie teorii konsekwencji m ożna w następujący sposób zde finiować analizowane przez Łukasiewicza pojęcie odrzucania, które Słupecki uogólnił do tzw. funkcji odrzucania (funkcja Łukasiewicza):
D C n 1. C n 1 A — {b : За e A (a e Cn{b} ) }
Z biór Cn'1 A (zbiór zdań odrzuconych na podstaw ie zdań ze zbioru A ) jest więc zbiorem tych i tylko tych wyrażeń, z których wy- prow adzalne jest jakieś zdanie ze zbioru A.
4 Por. J. Lukasiewicz, Logika dwuwartościowa, Przegląd Filozoficzny 23(1921), 189- 205; Tenże, O sylogistyce Arystotelesa, w: Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, PWN, Warszawa 1961, 220-227; Tenże, Sylogistyka Arystotelesa z punktu widzenia współ
W ten sposób określoną funkcję C n 1 nazywa się konsekwencją
odrzucania, odpow iadającą konsekwencji Cn. O kreślenie to jest za
sadne, gdyż jak udow odnił Słupecki:
MTw. 3. (a) Cn'1 spełnia ogólne aksjom aty A1-A5 ogólnej teorii konsekwencji T,
(b) Cn'1 jest addytywna i norm alna, więc zgodnie z MTw. 2:
(c) Cn 'j e s t konsekwencją jednostkow ą.
Ponadto powyższa nazwa jest uspraw iedliw iona także i z tego p o wodu, że na gruncie teorii T wzbogaconej o D C n 1 m ożna udow od nić następujące twierdzenie:
T l. MA(A ç B => CnA ç B ) = i V A (A q S \ B ^ C n 1 A œS \ B ) .
Jeżeli przyjmiemy, że konsekwencja Cn wyznacza system dedu k cyjny jako zbiór zam knięty ze względu na jakieś reguły inferencji (czy ogólniej: reguły wynikania logicznego), czyli że Cn jest zwykłą konsekwencją (konsekw encją zdań prawdziwych są wyłącznie zda nia prawdziwe), to jeśli za В przyjąć zbiór zdań prawdziwych, wów czas zbiór S 1В jest zbiorem zdań fałszywych i w myśl T l wyrażenia odrzucane na podstaw ie zdań fałszywych przy pom ocy operacji Cn'1 są też fałszywe.
W tym m iejscu należy zauważyć, że system dedukcyjny m ożna również budow ać odw rotnie, a więc najpierw jak o system deduk- cyjny zam knięty ze względu na reguły od rzucania logicznego. W ten sposób m ożna charakteryzow ać go dw uaspektow o: zarów no jak o system ze względu na uznaw anie, jak i system ze względu na odrzucanie.
3. O PER A CJA D O M K N IĘC IA Z B IO R U W P R Z E S T R Z E N I T O P O L O G IC Z N E J
Topologia je s t działem m atem atyki, który zajm uje się p rz e kształceniam i ciągłymi oraz tymi w łasnościam i zbiorów, k tó re są niezm iennicze w zględem tych przekształceń. Sam ą p rzestrzeń to pologiczną definiuje się najczęściej albo przez charakterystykę operacji dom knięcia albo przez charakterystykę operacji w nę trz a 5.
Przez przestrzeń topologiczną rozum iem y zbiór X , w którym każ dem u zbiorowi A ç X przyporządkowany został zbiór clA c l (zwa
5 Por. S. Gładysz, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1981, 7; K. Kuratowski, Wstęp
ny domknięciem zbioru A ) spełniający następujące w arunki (zwane aksjom atam i dom knięcia)6:
A l. cl(A с В) = clA u clB AU. A ę clA
A III. cl 0 = 0 , AIV. cl (clA) = clA.
Przestrzeń topologiczna jest więc p arą (.X , cl), złożoną ze zbioru X oraz odwzorowania cl: P (X) —» P (X) spełniającego powyższe ak
sjom aty7. Z aksjom atów A I - A IV wynikają następujące własności operacji domknięcia:
TI. clB
TIL clA 1 clB с cl(A 1B) TU I. cl (A n B ) œ cIA n clB
TIV.
cix
= X.W tak określonej przestrzeni topologicznej zbiór A nazywany jest dom kniętym , jeżeli clA = A , to znaczy wobec A li, gdy clA с
A . Z b ió r A nazywamy otwartym w tej przestrzeni, gdy jego dopełnie
nie jest zbiorem dom kniętym , to znaczy, gdy cl ( X \ A ) = X 1 A , lub inaczej mówiąc, gdy A = X \ cl ( X \ A ) . Stąd wynika, że zbiór pusty 0 , jak i cała przestrzeń X są zbioram i zarów no dom kniętym i, jak i otwartymi. W przestrzeni topologicznej w prowadza się również pojęcie wnętrza zbioru A: intA = X \ c l ( X \ A ) . Przy powyższych d e finicjach zachodzą następujące związki:
W I. Sum a dwóch zbiorów dom kniętych jest zbiorem do m k n ię tym.
W IL Iloczyn dowolnej mnogości zbiorów dom kniętych jest zbio rem dom kniętym .
W III. Z biór clA jest najmniejszym zbiorem dom kniętym zawie rającym zbiór A
WIV. Z biór clA jest iloczynem wszystkich zbiorów dom kniętych zawierających A.
O dpow iednio do powyższych m ożna sform ułować i udowodnić tw ierdzenia o własnościach zbiorów otwartych i samego w nętrza zbioru. W ychodząc od pojęcia zbioru dom kniętego lub od pojęcia zbioru otw artego, definiuje się kolejne rodzaje zbiorów (np. gęste,
brzegowe, nigdziegęste), ich rodzin (baza, podbaza, pokrycie prze
6 Tamże, 102.
strzeni, zbiory Borela) oraz własności samych przestrzeni topolo
gicznych (zwartość, zupełność, normalność, regulam oścf.
4. W N IO S K I K O Ń C O W E
Porównując własności różnych rodzajów operacji konsekwencji z własnościami operacji dom knięcia, dostrzegam y zarówno pewne różnice, jak i podobieństwa. Nasuwa się tu następujące pytanie: czy zbiór S wszystkich zdań dowolnego, lecz ustalonego języka i pewien rodzaj ogólnej operacji konsekwencji Cn mogą stanowić przestrzeń topologiczną? Pozytywna odpowiedź na to pytanie prowadzi do możliwości stosowania w logice pewnych wyników uzyskanych w to pologii. Ponadto, możemy pytać i o inne pojęcia logiczne i topolo giczne, które są względem siebie, w pewnym sensie dualne.
W przypadku operacji konsekwencji i dom knięcia następujące własności są identyczne9:
W łasność Teoria konsekw encji Topologia Zw artość A2. А с CnA с S A H. A q cI Aœ X,
Id em p o ten tn o ść A3. C n(C nA ) = CnA AIV. cl (clA) = clA M onotoniczność A4. (А с В) => (C nA с CnB) TI. (A qB ) => (cI Aœ cIB)
Z biór S z operacją konsekwencji jednostkow ej Cn1 spełnia wszystkie aksjom aty (AI - A IV ) wyznaczające przestrzeń to po lo giczną. Ważne są tu szczególnie cechy addytywności i norm alności tej operacji, zapew nione przez MTw. 1. Jest więc to pewien rodzaj przestrzeni topologicznej.
Z drugiej strony, MTw. 2 mówi, że jeżeli na operację konsekw en cji Cn nałożymy w arunki addytywności i norm alności, to otrzym uje my wówczas konsekwencję jednostkow ą.
Z uwagi na MTw. 3. konsekwencja odrzucania C n 1 wraz ze zbio rem S jest przestrzenią topologiczną. Stąd, jeżeli pragniem y stoso wać pewne wyniki uzyskiwane w topologii m ożna to czynić w sto sunku do konsekwencji jednostkow ej i konsekwencji odrzucania.
M ożna próbować szukać innych dualnych pojęć występujących w teorii konsekwencji i topologii. Szczególnie interesujące jest to
8 Por. K. Kuratowski, dz. cyt., 102-124.
w przypadku tak podstawowych pojęć topologii jak zbiór otwarty, czy baza przestrzeni. O dnośnie do pojęcia zbioru dom kniętego w przestrzeni topologicznej, tzn., takiego podzbioru А с Д że clA =
A , jego odpowiednikiem w teorii konsekwencji jest pojęcie systemu
dedukcyjnego, czyli takiego podzbioru zdań /1 с S, że CnA = A. M ożna również szukać pewnych analogii, podążając w kierunki samej teorii mnogości. Przykładem na istnienie także i tu pewnych podobieństw jest pojęci & niezależności. W teorii konsekwencji zbiór niezależny określa się w następujący sposób:
A e Indp <=> V a £ C n(A 1 {a}), gdzie M с S a s A
O gólna koncepcja niezależności w m atem atyce została wprowa dzona przez M arczewskiego. Niech X będzie zbiorem , P (X) zbio rem wszystkich jego podzbiorów, а С: / (X) —r P (X) danym o d wzorowaniem. Wówczas podzbiór A ç X j e s t C-niezależnym (C-in-
dependent), jeżeli a € С (A 1 {a}) dla każdego /1 e X 10 Widzimy
więc, że niezależność zbioru zdań w teorii konsekwencji jest po prostu Cn-niezależnością w znaczeniu, który podaje Marczewski.
N a koniec w arto zwrócić uwagę na to, że aksjom at A l dotyczący przeliczalności zbioru S, m ożna zastąpić przy nieprzeliczalności te go zbioru, aksjom atem stwierdzającym, że istnieje relacja, która dobrze go p orządkuje11. Stąd, nie jest konieczne, by nasze rozważa nia zawężać jedynie do przestrzeni przeliczalnych.
Mówi się, że upraw iając naukę, należy być łowcą analogii. Wyni ki Tarskiego dotyczące własności operacji konsekwencji wciąż ro dzą pytanie o istnienie takich podobieństw między nią a operacją dom knięcia zbioru w przestrzeni topologicznej. Trywialnego prze łożenia tu jed nak nie znajdziemy. Czy mimo to zaobserwow ane już podobieństw a nie przyniosą prób budowy nowych, m oże i bardziej stabilnych mostów między logiką a topologią? To zapew ne pokaże czas. M etam atem atykę od początku jej istnienia przedsięwzięcie to jedn ak bardzo interesow ało12. Pierwsze znane zadanie z dziedziny nazwanej później topologią dotyczy mostów w Królewcu. Z ajął się nim szczegółowo L eo n ard E uler. Przy obecnym stanie wiedzy doty
10 Por M. Turzański, Cantor Cubes: Chain Conditions, UŚ, Katowice 1996, 42. " Por. L. Borkowski, Logika formalna, PWN, Warszawa 1990.
12 Por. H. Rasiowa, R. Sikorski, The mathematics o f metamathematics, PWN, War szawa 1968.
czącej przerzucania mostów między topologią a logiką, jed no jest pewne, a m ianowicie to, że te ostatnie mosty (czy raczej kładki) nie zapowiadają bynajmniej końca rozwoju samej topologii13.
C O N SEQ UEN CE OPERATION AND CLOSURE OPERATION: BUILDING A BRIDGE
Sum m ary
M athem atics an d logics are very sim ilar and very different at th e sam e time. W hat they have in com m on is th eir p en ch an t for form al ap p aratu s. T he areas of sim ilarity are topology in m athem atics and th e co nsequence theory in logics. In both cases we deal w ith sim ilar form al structures. This article aim s a t showing cer tain sim ilarities betw een the closure o p eratio n o f a set in a topological space and the co nsequence th eo ry in logics. T hese sim ilarities lead to the question if, and if so - w hen, a set o f sentences on w hich th e consequence o p eratio n has b een p e r fo rm ed is a topological space.
