Graficzna metoda rozwiązania równań krytycznych dla termicznych reaktorów jądrowych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

Nr 26 E n e r g e t y k a z« 5 1961

Ta d e u s z Św ie rż a w sk i, t a d e u s z d e s

K a t e d r a T e o r i i Maszyn C i e p l n y c h

GRAFICZNA METODA ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ KRYTYCZNYCH

DLA TERMICZNYCH REAKTORÓW JĄDROWYCH

W p r a c y podano r ó w n a n ia k r y t y c z n e p r z y z a s t o s o w a n i u metody z efektywnym w s p ó łc z y n n ik ie m d y f u z j i , m etody z dwoma g ru p a m i n e u tro n ó v/ 9 metody w ieku F e rm ie g o , metody je d n o g ru p o w e j o r a z r ó w n a n ie d l a p rz y p a d k u m o d e r a t o r a wo­

dorowego o

P rze p ro w a d zo n o a n a l i z ę wyników j a k i e o t r z y m u j e s i ę p r z y z a s t o s o w a n i u p o s z c z e g ó l n y c h m eto d do o b l i c z e n i a p ra w d o p o d o b ie ń stw a u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w modero­

wanych z u k ł a d u o s k o ń c z o n y c h wymiarach«

Podano g r a f i c z n y s p o s ó b r o z w i ą z a n i a równań k r y t y c z ­ n ych (1 0 ) , ( 1 3 ) , ( 1 7 ) i (1 8 ) p r z y z a s to s o w a n iu wyżej wy­

m ie n io n y c h metod« Celem z w i ę k s z e n i a d o k ł a d n o ś c i w ykresu*

n a n i e s i o n o dw ie p o d z i a ł k i d l a k ^ ( w y k r e s 2 ) .

W a ż n i e j s z e o z n a c z e n i a

B - p a r a m e t r ( l a p l a s j a n ) r e a k t o r a , D - w s p ó ł c z y n n i k d y f u z j i ,

k 0., - w s p ó ł c z y n n i k r o z m n a ż a n i a w o ś r o d k u n i e s k o ń c z e n i e ro z le g ły m i,

k _ - e f e k ty w n y w s p ó ł c z y n n i k r o z m n a ż a n i a , 0X

L - d łu g o ś ć d y f u z j i ,

1 - ś r e d n i c z a s ż y c i a n e u tr o n ó w ,

o 4» 3

n - k o n c e n t r a c j a n e u tro n ó w t e r m i c z n y c h w 1 cm , P - p ra w d o p o d o b ie ń stw o u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w

z u k ł a d u o sk o ń c z o n y c h w y m ia ra c h , q - g ę s t o ś ć m o d e r a c j i ,

t - c z a s , V - o b j ę t o ś ć ,

4 T a d e u sz & v ie rz a w s k i, T ad eu sz Bes

W (r,r') - p ra w d o p o d o b ie ń stw o t e g o , ż e n e u t r o n s z y b k i , k t ó ­ r y p o w s t a ł w p u n k c ie r ' z o s t a n i e zmoderowany w p u n k c i e r do e n e r g i i t e r m i c z n e j ,

ę - ś r e d n i a o d l e g ł o ś ć s p o w a l n i a n i a , 2 #) r - w iek s y m b o lic z n y F e rm ieg o (o w y m iarze cm ) .

1 ® Równania o g ó l n e

D la s t a n u u s t a l o n e g o , r ó w n a n ie d y f u z j i z u w z g l ę d n i e ­ niem ź r ó d e ł i p o c h ł a n i a n i a neutronów ma p o s t a ć [1]* * '

v

D V2 n ( r } -

Zfp-

o o j

u

V7 p r z y p a d k u b r a k u a b s o r p c j i neutronów p o d c z a s modera­

c j i , ró w n a n ie c a łk o w e (1 ) można z a s t ą p i ć układem dwóch równ ań r ó ż n i c z k ow y c h :

D v2 n ( r ) - a - q ( r , r^) ( 2 )

v 2 q ( r , r ) = (3 )

z w arunkiem o k r e ś l a j ą c y m p o c z ą tk o w ą k o n c e n t r a c j ę n e u t r o ­ nów moderowanych

ą ( i , 0 ) = n ( ? ) ( 4 )

O

g d z i e o z n a c z a w ie k F e rm ieg o d l a e n e r g i i t e r m i c z n y c h .

*) Ilazwa w iek u sy m b o lic z n e g o p o c h o d z i s t ą d , że w i e l k o ś ć % j e s t w ś c i s ł y m zw iązku z r z e c z y w is t y m c h ro n o lo g ic z n y m w ie k iem neutronów, p o trz e b n y m p r z e c i ę t n i e do -¿moderowa­

n i a n e u t r o n u od e n e r g i i r o z s z c z e p i e n i o w e j do e n e r g i i E o d p o w i a d a ją c e j w a r t o ś c i t ,

' Równanie ( 1 , 4 ) -

G r a f ic z n a m eto d a r o z w i ą z a n i a ró w n ań o .o 5

20 Równania k r y t y c z n e

201 0 Praw dopodobieństw o (P) u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u t r o ­ nów z u k ł a d u

Z w arunku l c r y t y c z n o ś c i j d l a k t ó r e g o j e s t s ł u s z n e rów­

n a n i e f a l o w e wynika,, że e f e k ty w n y w s p ó ł c z y n n i k ro zm n aża­

n i a k j,, d l a u k ł a d u o s k o ń c z o n y c h wymiarach,, j e s t równy

¿jedności

k f » koo P - 1 ( 5 )

lu b

( 5 a )

>2« Równanie z efektyw nym w s p ó ł c z y n n ik ie m d y f u z j i D la d u ż y ch r e a k t o r ó w , zm iana k o n c e n t r a c j i n e u tro n ó w raoderoY/anych j e s t n i e w i e l k a n a d r o d z e \ [ 6 f ^ e W yrażen ie q(r„T ') można w ię c r o z w in ą ć v/ s z e r e g M a c l a u r i - n a w edług z u z y s k u j ą c w t e n s p o só b w y s t a r c z a j ą c e p r z y b l i ­ ż e n i e j u ż d l a d r u g i e g o w y ra zu s z e r e g u

q ( r , r ) ^ q ( r sO) + 8 q ( r « ^ ) QZ

W ielk o ść p o c h o d n e j d l a io O o b l i c z a s i ę z ró w n a n ia (3 ) po w y k o r z y s t a n i u w arunku p o c zątk o w eg o ( 4 ) i o s t a t e c z n i e

r o z w i n i ę c i e ( 6 ) w y g l ą d a n a s t ę p u j ą c o ?

q ( r , r ) « y 2- n ( r ) * V2 n ( r ) (6a)

o o

P o d s t a w i a j ą c r ó w n a n ie (6a ) do ró w n a n ia ( 2 ) i k o j a r z ą c n a s t ę p n i e w y ra zy o jed nakow ych p o ch odnych f u n k c j i n ( r ) otrzymamy:

łc T

(D + — j - “ ) V2 n ( r ) + — — n ( r ) =■ 0 ( 7 )

o o

6 T ad eu sz J w ie r z a w s k i, Tadeu3z Bes

W ie lk o ść z a w a r t a w n a w i a s i e p ie r w s z e g o c z ł o n u ró w n a n ia (7 ) o k r e ś l a n a j e s t w l i t e r a t u r z e [ 1] ^ ja k o efek tyw ny w s p ó ł c z y n n i k d y f u z j i

koo •

De f * D<1 + r or ) <8 )

P o n iew aż d l a s t a n u k r y t y c z n e g o k o n c e n t r a c j a n e u t r o ­ nów pow inna s p e ł n i a ć ró w n a n ie f a lo w e :

V2 n ( r ) = - B2n ( r ) ( a )

w ię c po p o d s t a w i e n i u z a l e ż n o ś c i ( a ) do r ó w n a n ia (7 ) i po u p r o s z c z e n i u u z y s k u j e s i ę ró w n a n ie :

- ( D + T ) B2 + = 0 . (9)

o o

O z n a c z a ją c B 1 = L 2 i w y l i c z a j ą c z ró w n a n ia ( 9 ) w a r- t o ś ć r;— , otrzymamy w zór o l c r e ś l a j ą c y p ra w d o p o d o b ień stw o1 u n i k n i ę c i a u c i e c z k i z u k ł a d u■Koo

. 1 1 - b 2 -

ko° 1 + B2 L2

(5 b )

Fo p o d s t a w i e n i u do ró w n a n ia (5b ) w a r t o ś c i

x - B2 . r T ( b )

można z a p i s a ć j e w p o s t a c i :

Równanie ( 5 . 4 ) i 0 . 7 ) .

1 L2

1 - x = J + r — — . x (1 0 )

oo cq}

G r a f ic z n a m eto d a r o z w i ą z a n i a ró w n a ń 9 »0 7

2 03 o Równanie z dwoma g ru p a m i n e u tro n ó w

W ró w n a n iu ( 3 ) z a s t ę p u j e m y w a r t o ś ć p o c h o d n e j s t o s u n ­ kiem r o ż n i e

a f e . P l . - . - s 1 0 )

a r o - r ' '

K o r z y s t a j ą c z warunku p o c zątk o w eg o ( 4 ) o r a z z z a l e ż n o ś c i ( 3 ) , p r z y z a ł o ż e n i u , ż e q ( r t T) s p e ł n i a r ó w n a n ie f a lo w e

q ( r , t ) ■ - B2 „ q ( r , t ) (d )

otrzymamy r ó w n a n ie o k r e ś l a j ą c e k o n c e n t r a c j ę n e u tro n ó w raod erowanych

<1(5. * „ ) - ^ (1 1 )

o 1+E i T

P o d s t a w i a j ą c z a l e ż n o ś c i (1 1 ) i ( a ) do ró w n a n ia ( 2 ) o t r z y ­ mamy r ó w n a n ie k r y t y c z n e w t e o r i i dwóch g r u p n e u tro n ó w

- B2 - e--- ~ — — » 0 (1 2 )

l l 1 + b r T

Na p o d s t a w i e z a l e ż n o ś c i (5) i ( 1 2 ) , p ra w d o p o d o b ie ń stw o u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w z u k ł a d u o b l i c z a s i ę z rów­

n a n i a

P „ - J — --- L _ --- o --- 1__— _

Ko° 1 + B 1 + B

K o r z y s t a j ą c z o z n a c z e n i a (b ), ró w n a n ie ( 5 c ) można p r z e d ­ s t a w i ć w p o s t a c i b a r d z i e j d o g o d n e j p r z y d a l s z y c h ro z w a ­ ż a n i a c h :

1 1__ L2 - . . _,

1+x " k«, + 1 ^ . e X (1 3 )

8___________ T ad eu sz Ś w ie rz a w s k i, T ad eu sz Bes

2 ,4 « P ¿ im a n ie w p r z y b l i ż e n i u Ferm iego. (m e to d a w ieku F e rm ie g o )

Metoda t a p o l e g a na r o z w i ą z a n i u r ó w n a n i a r ó ż n ic z k o w e ­

go .

M L i l . . b 2 q (5 > 1 ) ( u ,

k t ó r e p o w s t a ł o ze s k o j a r z e n i a równań (3 ) i ( d ) # R o z w ią z a n ie t e g o ró w n a n ia j e s t n a s t ę p u j ą c e ;

- -B 2 T

q ( r , f ) « C ( r ) e * (1 5 )

B la warunku p o c zątk o w eg o (4 ) , z a le ż n o ś ć ( 1 5 ) p rz y jm ie p o s t a ć :

q ( r , T ) . |s £ - n ( ? ) e “ B2* r ( I5a)

Równanie k r y t y c z n e d l a t e j m etody można u z y s k a ć pod­

s t a w i a j ą c r ó w n a n ia (15a) i ( a ) do ró w n a n ia ( 2 )

t->2 1 _{k a c} — B t n t t * r \

- B - — p— + — — oe = 0 (1 6 )

1 1 “

Na p o d s t a w i e z a l e ż n o ś c i ( 5 a ) i ( 1 6 ) , p raw d o p o d o b ień stw o u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w z ukSadu można o b l i c z y ć

wzorem; _

1 -B %T

p _ — _ — 2~2

Ko° 1 + L B

a po w p row adzeniu do o s t a t n i e g o ró w n a n ia o z n a c z e n i a (b ) otrzymamy z a l e ż n o ś ć

G r a f i c z n a m eto d a r o z w i ą z a n i a r ó w n a ń » .. 9

205o Równanie k r y t y c z n e w p rz y p a d k u m o d e r a to r a wodoro­

wego

P raw d o p o d o b ie ń stw o u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w z u k ła d u z a w i e r a j ą ce g o m o d e r a t o r wodorowy, j e s t p o d an e w "4]

1 a r o t g B \ I JtI 1

P . _2--- — . --- V - j - ( 5 e )

B ^ 3 Z m 1 + B2 L

A n a l o g i c z n i e _j a k w p o p r z e d n i c h p r z y p a d k a c h , w p ro w ad zając z a l e ż n o ś ć ( b ) , p r z e k s z t a ł c o n e r ó w n a n ie k r y t y c z n e p r z y j ­ mie p o s t a ć :

a r c t g \ 5 x

m

rr~y-

2 . 6 . Równanie z .jedną g r u p ą n e u tro n ó w

W y lic ze n ie p a r a m e t r u m a t e r i a ło w e g o w p r z y b l i ż e n i u jednogrupowym ma j e d y n i e z n a c z e n i e porównawcze w o d n i e ­ s i e n i u do m etod p o p rz e d n ic h ,,

W m e to d z ie t e j r o z p a t r u j e s i ę t y l k o g r u p ę n e u tro n ó w t e r m i c z n y c h , z a n i e d b u j ą c tym samym m o d e r a c ję n a o d c in k u

? - r . Z a ł o ż e n i e t o j e s t równoważne z a l e ż n o ś c i n ( r ) «

= n ( r ) c Z a k ł a d a j ą c , ż e p o w s t a j ą c e n e u t r o n y p o s i a d a j ą e n e r g i e t e r m i c z n e , można o b l i c z y ć c z ł o n o k r e ś l a j ą c y wy­

r a z ź r ó d ł a n e u tro n ó w w ró w n a n iu (1 ):

S => | W w ( ? , ? ' ) n ( 5 ' ) d v ' * / w( J f P ) dy' = | S2_

o ./ o ,/

(1 9 ) gdyż p ra w d o p o d o b ie ń stw o zm oderow ania p r z e c h o d z i w pew­

n o ś ć , c z y l i

Pn *. J W i r , ? " } d v ' - 1 v

1C T a d e u sz Śwl e rz a w slc i, T adeusz Ees

P o d s t a w i a j ą c z a l e ż n o ś ć (1 9 ) do wzoru ( 1 ) otrzymamy rów­

n a n i e d l a j e d n e j g r u p y n e u tro n ó w

- B? - + ~ * 0 (2 0 )

1 L

P raw d o p o d o b ie ń stw o u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w z u k ł a ­ du równe j e s t p ra w d o p o d o b ie ń stw u u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u ­ tro n ó w t e r m i c z n y c h

1 k °° 1 + l 2b 2 Z równań ( 5 f ) i ( b ) w y n ik a z a l e ż n o ś ć :

( 5 f )

1 L2

1 = F “ + F T T • x oo oq* ‘rp <2 1 >

3* P o ró w n a n ie i a n a l i z a wyników

P raw d o p o d o b ień stw o u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w z u k ł a d u r o z p a t r y w a n e w p u n k c ie 2.1 można tr a k to w a ć ja k o i l o c z y n p ra w d o p o d o b ie ń stw a u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u t r o ­ nów moderowanych P p r z e z p ra w d o p o d o b ie ń stw o u n i k n i ę ­ c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w t e r m i c z n y c h P

U

P . Pm P. (22)

tn t g d z i e o z n a c z a j ą

P _ i l o ś ć n e u tro n ó w zmoderowanych do e n e r g i i t e r mi c z n e j m ~ i l o ś ć n e u tro n ó w p o w s t a ł y c h n a s k u t e k r o z s z c z e p i e n i a ’

i l o ś ć n e u tro n ó w t e r m i c z n y c h p o c h ł o n i ę t y c h w 3 t r e f i e _ _ aktyyme.i___________ _________________ ______________ _____

t “ i l o ś ć n e u tr o n ó w zmoderowanych do e n e r g i i t e r m i c z n e j

G r a f i c z n a m eto d a r o z w ią z a n ia ró w n a ń « .» 11

t/ychodząc z pow yższych d e f i n i c j i o k r e ś l a j ą c y c h P

? . można o trz y m a ć n a s t ę p u j ą c e z a l e ż n o ś c i : m

q ( ? 9 r m)

P ii rm a —■--- ±— ( 2 3 )

n q ( r , 0) _k=on ( ? ) ^ ^

o o r a z

r ę i

p . — ( 2 4 )

- D V2 a ( p )

o

Po p o d s t a w i e n i u (2 3 ) i (24) do ró w n a n ia (2 2 ) uzyskujem y z a l e ż n o ś ć :

r u r ) 2o__

i s = - n ( r ) n i i i . - D V2 n ( r )

? „ ~ . - 7 =^--- 2- --- ( 22a) 1o

Mzór n a o k r e ś l e n i e j e s t t a k i sam p r z y w s z y s t k i c h m eto d ach , gdyż g ę s t o ś ć n e u tro n ó w t e r m i c z n y c h o k r e ś l o n a j e s t w s z ę d z i e n a p o d s t a w i e t e g o samego r ó w n a n ia ( 2 ) . Róż­

n i c e w w a r t o ś c i a c h Pffl w y n i k a j ą z r ó ż n y c h sposobów o b l i ­ c z a n i a g ę s t o ś c i m o d e r a c j i »

W s ta w ia ją c z a l e ż n o ś ć ( a ) do ró w n a n i a (2 4 ) otrzymamy:

n il l n(r)

p r Q ^ O 1________ __

* f i ś l - D72n (? > S m . D [ . b 2 „ ( 5;] ’ 1 ♦ 10 D B2 '

1

3 2 2

1 + L B

(2 4 o )

12 T ad eu sz ¿ fw ie rz a w sk if T ad e u sz Bes

W a r t o ś c i P d l a p o s z c z e g ó l n y c h m etod w y l i c z a s i ę z z a l e ż n o ś c i (23'). p o d s ta w ia j ąc o d p o w ied n ie w y r a ż e n ia n a q ( r f T)

a ) m etoda e fe k ty w n eg o w s p ó ł c z y n n ik a d y f u z j i

^ ( -r ) ł ^ v a n ( ? ) a ( 5 ) _ b2 ^ ^

* » - ^ n ( ? ) ■ z m

O

b ) m etoda dwóch g r u p n e u tro n ó w ICoo f — \

n ( r )

p ... O__________ 1 1

m 1 + B2 ' Tt * — - n ( r ) 1 + B2 . r T

m etoda w iek u Ferm ieg o ,2

(2 5 )

( 2 6 )

n ( r ) e " B~Tt 2

P = — --- « e“ B 1 T (2 7 )

m - ~ n ( r )

d) d l a m o d e r a t o r a wodoroy/ego a r c t g 3

r T

P „ T' ( 2 8 )

B

W ie lk o ś ć wielcu F e rm ieg o % w y s t ę p u j ą c a w p o p r z e d n i c h r o z w a ż a n ia c h j e s t z w ią z a n a z d ł u g o ś c i ą m o d e r a c j i r e l a c j ą

(j 2 a &% (d )

G r a f i c z n a m eto d a r o z w ią z a n ia ró w n ań » . 13

P o d s t a w i a j ą c z a l e ż n o ś ć ( ć ) do równań ( 2 5 ) , ( 2 6 ) , (2 7 ) i ( 2 8 ) otrzymamy w a r t o ś c i p ra w d o p o d o b ie ń stw u n i k n i ę c i a u c i e c z k i p o d c z a s m o d e r a c j i , w f u n k c j i d ł u g o ś c i m odera­

c j i

P = 1 -

m 4 - ? 2

1 m

1 + | - ? 2

(25a)

(2 6 a )

Pm - ^ [ ‘ I " • « 2 ] a r c t g e

m B

(27 a )

( 2 8 a ) V I

Z a l e ż n o ś c i P_m f ('~ ^ ^ u *^*e w fo rm * e w y k re su (p o d a ­ n e z a [3] , ^z u z u p e ł n i e n i e m k rz y w e j d l a e fe k ty w n e g o w s p ó ł­

c z y n n i k a d y f u z j i ) p r z e d s t a w i a r y s , 1 .

D la p o r ó w n a n ia w ja k im s t o p n i u r ó ż n i ą s i ę w a r t o ś c i P p r z y p o s z c z e g ó l n y c h s p o s o b a c h o b l i c z a n i a g ę s t o ś c i mo­

d e r a c j i , można Pra r o z w in ą ć w s z e r e g M a c l a u r i n a j a k o f u n k c j ę p o t ę g B2 * ! ** x , W a r t o ś c i pow yższe u j ę t o w z e s t a ­ w i e n i u .

M e t o d a r n « f ( B 2 r ) r m ’ Uwagi

e fe k ty w n e g o w s p ó ł c z y n n i ­ k a d y f u z j i dwóch gzup n e u tro n ó w wieku F e rm ieg o

1 - B2 T 1

1 - X

1 -x + x 2- x ^ + . . + ( - 1 )n x x+ . .

2 3 n

i - * ł ^ r - 3 T + . . + ( - 1 ) 2J- d l a 1 + b

-B 2 .T e

|x|<1 + m o d e r a t o r a

wodorowego

a r c tgNiB3t B \JW

2 3 3

3 ..2 3 . a r .

^ — X~ł- p. • y + • • • 4*

+ 2n+1 * • • •

d l a

|x |< 1 /3

H Tadeusz o w io r za w sk i, Tadeusz Bes

R y s, 1 . Z e s t a w i e n i e f u n k c j i Pm z a l e ż n e j od i l o c z y n u ś r e d n i e j o d l e g ł o ś c i s p o w a l n i a n i a i p a r a m e tr u m a t e r i a ł o ­

wego, d l a p o s z c z e g ó l n y c h m etod o b l i c z e ń :

a - e fe k ty w n y w s p ó ł c z y n n i k d y f u z j i , b - dwie g ru p y n e u ­ tr o n ó w , c - w ie k F e rm i e g o , d - m o d e r a t o r wodorowy

Nomoyram do rozwiązania równań krytycznych dla

termicznych reaktorów

jądrowych nm a e(^tywny mpólci dyfuzji

b dwie grupy neutronów c wiek Fermiego

0.09 d moderator wodorowu

U v

G r a f i c z n a m eto d a r o z w ią z a n ia ró w n a ń .. 15

Z a n a l i z y w i e l k o ś c i Pm po d an y ch w z e s t a w i e n i u w yni­

k a , że d l a w i e l k o ś c i Tij •< 0 , 0 2 wpływ d a l s z y c h ( p o - cząw szy od trzeciego) czło n ó w w r o z w i n i ę c i a c h Pn =» f ( x ) n o ż n a z a n i e d b a ć . S t o s u j ą c ró w n a n ie k r y t y c z n e z efektywnym w s p ó ł c z y n n ik ie m d y f u z j i ( n a j p r o s t s z a p o s t a ć )

B2 = (2 9 )

L + Ko» t t

n i e p o p e łn ia m y b ł ę d u p r z y o b l i c z a n i u B r T2

w ię k sz e g o od 0 ,0 0 0 5 w p o ró w n a n iu z w a r t o ś c i ą w y n i k a j ą c ą z m etody dwóch g ru p n e u tr o n ó w ,

od 0, 0 0 0 3 w porów nan iu z w a r t o ś c i ą w y n ik a ją c ą z m etody w ieku F e r m i e g o ,

- ” - od 0 ,0 0 0 9 w p o ró w n a n iu z w a r t o ś c i ą w y n i k a j ą c ą z m etody d l a m o d e r a t o r a wodorowego ( w i e l k o ś c i b łędów z o s t a ł y u s t a l o n e g r a f i c z n i e ) .

G r a f i c z n a m eto d a r o z w i ą z a n i a równań k r y t y c z n y c h p o l e ­ g a n a w y k o r z y s t a n i u z a l e ż n o ś c i ( 5 ) i ( 2 2 ) , k t ó r e w odpo­

wiednim z a p i s i e można p r z e d s t a w i ć w f o r m i e wykresu?

- x r r 7 ( 3 0 i

Ponieważ w a r t o ś ć P^ j e s t w s p ó ln a d l a w s z y s t k i c h m etod, k o r z y s t a j ą c z r ó w n a n i a (24a) i z z a l e ż n o ś c i (b ) (5’c),(5c), (5u),(5e) lu b (5f) otrzymamy w y r a ż e n ie :

1 1 L2

P m *lk * r ~o o **■ 4- ? " = ilo o k + --oo v c Ti 0 X

J e s t t o r ó w n a n ie l i n i i p r o s t e j , k t ó r ą można ła t w o w ykre­

ś l i ć z n a j ą c n a s t ę p u j ą c e p a r a m e t r y :

3 ) -_L_ x a 0 ) . W a r t o ś c i t e s ą n a n i e s i o n e n a

-- CJO

o s i rz ę d n y c h w y k re su ( r y s . 2 ) ,

16 T ad eu sz ś w i e r z a w s k i, T ad eu sz Bes

b ) t a n g e n s k ą t a n a c h y l e n i a p r o s t e j rów ny — — » W ie l -

/ ~ T

k o ś c i t e s ą ró w n ie ż n a n i e s i o n e n a w y k r e s i e ( r y s . 2 ) . Poniew aż w m e t o d z i e dwóch g ru p krzyw a Pm ma dwie g a ł ę z i e ( r y s . 3)» zatem r o z w i ą z a n i e b ę d z i e p o s i a d a ł o dwa p i e r w i a s t k i ( d r u g i j e s t w s p ó ł c z y n n ik ie m o d p o w ie d n ie j ^ zm ie n n ej w ró w n a n iu o k r e ś l a j ą c y m s t r u m i e ń n e u t r o n ó w [2] ) .

R y s . 3» W yzn aczen ie d r u g i e g o p i e r w i a s t k a w m e t o d z i e dwóch g ru p n e u tro n ó w

Celem w y z n a c z e n ia t e j w a r t o ś c i p r z e k s z t a ł c i m y ró w n a n ie k r y t y c z n e ( 1 3 ) do p o s t a c i

2 2

, x 2 + (1 + . x + (koo - 1 ) a 0 (1 3 a)

T T

1T) Równanie 8 . 4 6 . 2 .

C -ra fic z n a m eto d a r o z w ią z a n ia r ó v m a ń ,«. 1?

D la r ó w n a n i a k w adratow ego ( I 3 a ) suma p i e r w i a s t k ó w w yra“

ża s i ę z a l e ż n o ś c i ą

1 l2

1 -f 7 —~

X 4 * X si «=• ■■ — T

4 T

s k ą d

Trp

%

x » - (1 + — |*") - x, (3 2 )

li

W ykres p r z e d s t a w i o n y n a r y s u n k u 2 może z n a l e ź ć ró w n ie ż z a s t o s o w a n i e p r z y w y z n a c z a n iu w a r t o ś c i s

P^. “ p ra w d o p o d o b ie ń s tw a u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w z r e a k t o r a p r z y m o d e r a c j i od e n e r g i i r o z s z c z e - p i e n i a do e n e r g i i r e z o n a n s o w e j ,

Pr - p r a w d o p o d o b ie ń s tw a u n i k n i ę c i a u c i e c z k i p o d c z a s m o d e r a c j i od e n e r g i i re z o n a n s o w e j do e n e r g i i t e r ~ m i c z n e j ,

P. - p ra w d o p o d o b ie ń s tw a u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w t e r m i c z n y c h »

W y sz c z e g ó ln io n e pow yżej w i e l k o ś c i s ą p o t r z e b n e do u ł o ż e ­ n i a b i l a n s u n e u tro n ó w w r e a k t o r z e * Do w y z n a c z e n i a w a r t o ­ ś c i P f n a l e ż y zn ać w i e l k o ś ć w ie k u P e rm ie g o d l a e n e r ­ g i i rezo n an so w y ch ,, O d c i n a j ą c n a o s i o d c i ę t y c h w i e l k o ś c i x - y - '? o d c z y t u j e s i ę n a o s i rz ę d n y c h o d p o w ie d n ie w a r t o - Tr ś c i TP f ,

D la p o s z c z e g ó l n e j m e to d y , p ra w d o p o d o b ie ń stw o u n i k n i ę ­ c i a u c i e c z k i p o d c z a s m o d e r a c j i w yznacza s i ę r z u t u j ą c n a oś r z ę d n y c h p u n k t p r z e c i ę c i a p r o s t e j o k r e ś l o n e j równa­

niem ( 3 1 ) z krzy,vą P^« W ie lk o ś ć P^ o b l i c z a s i ę z rów­

n a n i a

Pr - ( 3 3 )

Praw do p o d o b ień stw o u n i k n i ę c i a u c i e c z k i n e u tro n ó w t e r m i c z ­ nych o k r e ś l o n e z o s t a ł o rów naniem (24a ) 0

18 T a d e u sz Ś w ie rz a w sk iy T ad eu sz Bes

LITERATURA

[1] E .D . GAŁANIN - " T i e o r i j a j a d i e m y c h r e a k t o r ó w n a t i e p ł o w y c h n i e j t r o n a c h " 2 iz d .A to m izd at.-» - Moskwa, 1959.

[2] S.GLASSTONE, M.Cf EDLUND - " F o d sta w y T e o r i i R eaktorów J ą d r owych” ( t ł u n . ) PWN, 1957-

[3] C . F . BONILLA ( e d . ) - " N u c l e a r E n g i n e e r i n g " , McGraw H i l l , New Y ork, 1957.

[4] A,M.WEINBERG, E.P.V/IGHER - "The P h y s i c a l T h eo ry o f N e u tr o n C h a in R e a c t o r s " , C h ic ag o , 1958.

i i r a f i c z n a m etoda r o z w i^ z a n i a ro w n a h . 19

rp acJjH H ecK M M M eTO fl p e m e H M H k p m t h'i c c k ï i x y p a B ii e m m

fljia TepMMHecKHx a^epKbix peaKTopos

P E 3 I O M E

B p a ô o T e n p M B e ^ e K O K p M T H u e c K o e y p a B H e i r u e c n p K M e n e H n e M

MeTO,qa C Scbc^GKTMBHblM K034)4>imMeHT0M /IMCjDCpySMM, MeTO^a c psyMa rpynnaMM HeÜTpoHOB, MeTopa sospacTa <£>epMii, oflHorpyn- no3oro MeTOfla, a Taxxce ypaBHeHMe #jih cjiynaa Bopopo^Horo 3a- MeaJiMTejia.

Bbui npoBeaeH aHajm3 pe3yjibTaT0B, Kaxwe nojiynaiOTca npw

npM M eH eH H M O T,n;ejibH bix M e T o a o s a j i a p a c n e T a B ep o sT H O C T M 113- ô e a îa H M a y T e n K M M O fle p iip o B a H H b ix H eÜ T poH O B M3 CM CTeM bi c k o - H enH biM M p a sM e p a M M .

IIpMBeaeH rpacpMHecKMK cnocoS pemeHMH KpimiHecKHx ypaB-

h 6 hmm ( 1 0 ) , ( 1 3 ) , ( 1 7 ) m ( 1 8 ) n p w n p H M e n e H H H B b im e n p M B e f l e H H b ix M eTOflOB. C pejibio n o B b im e H H H t q h h o c t m r p a c j m x a , S b i j i h B H e c e n b i M p e m x a j i b i a a a k 00 (rp a c|)M K 2 ).

The G r a p h i c a l Method f o r t h e C r i t i c a l E q u a t i o n s o f t h e T h erm al P i l e

SUMMARY

I n t h e p a p e r t h e r e a r e g i v e n c r i t i c a l e q u a t i o n s i n t h e e f f e c t i v e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t a p p r o x i m a t i o n i n t h e tw o -g ro u p s and o n e - g r o u p t h e o r y , i n t h e F erm i-A g e a p p r o ­ x i m a t i o n and f o r t h e c a s e o f t h e h y d r o g e n - m o d e r a t o r .

F u r t h e r on i s done t h e a n a l y s i s o f t h e r e s u l t s i n d e - t e r n i n g t h e n o n l e a k a g e p r o b a b i l i t y , by u s i n g t h e above m en tio n e d m é th o d e s .

The r e l a t i o n s p r e s e n t e d a t t h e F i g , 2 g i v e s o l u t i o n s of c r i t i c a l e q u a t i o n s ( 1 0 ) , (1 7 )» ( 1 3 ) and (1 8 ) d i r e c t l y . To expand t h e s c a l e s , two d i f f e r e n t r a n g e s o f k « h a v e been s u p e r im p o s e d and s e p a r a t e l y n u m b e re d .