ĆWICZENIA zbiór, element zbioru, inkluzja i równość zbiorów; suma, iloczyn, różnica, różnica symetryczna i dopełnienie zbiorów; prawa rachunku zbiorów

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Wst˛ep do matematyki – zbiory Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

zbiór, element zbioru, inkluzja i równo´s´c zbiorów; suma, iloczyn, ró ˙znica, ró ˙znica symetryczna i dopełnienie zbiorów; prawa rachunku zbiorów

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1. Poj ˛ecia:

(a) zbiór,

(b) element zbioru, (c) zbiór sko ´nczony, (d) zbiór pusty,

(e) zbiór niepusty,

(f) inkluzja/zawieranie zbiorów,

(g) podzbiór,

(h) podzbiór wła´sciwy, (i) nadzbiór,

(j) równo´s´c zbiorów, (k) zbiory rozł ˛aczne;

2. Działania na zbiorach:

(a) suma zbiorów∪ (b) iloczyn zbiorów∩

(c) ró ˙znica zbiorów\

(d) ró ˙znica symetryczna zbiorów ˙−

(e) dopełnienie/uzupełnienie zbioru⁰ 3. Prawa rachunku/algebry zbiorów:

(a) prawa przemienno´sci dodawania i mno ˙ze- nia,

(b) prawa ł ˛aczno´sci dodawania i mno ˙zenia, (c) zwi ˛azki dodawania i mno ˙zenia ze zbiorem

pustym,

(d) prawa rozdzielno´sci mno ˙zenia wzgl ˛edem dodawania i dodawania wzgl ˛edem mno ˙ze- nia,

(e) prawa idempotentno´sci, (f) prawa pochłaniania, (g) prawa de Morgana.

Oznaczenia i terminologia

1. Zbiór Zbiór jest tzw. poj ˛eciem pierwotnym, tj. takim, którego nie definiujemy, ale którym si ˛e posługujemy w rozwijaniu zagadnie ´n.

2. Element zbioru

(a) Przedmioty nale ˙z ˛ace do zbioru nazywamy jego elementami.

(b) Je ˙zeli element a nale ˙zy do zbioru Z, to piszemy a∈ Z i czytamy "a nale ˙zy do Z" lub "a jest elementem zbioru Z".

(c) Je ˙zeli element m nie nale ˙zy do zbioru Z, to piszemy m /∈ Z.

(d) Zbiór, którego elementami s ˛a a, b, c, . . . zapisujemy{a, b, c, . . .}. (e) Je ˙zeli a jest jedynym elementem zbioru A, to piszemy A= {a}.

(f) Dwa ró ˙zne zbiory mog ˛a zawiera´c elementy wspólne.

3. Zbiór sko ´nczony Niektóre zbiory składaj ˛a si ˛e ze sko ´nczonej liczby elementów – s ˛a to zbiory sko ´nczone.

4. Zbiór pusty Zbiór, który nie zawiera ˙zadnego elementu nazywa si ˛e zbiorem pustym i oznacza symbolem∅.

5. Zbiór niepusty Zbiór, do którego nale ˙zy przynajmniej jeden element nazywa si ˛e zbiorem niepu- stym.

6. Inkluzja/zawieranie zbiorów

(a) Je ˙zeli ka ˙zdy element zbioru A nale ˙zy do zbioru B, to mówimy, ˙ze zbiór A jest zawarty w zbio- rze B albo ˙ze zbiór B zawiera zbiór A.

(b) Piszemy wtedy A⊂ B lub B⊃ A i czytamy "A jest zawarty w B" lub "B zawiera A".

(c) Zbiór A nazywa si ˛e cz˛e´sci ˛a albo podzbiorem zbioru B, a zbiór B – nadzbiorem zbioru A.

(d) Zbiór pusty∅ jest podzbiorem ka˙zdego zbioru.

(e) Relacja zawierania jest przechodnia, tzn., ˙ze je ˙zeli A⊂ B oraz B⊂C, to A⊂C, czyli (A⊂B) ∧ (B⊂C) ⇒A⊂C.

7. Równo´s´c zbiorówJe ˙zeli A⊂ B oraz B⊂ A, to mówimy, ˙ze zbiory s ˛a identyczne (równe) i pisze- my A= B. Wtedy ka ˙zdy element zbioru A nale ˙zy do zbioru B i ka ˙zdy element zbioru B nale ˙zy do zbioru A.

8. Podzbiór wła´sciwyJe ˙zeli A ⊂B, ale B6⊂ A, to A nazywamy pozbiorem wła´sciwym zbioru B.

9. Zbiory rozł ˛aczneDwa zbiory nie maj ˛ace wspólnych elementów nazywamy rozł ˛acznymi.

10. Działania na zbiorach (a) Suma zbiorów ∪

i. Sum ˛a zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, do którego nale ˙z ˛a wszystkie elementy zbio- rów A i B i ˙zadne inne. Piszemy C= A∪B (rys. 1). Zatem

x∈ A∪B⇔ (x∈ A) ∨ (x∈ B).

Rysunek 1: Suma dwóch zbiorów: A∪B.

ii. Poj ˛ecie sumy dwóch zbiorów mo ˙zna uogólni´c na dowoln ˛a (sko ´nczon ˛a) liczb ˛e składni- ków. Sum ˛a n zbiorów nazywamy zatem zbiór, którego ka ˙zdy element nale ˙zy przynaj- mniej do jednego z danych zbiorów. Nie wyklucza si ˛e wi ˛ec, ˙ze jaki´s element nale ˙zy równocze´snie do kilku składników (rys. 2).

Rysunek 2: Suma trzech zbiorów: A∪B∪C.

iii. Dodawanie zbiorów podlega dwóm prawom:

A. prawu przemienno´sci

A∪B= B∪A, B. prawu ł ˛aczno´sci

(A∪B) ∪C= A∪ (B∪C). iv. Stwierdzamy równie ˙z, ˙ze

A. A∪A= A, B. A∪_∅= A,

C. Je ˙zeli A ⊂B, to A∪B= B (rys. 3).

Rysunek 3: Je ˙zeli A⊂B, to A∪B= B.

(b) Iloczyn zbiorów ∩

i. Zbiór C, którego elementy nale ˙z ˛a zarówno do A, jak i do B, nazywamy iloczynem zbiorów A i B. Piszemy C= A∩B (rys. 4). Zatem

x∈ A∩B⇔ (x∈ A) ∧ (x∈ B).

Rysunek 4: Iloczyn dwóch zbiorów: A∩B.

ii. Iloczyn zbiorów mo ˙zna utworzy´c dla dowolnej (sko ´nczonej) liczby czynników.

iii. Iloczyn zbiorów podlega dwóm prawom:

A. prawu przemienno´sci

A∩B= B∩A, B. prawu ł ˛aczno´sci

(A∩B) ∩C= A∩ (B∩C). iv. Je ˙zeli A⊂B, to A∩B= A (rys. 5).

Rysunek 5: Je ˙zeli A⊂B, to A∩B= A.

v. Zbiory A i B s ˛a rozł ˛aczne wtedy i tylko wtedy, gdy A∩B=∅ (rys. 6).

Rysunek 6: Iloczyn zbiorów rozł ˛acznych jest zbiorem pustym∅.

(c) Ró˙znica zbiorów \

i. Zbiór C tych wszystkich elementów, które nale ˙z ˛a do zbioru A, a nie nale ˙z ˛a do zbioru B, nazywamy ró˙znic ˛a zbiorów A i B. Piszemy C= A\B (rys. 7). Zatem

x∈ A\B⇔ (x∈ A) ∧ (x /∈ B).

Rysunek 7: Ró ˙znica dwóch zbiorów: A\B.

ii. Je ˙zeli zbiory A i B s ˛a rozł ˛aczne, to A\B= A, bo ka ˙zdy element, który nale ˙zy do A nie nale ˙zy do B (rys. 8).

Rysunek 8: Ró ˙znica dwóch zbiorów rozł ˛acznych: A\B.

iii. Je ˙zeli A⊂B, to A\B= ∅ (rys. 9).

Rysunek 9: Je ˙zeli A⊂ B, to A\B=_∅.

(d) Ró˙znica symetryczna zbiorów ˙−

i. Zbiór C tych wszystkich elementów, które nale ˙z ˛a do dokładnie jednego ze zbiorów A i B nazywamy ró˙znic ˛a symetryczn ˛a zbiorów A i B. Piszemy C= A ˙−B (rys. 10). Zatem

x∈ A ˙−B⇔ [(x∈ A) ∧ (x /∈B)] ∨ [(x /∈ A) ∧ (x ∈B)].

Rysunek 10: Ró ˙znica symetryczna dwóch zbiorów: A ˙−B.

ii. Definicja formalna:

A ˙−B= (A\B) ∪ (B\A). iii. Je ˙zeli A⊆B, to A ˙−B=B\A (rys. 11).

Rysunek 11: Je ˙zeli A⊆ B, to A ˙−B=B\A.

(e) Dopełnienie/uzupełnienie zbioru⁰

i. Niech dany b ˛edzie zbiór U, zwany przestrzeni ˛a, oraz jego podzbiór A⊆U. Dopełnieniem zbioru A nazywa si ˛e ró ˙znic ˛e

A⁰ =U\A= {x∈U : x /∈ A},

oznaczan ˛a zwykle symbolem A⁰ (rys. 12). Jest to zbiór wszystkich elementów pewnego ustalonego nadzbioru, które do danego zbioru nie nale ˙z ˛a.

Rysunek 12: Zbiór A⁰ – dopełnienie zbioru A w przestrzeni U.

ii. Z definicji wynika, ˙ze dopełnienie zbioru zale ˙zy od wyboru przestrzeni.

iii. Korzystaj ˛ac z poj ˛ecia dopełnienia zbiorów, ró ˙znic ˛e zbiorów A, B ⊆ U mo ˙zna zapisa´c w postaci:

A\B= A∩B⁰. iv. Dla dowolnej przestrzeni U prawdziwe s ˛a równo´sci

A. ∅⁰ =U, B. U⁰ =_∅.

v. Dla ustalonej przestrzeni U i dowolnego A⊆U zachodzi(A⁰)⁰ = A.

vi. Zbiór i jego dopełnienie s ˛a rozł ˛aczne

A∩A⁰ =_∅.

vii. Suma zbioru i jego dopełnienia daje cał ˛a przestrze ´n A∪A⁰ =U.

viii. Dla danych A, B⊆U zachodz ˛a prawa A. (A∪B)⁰ = A⁰∩B⁰,

B. (A∩B)⁰ = A⁰∪B⁰, znane jako prawa de Morgana.

ix. Je ˙zeli B= A⁰, to B⁰ = A.

Twierdzenia

1. Prawa rachunku/algebry zbiorów Zwi ˛azki dotycz ˛ace działa ´n na zbiorach i zachodz ˛ace dla dowolnych zbiorów nazywane s ˛a prawami rachunku zbiorów lub prawami algebry zbiorów.

(a) Prawa przemienno´sci Dla dowolnych zbiorów A i B zachodz ˛a i. prawo przemienno´sci dodawania A∪B= B∪A,

ii. prawo przemienno´sci mno˙zenia A∩B=B∩A.

(b) Prawa ł ˛aczno´sciDla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz ˛a i. prawo ł ˛aczno´sci dodawania A∪ (B∪C) = (A∪B) ∪C, ii. prawo ł ˛aczno´sci mno˙zenia A∩ (B∩C) = (A∩B) ∩C.

(c) Zwi ˛azki dodawania i mno˙zenia ze zbiorem pustymDla dowolnego zbior A zachodz ˛a i. A∪_∅= A,

ii. A∩_∅=_∅.

(d) Prawa rozdzielno´sci Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz ˛a

i. prawo rozdzielno´sci mno˙zenia wzgl˛edem dodawania A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C), ii. prawo rozdzielno´sci dodawania wzgl˛edem mno˙zenia A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C). (e) Prawa idempotentno´sci Dla dowolnego zbioru A zachodz ˛a

i. A∪A= A, ii. A∩A= A.

(f) Prawa pochłaniania Dla zbiorów A, B takich, ˙ze A⊆B, zachodz ˛a i. A∪B= B,

ii. A∩B= A.

(g) Prawa de Morgana Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz ˛a i. A\ (B∪C) = (A\B) ∩ (A\C),

ii. A\ (B∩C) = (A\B) ∪ (A\C)_.

Przydatne wzory

1. Pierwiastki równania kwadratowego Liczba rzeczywistych rozwi ˛aza ´n równania kwadrato- wego ax²+bx+c=0 zale ˙zy od wyró ˙znika ∆=b²−4ac:

(a) je ˙zeli∆<0, to równanie kwadratowe nie ma rozwi ˛aza ´n rzeczywistych,

(b) je ˙zeli∆=0, to równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie: x₁ =x₂ = −_2a^b,

(c) je ˙zeli∆>0, to równanie kwadratowe ma dokładnie dwa rozwi ˛azania rzeczywiste:

x₁= −b−√

∆

2a , x₂= −b+√

∆ 2a .

Zadania

1. Zapisa´c zbiór pierwiastków równania

(a) x²−_16x+₆₄=_{0, (b) x}²−_3x+₁₀=_{0, (c) x}²−_4x=₀ i okre´sli´c jego liczebno´s´c.

2. Obliczy´c (a) sum ˛e, (b) iloczyn,

(c) ró ˙znic ˛e,

(d) ró ˙znic ˛e symetryczn ˛a zbiorów A, B okre´slonych nast ˛epuj ˛aco

(a) A= {1, 2, 3, 4}, B= {3, 4, 5, 6}, (b) A= [0, 4), B= [3, 6). 3. Wyznaczy´c i naszkicowa´c na osi liczbowej lub w układzie współrz ˛ednych zbiory

(a) A∪B, (b) A∩B, (c) A\B, (d) B\A, (e) A ˙−B,

je´sli zbiory A i B okre´slone s ˛a nast ˛epuj ˛aco:

(a) A= {x∈ _{R : x}² >4}, B= {x∈_{R : x}>1}, (b) A= {x∈ _{R : x}² >1}, B= {x∈_{R : x}² <4},

(c) A= {hx, yi ∈_R² : y−x≤0}, B= {hx, yi ∈_R²: x+y<3}, (d) A= {hx, yi ∈_R² : y= |x|}, B= {hx, yi ∈_R²: x= |y|},

(e) A= {hx, yi ∈_R² : x²+y²<4}, B= {hx, yi ∈_R² : x+y<2}.

4. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zilustrowa´c za pomoc ˛a diagramów Venna równo´sci (a) (A\B) ∩B=_∅,

(b) A∪ (B∩C) = (_A∪B) ∩ (_A∪C)_, (c) A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C), (d) (A∪B) ∪C= A∪ (B∪C),

(e) (A∩B) ∩C= A∩ (B∩C), (f) A⁰∩B⁰ = (A∪B)⁰,

(g) A⁰∪B⁰ = (A∩B)⁰,

(h) A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A∩C),

(i) (A∪B) \C= (A\C) ∪ (B\C), (j) A\ (B∪C) = (A\B) ∩ (A\C), (k) A ˙−B= B ˙−A,

(l) A ˙−(B ˙−C) = (A ˙−B)−˙C, (m) A ˙−_∅= A,

(n) A ˙−A= _∅,

(o) A∩ (B ˙−C) = (A∩B)−(˙ A∩C).

5. Korzystaj ˛ac z diagramów Venna sprawdzi´c, czy prawd ˛a jest, ˙ze dla dowolnych zbiorów A i B zachodz ˛a nast ˛epuj ˛ace równo´sci:

(a) (A∪B) \B= A? (b) (A\B) ∪B= A?

6. Korzystaj ˛ac z diagramów Venna sprawdzi´c, jaka musi by´c zale ˙zno´s´c mi ˛edzy zbiorami A i B ˙zeby zachodziło

(a) (A∪B) \B= A, (b) (A\B) ∪B= A.

Bibliografia

1. Wykłady ze wst˛epu do matematyki W. Guzicki, P. Zakrzewski 2. Matematyka t. I K. Szałajko

3. Analiza matematyczna w zadaniach cz˛e´s´c I W. Krysicki, L. Włodarski