Spis treści
1 Zdania logiczne i tautologie 1
2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2
3 Algebra zbiorów 3
4 Różnica symetryczna 4
5 Iloczyn kartezjański 5
6 Kwantyfikatory. 5
7 Relacje 7
8 Relacje porządku i równoważności 8
9 Funkcje 9
10 Działania uogólnione 11
Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie
Zadanie 1.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0
a) p∧ ∼ q e)[(p ∨ q) =⇒ p)] ∧ (p ⇐⇒ q)
b) ∼ (p ⇐⇒ q) f)∼ (p ∧ q) ⇐⇒ (∼ p∧ ∼ q)
c) (p ∨ q) ⇐⇒∼ q g)(p =⇒ q) ⇐⇒ (q ∨ p)
d) (p =⇒ q) =⇒ p h)p =⇒ (q =⇒ p)
Zadanie 1.2. Wyznacz wartość logiczną każdego wyrażenia z poprzedniego zadania przy podstawieniu w(p) = 0, w(q) = 1.
Zadanie 1.3. Wyznacz wartość logiczną wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0, w(r) = 1
a) (∼ p ∧ q) ∨ r b) ∼ p ∧ (q ∨ r)
c) ∼ (p ∧ q) ∨ r d) ∼ (p ∨ q) ∧ r
e) (∼ p =⇒ q) =⇒ r f) ∼ p =⇒ (q =⇒ r) g) ∼ (p =⇒ q) ∨ r h) ∼ (p =⇒ q) ∧ r Zadanie 1.4. Wyznacz wartość logiczną zdania
a) (2 < 3) ∨ (2 > 3) b) (2 < 3) =⇒ (2 > 3) c) (2 < 3) ⇐⇒ (2 > 3) d) (2 < 3) ∧ (2 = 3) e) (2 = 3) ∨ (2 > 3) f) (2 = 3) ∧ (2 > 3) g) (2 = 3) ⇐⇒ (2 > 3) h) (2 = 3) =⇒ (2 > 3)
Zadanie 1.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź za pomocą tabelki.
[(p ∨ q) ∧ (∼ p)] ⇒ q [(p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ q]
[(p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)] ⇒ (q ⇒ p) p ⇒ [(∼ p) ∨ q]
p ⇒ [(∼ p) ⇒ q]
Zadanie 1.6. Wiedząc, że w(p ∨ q) = 0 określ wartość logiczną zdania q =⇒ p.
Zadanie 1.7. Wiedząc, że w(p ∧ q) = 1 określ wartość logiczną zdania q =⇒ p.
Zadanie 1.8. Wiedząc, że w(q =⇒ p) = 0 określ wartość logiczną zdania p∨(q =⇒ p).
Zadanie 1.9. Wiedząc, że w((p ∧ q) =⇒ r) = 0 określ wartość logiczną wyrażenia (q ∧ r) ⇐⇒ (∼ p) ∨ (q =⇒ r).
Zestaw 2. Zdania logiczne i tautologie c.d.
Zadanie 2.1. Wiedząc, że w(p ∨ q) = 1 określ wartość logiczną wyrażeń (p ∨ q) ∨ (p ∧ q)
r ⇒ (p ∨ q)
{[r =⇒ (p ∨ q)] ∨ [(p ∨ q) =⇒ (∼ r)]} =⇒ (p ∨ q ∨ r).
Zadanie 2.2. Wiedząc, że w(p ∧ q) = 0 określ wartość logiczną wyrażeń (p ∨ q) ∧ (p ∧ q)
(p ∧ q) ⇒ r
{[(p ∧ q) =⇒ r] ∨ [(p ∨ q) =⇒ (∼ r)]} =⇒ (p ∧ q ∧ r).
Zadanie 2.3. Wiedząc, że w(p ⇒ q) = 1 określ wartość logiczną wyrażeń (p ∨ q) ∨ (p ⇒ q)
r ⇒ (p ⇒ q)
[r =⇒ (p ⇒ q)] =⇒ [(p ∨ q) ∨ (p ⇒ q)].
Zadanie 2.4. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki.
[(∼ p) ∧ q] ⇒ [(∼ (q ⇒ p)) ∧ (p ⇒ q)]
[(p ∨ q) ⇒ r] ⇒ [(r ⇒ p) ∨ (r ⇒ q)]
[(p ∧ s) ⇒ (q ∨ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)]
[(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] ∨ [(p ∨ q) ⇒ r]
[(q ⇒ p) ∨ (p ⇒ q)] ∨ [(∼ p) ∨ q]
[(∼ p) ⇒ q] ∨ [(∼ (q ⇒ p)) ∨ (p ⇒ q)]
[(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (t ⇒ u)] ⇒ [(p ∧ r ∧ t) ⇒ (q ∧ s ∧ u)]
Zadanie 2.5. Określ wartość logiczną zdania i zapisz jego negację:
a) Słowacja jest sąsiadem Polski lub Hiszpania jest sąsiadem Polski.
b) Jeżeli Sieradz jest stolicą Czech, to Ewa jest matematykiem.
c) Pies jest ssakiem wtedy i tylko wtedy, gdy kot jest ssakiem.
Zadanie 2.6. Sformułuj negację podanych zdań.
a) Jeżeli Zosia ma psa, to Zosia nie ma psa lub Zosia jest alergikiem.
b) Jeżeli Piotr ma kota, to Piotr jest informatykiem i Piotr ma chomika.
c) Jeżeli Adam ma kota i Adam nie ma kota, to Adam ma rybki.
d) Jeżeli Ania ma kota lub Ania jest matematykiem, to wtedy Ania jest informatykiem.
Zestaw 3. Algebra zbiorów
Zadanie 3.1. Podaj ile różnych elementów ma podany zbiór i wymień je (jeśli jest to możliwe). Zakładamy, że a 6= b 6= c 6= a
A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}} B = {a, {a}, {a, {a}}}
C = {x ∈ N : x2 ≤ 25} D = {x ∈ Q : x2 = 16}
E = {x ∈ R : x2 + 9 < 0} F = {x ∈ R : x2 + 9 > 0}
Zadanie 3.2. Jakie relacje zachodzą między zbiorami A i B?
a) A = (3, 5) B = (2, 6) b) A = (0, 1) ∪ {2} B = {0, 1, 2}
c) A = [1, 2] B = (0, 1) ∪ {2} d) A = {x ∈ R : x2 = 16} B = {4}
Zadanie 3.3. Oblicz A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A0, B0.
a) A = {x ∈ N : x ≤ 6} B = {x ∈ N : x > 2}; b) A = [2, ∞) B = (1, 6);
c) A = (−∞, 2) B = [3, ∞); d) A = (−∞, 3] B = (3, 6);
e) A = (0, 2) ∪ {3} B = [2, 3] ∪ {1}; f) A = [2, 3] B = (3, 6);
g) A = [1, 2] ∪ {3} B = [2, 3] ∪ {1}; h) A = [2, 3] B = [3, 6];
Zadanie 3.4. Sprwadź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe są następujące równości:
A \ B = (A ∪ B) \ B A \ B = A \ (A ∩ B) A ∪ B = (A \ B) ∪ B A ∩ B = A \ (A \ B)
A ∩ (A ∩ B) = B (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = C
(A \ C) ∪ B = A ∪ B A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
Zestaw 4. Różnica symetryczna
Zadanie 4.1. Oblicz:
a) {1, 2, 3} 4 {3, 4, 5}; b) {1, 2, 3} 4 [1, 3];
c) (2, 5) 4 [6, 8]; d) (0, ∞) 4 (5, 8];
e) (0, ∞) 4 (−∞, 2); f) [2, ∞) 4 (0, 2];
g) (0, 2) 4 (−∞, 2); h) (3, ∞) 4 (0, 3);
Zadanie 4.2. Rozwiąż równanie:
a) {1, 2} 4 A = {4, 5}; b) A 4 {1, 2, 3} = {3, 4};
c) [1, 3] 4 A = (1, 3); d) A 4 (2, 6] = (0, 4];
e) (5, ∞) 4 A = (0, 2]; f) A 4 [2, ∞) = (4, 6);
g) (5, ∞) 4 A = (−∞, 5]; h) A 4 [2, ∞) = (0, 6);
Zadanie 4.3. Uprość wyrażenie:
a) A \ (A ∩ B) b) (A ∩ B) \ A
c) (A \ B) ∪ B d) (A \ B) ∩ B
e) (A ∩ B) ∪ A f) (A \ B) \ C
g) A \ (A ∪ B) h) (A ∪ B) \ A
Zadanie 4.4. Jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami jeśli:
a) A \ (A ∩ B) = A b) (A ∪ B) \ A = B \ A c) (A ∩ B) \ C = A d) A ∩ (B \ C) = ∅
e) (A ∩ B) \ C = ∅ f) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
Zadanie 4.5. Podaj przykład zbiorów dla których podana równość zachodzi oraz przy- kład zbiorów dla których podana równość nie zachodzi:
a) (A ∪ B) \ A = B b) (A 4 B) = A
c) (A ∩ B) \ C = ∅ d) A ∩ (B \ C) = ∅
e) (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = C f) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)
Zestaw 5. Iloczyn kartezjański
Zadanie 5.1. Niech A = [1, 3], B = (2, 3), S = {1, 2, 3}, T = {4, 5}. Wypisz lub narysuj zbiory:
a) S × T ; b) (S ∩ T ) × (A ∪ B); c) (A 4 B) × (S ∪ T );
d) A × B; e) (S ∪ T ) × (A ∩ B); f) (S 4 T ) × (A \ B);
Zestaw 6. Kwantyfikatory.
Zadanie 6.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.
a) ∃x∈R x2 = 2x; b) ∀x∈R x2 = 2x; c) ∃x∈R x2 < 0;
d) ∀x∈R x2 > 0; e) ∃x∈N x2 = 3; f) ∀x∈N x2 + 1 > 0;
Zadanie 6.2. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.
a) ∃x∈R (x = 2 ∧ x < 0); b) ∃x∈R x = 2 ∧ ∃x∈R x < 0;
c) ∃x∈R (x = 2 ⇒ x < 0); d) ∃x∈R x = 2 ⇒ ∃x∈R x < 0;
e) ∀x∈R (x2 > 0 ⇒ x < 0); f) ∀x∈R x2 > 0 ⇒ ∀x∈R x < 0;
Zadanie 6.3. Wyznacz zmienne wolne i związane podanych funkcji zdaniowych oraz narysyj ich wykresy. Zbiory X, Y oznaczają zakres zmienności zmiennych x i y.
a) x2 − 1 ≥ 0, X = R; b) x 6= x, X = Z;
c) ∃xx = y, X = Y = R; d) xy ≤ 1, X = Y = R;
e) ∃x xy = 1, X = Y = R; f) ∀y xy ≥ 1, X = Y = R;
Zadanie 6.4. Zapisz następujące zdania za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicz- nych i działań arytmetycznych. Następnie określ wartość logiczną podanego wyrażenia oraz zapisz jego negację.
1. Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2;
2. Dla wszystkich liczb rzeczywistych x mamy, że 2x = x;
3. Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z2 + 2z + 1 = 0;
4. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z2 + 2z + 1 = 0;
5. Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z2 + 2z + 1 ≥ 0;
6. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z2 + 2z + 1 ≤ 0;
7. x jest liczbą nieparzystą;
8. Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y większa od niej;
9. Nie istnieje największa liczba naturalna;
10. Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że iloczyn tych liczb jest mniejszy niż 5.
11. Istnieje liczba naturalna x taka, że dla każdej liczby naturalnej y suma tych liczb jest większa niż 5.
12. Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że różnica tych liczb jest niewiększa niż 5.
Zadanie 6.5. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.
a) ∃n∈N ∃
m∈Nnm = 10 b) ∀
x∈R\{0}
∃
y∈R\{0} xy = 1 c) ∀
y∈R ∃
x∈R y = x2 d) ∃x∈R ∀
y∈R xy = 0 e) ∃
y∈R\{0} ∀
x∈R\{0} xy = 1 f) ∃
x∈R ∀
y∈Ry = x2 g) ∃x∈R ∀
y∈R 4x + 5y = 0 h) ∀
x∈R ∃
y∈R 3x − 5y = 0 i) ∀
y∈R ∀
x∈R 2x + 3y = 0 Zadanie 6.6. Podaj przykład funkcji zdaniowych ϕ(x), ψ(x) oraz X dla których po- dane zdania są fałszywe.
∀
x∈X ϕ(x) ⇔ ∀
x∈X ψ(x)
=⇒ ∀
x∈X (ϕ(x) ⇔ ψ(x))
x∈X∃ ϕ(x) ⇔ ∃
x∈Xψ(x)
=⇒ ∃
x∈X [ϕ(x) ⇔ ψ(x)]
∃
x∈X [ϕ(x) ⇔ ψ(x)] =⇒
∃
x∈X ϕ(x) ⇔ ∃
x∈Xψ(x)
x∈X∀ (ϕ(x) ∨ ψ(x)) =⇒
x∈X∀ ϕ(x) ∨ ∀
x∈X ψ(x)
∃
x∈X ϕ(x) ∧ ∃
x∈X ψ(x)
=⇒ ∃
x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))
∀
x∈X ϕ(x) ∧ ∃
x∈X ψ(x)
=⇒ ∀
x∈X [ϕ(x) ⇔ ψ(x)]
x∈X∀ ϕ(x) ⇒ ∃
x∈X ψ(x)
=⇒ ∀
x∈X [ϕ(x) ⇒ ψ(x)]
Zestaw 7. Relacje
Zadanie 7.1. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R ⊂ S × T .
1. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x + y ≤ 10;
2. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x + y = 11;
3. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x + y jest nieparzyste;
Zadanie 7.2. Niech S = {2, 4, 6, 8}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R ⊂ S × S. Następnie zbadaj które własności (zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja?
1. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x + y ≤ 10;
2. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x + y = 10;
3. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x + y jest parzyste;
Zadanie 7.3. Które własności (zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsyme- tria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja?
1. x, y ∈ S, x%y ⇐⇒ x + y jest nieparzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4};
2. x, y ∈ S, x%y ⇐⇒ x − y = 2, S = {0, 1, 2, 3, 4};
3. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ |x| = |y|;
4. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x − y jest parzyste;
5. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ |x| < |y|;
6. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ |x − y| < 1;
7. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ xy < 0;
8. A, B ⊂ R, A%B ⇐⇒ A ⊂ B;
9. A, B ⊂ N, A%B ⇐⇒ A \ B jest zbiorem skończonym;
10. x, y-ludzie, xSy ⇐⇒ x oraz y są tej samej płci;
11. x, y-ludzie, xT y ⇐⇒ x nie jest niższy niż y;
12. (a, b), (n, m) ∈ N2, (a, b)S(n, m) ⇐⇒ a + m = n + b;
13. (a, b), (n, m) ∈ Z2, (a, b)T (n, m) ⇐⇒ am = nb;
Zestaw 8. Relacje porządku i równoważności
Zadanie 8.1. Czy podana relacja jest relacją częściowego porządku lub równoważności?
1. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x dzieli y;
2. x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ |x − 3| = |y − 3|;
3. x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ |x − 2| · |y − 2| ≥ 0 ∧ |x − 2| ≥ |y − 2|;
4. x, y ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2}, x%y ⇐⇒ |x + 1| ≥ |y + 1|;
5. (a, b), (n, m) ∈ N2, (a, b)%(n, m) ⇐⇒ (−1)a+b = (−1)m+n; 6. (a, b), (n, m) ∈ Z2, (a, b)%(n, m) ⇐⇒ (−1)ab = (−1)mn; 7. (a, b), (n, m) ∈ N2, (a, b)%(n, m) ⇐⇒ a ≤ n ∧ b ≤ m;
8. A, B ⊂ R, A%B ⇐⇒ 5 ∈ (A ∩ B) ∨ (5 /∈ (A ∪ B);
9. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tego samego rodzica;
10. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tę samą matkę;
11. (a, b), (n, m) ∈ Z × Z \ {0}, (a, b)S(n, m) ⇐⇒ am = nb;
Zadanie 8.2. Dla podanej relacji równoważności wyznacz jej klasy abstrakcji.
1. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x − y jest parzyste;
2. x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ |x − 3| = |y − 3|;
3. (a, b), (n, m) ∈ N2, (a, b)%(n, m) ⇐⇒ (−1)a+b = (−1)m+n; 4. (a, b), (n, m) ∈ Z2, (a, b)%(n, m) ⇐⇒ (−1)ab = (−1)mn; 5. x, y-ludzie, xSy ⇐⇒ x oraz y są tej samej płci;
6. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tę samą matkę;
7. (a, b), (n, m) ∈ N2, (a, b)R(n, m) ⇐⇒ a + m = n + b;
Zadanie 8.3. Dla podanej relacji częściowego porządku wyznacz elementy minimalne oraz maksymalne.
1. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x dzieli y;
2. x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ (x − 3) · (y − 3) ≥ 0 ∧ |x − 3| ≥ |y − 3|;
3. x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, x%y ⇐⇒ (x − 2) · (y − 2) ≥ 0 ∧ |x − 2| ≤ |y − 2|;
4. x, y ∈ {−3, −2, −1, 1, 3}, x%y ⇐⇒ |x + 1| ≥ |y + 1|;
5. (a, b), (n, m) ∈ N2, (a, b)%(n, m) ⇐⇒ a ≤ n ∧ b ≤ m;
Zestaw 9. Funkcje
Zadanie 9.1. Czy podana relacja R ⊂ X × Y jest funkcją? Jeśli nie, to czy można tak zmienić zbiory X, Y aby była.
1. (x, y) ∈ R ⇐⇒ |x| = |y|, R ⊂ R × R;
2. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 = y3, R ⊂ N × Z;
3. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x3 = y2, R ⊂ N × Z;
4. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y2, R ⊂ R × R;
5. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x4 = y3, R ⊂ N × Z;
6. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y3, R ⊂ R × R;
7. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 + y2 = 9, R ⊂ R × R;
Zadanie 9.2. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości podanej funkcji a) f (x) = √3
x; b) f (x) = √
4 − x2; c) f (x) = √
x2 + 1;
d) f (x) = 3 + 1
x; e) f (x) = 1
x − 1; f) f (x) = 2x 4 − x2; g) f (x) = 3 + 1
√x; h) f (x) = 1
√x − 1; i) f (x) = 2x
√x2 − 4;
Zadanie 9.3. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S → S są różno- wartościowe, "na" S?
a) f (n) = 6 − n; b) f (n) = max{n, 3};
c) f (n) = n; d) f (n) = min{2, n};
e) f (n) = min{n, 5}; f) f (n) = max{5, n};
Zadanie 9.4. Czy podana funkcja f : R → R jest różnowartościowa, "na" R?
a) f (x) = 2x + 3; b) f (x) = x2 − 4; c) f (x) = |x + 3|;
d) f (x) = x3 − 1; e) f (x) = (x − 1)3; f) f (x) = √3
x − 1;
Zadanie 9.5. Czy podana funkcja f : R → R jest różnowartościowa, "na" R?
a) f (x) = 3x − 1; b) f (x) = |1 − x|; c) f (x) = |x + 2|;
d) f (x) = x2 − 1; e) f (x) = (x − 1)2; f) f (x) = (x − 2)2 + 2;
Zadanie 9.6. Wyznacz f ([0, 1)), f ((0, 1)), f−1([0, 1)), f−1((0, 1)).
a) f (x) = 3x − 1; b) f (x) = |1 − x|; c) f (x) = |x + 2|;
d) f (x) = x2 − 1; e) f (x) = (x − 1)2; f) f (x) = (x − 2)2 + 2;
Zadanie 9.7. Zbadaj czy funkcja f : R → R określona wzorem
f (x) =
( 2x + 4 dla x < 0 x − 2 dla x ≥ 0
jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f ((−3, 3)), f ((0, 3)), f−1((0, 4)) oraz f−1((−3, 0)).
Zadanie 9.8. Zbadaj czy funkcja f : R → R określona wzorem
f (x) =
( 1 − x dla x < −1 x − 1 dla x ≥ −1
jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f ((−2, 1)), f ((−2, −1]), f−1([−3, 0)) oraz f−1(−4, −2)).
Zadanie 9.9. Zbadaj czy funkcja f : R → R określona wzorem
f (x) =
( 4 − x dla x < 2 3 − 2x dla x ≥ 2
jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f−1([0, 3]) oraz f ([−3, 0]).
Zadanie 9.10. Zbadaj czy funkcja f : R → R określona wzorem
f (x) =
( 3x + 1 dla x > −2 x − 3 dla x ≤ −2
jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f−1([0, 3]) oraz f ([−3, 0]).
Zestaw 10. Działania uogólnione
Zadanie 10.1. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów oraz ich do- pełnień
An =
− 1
n + 1, 1 + 1 n
Bn =
1
n + 1, 2 − 1 n
Cn = [0, n);
Dt =
(−1)n, 2 − 1 n + 2
Et =
1 − 1
4n, 3 − 1 n
Fn = [−n, n + 1);
Gn = {1, 2, . . . , n} Hn = (−1)n n , 5
In = (n, n + 1];
Zadanie 10.2. Oblicz S
n∈NAn, T
n∈NAn, S
n∈N(R \ An), T
n∈N(R \ An).
a) An = {x ∈ R : x > 2n}, n ∈ Z b) An = {x ∈ R : |x| ≥ n}, n ∈ N
c) An = {x ∈ R : |x + 3| < n}, n ∈ N d) An =
x ∈ R : 1 + (−1)n ≤ x ≤ 3 + (−1)n n
, n ∈ N
e) An = n
x ∈ R : (−1)n n < x < no
, n ∈ N f) At = x ∈ R: (−1)n < x < n3 , n ∈ N g) An = {x ∈ R : n ≤ x < n + 1}, n ∈ N h) An = {x ∈ R : n ≤ x ≤ n + 1}, n ∈ Z Zadanie 10.3. Wyznacz S
n∈NAn, T
n∈NAn jeżeli a)S
n∈N(R \ An) = [−3, 0), T
n∈N(R \ An) = (−2, −1]
b)S
n∈N(R \ An) = (0, ∞), T
n∈N(R \ An) = [5, ∞) c)S
n∈N(R \ An) = R, T
n∈N(R \ An) = R \ N d)S
n∈N(R \ An) = R \ N, T
n∈N(R \ An) = ∅ e)S
n∈N(R \ An) = Z, T
n∈N(R \ An) = N
