A dam Turowski
Rozwiązywanie prostokątnych ram przestrzennych metodą kolejnych przybliżeń
1. Wstęp
N a łamach krajow ej i zagranicznej prasy technicznej spotyka się co
raz częściej rozw ażania n a te m at przestrzennych układów ramowych, w ystępujących przeważnie w budownictwie przemysłowym, których roz
wiązanie statyczne sprawia zazwyczaj pewne kłopoty, zwłaszcza n atu ry rachunkow ej. Ułożenie i rozwiązanie układu stosunkowo znacznej ilości rów nań je st pracą czasochłonną, n a co żadne z biur projektow ych nie może sobie w chwili obecnej pozwolić. Z tego względu projektanci roz
kładają rozpatryw any schem at przestrzenny n a kilka, schematów płaskich, rezygnując z właściwego obrazu pracy statycznej układu.
Celem niniejszego arty k u łu jest podanie rozwiązywania ram prze
strzennych m etodą kolejnych przybliżeń, któ ra, według mego zdania, je st m etodą o tyle przystępną, że wprowadzając jedynie kilka pojęć nowych, bazuje n a znanej powszechnie iteracji technicznej. W artykule ty m omówione zostały jedynie ram y prostokątne, aczkolwiek rozszerze
nie w prowadzonych zasad n a układy przestrzenne nieprostokątne jest możliwe, jednak w ykracza poza ram y niniejszego arty k u łu .
2. Pojęcia zasadnicze
2.1. M omenty utwierdzające (wyjściowe)
Momentem utw ierdzającym (lub wyjściowym) nazyw ać będziemy m o
m ent węzłowy (oddziaływający) M 0, jak i pow staje n a końcach p ręta od danych obciążeń przęsło wych przy uniemożliwieniu pow stania obrotów przekrojów węzłowych.
2.2. Sztywności bezwzględne prętów
Przez sztywność bezwzględną p ręta rozumiemy odwrotność k ą ta ugię
cia lub skręcenia n a d podporą (lub węzłem), wywołanego obciążającym m om entem jednostkow ym , działającym na rozpatryw anej podporze. Mo-
58 A d a m Turowski
m ent jednostkowy może być m om entem zginającym lub skręcającym, wobec czego będziemy mieli do czynienia ze sztywnością zginania i skrę
cania.
P rzy omawianiu zginania sztywności bezwzględne wynoszą:
3 E J dla p ręta przegubowo-przegubowego s- dla p ręta przeguboWo-sztywnego s- natom iast przy skręcaniu:
dla p ręta przegubowo-sztywnego s-
' l ’ 4 E J Z~ T ~ '
CrJ0 ' l ’
gdzie J0 jest wyrażeniem w cm4, odpowiadającym biegunowemu momen
towi bezwładności w w ypadku przekroju kołowego. P rzy przekrojach prostokątnych
J 0- ^ / i b sh,
gdzie współczynnik ¡j zależy od stosunku li:b, a w artości jego odczy
tujem y z tablicy 14.
T a b l i c a I
W artości współczynnika ii
h:b 1 1,5 1,75 2 2,5 ; 3 4 6 8 10
0,140 0,196 0,214 0,229 0,249 ' 0,263 0,281 0,299 0,307 0.313
Biorąc pod uwagę fakt, że
G= E
'2(1 + r) ’
sztywność bezwzględna skręcania wyraża się wzorem:
2 ( l + v ) V
gdzie v jest współczynnikiem przewężenia poprzecznego (ułamek Pois- sona),
2.3. Współczynniki rozdziału
W spółczynnik rozdziału określa część mom entu (zginającego lub skrę
cającego), jak ą przenosi każdy z prętów zbiegających się w ro zp atry w anym węźle, obciążonym pewnym momentem M.
1 Zaczerpnięto z podręcznika St. Błażewskiego, W ytrzymałość materiałów, W a r
szawa 1951, P W T , str. 178.
Rozwiązyw anie ram przestrzennych metodą przybliżeń 59 W w ypadku gdy w rozpatryw anym węźle zbiegają się p ręty w za
jem nie do siebie prostopadłe (co najczęściej w ystępuje w praktyce), przy czym m om ent M leży' w jednej z ieh płaszczyzn, to w każdym z prętów pojaw i się bądź to m om ent zginający, bądź też skręcający, zależnie od wzajemnego położenia w ektora — m om entu i osi pręta. Załóżmy, że mo-
R ys. 1. R ozkład m om entu obciążającego d a n y w ęzeł n a m om enty składow e, zginające i skręcające, poszczególnych p rętów
m ent obciążający leży w płaszczyźnie y — z, a w tedy z w arunku mo
m entów rozpatryw anego węzła względem osi x otrzym am y:
p rzy czym przez J /, rozumieć należy m om ent zginający lub skręcający.
Sztywność rozpatryw anego węzła zapewnia pow stanie k ą ta obrotu o wspólnej w artości dla poszczególnych prętów , tzn.
z
lub ogólnie
(a)
(l>)
A dam T urow ski
gdzie mianownik oznacza sumę sztywności zginania i skręcania wszyst
kich prętów schodzących się w rozpatryw anym węźle, a m om ent M t jest bądź to m om entem zginającym , bądź to skręcającym, zależnie od ro dzaju sztywności w ystępującej av liczniku.
W yrażenie nazywam y współczynnikiem rozdziału rk rozpatrywa- 2j «.
n e g o węzła, przy czym ay każdym węźle
2.4. Współczynniki przeniesienia
W s p ó łc z y n n ik ie m p r z e n ie s ie n ia n a z y w a m y lic z b ę a lg e b r a ic z n ą , p r z e z k t ó r ą n a le ż y p o m n o ż y ć m o m e n t iii,- d z ia ła ją c y n a j e d n y m k o ń c u d a n e g o p r ę t a , a b y otrzym ać Acartość lic z b o w ą m o m e n tu A ry stę p u ją c e g o n a k o ń c u przeciAYnym . W w y p a d k u z g in a n ia w s p ó łc z y n n ik i p r z e n ie s ie n ia są
d la p r ę t a przeguboA vo-przeguboA vego y = 0, d la p r ę t a p rz e g u b o A v o -sz ty w n eg o Y = h >
natom iast przy skręcaniu
dla p rę ta przeguboAro-sztywnego y = — l .
R ys. 2. Sposób znakow ania m om entów zginających i skręcających
Rozw iązyw anie ram przestrzennych metodą przybliżeń 61
2.5. Znakowanie momentów
Znakow anie momentów zginających i skręcających przeprowadzić mo
żna na podstaw ie następującej umowy.
R ozpatry w an y układ orientujem y w prostokątnym układzie współ
rzędnych np. lew oskrętnym i znaki poszczególnych momentów ustalam y na podstaw ie porów nania zwrotów' wektorów-momentów ze zwrotam i osi odniesienia. Dla momentów' zginających umowa ta pokryw a się z ogólnie p rzy ję tą regułą G rintera, n ato m iast dla momentÓAv skręcających należy
znakowanie u stalać każdorazow'0.
Szczególną uwagę należy zwrócić tu n a m om enty skręcające, ponie
waż w ystępow anie dodatniego m om entu skręcającego powroduje na prze
ciwległym końcu w ystąpienie m om entu ujemnego i odwrotnie, ja k to po dają poniższe rysunki oraz jak to w ynika z w artości współczynnika przeniesienia.
3. Rozwiązywanie ram nieprzesuwnych
Tok postępow ania przy rozwiązywaniu układów przestrzennych me
to d ą kolejnych przybliżeń nie różni się zasadniczo niczym w porównaniu ze stosowaniem tej m etody do układów praskich. Jak o pierwsze p rzy bliżenie przyjm ujem y, że poszczególne węzły układu nie mogą doznawać żadnych przemieszczeń (obrotów i przesunięć), wmbee czego w węzłach ty ch pojaw iają się m om enty utw ierdzające (wyjściowe) pochodzące od danego obciążenia przęsłowego. Jeżeli obecnie którem ukolwiek z wycię
ty ch węzłów umożliwimy wykonanie obrotu przez usunięcie pomyślanego utw ierdzenia, to dla równowagi tego węzła musim y przyłożyć w' nim pewien m om ent zewnętrzny przeciwnie skierowany, k tó ry rozłoży się na poszczególne p rę ty schodzące się w ty m węźle proporcjonalnie do współ
czynników- rozdziału. M omenty te, zginające i skręcające, przenoszą się n a przeciwne końce prętów zgodnie z wartościami współczynników prze
niesienia. Opisane wyżej postępow anie jest pierwszą iteracją.
Po jej w ykonaniu utwierdzamy' na powrót zwolniony węzeł i prze
prow adzam y podobną operację nad którym kolw iek węzłem innym, uwzglę
dniając jvż przy obciążeniu jego także te ewentualne momenty, które zostały przeniesione z węzła rozpatrywanego poprzednio. K ilkakrotna iteracja tego rodzaju doprowadza nas w wyniku do ta k małych wartości m om entów obciążających poszczególne węzły, że możemy je pominąć bez u jm y dla istoty zagadnienia, a w tedy sumy wszystkich momentów w ystępujących w węzłach poszczególnych prętów dają właściwe wartości liczbowe momentów' podporowych.
W celu ustalenia właściwych znaków momentów zginających i skręca
jących przeprow adzam y rozumowanie odwrotne do podanego w u k t. 2.5.
62 Adam Turow ski
P rzy przeprow adzaniu iteracji należy szczególną uwagę zwrócić na rozróżnienie momentów zginających od skręcających z uwagi na różne współczynniki przeniesienia. W ty m celu wprowadzamy następującą umowę: sztywność bezwzględną s znaczyć będziemy dwoma wskaźnikam i (np. sx), z których dobry oznacza równolegmsć wektora-m om entu z daną osią, a górny — równoległość osi p ręta z daną osią (tzn. s* oznacza szty
wność pochodzącą od wektora-m omentu M x, dla pręta równoległego do osi y). W w ypadku różnych wskaźników m am y do czynienia ze zgina
niem (a więc y = 0 lub y = i ) , natom iast przy jednakowych wskaźnikach w ystępuje skręcanie ( y = —1). Umowa ta dotyczy także współczynników rozdziabi.
P r z y k ł a d 1. D ana jest ram a jak n a rysunku 3. W ym iary geome
tryczne: l,v— 5 m, h = 5 m, lx~ 3 m. Przekroje usytuow ane jak na, rysunku.
Rys. 3. W idok perspektyw iczny ram y, rozw iązyw anej w przykładzie 1
Stała sprężystości U = 1 6 0 t/c m a, ułamek Poissona r = 0,3. Obciążenie jednostajnie rozłożone ^ = 3 t/m b na długości rozpory A D . W szystkie podpory idealnie sztywne. Nieprzesuwność węzłów zapewniona sym etrią układu i obciążenia.
3 • 5 O2
Momenty wyjściowe: M x ° = — M xtf =--- — = — 6,25 tm .
Rozw iązyw anie ram przestrzennych metodą przybliżeń 63 Sztywności bezwzględne: Współczynniki rozdziału:
8 y —4 - 1 6 0 - 4 0 - 1 5 3
= 1 4 4 0 0 > i =
1 4 4 0 0
= 0 ,3 7 4 5
° x 1 2 • 5 0 0 3 8 4 4 9
s z —
4■1 6 0•4 0 • 1 5 *
= 1 4 4 0 0 r z - 1 4 4 0 0
— 0 3 7 4 5
1 2 - 5 0 0 ' X 3 8 4 4 9
S % = :
1 6 0 - 0 , 1 9 6 - 3 0 - 2 0 3
= 9 6 4 9 r x 9 3 4 9
0 2 5 1 0 2 ( 1 + 0 ,3 ) 3 0 0 ' X 3 8 4 4 9
*
£ s i x= 3 8 4 4 9 . 2 r i x = 1 ,0 0 0 0 .
i i
Itera cję przeprowadzono w tablicy I I .
Ciekawie wygląda porównanie otrzym anych momentów węzłowych z m om entam i, jakie otrzym alibyśm y rozwiązując ram ę B A D F jako układ płaski. Porównanie to przedstaw ia się następująco (momenty znakowano według umowy wytrzymałościowej):
p ręty B - A A - B A —G A - D iU max ?Mad
układ przestrzenny + 1 4 3 9 - 2 8 8 0 + 1 9 3 0 - 4 8 1 0 + 4 5 7 0 , układ płaski + 2 0 8 5 - 4 1 7 0 — - 4 1 7 0 + 5 2 1 0 ,
różnica w °/0 + 45«/, + 4 5 % — —330/0 - 3 4 % .
Przytoczone porównanie, przeprowadzone co praw da dla ram y specjalnie wrażliwej, w ykazuje w sposób oczywisty, że przestrzenność układu nie zawsze może być pom inięta.
S p r a w d z e n ie p o p r a w n o ś c i r o z w i ą z a n i a . Sprawdzenie popraw ności przeprowadzonego obliczenia polega na:
a) sprawdzeniu ogólnych warunków równowagi,
b; sprawdzeniu równości kątów ugięć lub skręcenia poszczególnych prętów schodzących się w węzłach.
W celu sprawdzenia ogólnych w arunków równowagi wyznaczamy po
wszechnie znanym i w zorami w artości oddziaływali, a następnie w odnie
sieniu do wszystkich sił czynnych i biernych stosujem y sześć ogólnych warunków równowagi sił w przestrzeni.
Sprawdzenie równości odkształceń sprowadza się w tym wypadku do stosowania wzorów podanych przez inż. A. W inokura ł, które pozwalają przekonać się, czy k ą ty ugięć poszczególnych prętów schodzących się w rozpatryw anym w ęźle są sobie równe. J a k wiadomo, wzór pozwalający
1 P a trz : A. W inokur, Spraw dzanie obliczeń ram wykonanych metodą Crossa, „In ż y nieria i B udow nictw o“, m arzec 1949, str. 129— 138.
Iteracjadla przykładu CŚO
3c3
H
O
I K,
K<
C)I
Kl
- I
Cl
ClI
r*IQ
!>
CO
O
o10
»o co o
o o 05 O i>
1Q I> l> CO 05
Cd 1> Cd
co »■H Cd
+ + I + I
<N c<i
CO o
ooT
co
©co 05
05o 00TJH
+
o o
Cd Cd
l> l>
+ I
Oco
Cd
CO O
co cT + I + I + I
Ki
Cl
KlI
CdCO Xi—4
+
Oco 05 +
I
O
xCO
*Q 05r*
CO
cTlO o co05
Cl
I
O I
I
co o
CO o
O»o ^
Cd CO CO Cd
I +
+
05Ttł
CO +
o o
łO lO
Cd Cd
CO CO
I +
oCd o +
05X co
I +
co
o *
+ I +
CO o
+
X
o o
CO
05 CdX
I +
Cl I
PQ
or- iH +
oco
Cd +
CO
o 05
T*co
+
Rozw iązyw anie ram 'przestrzennych metodą przybliżeń 65 przeprowadzić tę kontrolę przedstaw ia się następująco:
E(P n = jn [<?: + ! (2Mm+ M . +i)
gdzie m om enty M n i M n+1 należy znakować wytrzymałościowo. J e s t rze
czą oczywistą, że w. układach przestrzennych należy także sprawdzać równość k ą ta skręcenia p rę ta skręcanego z k ątam i ugięć prętów zgina
nych i to we w szystkich trzech płaszczyznach układu odniesienia. W wy
padku, .co najczęściej zachodzi, gdyr mom ent skręcający jest stały na całej długości rozpatryw anego pręta, k ą t skręcenia obliczamy ze wrzoru 1:
D la przykładu spraw dźm y równość kątów ugięć i k ą ta skręcania p rę
tów schodzących się w węźle A ram y rozwiązanej poprzednio (przy
kład 1)
W przypadku gdy sposób obciążenia ram y lub też jej wykształcenie geometryczne wywołuje przesunięcia (poziome lub pionowe) węzłów, roz
wiązanie przeprow adzam y n a drodze dwuetapowej.
E ta p pierwszy polega n a usunięciu możliwości pow staw ania ty ch prze
mieszczeń przez zastosowanie w ahaczy. Ilość tych w ahaczy zapewniająca nieprzesuwność węzłów zależy od stopnia przesuwalności układu, przez który rozumiemy" ilość wszystkich możliwych przesunięć prętów w kie
runkach ich osi. U kład przedstawiony" n a rys. 4 posiada 9 stopni prze
suwalności, a więc dla rozw iązania tego układu w etapie pierwszym m u
simy zastosować 9 wahaczy, w rozpatryw anym w ypadku bocznych, roz
mieszczonych w ten sposób, aby żaden z węzłów nie mógł doznać żadnych przemieszczeń. O trzym ujem y w ten sposób obciążony ja k w schemacie
skąd
E - < p = \- 2 ■ M l ■ (1 + v).
0
AD 12 [0,03-5003 500
' (fx ~ 40-153 24 —- (2 • 481,0 + 481,0) = 3 ,2 0 t/cm 2,<T (2 • 288,0 - 143,9) = 3,20 t/cm 2.
j p A C
______
1_______
- 0,196-20» -30 • 2 • 193,0 • 300 • (1 + 0,3) = 3,20 t/cm 2.
4. Rozwiązywanie ram o węzłach przesuwnych
1 W zór niniejszy słuszny je st ty lk o dla p rę ta je dnostronnie idealnie utw ierdzonego.
Szersze ujęcie tego w zoru z n a jd u je się p rz y om aw ianiu ra m o w ęzłach przesuw nych.
Budownictwo 1. 5
66
Rys. 4. R am a dow olna o w ęzłach przesuw nych
Rys. 5. R am a dow olna po odebraniu jej w szystkich stopni przesuw alności (schem at sta ty c z n y rozw iązyw any w etap ie I)
Rozwiązyw anie ram przestrzennych metodą przybliżeń 67 zasadniczym o węzłach nieprzesuwnyeh układ, k tó ry rozwiązujemy zgo
dnie z podanym i poprzednio uw agam i (patrz rys. 5). Znając m om enty węzłowe etapu pierwszego, możemy wyznaczyć siły osiowe w poszcze
gólnych wahaczach, które oznaczać będziemy przez E r ze wskaźnikiem podającym p ręt, wzdłuż którego wahacz został założony.
Obecnie przystępujem y do etapu drugiego, k tó ry polega na tym , że kolejno wywołujemy w rozpatryw anym układzie przemieszczenia /,■ w kie
runkach założonych w etapie pierwszym wahaczy po usunięciu zadanych obciążeń. N a rys. 6 przedstawiono takie wymuszone przemieszczenie
R ys. 6. R a m a dow olna, nieprzesuw na z w ym uszonym przem ieszczeniem węzła H w sta n ie w yjściow ym (schem at sta ty c zn y , rozw iązyw any w etap ie II)
węzła H w kierunku osi y w stanie wyjściowym. We wszystkich prętach odkształconych pojaw iają się w tedy m om enty wyjściowe zginające o w ar
tościach
6 E J i 72 3 E J f zależnie od sposobu podparcia p ręta.
Znakowanie podanych wyżej m om entów wyjściowych przeprow adzam y zgodnie z ogólną regułą znakow ania momentów i terowanych. M omenty te wywołują zginanie om awianych prętów , przy czym np. przemieszcze-
5*
68 A dam Turow ski
nie fy ‘wywołuje m om enty zginające M x oraz Mz. Po przeprowadzeniu iteracji dla tych momentów wyjściowych w yznaczam y siły osiowe we wszystkich wahaczach, oznaczając je np. przez E [, odpowiadające pierw
szemu wymuszonemu przemieszczeniu, po czym pow tarzam y tę operację w odniesieniu do w szystkich wahaczy, otrzym ując siły E l2, E3, E ‘i ...E'„, gdzie n określa stopień przesuwalności układu.
Gdybyśm y wywołali każdorazowo przemieszczenia rzeczywiste, wy
stępujące w układzie zasadniczym, to otrzym alibyśm y rozwiązanie w ła
ściwe przez zsumowanie momentów węzłowych etapu pierwszego z mo
mentam i węzłowymi etapu drugiego. Ponieważ jednak przemieszczeń / nie znam y, to zakładam y początkowo, że są one równe pewnej dowolnej wielkości, np. jednostce długości; wówczas obliczone siły E \ , E 2,E'3...E'n są proporcjonalne do w artości rzeczywistych odpowiadających obciążeniu rozpatryw anej ram y, to znaczy, że wynoszą one a1E[,a.2E 2, a3E ^ , ...anE'n, gdzie a, są odpowiednimi współczynnikami proporcjonalności. Ponieważ w układzie zasadniczym wahacze nie istnieją, to i siły osiowe w nich w ystępujące muszą byó równe zeru, wobec czego dla dowolnego wahacza otrzym am y równanie:
® i E\Ą- a2E 2-\- a^EzĄ-... - j - a„E„-\-Ej= 0 .
Eów nań tego rodzaju możemy ułożyć tyle, ile w rozpatryw anym układzie występowało wahaczy, a ponieważ istnieje ta sama ilość współczynników proporcjonalności, otrzym ujem y ilość równań o tej ilości niewiadomych, ilokrotny jest stojueń przesuwalności układu. Rozwiązując powyższy układ rów nań wyznaczamy współczynniki proporcjonalności aif a w tedy odpowiednie rzeczywiste przemieszczenia węzłów ram y wynoszą:
frz.i = «i ■ fi a gdy przyjm iem y
fi = 1 cm, to
frz.i = di (w cm).
Znając rzeczywiste w artości przemieszczeń f rz, możemy obliczyć rzeczy
w iste m om enty zginające i skręcające, a ponieważ między przemieszcze
niam i / a m om entam i M zachodzi zależność liniowa, to:
M TZ= M a 2 M 2-f-... -j- a„ M„, gdzie
M'rz — rzeczywisty m om ent węzłowy w pręcie i-tym , M \ — m om ent węzłowy w ty m pręcie z etapu pierwszego,
%, «2 .itd. — współczynniki proporcjonalności,
ił/j, M \ itd. — m om enty węzłowe w pręcie i z kolejnych iteracji etapu drugiego.
Rozw iązyw anie ram 'przestrzennych metodą przybliżeń 69 P rzy układaniu rów nań, w yrażających zerowe siły osiowe w wahaczach, należy szczególną uwagę zwrócić n a znakowanie tych sił. Najwygodniej jest oprzeć się n a zasadzie, że znak siły w wahaczu ustalać będziemy przez porów nanie zwrotu oddziaływ ania ze zwrotem równoległej osi układu współrzędnych. Jeżeli zw roty oddziaływ ania i osi są zgodne, to siłę uw a
żać będziemy za dodatnią. W w ypadku przeciwnym m am y do czynienia z siłą ujem ną.
Zastosowanie omówionego wyżej toku postępowania, podaje p rzy kład 2, zaczerpnięty z arty k u łu dra inż. A. Lisowskiego: Obliczanie ram przestrzennych metodą zrównoważenia węzłów, zamieszczonego w „Inżynie
rii i Budow nictw ie“ ze stycznia 1953 r. (str. 20-24). P rzykład ten ilustruje korzyści w ynikające z zastosowania m etody kolejnych przybliżeń naw et do ta k prostego w ypadku. U kład 16 rów nań o 16 niewiadomych zredu
kował się w ty m przykładzie do 4 rów nań o 4 niewiadomych.
P r z y k ł a d 2. D ana jest prostok ątn a ram a przestrzenna, jednopię
trow a, o w ym iarach ja k n a rysunku 7, obciążona siłą skupioną P = 1 0 t.
Moduł sprężystości E = 200 t/cm 2, ułam ek Poissona r = 0 .3 .
W ym iary geom etryczne: ^ = 7 ,0 m, ¡ ,= 3 ,0 m, 6 = 3 ,0 m. Przekroje rygli: 2 5 x 1 0 cm, przekroje słupów: 2 0 x 1 0 cm. Położenie siły: « = 3,5 m, 6 = 1,5 m.
70 A d a m Turowski
Sztywności bezwzględne Współczynniki rozdziału
Płaszczyzna y - - z :
200 0,249- 25 -103
958 < = 0,024 2(1 + 0,3)500
s yx 4•20 0 •1 0•253
= 34722 < = 0,865 12-300
sz 4-200-20-103
= 4444 < = 0 ,111
*>X
12-300
2 S <X i
-z:
= 40124. »7= 1,000. Płaszczyzna x -
sx 4-200-10-253
= 20833 < = 0,518
y 12 - 500
Sy
200-0,249-25-103
1 590 4 = 0,040 2(1 + 0,3)300
4 4 -2 0 0 -1 0-203
= 17778 rzy= 0,442 12-300
I ' * = 40207. ¿ V , = i , o o o .
Płaszczyzna x -- y -
SXz 4 -2 0 0 -2 5 -103
= 3333 < = 0 ,3 3 1 12•500
Syz 4-200-25-103
= 5555 < = 0 ,5 5 2 12-300
sz 200-0,229-20-103
— 1174 < = 0 ,1 1 7
°z 2(1 + 0,3)300
^ s lz= 10062. ¿ V , - =1,000.
E t a p I (węzły nieprzesuwne) M om enty wyjściowe:
Rozw iązyw anie ram przestrzennych metodą przybliżeń 71 Iterację przeprowadzono w tablicy I I I (wszystkie iteracje w danym przy
kładzie w ykonano n a suwaku logarytm icznym 27 cm):
2609 4213 ~
\ h w 3 3SaO\ ) V 192 \ '
1940 /
< d + , < 4 + -
R ys. 8. Obliczenie sił osiow ych w w ahaczach w etap ie I
Obliczenie sił osiowych w w ahaczach:
- 2 4 0 3 - 1 2 0 1 + 3880 + 1940 f f “ = -
3,0 = + 735 kg,
FC _ - 1 4 4 - 7 2 + 192 + 96
3,0 +
rto/? wyjściowy
R ys. 9. S tan wyjściowy p rz y pierw szych ite racjac h e ta p u II
72 A d a m Turow ski
R ys. 10. Obliczenie sił osiowych w w ahaczach do pierw szych ite
racji etap u II
E ta p I I
1) Przesunięcia rygla E H w kierunku osi x o f xH= 1 cm. Momenty wyjściowe:
rd h t T h d 6 - 2 0 0 - 1 0 - 2 0 3 - !
A E
, ,
EA yyO
Mz0 . \/fFE 1/ W G M z o = M z0 = iUifCH z0 = +,
I2-3002 6-2 0 0 -2 5 -103 1
= — 88,9 tcm , 27,8 tcm . 1 2 -3 0 0 2
Iterację przeprowadzono w tablicach IV i V:
Obliczenie sil osiowych w wahaczach od przesunięcia j ExH = 1 cm.
jrEH ,2 .5 7 7 + 2 - 7 3 3 , 4-119 , , Hl ~ 4 " + 00 --- + + óó" = + 1032 k ^
1 -10 + 2-5 4-119
Hef =
H ? a =
3,00 4-96 5.00 4-96 5.00
3,00 76,8 kg,
= - 1 6 8 ,8 kg,
= + 76,8 kg.
EtapI.MomentyM
EtapII. Przesunięcie/fH. MomentyM:
CŚO
r— <
HcS q
tqi
ci -889 + 196 - 37 - 3 -7331
tu K5
1 te) 0,51
8 +460 + 171 - 88 Ol co + 1
rH i—H + I +5491
1
te) 0,442 -889 + 393 lO
1
CO
1
t>
»o l 051
tej 0,040 COCO +
rH l>
1 1
I -
l + +28
05 05
00 0 0 GO 00
1 + + 170 -170 + 13 - 13 + 1 - 1 O
o C-G +8 -3 "ło
+
Tb
G-H 0,040 -36 + 1 t- rH
+ 1
I +
Ol00 1
G-0 0,442 91 + lO
1 1 + 10 I
6h
05 0,518 61 + iO CO
+ 1 + 1 - 1 0 0
7
-36 + 36 oi oi
rH
+ 1
z -
z+ o
K) B—F T* iH
+ - + +5 1
K,
Oj
1 0,518 6 + 6 + CO co
1 + - 1 + 1 00
+ cq1
5h
<M
O
8 + z+ -28| +10
Kj 1 (K
o o
o -27 + 1 O l
1
GO cc rH rH 1 +
to lO 1 +
rH rH 1 +
O
A-E -889 + 146 + 10 -733
K
S?1 0,040 +27 Z +
1 - GOO l
+ 1
Kl
O l
o ' -889 +291 + 20
+ -577|
i Ki
00
to
o
0CO Tfi 01 co
+ + - 44 + 23 CO O l
1 +
o>
TTlO
+
05 05
U0 lO
CO CO
1 + -45 + 45 - 3 + 3 o
i>
oj
rOOj
H
S5 hł H
OO*
GO<D NPh
Ph
+3c3
Cl
¡te 1 Cl
GO ^ rH
+ + + +231
tej Kl
1
Cl 0,331 -46 -52 + 11 - 9 N <N
+ 1 CO05 ' 1
Cl
te) I 0,117 00
7 1 1
COOl 1
H-G 0,552 +278 - 76 - 86 05 l>iH rH + 1
^ CO + 1 + 119 I
+ 156 -156 + 30 - 30 50 CO
+ 1 o
o Tb
1
Tb + 33 - 8 - 2 +23
05 c
Tb1 0,552 +278 -153 - 43 + 38 05 00 1 +
IN N 1 +
611 +
Tb
Tb1 0,117 CO CO 1
8 + Ol
+
COOl 1
¡te 1
Tb 0,331 Ol 05
1 -26 +23 1 +
I +
I - CO
05 1
+278 -278 - 69 + 69
1 + CO co
1 + O
PT B-F GO r H
7 + 4- +23
fcł Tb
1
¡te 0,331 -46 -52 + 11 - 9 IM <N + 1
CO05 1
f-b\ 0,117 00
7 1
iH 1
COOl 1
F-E 0,552 +278 - 76 - 86 + 19 - 17 Tj< CO + 1
05
7
+ 156 -156 + 30 - 30 50 50 + 1
o
■"j
A-E + 33 - 8 - 2 | %z+
Kl
¡te 1
Kl 0,552 00 CO I> lO 01 r-, + 1
CO 00 1 +
05 00 1 +
z+
z -
05
r H
+
1
¡te 0,117 CO co 1
GO
+ + 2 1
COOl 1 C)
1
Kl 0,331 Ol
05
1
CO co Ol Ol 1 +
lO Tt<
1 +
r H r H
1 +
CO 0 5
1
+278 -278 - 69 + 69
i H H
1 + CO co
1 + O
Rozwiązyw anie ram przestrzennych metodą przybliżeń 75
y
Rys. 11. S tan w yjściow y p rz y drugich iteracjach e ta p u I I
2) Przesunięcie rygla FG w kierunku osi x fFxG— 1 cm. M omenty wyjściowe:
nf BF h.tc g — 7trc c _ ~ ® ‘ ^ QQ ft f
MyO MyO Myo —MyQ — 3oq2 — 88?9 tCJTl, jijEf i\jFE_ 7lrc /r_ tutH G 6-200-25 103 l
Mzo M zo 3002 — ^7,8 tcm .
Zestawienie momentów węzłowych podano w tablicach V I i V II (por. przypadek I).
Siły osiowe w w ahaczach od przesunięcia fxG~ 1 cm,
„e b_ 2 1 0 -f2 -5 4-119
2 3,00 3,00 168>8 k £>
ttFG . 2 -5 7 7 + 2 -7 3 3 , 4-119 . .
^ = + 3^00---+ 3^00 = + 1032 kg’
EtapII. PrzesunięciefxG. MomentyM
>
ctO
3 H
D-U
1— 1
IQ ^
cgO tej
1 te)
coOl
i te
1 tej
-Û
00 ß
+ r-
Ej
1 tej
©05
II—D o
+
tej 1 tej
COOl
4-
© 1
tel Ol00
1
05 1
tej 05 I-I 1
05 1
0) COco
l>
1
05
o1 coOl
1
G-H !SGO “ Ol
4 “
tí
tej
051
05 7
O) 1
0!
©
f- Ej
c- r*
lQ w
1 g
0) 051
coOl
4-
te
05
• ' V i
S ^
+ . 2
O te
1
© co05
4 -
te
eq
•i"*
co r j
co z!
i> P
1 m
1 £)
S3 te
1
«i coOl
1
Os
te1
m
3 *
>o
4- ^
T M
05
1 Sn
co05
4 “
F-B s J
*° r S
1 W
te
1 fen
COOl
4- .
Ej
te1
00<N +
Ej 1 te
05 7
A-E >o +
Ej 1
COOl 1
E-F 00<N
1
te 1 Ej
05 7
■"!
1 Ej
O
+ 1
Kj
coOl
4-
tel
i
Ej
00
+
tej
4
co05
4-
>
c3
-O
c3
-4—
POJ
3 o
o0>ł
OíS J 0
D-H
o
tej Kj
1
tej 0,024 io
co o
+3,5
te 1
tej 0,111 -0,5
1
e‘o-05 1
tej 0,865 O l -H
1 1
CO 1
+ 1,5 -1,5 o
o O!
05 ©
sS
G-H 0,865 O
co"
1 lO o
1
9*8-
05 1
05 0,111 io
o"
1
lO o ' 1
G-F Ol
o
o 4-5,5 -1,5 •**
+
• 4 - 1 °
B-F +222 - 12 + 3 + 0,5 1 + 213,5
05 1
t e 0,024 -5,5 i q 4 -
lO o 4 -
9‘S-
F-B 0,111 ¡+222 - 24,5
CO
+ 4 -
»o o 4 -
M5© O l 4 -
te te 0,8
65 -192
»O i S
1 + i q o od 1 4 -
IQ O l H
1 4 - iO
©O l 1
+ 222 -222 - 54,5 + 54,5 O iq
0 5 05 1 4 -
O l O l 1 4 -
©
te i
+222 - 7 - 1,5 +213,öl
K}
E-F *©
CO00
o - 96 -109
*o 1C CO o O l O l
4 - 1 + 4 - 3,5 -201,5
' I
te1 0,1
11 +222 - 14 - 2,5 - 0,5 1 + 205
E-H Ol
O
©
CO
1 -0,5 9‘8-
+ 126 -126 + 23,5 - 23,5
4 - 1
©
EtapII. PrzesunięcieffF. MomentyMt
a
W
o3O
¿2
JHc i
f i
f i1f i
IO tO tO
CD >-i O
+ + +
1 +8,5I
fi
T
tli
«m
o+ 100
-
16,5 - 18,5 t or* c c
+
1to O
4 I
o CD CD
C|
4d
1 <NO“ 1
T
*3
7 to o
1 t q 00 1 03
1
fi
o iIO ID o
IO i > i—<
c i c c
I 1
l ~ CD
+ 1
t o to
4 i i to s
1
O CD tO tO
+ 1
2 fi
+ . 1 t o t o c i c i
4 1
o
o 03
1 0 )
t o
CI CO ©
+ 1 1
t o 00 4
03
¡5) 1 03
<N IOIO o "
t o t o
1 -15,5 + 13,5 to c c c i I 4
t q to 1 O)
1 Oj
i -
o CI 7
CC 4
to o 4
t o 00 I
fi
1 03
mco O
O CC o c c
7 i
0 5 00 1 4
CI CI
1 4 o CDCD 4
+ 100 -100
t o to ; t* ; t o to
<M CI | 1 4 - i 4
o
f i f i
1 f i
t o t o t o
CD h o
+ + +
t q 00
fet 0 3
! f i
0 50 5 o "
+ 100 - 16,5 - 18,5 to
T* CC
+ 1
t o
^ 4 O
4 4 o CD CD 4
fi fiI
[ -
O
t o CD I
*o
7 o
1 to 00 1
Kl
fi1 (N»O IO o "
t o t> >H C I CC
I 1
t ~ CD
+ 1
t o to
4 1
to t >
to I
CD CD t o t o 4 - 1
p-4
7 7 t o to c i c i
4 1
o
K ] 1
t o
CI c c o
7 i i
t o 00 4
f i f i
1 K l
O IO o "
t oto
1 -15,5 + 13,5 t o c c c i 1 4
to t o4 1
1 Kl
0,3310,117 CI
7 o , +
to o +
to 00
1
fi
1 Kl
o c c o c c
7 i
05 GO 1 +
CI CI
1 4
© CD CD
4 o o
o o i—( rH + 1 - 24,5 + 24,5
t o to
1 ! o
M cS
E-łci
+4)
<D
a
o
&o
<D
¡«4 Ifi
4-3CŚ P2
7
*
« 1 X
cci—( cg
CI o
f i
f i
IO 00 1
Kl . 1
f i
53
to £-*
c c
1
f i
1
f i
«5o 1
f i 1
f i ■
too CI 4
f i 1 f i
ID
00
+
H-G
to oCI I
03 1 f i
•OI
i a
+
0 ! 1 fi)
to
c c
CI 4
1
o
ID 05
1
H-0 2 ^S ¡>3
1 - g
f i 1 f i
ID|3 IO + fi)
fi!1
JO S
+ s
o 1 i ł
ID 00 +
f i 1 f i
u io
cc
l .2
o f i1 03
CD50 1
f i1 f i
0>>
r—j
O 02
©N f i
1 f i
IDao 1 f i
1 f i
*4 to
cc
4 M M
03 1 f i
5050 1
f i 1 f i
to p4C3
o jg
1
f i f i
IDco"
+
f i 1 f i
cc 1
f i 1
f i ID I-"
ID +
f i
1 o
f i
1 ID
00 1
f i 1
f i
«co 1
f i 1
f i IO 1 ' io +
1 f i
IO
o
1 1
f i ID
05
1
f i 1 f i
+
fi fi1
5050
1
