sinπx 2 · (1 + ln x)3· tg11πx 4 · log x11)4+ (x30+ 8)3)

Ćwiczenia nr 1, AM I, 25.2.2019 Pochodna funkcji Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji f w punkcie a, gdzie

(a) f (x) = x²cos x, a = 0, (b) f (x) = (x − 1)e^x, a = 1,

(c) f (x) = xp1 + sin(tg x), a = 0, (d) f (x) = (x − 2)|x + 3|, a = 2.

Zadanie 2. Oblicz f (1), f⁰(1), gdzie

f (x) = (ln x) · sinπx

2 · (1 + ln x)³· tg¹¹πx

4 · log(190 + (2 + x¹¹)⁴+ (x³⁰+ 8)³).

Zadanie 3. Oblicz f (π), f⁰(π), gdzie

f (x) = ln(1 + 2 sin x) · cos(x) · tg⁴(x 3) · log₁₀

 tg⁴(2x

3 ) + sin⁴(x) + cos⁴(x)

 .

Zadanie 4. Punkt porusza się po okręgu jednostkowym z prędkością równą 1. (Jeden obrót wykonuje w ciągu 2π sekund.)

(a) Podaj współrzędne wektora prędkości w chwili t.

(b) Wykaż, że cos⁰t = − sin t, sin⁰t = cos t bazując na obserwacji, że wektor prędkości jest styczny do trajektorii ruchu.

Zadanie 5. Oblicz pochodne następujących funkcji 2x

1 + x², x

(1 − x)²(1 + x)³, (x²− 1)³, sin²x

sin(x²), sin(x +p

1 + x²), r

x + q

2x +√

3x, x^x, ln |x|, ln | sin x|.

Zadanie 6. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)), gdzie (a) f (x) = cos x − 2 sin x, a = π,

(b) f (x) = |x − 1|√³

x + 2, a = −3, (c) f (x) =√³

e^x− 1, a = 0, (d) f (x) =

q

1 − cos(x√

2), a = 0, (e) f (x) =√³

x − sin x, a = 0.

Zadanie 7. (a) Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x + x² w punkcie (1, 2).

(b) Wykaż, że funkcja f (x) = x + x², x > −1/2 ma funkcję odwrotną. Oznaczmy ją przez g = f⁻¹. (c) Wykaż, że g(2) = 1 oraz znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji g w punkcie (2, 1).

(d) Znajdź wzór jawny na g.

Zadanie 8. Uzasadnij, że funkcja f , określona na wskazanym przedziale, ma funkcję odwrotną f⁻¹, dziedzinę f⁻¹ oraz pochodną f⁻¹(b), jeśli

(a) f (x) = x³+ 3x, x ∈ R, b = 0, (b) f (x) = x + e^x, x ∈ R, b = 1,

(c) f (x) = x + ln(x), x ∈ (0, +∞), b = 1.

Zadanie 9. Znajdź wszystkie a, b ∈ R takie, że funkcja

f (x) =

(a(x + 1) + sin(bx), dla x ­ 0,

cos x−1

x sin x , dla x ∈ (−π, 0)

jest różniczkowalna.