ln(x3− 3) (4) Rozwia ‘˙z r´ownania: 2 log(x − 3

(1)

Matematyka dla Chemik´ow Lista 2

(1) Rozwia

‘˙z r´ownania:

2^x−48^3−2x= 4^3x−3, 3^x−1+ 2 · 9^−x+1= 3, 2^x+2+ 3 · 2^2−x= 14 (2) Rozwia

‘˙z nier´owno´sci:

4^x+1− 3 · 2^x+2< 16, 5 · 4^x− 4 · 5^2x< 10^x (3) Upro´s´c wyra˙zenia:

e^{−4 ln x}, ln(e^{ln e}, ln | ln(1/e|, log₂(1/4) ln(x⁵− 3x²) + 2 ln(x⁻¹) − ln(x³− 3) (4) Rozwia

‘˙z r´ownania:

2 log(x − 3) − log(x − 2) = 1

2log 0, 25, p

log x + 2 log√ x = 2 (5) Rozwia

‘˙z nier´owno´sci:

log₂(x + 2) + log₂(x − 1) > 2, |3 − log₂x| < 1, log_x(3x + 2) ≥ 3 (6) Wyznacz dziedziny funkcji:

f (x) =√

2x + 1 + log(x²− 2x), g(x) = log( x

x − 1 + 1) +p

1 + log₂x.

(7) Naszkicuj wykresy funkcji:

x⁻², 1+2^−x, | log₂x|, log1

2|x|, log1

2(x−1), 1−e^−x, ln(1−x), e^−(1/2)x², ln(x²).

(8) U˙zycie ´srodka DDT jest zabronione obecnie w wielu kraja z powodu d lugo- terminowego szkodliwego wp lywu na ´srodowisko naturalne. Okres po lowicznego rozk ladu DDT wynosi 12 lat. Farmer w U.S.A. rozsypa l na swoim polu 20 kg tego ´srodka w 1972 roku. Ile DDT jest jeszcze aktywne? Kiedy ilo´s´c aktywnego DDT na polu be

‘dzie wynosi la mniej ni˙z 10 gram´ow?

(9) Wprowadzona chora kom´orka do organizmu zdrowej myszy podwaja sie

‘po

1

2dnia. Pod koniec dnia te dwie kom´orki dziela

‘sie

‘na cztery. To podwajanie trwa a˙z do momentu gdy liczba chorych kom´orek przekroczy jeden miliard, gdy˙z wtedy mysz umiera.

a) Napisz r´ownanie na liczbe

‘ zaka˙zonych kom´orek po t dniach.

b) Ile dni ˙zyje mysz od momentu zaka˙zenia?

(10) Lokujemy 10 000 z l na lokacie bankowej oprocentowanej rocznie na 3%, z miesie

‘czna

‘ kapitalizacja

‘. Jaki be

‘dzie nasz zysk po 2 latach? A jaki by lby zysk gdyby kapitalizacja naste

‘powa la raz w roku? Oblicz zysk przy kapitalizacji cia

‘g lej.

Po ilu latach podwoimy kapita l w ka˙zdej z powy˙zszych opcji?

(11) Pod koniec 1987 roku by lo w przybli˙zeniu 45 000 chorych na AIDS w ca lej populacji U.S.A. Oszacowano, ˙ze liczba ta zwie

‘ksza sie

‘ o 38% sk ladane w spos´ob cia

‘g ly. Zak ladaja

‘c, ˙ze pre

‘dko´s´c ta nie zmienia sie, odpowiedz ilu chorych by lo w 1992. Ilu be

‘dzie w roku 2010?

1

(2)

2

(12) Cinienie gazu na wysokoci h powyej poziomu morza mona obliczy za pomoc rwnania barometrycznego

p = p₀e^{−M gh/RT}

gdzie M jest mas molow gazu, p₀ - cinieniem na poziomie morza a g, T i R to stae. Wyra h za pomoc pozostaych zmiennych.

(13) pH roztworu wodnego dane jest wzorem pH = − log₁₀[H⁺], gdzie [H⁺] to stenie kationw wodorowych podane w jednostkach _dm^mol3. Oszacuj liczb moli kationw wodorowych w 2,5 litra roztworu, jeli wiemy, e pH roztworu waha si midzy 8 i 9.

(14) Przyjmijmy, ˙ze intensywno´s´c fali d´zwie

‘kowej o cze

‘stotliwo´sci 1000 Hz na progu s lyszalno´sci wynosi I₀= 10⁻¹⁶W/cm². Je´sli x oznacza intensywno´s´c fali d´zwie

‘kowej, to poziom g lo´sno´sci definiujemy jako L(x) = 10 log x

I0

Jednostkami L(x) sa

‘decybele (nazwane tak na cze´s´c Grahama Bella—deci- Bell).

(a) poziom g lo´sno´sci szeptu wynosi ok. 30 dB, a zwyk lej rozmowy 50 dB.

Okre´sl ich stosunek intensywno´sci.

(b) Podaj poziom g lo´sno´sci odpowiadaja

‘cy intensywno´sciom 10⁻¹²(szmer li´sci), 10⁻² (kosiarka) 10 (m lot pneumatyczny)

(c) Jaka jest r´o˙znica mie

‘dzy poziomami g lo´sno´sci dw´och d´zwie

‘k´ow, z kt´orych jeden jest 1000 razy intensywniejszy od drugiego?

(d) Jaki jest stosunek intensywno´sci danego d´zwie

‘ku do drugiego, wie

‘kszego o 100 dB?

(e) Ucho ludzkie ledwie rozró˙znia g lo´sno´sć dwóch d´zwie

‘k´ow r´o˙znia

‘cych sie o 0,6 dB. Jaki jest stosunek intensywno´sci takich d´zwie ‘

‘k´ow?