Definicja pracy

Definicja pracy

Elementarna praca siły F związana z przesunięciem ciała o odcinek dl:

F

ds

B α

) 0 0

( α = ⇒ dW =

α

cos Fds

s d F

dW = r ⋅ r =

Pracę siły F związaną z przesunięciem ciała wzdłuż toru AB wyraża całka krzywoliniowa:

∫ ^⋅

=

B A

AB

F d s

W r r

Praca w polu elektrycznym

+ Q r

r

A

B

+

q A’

AA’ – element łuku

F

Praca związana z przesunięciem ładunku z punktu A do B w polu ładunku punktowego Q (bez zmiany jego energii kinetycznej):

r r r F r Qq r

0 2

4 1

= πε

∫ ∫

∫ ^{⋅ = − ⋅ − ⋅}

−

=

'

' A

A

B

A B

A

AB

F d s F d s F d s

W r r r r r r

∫ ^{⋅ =}

−

⇒

⊥

'

0

A

A

s d F s

d

F r r r r

 

 



 −

−

=

−

=

⋅

− ∫

∫

A

B

A

r r

dr Qq r

s Qq d

F 1 1

4 1

4

'

0 2

πε

r πε r

o promieniu r_A

+ Q r

r

A

B

+

q

Przy przeniesieniu ładunku q z punktu A do B (bez zmiany energii kinetycznej) w polu elektrycznym ładunku punktowego

Q zawsze wykonujemy tę samą pracę.

F

 

 



 −

=

−

=

⋅

− ∫

∫

A

B

A

r r

dr Qq r

s Qq d

F 1 1

4 1

4

'

0 2

πε

r πε r

Praca w polu elektrycznym

Korzystając z zasady superpozycji można uogólnić to stwierdzenie na pola wytworzone przez dowolne rozkłady ładunku

A

B

Praca związana z przemieszczeniem ładunku q z punktu A do B (bez zmiany energii kinetycznej) w polu elektrycznym nie zależy od toru po którym przemieszcza się ładunek, a jedynie od położenia punktów końcowych.

Pole elektryczne jest polem zachowawczym.

^{= −} ∫

^⋅

A

AB

F d s

W r r

dowolna droga

A

B

P

(

)

(

)

ϕ (

)

( )

W → =ϕ( ) −ϕ

A B

B

A

ABjedn

E d s

W = − ∫ ^r ⋅ ^r = ϕ − ϕ

Potencjał elektryczny

Praca wykonana przy przeniesieniu ładunku jednostkowego między punktami A i B:

Jeżeli obierzemy punkt P₀ to liczba ϕ będzie określona dla każdego punktu przestrzeni, tzn. ϕ jest polem skalarnym ϕ (x,y,z):

( ) ^{= −} ∫

^⋅

P

s d E A

0

r r

Potencjał ϕ

elektryczny [ ]

C V J

1

1 = 1

ϕ =

Różnica potencjałów a natężenie pola elektrycznego

∫ ^{⋅ = − ∆}

−

=

∆ W E r d s r E

x

( ^{x x y z} ) ( ^{x y z} )

W = ϕ + ∆ , , − ϕ , ,

∆ x

x ∆

∂

= ∂ ϕ

Praca związana z przesunięciem ładunku jednostkowego o ∆x:

ale:

E z E y

E

x

∂

− ∂

∂ =

− ∂

∂ =

− ∂

= ϕ ϕ ϕ

,

Stąd: , r = − ∇ r ϕ

E

( ) B ( ) A s

d

B

A

ϕ ϕ

ϕ ⋅ = −

∫ ∇ ^{r r}

Zatem:

Potencjał elektryczny układu ładunków punktowych

Potencjał pola wytworzonego przez

( ) ∫

∞

=

⋅

−

=

r

r

r

s Q d E z

y x

4

, 1

, πε

ϕ ^{r r}

ładunek punktowy:

Zgodnie z zasadą superpozycji pole elektrostatyczne wytworzone p

Zgodnie z zasadą superpozycji pole elektrostatyczne wytworzone przez rzez dowolny rozkład ładunków można traktować jako sumę pól wytworzon

dowolny rozkład ładunków można traktować jako sumę pól wytworzonych ych przez ładunki punktowe.

przez ładunki punktowe.

układ ładunków punktowych w

punkcie 1: ( ) ⁼ ∑

j j

j

r Q

1

4

1 1 ϕ πε

( ) ( )

∫

=

12 2 0

2 4

1 1

r ρ dV ϕ πε

ładunek o rozkładzie ciągłym:

Potencjał elektryczny dipola elektrycznego

( )

[ ] [ ] ^ _ ^{ }



 

 



+ +

+

−

− +

+

=

2 4 2

, 1

, x y z l

q z l

y x

z q y

x πε

ϕ

Zakładamy:

x y

z +q r

-q

ϕ, E=?

l 0

θ

2 2

2

2

y z r

x + + = ^{oraz l << r}

( ^{Stąd: z − l} ₂ )

^{= z}

^{− zl}

 

 

  −

=

−

 ≈



 

  − +

+

2

1

2 r

r zl zl

l r z

y

x

Potencjał elektryczny dipola elektrycznego

( ⁻ ) ^{≈    −    ≈    +   }

+ +

−

2 12

2 2 2

2

2

1 1 1 1

1 2

1

r zl r r

zl l r

z y

x

2 12

2

2

1 1

1 r

zl r

zl  ≈ +



 

  −

wykorzystujemy rozwinięcie dwumianowe:

( ⁺ ) ^{≈    +    ≈    −   }

+ +

−

2 12

2 2 2

2

2

1 1 1 1

1 2

1

r zl r r

zl l r

z y

x

Podobnie:

r p r

p r

r ⋅ θ =

( )

cos

3 0 0

cos 4

1 , 4

, r

p r

z z ql

y

x θ

πε

ϕ = πε =

θ cos r

z =

Pole dipola elektrycznego

( )

4

1

r r r p r ⋅ r

= πε ϕ

3 2 5 0

2 0 3

0 3

1 cos

3 4

3 1

4 4 r

p r

z r

p r

z z p

E

z −

 =





 

 −

−

 =



 





∂

− ∂

∂ =

− ∂

= θ

πε πε πε

ϕ

3 , 4

r

zx p

E

x

πε ϕ ₌

∂

− ∂

= 3 ,

4

r

zy p

E

y

πε ϕ ₌

∂

− ∂

=

0 3 2

2 0 5

2

2

3 cos sin

4 3

4 r

y p r x

z E p

E

E

θ θ

πε

πε ^{+ =}

= +

⊥

=

transwersalna

2 2

+

= E E

E

Przybliżenie dipolowe dowolnego rozkładu ładunków

q

+ +

+ +

+ + +

_ _

_

_ _

_ _

l

R r

∑

=

i i i

r q 4

1 ϕ πε

R , l R R

r

r r

⋅

−

≈ 



 



 − ⋅

≈ 1 1

1

R R l

R r

i i

r r

 





 



 + ⋅ +

= ∑ ∑

i i

i i i

R R q l

R

q ...

4 1

0 3

r r

ϕ πε ⁼ ∑

i

i i

l q

pr r

∑ ,

=

i

q

Q

 

 



 ⋅ +

+

= ...

4 1

0

R

R p R

Q r

ϕ πε ^r

wody ma duży moment dipolowy

Potencjał elektryczny ładunku o rozkładzie liniowym

E r

2 πε

= λ

r

E λ

h n

n

( ) r

E r r

E

E ∂

− ∂

=

⇒

= ϕ ( )

( ) ^{r = −} ∫ ^{E ⋅ d s =} ∫ ^{Edr =} _{2 πε} ^λ

∫ ^dr _r

ϕ ^{r r}

( ) ^{r = ln r + const}

2 πε

ϕ λ

Potencjał elektryczny ładunku o rozkładzie kulistosymetrycznym

+ q

E

r

( ) R

∫

=

) ( 0 2

1 4

) 1 (

r V

dV r r

r

E ρ

πε

( ) r

E r r

E

E ∂

− ∂

=

⇒

= ϕ ( )

 ( )

 



 







<

=

>

=

∫ ^{r dV r R}

r

R R r

Q

R r r

Q r

E

r V )( 0 2

0 2 0 2

1 , 4

1 4 ,

1 4 ,

1

) (

πε ρ πε πε

 













−

+ +

=

∫ ^Edr

const R

Q

const r

Q

r ,

4 1 4 ,

1

) (

0 0

πε πε ϕ

różne rozwiązania w zależności od ρ(r)

Bezwirowość pola elektrostatycznego

( ^C ) ^{n da}

s d C

∫

∫

Γ

⋅

×

∇

=

⋅ r r r r

r

krzywej Γ jest całką powierzchniową składowej normalnej rotacji C.

( ^{∇ ×} ) ^{⋅ =} [ ^{∇ ×} ( ^{− ∇} ) ] ^{⋅ = 0}

=

∫ ⋅ ∫ ∫

Γ

ds n ds

n E s

d E

S S

r r r r

r r r

r ϕ

ϕ

∇

−

= r

E r ⇒

Stąd:

= 0

×

∇ E r r II równanie Maxwella dla pola elektrostatycznego

Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym.