Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21
Zadania do omówienia na ćwiczeniach zdalnych we wtorek 13.10.2020 i czwartek 15.10.2020.
Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.
Część ćwiczeń może zostać poświęcona zadaniom z listy 1 wskazanym przez studentów.
Oznaczenia:
n
X
i=m
ai= am+ am+1+ am+2+ am+3+ ... + an−1+ an
n
Y
i=m
ai= am· am+1· am+2· am+3· ... · an−1· an
Obliczyć wartości wyrażeń:
24.
5
X
i=3
i2 25.
100
X
i=−99
i3 26.
10
X
i=−10
7 27.
100
X
i=1
i 28.
24
X
i=1
i2 29.
6
Y
i=1
i 30.
2020
Y
i=−2020
i2020
31. Wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których prawdziwa jest podana implikacja:
a) x > 0 ⇒ x + 1 > 2 b) x < 1 ⇒ x2> 0 c) x < 1 ⇒ x2< 0 d) x5> 32 ⇒ x6> 64 e) x6> 64 ⇒ x7> 128 f ) x5< 32 ⇒ x6< 64 g) x6< 64 ⇒ x7< 128
Oszustwo 32. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność
30n < 2n+ 110 . (∗)
Rozwiązanie:
Przeprowadzimy dowód indukcyjny.
1◦ Dla n = 1 sprawdzamy bezpośrednio 30 < 2 + 110 = 112.
2◦ Załóżmy, że 30n < 2n+ 110. Udowodnimy nierówność
30(n + 1) < 2n+1+ 110. Stosując założenie indukcyjne otrzymujemy ciąg nierówności:
30(n + 1) = 30n + 30 < 2n+ 110 + 30 = 2n+1+ 110 + 30 − 2n< 2n+1+ 110, przy czym ostatnia nierówność zachodzi dla n 5.
Zatem nierówność (∗) została udowodniona dla n 5.
Pozostaje sprawdzić, że
dla n = 2 mamy 60 < 4 + 110 = 114, dla n = 3 mamy 90 < 8 + 110 = 118, dla n = 4 mamy 120 < 16 + 110 = 126.
Tym samym nierówność (∗) jest udowodniona dla wszystkich liczb naturalnych n.
W szczególności wykazaliśmy, że dla n = 6 zachodzi nierówność 180 < 174.
Gdzie tkwi błąd w powyższym rozumowaniu?
Lista 2 - 31 - Strona 31
