Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21 Zadania do omówienia na ćwiczeniach w piątek 27.11.2020 i poniedziałek 30.11.2020.

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

Zadania do omówienia na ćwiczeniach w piątek 27.11.2020 i poniedziałek 30.11.2020.

Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.

278. Obliczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

1 4n²− 9.

∞

X

n=1

1 n²+ 3n.

∞

X

n=1

1 9n²+ 3n − 2.

∞

X

n=3

1 n²− 4.

∞

X

n=1

1

n · (n + 2) · (n + 3).

∞

X

n=1

1 n²+ 5n.

∞

X

n=3

1 n³− 4n.

∞

X

n=1

1

n · (n + 1) · (n + 4).

∞

X

n=1

1 n ·√

n + 1 + (n + 1) ·√ n.

Lista 14 - 203 - Strony 203–206

(2)

Niech

a_n= 120

n(n + 1)(n + 2) dla n ∈N^.

Wiadomo, że wówczas szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, a jego suma jest równa 30.

W każdym z poniższych 10 zadań podaj sumę szeregu.

287.

∞

X

n=1

(a

_n

+ a

_n+1

) =

. . . .

288.

∞

X

n=1

(a

_n

− a

_n+1

) =

. . . .

289.

∞

X

n=1

(a

₁

· a

_n

) =

. . . .

290.

∞

X

n=1

(a

₂

· a

_n

) =

. . . .

291.

∞

X

n=1

a

²_n

− a

²_n+1

=

. . . .

292.

∞

X

n=1

a

²_n

− a

²_n+2

=

. . . .

293.

∞

X

n=1

a

²_n

− a

²_n+3

=

. . . .

294.

∞

X

n=2

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

295.

∞

X

n=3

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

296.

∞

X

n=4

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

Lista 14 - 204 - Strony 203–206

(3)

Niech

a_n= 60

n(n + 1) dla n ∈N^.

Wiadomo, że wówczas szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, a jego suma jest równa 60.

297.

∞

X

n=1

(a

_n

+ a

_n+1

) =

. . . .

298.

∞

X

n=1

(a

_n

− a

_n+1

) =

. . . .

299.

∞

X

n=1

(a

₁

· a

_n

) =

. . . .

300.

∞

X

n=1

(a

₂

· a

_n

) =

. . . .

301.

∞

X

n=3

a

_n

=

. . . .

302.

∞

X

n=1

a

³_n

− a

³_n+1

=

. . . .

303.

∞

X

n=1

(a

_n

− a

_n+1

) · (a

_n

+ a

_n+1

)

=

. . . .

304.

∞

X

n=3

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

305.

∞

X

n=4

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

306.

∞

X

n=1

r

a

²_n

+ 1600 −

r

a

²_n+1

+ 1600

!

=

. . . .

Lista 14 - 205 - Strony 203–206

(4)

W każdym z poniższych 5 zadań podaj w postaci uproszczonej sumę szeregu.

307.

∞

X

n=1

√

n

n −

ⁿ⁺¹

√

n + 1

= . . . .

308.

∞

X

n=1

√

n

n −

ⁿ⁺²

√

n + 2

= . . . .

309.

∞

X

n=1

√

n

n −

ⁿ⁺³

√

n + 3

= . . . .

310.

∞

X

n=2

√

n

n −

ⁿ⁺¹

√

n + 1

= . . . .

311.

∞

X

n=2

√

n

n −

ⁿ⁺²

√

n + 2

= . . . .

Niech a_n= 120

n(n + 2) dla n ∈N. Wiadomo, że wówczas szereg

∞

X

n=1

a_njest zbieżny, a jego suma jest równa 90.

312.

∞

X

n=1

(a

_n

+ a

_n+1

) =

. . . . 313.

∞

X

n=1

(a

_n

− a

_n+1

) =

. . . .

314.

∞

X

n=1

a

²_n

− a

²_n+1

=

. . . . 315.

∞

X

n=1

a

²_n

− a

²_n+2

=

. . . .

316.

∞

X

n=1

a

²_n

− a

²_n+3

=

. . . . 317.

∞

X

n=4

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

318.

∞

X

n=6

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . . 319.

∞

X

n=10

(2

^aⁿ

− 2

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

320.

∞

X

n=10

(3

^aⁿ

− 3

^aⁿ⁺¹

) =

. . . . 321.

∞

X

n=10

(4

^aⁿ

− 4

^aⁿ⁺¹

) =

. . . .

Lista 14 - 206 - Strony 203–206