Mikołaj Jasiński Uniwersytet Warszawski

STUDIA SOCJOLOGICZNE 2003, 1 (168) ISSN 0039-3371

Mikołaj Jasiński

U niw ersytet W arszawski

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROM ADZENIA DECYZYJNEG O 1

A utor przedstawia w artykule związek pom iędzy stanowiskiem ideologicznym uczestników> politycznych zgromadzeń, a ich znaczeniem w procesie podejm ow a­

nia decyzji. Uwzględnienie „różnorodności ideologicznej" stanowisk decyden­

tów (graczy) ma umożliwić pełniejszy opis i ocenę układu sił w zgromadzeniu, a także przewidywanie ewentualnych w nim napięć. Poza prezentacją niektórych ju ż istniejących koncepcji, autor proponuje własną konstrukcję dwóch p rze­

strzennych generalizacji indeksów siły. Podstawą tych generalizacji je s t analiza postulatów odnoszących się do różnych aspektów siły uczestnika zgromadzenia decyzyjnego oraz koncepcji racjonalności gracza w sytuacji budowania lub utrzymywania koalicji. Autor proponuje również sposób oceny wpływu ideologii na siłę poszczególnych graczy w danym zgromadzeniu decyzyjnym. Służyć temu ma współczynnik ideologizacji. Na przykładzie analizy polskiej sceny politycznej (Sejmu III kadencji) autor przedstawia użyteczność proponowanych konstrukcji.

Główne pojęcia: indeks siły, przestrzenna generalizacja indeksu siły, Shapley- Owen, Deegan-Packel, koalicja, ważony system głosowania, przestrzeń ideolo­

giczna, współczynnik ideologizacji, taksonomia wrocławska.

Kwestia kluczowa przy analizie zachowań politycznych w zgrom adzeniach podejm ujących decyzje - zagadnienie porównania znaczenia poszczególnych ich uczestników - jest źródłem trudności co najmniej dwojakiego rodzaju.

Instytut Socjologii U niw ersytetu W arszawskiego, 00-324 W arszawa, ul. K arow a 18, e-mail: mikoj

@is. uw. edu. pl

1 A utor dziękuje za pom oc w dotarciu do literatury prof. dr. Piotrow i Św istakowi oraz za uw a­

gi pracow nikom Zakładu Statystyki, D emografii i Socjologii M atematycznej IS U W oraz anonim o­

w ym recenzentom . Szczególne podziękow ania składam m ojem u prom otorow i prof. dr. hab. G rze­

gorzowi Lissowskiemu.

Przede wszystkim , jak to przedstaw iłem w m oim poprzednim artykule pośw ię­

conym m iernikom znaczenia uczestników zgrom adzeń decyzyjnych, zwanych indeksam i siły (Jasiński 2000), siła decydenta nie jest jednoznacznie określona przez liczbę głosów którą on dysponuje2. Często zasadnicze znaczenie ma kon­

figuracja głosów. Dlatego nie zawsze decydent dysponujący w iększą liczbą głosów m a większy wpływ na podejm owanie decyzji przez zgrom adzenie od tego, który m a m niejszą liczbę głosów. W przyw ołanym opracow aniu przedsta­

w iłem podstaw y koncepcji opisu znaczenia uczestników zgrom adzeń decyzyj­

nych za pom ocą indeksów siły. Om ówione zostały postulaty, których spełnie­

nia m ożna oczekiwać od indeksu siły oraz własności m ierników najczęściej prezentow anych w literaturze przedmiotu. W prawdzie w niniejszym artykule zostaną wspom niane pewne niezbędne, skrótowe informacje na tem at inde­

ksów siły, wszelako lektura wcześniejszego tekstu lub innych3 przedstaw iają­

cych tę problem atykę wydaje się przygotowaniem niezbędnym do pełnego zro­

zum ienia tego opracowania.

Źródeł analizy indeksów siły należy doszukiwać się w teorii gier. Zgodnie z tą tradycją w dalszej części rozważań decydentów będę nazywał graczami, konkret­

ne zaś sytuacje podejmowania decyzji przez zgromadzenie - grami. W moim po­

przednim artykule wspólną własnością wszystkich indeksów siły była symetria.

Innymi słowy na ocenę znaczenia poszczególnych graczy miały wpływ jedynie liczby głosów, jakim i dysponowali oraz konfiguracja głosów w zgromadzeniu.

Wówczas zastąpienie nazw graczy w całym zbiorze zupełnie innymi nazwami nie powinno wpływać na wartości indeksów siły przyporządkowywane poszcze­

gólnym graczom. Oznacza to zatem, że jedynie wagi (np. liczebności klubów parlamentarnych albo udziały akcjonariuszy), a nie nazwy graczy, m ają wpływ na kształt zawieranych koalicji; albo inaczej: gracze o tej samej wadze traktowa­

ni są identycznie.

Przy analizie realiów politycznych warunek symetrii jest nie do utrzymania.

Trudno oczekiwać na przykład, aby dane ugrupowanie wykazywało równą skłonność do wchodzenia w sojusze ze stronnictwem, z którym pozostaje we wrogich stosunkach, co z innym, z którym łączą je jakieś związki (na tym etapie prezentacji nie określamy ich jeszcze). Analizując sytuację po wyborach 2001 roku warto zwrócić uwagę na przykład na odmienność znaczenia klubu Polskie­

go Stronnictwa Ludowego i Samoobrony. Nikogo nie zdziwi opinia o silniejszej

2 Rozważając polityczne zgrom adzenia decyzyjne, za decydentów uznaję kola, czy też kluby radnych lub posłów czy senatorów, a pojedynczy głosujący, nie zrzeszeni w jakim kolw iek kole bę­

d ą traktow ani przeze m nie jako jednoosobow e podzbiory.

3 Poza polskim i opracow aniam i, m . in. M alawskiego i innych (1997), M ercika (1999) oraz So­

snowskiej (1999) bogate opracow ania tej problem atyki znajdzie Czytelnik rów nież w pracach ob­

cojęzycznych: m . in. licznych rozdziałach książki Bram sa i innych (1982) oraz książce Falsenthala i M achovera (1998).

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO J Ą J

pozycji ugrupowania Kalinowskiego niż Leppera. PSL przecież został koalicjan­

tem SLD i dzięki temu uczestniczył w wielkiej polityce. Samoobronie pozostały jedynie działania opozycyjne. Jednakże to Samoobrona dysponuje większą licz­

bą mandatów (49 posłów) niż PSL (41 posłów). Uważny obserwator sceny poli­

tycznej wyjaśni ten paradoks „odmiennością ideologicznych stanowisk” graczy, która zdecydowała, że PSL okazał się atrakcyjniejszym koalicjantem Sojuszu.

Późniejsze decyzje Sojuszu o wchodzeniu jednak w koalicje z Samoobroną w sejmikach po wyborach samorządowych zdają się świadczyć o dominacji

„czynnika strukturalnego” nad „czynnikiem ideologicznym” (często niemożliwe było sformowanie odpowiednio licznej koalicji bez udziału Samoobrony, aby można było mówić o stabilności koalicji). Konfliktogenność tych porozumień po protestach rolniczych (np. rozpad koalicji w łódzkim sejmiku wojewódzkim) po­

kazuje znaczenie pominiętego dystansu ideologicznego4.

Symetria okazuje się zatem warunkiem, który wymaga usunięcia albo, co naj­

mniej, osłabiającej modyfikacji. Dotychczas zastosowano dwa podejścia do tej kwestii.

• Można by na analizowany zbiór graczy „nałożyć” pewną, odpowiadającą rea­

liom „strukturę bliskości” - klasę podzbiorów zbioru graczy. Do jednego podzbiom zaliczani byliby gracze bliżsi sobie niż innym. Oznacza to, że two­

rząc koalicję gracze w pierwszej kolejności wchodziliby w porozumienia z gro­

nem należącym do tego samego podzbioru, a dopiero później z innymi. Podczas analizy eliminuje się z rozważań niektóre koalicje, niezgodne ze wspomnianą

„strukturą bliskości”.

Podejście to prowadzi do konstrukcji tzw. indeksów siły z prekoalicjami.

W spominałem o nich w przywoływanym powyżej artykule.

• Inne, jak sądzę bardziej naturalne podejście, przypisuje każdemu z graczy indy­

widualną pozycję ideologiczną, określającą jego stosunek do pozostałych. Po­

zycję taką można by zrekonstruować przedstawiając przestrzeń ideologiczną danego systemu. Współrzędne punktów tej przestrzeni wyznaczają stanowisko w danych kwestiach ideologicznych (wymiarach przestrzeni). Pozycja ideolo­

giczna każdego gracza jest reprezentowana przez punkt w tej przestrzeni, nazy­

wany punktem idealnym gracza. Porównanie usytuowania punktów idealnych graczy daje możliwość określenia relacji pomiędzy graczami w tym modelu.

Odległość między punktami idealnymi jest m iarą ideologicznego dystansu, a w konsekwencji skłonności graczy do zawierania porozumień.

Prezentacji niektórych konstrukcji indeksów siły w ramach tej właśnie, prze­

strzennej koncepcji poświęcone są niniejsze rozważania. Poza skrótowym omówieniem istniejących już propozycji klasycznych indeksów przestrzennych,

4 Zainteresow any Czytelnik uzasadnienie znaczenia „ideologicznej zgodności” m oże znaleźć w pracy Law lera i Youngsa (1992).

na podstawie sformułowanych oczekiwań - postulatów, przedstawią własne pro­

pozycje nowych, przestrzennych generalizacji indeksów siły. Na przykładzie Sejmu III kadencji zilustrują zastosowania przedstawionych nowych konstrukcji.

Zanim przejdą do zasadniczej cząści opracowania, krótko przypom ną Czytel­

nikowi podstawowe pojącia, z których zamierzam korzystać.

Proste gry decyzyjne

W iąkszość gier parlam entarnych m ożna przedstaw ić jak o proste gry, w których uczestnicy gry m ogą opowiedzieć sią za danym wnioskiem lub prze­

ciw niemu. Decyzja całego zgromadzenia m a również charakter dychotomiczny i polega na przyjąciu bądź odrzuceniu tego wniosku. Jedynym sposobem przyję- cia wniosku jest poparcie go przez wiąkszość określoną przez ustaloną regułą de­

cyzyjną (cząsto jest to zwykła wiąkszość, a niekiedy różne kwalifikowane więk­

szości głosów). Będziemy rozważali tzw. ważone systemy głosowania (albo wa­

żone gry większości), czyli takie, w których każdemu głosującemu przyporząd­

kowana jest nieujemna liczba rzeczywista, tzw. waga, a warunkiem koniecznym i wystarczającym przyjęcia wniosku jest osiągnięcie przez koalicją głosujących za nim kwoty ustalonej przez regułę decyzyjną, czyli sumy wag lub głosów większej niż połowa sumy wag (głosów).

Zbiór n uczestników gry będziemy oznaczali przez N, a jego poszczególnych uczestników małymi literami, tj. N = {a, b, c,..., n}. Funkcja/przyporządkow u­

je poszczególnym uczestnikom gry ich wagi: / ( a ) , /( ó ) , /(c ) itd.

Kwotę będziemy oznaczali przez q, przy czym może być ona wyrażona przez liczbę całkowitą (suma głosów) lub też w postaci odsetka (udziału) sumy wag.

Ważony system głosowania, określony przez dwie wielkości: kwotę i wektor wag, będziemy zapisywali w następującej postaci: [q\/ ( a ) ; /( ó ) ; /(c);...; /[«)].

Koalicją będziemy nazywali podzbiór uczestników gry i oznaczali dużymi li­

terami: A, B, C,... Koalicję C uczestników gry będziemy nazywać koalicją wy­

grywającą, jeżeli suma wag jej członków jest co najmniej równa kwocie wyma­

ganej do podjęcia decyzji przez zgromadzenie

(Σ

cych będziemy oznaczali przez W., a przegrywających przez P. Oczywiście oba te zbiory w yczeipują zbiór wszystkich podzbiorów zbioru wszystkich graczy N.

Ponieważ dowolna koalicja C je st wygrywająca wtedy i tylko wtedy, gdy su­

ma wag jej uczestników jest co najmniej równa q, więc każda koalicja zawiera­

jąca koalicją wygrywającą C jest również wygrywająca. W szczególności doty­

czy to zbioru wszystkich graczy N.

Przez m inim alną koalicją wygrywającą (w nicktóiych zapisach będę posługi­

wał się skrótem MKW) będziemy rozumieli taką koalicję wygiywającą, która po

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO ] 4 3

wycofaniu się z niej dowolnego gracza staje się koalicją przegrywającą. Zbiór wszystkich minimalnych koalicji wygrywających będziemy oznaczali przez M (oczywiście zbiór M jest podzbiorem zbioru wszystkich koalicji wygrywają­

cych IV)5.

Oto ilustracja wprowadzonych pojęć.

Przykład 1. Symetryczne indeksy siły trzech graczy o zróżnicowanych wa­

gach

Rozważmy system głosowania: [51: 49; 49; 2], czyli taki, w którym do pod­

jęcia decyzji potrzeba większości bezwzględnej.

Wagi (liczby głosów) jak widać są zróżnicowane. A co można powiedzieć o poszczególnych graczach w kategoriach zapotrzebowania na nich przy podej­

mowaniu decyzji przez całą stuosobową grupę?

Gracz o najmniejszej liczbie głosów (o wadze równej 2) jest w tej samej sytua­

cji co pozostali, ponieważ koalicja wygrywająca (taka, której suma wag osiąga kwotę równą co najmniej 51 głosów) może zostać utworzona przez każdą parę gra­

czy. W tej sytuacji, skoro wpływ każdego gracza jest identyczny, to wektor siły przy podejmowaniu decyzji powinien w tym systemie być następujący: (1/3; 1/3; 1/3).

Symetryczne indeksy siły - ujęcie ogólne

Jak widać, zagadnienie wyznaczania indeksów siły wiąże się z analizą od­

działywania jednostki i grupy. Formalna ocena znaczenia jednostek w procesie grupowego podejmowania decyzji ma za zadanie znalezienie właściwych, często nieoczywistych relacji pomiędzy najprostszymi miarami znaczenia decydenta, takimi jak liczebność czy frakcja głosów, a trudnym do ścisłego określenia poję­

ciem konfiguracji graczy czy też układu sił. Otwiera również drogę precyzyjniej­

szemu wyjaśnieniu, a niejednokrotnie nawet próbom przewidywania, decyzji podejmowanych przez polityków w parlamentach czy innych zgromadzeniach decyzyjnych. Pytanie, które można by zadać podczas analizy symetrycznych in­

deksów siły, jest następujące: jeśli odrzucimy jakiekolw iek informacje poza da­

nymi o wadze graczy oraz o obowiązującej regule decyzyjnej, to, zakładając bar­

dzo dużą liczbę głosowań, jakie jest prawdopodobieństwo, że „TAK” gracza bę­

dzie znaczące. Im większe to prawdopodobieństwo, tym większe będzie zapo­

trzebowanie na gracza przy formowaniu koalicji wygrywających.

Indeksy siły można więc przedstawiać jako pewne, trudno wyrażalne intuicje powstające wśród uczestników zgromadzeń decyzyjnych. Rozpatrując różne możliwe sojusze wybierają koalicjantów, dzięki którym uzyskają największe

5 Przystępne, a zarazem nieco szersze om ów ienie przyw ołanych pojęć znajdzie Czytelnik w rozdziale 27 książki Philipa Straffma (2001).

szanse wpływu na podejmowane decyzje. Wspomniane „intuicje” są w rzeczy­

wistości wynikiem doświadczenia w decyzyjnych rozgrywkach. Powrócę do tej kwestii w dalszej części artykułu.

Przedstawię poniżej skrótowo dwa indeksy siły, których pełniejszą charakte­

rystykę Czytelnik znajdzie w moim poprzednim artykule (Jasiński 2000).

Najczęściej cytowanym w literaturze indeksem siły jest indeks Shapleya-Shu- bika (Shapley 1953; Shaplcy i Shubik 1954).

W yobraźmy sobie, że koalicje są tworzone w wyniku dołączania kolejno gra­

czy do momentu utworzenia koalicji wygiywającej. Istnieje η! = /7·(«-1)·... ·1 możliwych uporządkowań wszystkich graczy. Wówczas indeksem Shapleya- Shubika dla pewnego gracza x. jest liczba między O i l , która pokazuje, w jakiej części porządków budowania koalicji jest on graczem decydującym o je j stawa­

niu się koalicją wygrywającą, czyli takim, któiy dokładając swój głos do danej koalicji p rzekształcają z przegrywającej w wygrywającą.

Indeksem Shapleya-Shubika głosującego x. (zapis: SS(x. )) jest liczba:

liczba uporządkowań zbioru N, w których x j e s t decydujący SS{xt łączna liczba możliwych uporządkowań zbioru N

Indeks ten różnym koalicjom, w zależności od ich liczebności oraz od wag gra­

czy przypisuje różne wagi, co można interpretować jako przypisywanie różnych szans uformowania koalicji. Uwzględnia przy tym złożoność procesu formowania koalicji wygiywającej: z jednej strony im liczniejsza koalicja, tym więcej możli­

wych w niej konfliktów, przy założeniu jednolitego poziomu iyzyka konfliktów pomiędzy graczami (czyli mniejsze szanse jej sformowania), z drugiej - im mniej liczne grono graczy poza formującą się koalicją zgłasza chęć udziału w niej (czy­

li im liczniejsza jest ta koalicja), tym mniejsze ryzyko jej dekompozycji.

Ogólniejszą propozycją tego indeksu siły, uwzględniającą zróżnicowanie ide­

ologiczne graczy, a zarazem sprowadzającą się do powyższej, klasycznej posta­

ci, jeśli wpływ tego zróżnicowania pominąć, jest tzw. przestrzenny indeks Sha­

pleya-Shubika.

Drugim indeksem siły, którym się zająłem, jest indeks Deegana-Packela (De- egan i Packel 1978, 1982) - miernik o odmiennej konstrukcji niż przedstawiony powyżej indeks Shapleya-Shubika. Bazuje on bowiem na trzech założeniach.

Zgodnie z pierwszym założeniem tworzone są wyłącznie minimalne koalicje w y­

grywające. Założenie to odwołuje się do tzw. kryterium Rikera (Riker 1962)6.

6 Zgodnie z tym kryterium w zgrom adzeniach politycznych gracze budują koalicje w ygryw a­

jące z liczbą partii (klubów parlam entarnych) nie w iększą niż to konieczne. Rozważając zatem ko­

alicje w ygryw ające w zgrom adzeniach politycznych (np. koalicje rządowe) należy się spodziewać wyłącznie koalicji minimalnych.

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO J 4 5

Skoro porzucenie minimalnej koalicji wygiywającej przez dowolnego gracza ma dla niej jednakow e znaczenie (odejście z minimalnej koalicji wygrywającej do­

wolnego gracza powoduje przekształcenie jej w koalicję przegrywającą), to war­

tość, czy też znaczenie wszystkich członków tej koalicji, polegające na wpływie na jej utrzymanie, powinno być jednakowe. To drugie założenie. Trzecie założe­

nie mówi o równym prawdopodobieństwie zaistnienia wszystkich minimalnych koalicji wygrywających.

Indeks siły Deegana-Packela pewnego gracza jest sum ą m iar jego wpływu na utrzymanie wszystkich minimalnych koalicji wygrywających, do których należy (owe miary wpływu są dzielone po równo pomiędzy wszystkich jej uczestni­

ków), podzieloną przez liczbę minimalnych koalicji wygrywających:

miara łącznego wpływu gracza x. na trwałość wsz)>stkich MKW, w których uczestniczy

DP(x. ) = ---

liczba wszystkich minimalnych koalicji wygrywających albo bardziej formalnie:

D p (x ) = |M| c iŁ iC j ’ gdzie

M oznacza zbiór wszystkich koalicji minimalnych,

C. oznacza koalicję minimalną, w której uczestniczy gracz x p

\Z\ oznacza liczebność pewnego zbioru Z.

Tak więc każdej minimalnej koalicji wygiywającej przypisana jest jednakow a waga równa 1 (stąd suma wag wszystkich minimalnych koalicji wygrywających jest równa ich liczbie |M|), a miarą wagi głosu, jaki posiada gracz x p jest wyrażenie

Σ — ■

c, €ju|C. |

Przestrzeń ideologiczna

Rozważamy zbiór n graczy. Poza wagami, graczy odróżniają stanowiska w różnych kwestiach. Znając te stanowiska możemy stworzyć model matema­

tyczny przedstawiający stanowiska ideologiczne graczy zwany przestrzennym modelem głosowania. Przestrzeń ideologiczna posiada tyle wymiarów, ile kwestii uwzględnia model w określaniu stanowisk ideologicznych. Każdy punkt posiada więc współrzędne jednoznacznie określające jego położenie w przestrzeni7 i jest tym bardziej odległy od innego punktu tej przestrzeni, im odleglejsze stanowisko

7 Pom ijam tutaj złożony, będący przedm iotem trwających dyskusji m etodologicznych, problem pom iaru stanowisk, w iążący się z ustaleniem skali, na której przedstaw iane są badane cechy.

ideologiczne reprezentuje. Tak więc różnice poglądów są przedstawiane w tak skonstruowanej przestrzeni ideologicznej za pom ocą różnic odległości. Jako me­

trykę często przyjmuje się odległość euklidesową8. Zatem każdemu graczowi można przypisać w przestrzeni ideologicznej punkt, zwany jego punktem ideal­

nym, odzwierciedlający stanowisko ideologiczne tego gracza. Konfigurację sta­

nowisk ideologicznych przedstawić można albo za pom ocą graficznego modelu, umieszczając punkty w układzie współrzędnych, albo za pom ocą macierzy odle­

głości, w której przedstawia się wszystkie odległości dzielące każdą parę punktów idealnych graczy. Poniższe lysunki przedstawiają oba alternatywne ujęcia.

Rysunek 1. Przestrzeń ideologiczna z punktami idealnymi czterech graczy

C • d

Η---1---1---1---1^--->

1 2 3 4 5

wymiar 1

Tabela 1. M acierz odległości odpowiadająca przedstawionej powyżej konfigura­

cji punktów idealnych graczy*

a b c d

a 0 2 , 4 2 2 , 12 3 , 16

b 0 0, 86 2 , 33

c 0 1, 58

d 0

* Ze w zględu na przyjętą sym etryczność odległości (odległość od a do b taka sam a ja k odległość od b do a) m ożna pominąć „dolny trójkąt” macierzy odległości.

8 Pełniejsze przedstaw ienie założeń i konstrukcji przestrzennego modelu głosow ania znajdzie Czytelnik w e w stępnym artykule do tego numeru autorstw a Grzegorza Lissow skiego „W prow a­

dzenie do przestrzennej teorii głosow ania” .

4. 5- -

4 3. 5 -

3 -

2. 5 2 +

1. 5 1 0, 5- -

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO

Przestrzenny indeks Shapleya-Shubika

Pierwsza propozycja indeksu siły odwołującego się do przestrzennego usytu­

owania graczy została ogłoszona w roku 1971 przez Guillermo Owena. Model Owena, lepiej sformułowany w 1977 roku przez Lloyda Shapleya, był w istocie przestrzenną generalizacją znanej od 1953 roku wartości Shapleya9.

Rysunek 2. Uporządkowania generowane przez poszczególne kierunki prze­

strzeni

A

45.. j b-<c<d<a 4 - I

f> 1 2 3 4 5

wym iar 1

Gracze m ogą tworzyć koalicje. Budując te porozumienia z innymi graczami m ogą modyfikować znaczenia przypisywane poszczególnym kwestiom-wymia- rom wyznaczającym przestrzeń ideologiczną. Rozważmy dla ilustracji przestrzeń o dwóch wymiarach politycznych, np. pierwszy: sprzeciw wobec dekomunizacji - poparcie dla dekomunizacji oraz drugi: sprzeciw wobec integracji z U nią Euro­

p e js k ą - poparcie dla UE. Można sobie wyobrazić ugrupowania na polskiej sce­

nie politycznej, które skłonne byłyby jeszcze kilka lat temu budować koalicję uwzględniając przede wszystkim wymiar pierwszy, z prawie zupełnym pominię­

ciem drugiego. W modelu przestrzennym oznaczałoby to przypisanie każdemu z dwóch wymiarów ideologicznych pewnej wagi: większej wymiarowi dekomu- nizacyjnemu, mniejszej wymiarowi integracyjnemu. Takie zważenie wymiarów wyznacza jednoznacznie pewien kierunek w przestrzeni ideologicznej - w przy­

kładzie przedstawia go więc prosta bliższa osi reprezentującej wymiar dekomuni- 9 Szczególną postacią wartości Shapleya je st przyw ołany indeks Shapleya-Shubika.

zacyjny. Taki kierunek, będący w istocie agregacją wymiarów przestrzeni ideolo­

gicznej może być traktowany jako kryterium budowania koalicji: łatwiej dołączać się m ogą do niej gracze bliżsi dotychczasowym według tego kryterium. Posługu­

jąc się zatem określonym kierunkiem przestrzeni możemy uporządkować punkty idealne graczy według bliskości ich poglądów w tak zagregowanej przestrzeni.

W modelu oznacza to zrzutowanie punktów idealnych graczy na prostą wyzna­

czającą kierunek. Zmiana kieiunków w przestrzeni (kryteriów budowania koali­

cji) może oznaczać odmienne uporządkowanie punktów idealnych graczy.

Rysunek 2 przedstawia sposób porządkowania graczy według różnych kryte­

riów (kierunków). Jak widać, jeden kierunek (bliższy poziomej osi prostokątne­

go układu współrzędnych - wymiaru przestrzeni ideologicznej) sytuuje punkt a na końcu, a drugi (bardziej pionowy) - na początku szeregu graczy. Może się okazać, że pewne uporządkowania nie odpowiadają żadnemu kierunkowi w przestrzeni10. W przykładzie zilustrowanym na rysunku są to uporządkowania z graczem c na początku bądź na końcu szeregu.

Shapley z Owenem przyjęli, że szanse na osiągnięcie porozumienia we wszy­

stkich kierunkach są jednakowe. Shapley zinterpretował to założenie w ten spo­

sób, że „polityczne w ia try” wieją w poprzek przestrzeni politycznej w ściśle lo­

sowy sposób (Shapley 1977: 20). Równe prawdopodobieństwa przypisane zosta­

ły zatem nie uporządkowaniom, lecz przyjmowanym kierunkom-kryteriom bu­

dowania koalicji. Aby wyznaczyć siłę gracza w tak skonstruowanym modelu przestrzennym należy rozważyć wszystkie możliwe uporządkowania, w których dany gracz jest graczem decydującym. W przypadku jednowym iarowym (rys. 3) może być to jedno z dwóch dopuszczalnych uporządkowań: a b c d lube/ c b a.

Rysunek 3. Punkty idealne czwórki graczy w jednowymiarowej przestrzeni (S R 1) 1--- · ---· -· 1 · --- 1--->

0 1 2 3 4 5

a b c d

Dla dwóch wym iarów ideologicznych kierunki generujące te same uporząd­

kowania można przedstawić jako łuki (lub kąty) w okręgu o jednostkow ym pro­

mieniu um ieszczonym w układzie współrzędnych. Poniższy rysunek przedstawia wszystkie możliwe uporządkowania czwórki graczy w dwuwymiarowej prze­

strzeni (SR2).

10 O kolicznościam i sprzyjającym i takiej sytuacji je st duża liczba graczy w stosunku do liczby w ym iarów przestrzeni. Szczegółowe omówienie tej kw estii znaleźć m ożna w trudno dostępnej w Polsce, pracy Shapleya (1977) oraz w mojej pracy doktorskiej. Zainteresow anym gotów jestem przysłać pocztą elektroniczną niezbędne uzupełnienia.

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO } 4 9

Rysunek 4. Uporządkowania graczy oraz łuki okręgu odpowiadające tym upo­

rządkowaniom

Długość poszczególnych łuków jest m iarą udziału odpowiednich uporządko­

wań wśród wszystkich dopuszczalnych ustawień graczy (przy założeniu równe­

go praw dopodobieństwa wszystkich kierunków). W ogólnym przypadku prze­

strzeni 9Ϊ"' dla m > 1 Shapley (1977) pisze o sferze11, której szczególną postacią dla m = 2 jest okrąg, a dla m = 3 — powierzchnia kuli. W miejsce łuku posługuje się powierzchnią sfery.

Przestrzenną generalizacją indeksu Shapleya-Shubika będzie zatem suma po­

wierzchni sfery związanej z tymi uporządkowaniami, dla których dany gracz x.

jest graczem decydującym (w tym samym sensie co w klasycznym indeksie Sha­

pleya-Shubika) podzielona przez powierzchnię całej sfery.

Poniżej przedstawiam form alną definicję tego miernika.

Shapley rozważał jednostkow ą sferę S, określoną przez jednostkow y wektor u w przestrzeni ideologicznej 9Ϊ"'. Posługiwanie się właśnie sferą oznacza przy­

jęcie równego znaczenia wszystkich kierunków. Prawdopodobieństwo tego, że u znajduje się w danym obszarze S jest proporcjonalne do powierzchni tego ob­

szaru. Każdy punkt na powierzchni sfeiy S odpowiada pewnem u kierunkowi.

Określmy taką część powierzchni sfery (Si), że wszystkie kierunki jej odpowia­

dające wyznaczają takie uporządkowania, w których gracz x j e s t graczem decy­

dującym.

11 Przypom nijm y: sfera, to zbiór punktów równo oddalonych od pew nego punktu, nie należą­

cego do sfery i będącego jej środkiem.

Stąd propozycja Shaplcya przestrzennej generalizacji indeksu Shapleya-Shu- bika dla /-tego gracza ma postać

_ powierzchnia Sj

^ >' ~ powierzchnia sfery S

Przykład 2. Przestrzenna generalizacja indeksu Shapleya-Shubika w prze­

strzeni jednowymiarowej

Powróćmy do przestrzeni jednowymiarowej (m = 1). Jest to wprawdzie przy­

padek zdegenerowany, jednakże jego prostota nie oznacza braku związku z rea­

liami. Przykładem może być scena polityczna zredukowana do podziału na lewi­

cę i prawicę. Rozważamy pewien zbiór liczący η (n > 1) graczy.

W tej sytuacji, jak pokazałem na rysunku 3, niezależnie od liczby graczy, moż­

liwe są tylko dwa ich uporządkowania (od lewej do prawej strony i przeciwne).

W zależności od reguły decyzyjnej uzyskamy różne podziały siły pomiędzy graczy:

dla tzw. giy decyzyjnej, czyli dla q = 0, 5 (reguła większości zwykłej) graczem decydującym jest gracz medianowy, będący graczem krytycznym dla każdego z dwóch uporządkowań.

dla q > 0, 5 (reguła większości kwalifikowanej), w ogólnym przypadku, bę­

dzie po dwóch graczy krytycznych, tym bardziej oddalonych od gracza mediano- wego, im większa jest kwota (większość kwalifikowana),

dla tzw. gry jednom yślności, czyli dla q = 1 graczami krytycznymi będą gra­

cze skrajni.

K l a s y c z n e , s y m e t r y c z n e in d e k s y s i ł y n a t o m i a s t k a ż d e m u z g r a c z y p r z y p o ­ r z ą d k u j ą t ę s a m ą w a r t o ś ć s i ł y r ó w n ą 1 in ( d l a n = 5 w a r t o ś ć t a r ó w n a s i ę 0 , 2 ).

Poniższa tabela przedstawia wyniki dla 5 jednostkowych graczy (albo równo­

ważnie: graczy o identycznych wagach) a, b, c, d, e przy różnych regułach de­

cyzyjnych, których punkty idealne usytuowane są w jednowymiarowej przestrze­

ni (na prostej) kolejno, od gracza a do gracza e.

Tabela 2. Wartości GSS dla [q: 1; 1; 1; 1; 1], albo, zapisując równoważnie:

[q\ 1/5; 1/5; 1/5; 1/5; 1/5], w przestrzeni 9 ł‘

R e g u ła d e c y z y jn a G ra c z e

a b c d e

3 a lb o 0 , 50 0 0 1 0 0

4 a lb o 0 , 75 0 0 , 5 0 0 , 5 0

5 a lb o 1, 00 0 , 5 0 0 0 0 , 5

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO j 5 j

Powyższy przykład pozwala sformułować trzy zarzuty wobec tej generaliza- cji indeksu Shapleya-Shubika.

Po pierwsze, jak widać, wykluczane są w tym przypadku niektóre uporządko­

wania, takie jak cdeab. W rzeczywistości (np. politycznej) taki tryb konstruowa­

nia koalicji jest jednak możliwy, choć być może mniej prawdopodobny od roz­

ważanych w prezentowanym modelu. Bez dodatkowych założeń można mówić bowiem o łatwiejszym budowaniu koalicji przez graczy o „sąsiadujących ze so­

bą” punktach idealnych (uporządkowania abcde i edcba) niż prowadząc negocja­

cje „ponad” punktami innych graczy (np. we wspomnianym uporządkowaniu cdeab skrajny gracz e negocjowałby koalicją z drugim skrajnym graczem a).

Po drugie, konstrukcja ta zupełnie pomija, kluczową w przestrzennych m o­

delach glosowania, kwestią odległości (np. dystansu ideologicznego pomiądzy partiam i)12.

Po trzecie zbytnim uproszczeniem wydaje się przypisywanie przez model ze­

rowej siły graczom „wewnętrznym” w grach jednomyślności. Tak jak wspom nia­

łem, z oczywistych względów ich głos jest równie pożądany przy budowaniu

„wielkiej” koalicji, co głos graczy „skrajnych”.

Należałoby zatem zaproponować taką przestrzenną generalizację indeksu Shapleya-Shubika, która nie byłaby obciążona powyższymi zarzutami. Zarazem powinna ona, w przypadku symetrycznym (gracze usytuowani w jednym punk­

cie albo w równych odległościach od siebie13), przyjmować postać klasyczną.

Powinna spełniać pewne bardziej szczegółowe postulaty interpretacyjne. Przed­

stawią je w dalszej części artykułu.

Przestrzenny indeks Deegana-Packela

Zdołałem dotrzeć do zaledwie jednej publikacji, w której przedstawiono po­

mysł przestrzennej generalizacji indeksu Deegana-Packela. W tej konstrukcji (Rapoport i Golan 1985) przyjęto założenie, że prawdopodobieństwo sformowa­

nia minimalnej koalicji wygrywającej jest odwrotnie proporcjonalne do średnie­

go dystansu pom iądzy wszystkimi członkami tej koalicji. Przypomną, że w sy­

metrycznym indeksie przyjęto założenie o równym prawdopodobieństwie wszy­

stkich minimalnych koalicji wygrywających. Jeśli M oznaczało zbiór tych koali­

cji, wówczas to prawdopodobieństwo było równe \I\M\. Jest to założenie kontro­

wersyjne. Przypisuje bowiem takie same szanse zaistnienia koalicjom, niezależ­

12 W zględne odległości pom iędzy graczam i pojaw iają się dopiero im plicite w modelu w m-w y­

miarowej przestrzeni (9 t111) dla m> 1 (rozważania te zostały szczegółowo przedstaw ione w mojej pracy doktorskiej).

13 N a przykład w wierzchołkach trójkąta rów nobocznego.

nie od liczby ich uczestników. Należy się natomiast spodziewać mniejszej trwa­

łości liczniejszych koalicji. Może być to podstawą kwestionowania trafności in­

deksu Deegana-Packela.

W generalizacji Rapoporta i Golan problem poprawki do indeksu Dcegana- Packela pozostaje. Generalizacja ta bowiem nie uwzględnia znaczenia liczby graczy w koalicji. Rozważa jedynie średni dystans graczy w koalicji. Model ten przypisałby więc takie samo co koalicji praw dopodobieństwo koalicji dwóch graczy odległych od siebie, powiedzmy o 2, co koalicji pięciu graczy usytuow a­

nych w odległości równej 2 każdy od każdego. W prowadzenie pełnej symetrii n graczy (gracze usytuowani w równych odległościach od siebie) sprow adzało­

by tę generalizację do klasycznej postaci indeksu D eegana-Packela14. Nie jest to więc poszukiwany model, który wolny byłby od wspom nianych wad. Rapoport i Golan (1985) słusznie zauważają, że ich konstrukcja jest tylko jed n ą z wielu m ożliw ych15.

Modyfikacje indeksów siły

Przy analizie problem atyki podejm owania decyzji w zgrom adzeniach decy­

zyjnych, którego zasadniczym elem entem są koalicje zawierane w tych zgro­

m adzeniach, wyróżnić należy dwa procesy - budowania oraz utrzym ania utw o­

rzonych koalicji. Obok narzucających się podobieństw łączących je, zasadni­

cza różnica polega na tym, że przy analizie trwałości istniejącej koalicji histo­

ria jej pow staw ania (w szczególności kolejność dołączania się poszczególnych graczy do porozum ienia) nie jest istotna. Taka koalicja ju ż istnieje i znaczenie graczy polega na m ożliwości rozbicia jej poprzez złam anie porozum ienia.

W przypadku analizy procesu konstruowania koalicji uw zględnić należy w szy­

stkie m ożliw e drogi tworzenia się porozum ień. W tej sytuacji siła gracza zw ią­

zana jest z zapotrzebow aniem na niego przy tw orzeniu koalicji - z jego m ożli­

wościam i przekształcenia koalicji przegrywającej w wygrywającą. U zasadnio­

ne wydaje się oczekiwanie, że łatwiej zbudować bardziej spójną (np. ideolo­

gicznie) koalicję niż koalicję składającą się z graczy znacznie różniących się od siebie poglądami.

M ożna więc mówić o dwóch koncepcjach indeksów siły: o indeksach tworze­

nia koalicji oraz o indeksach trwałości koalicji.

14 D la punktów idealnych graczy um ieszczonych w jednym punkcie, generalizacja ta je st nie­

określona.

15 Szczegółowe przedstaw ienie tej konstrukcji znajdzie Czytelnik w łatwo dostępnym tekście Rapoporta i G olan (1985). Jedną z wielu możliwych, odm iennych propozycji, nie bazujących je d ­ nak rów nież na żadnym zestawie postulatów przedstaw ili także D eegan i Packel (1982a).

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO J53

Postulaty

Poniżej przedstawiam postulaty, które powinny spełniać indeksy:

Dla indeksu tworzenia koalicji

• Tworzenie koalicji wymaga uwzględnienia wszystkich możliwych sposobów do­

łączania się kolejnych uczestników porozumienia, a więc wszystkich uporząd­

kowań zbioru graczy.

• Przestrzenna generalizacja indeksu siły, dla n graczy usytuowanych w równych odległościach od siebie oraz usytuowanych w jednym punkcie (zachowujących pełną symetrię) powinna dawać wynik identyczny z wynikiem symetrycznego

(klasycznego) indeksu siły.

• Bardziej prawdopodobną koalicją je s t koalicja bardziej spójna.

Dla indeksu trwałości koalicyjnej

• Prawdopodobne są tylko minimalne koalicje wygrywające (zob. kryterium wiel­

kości Rikera).

• Każdy uczestnik minimalnej koalicji wygrywającej ma ten sarn wpływ na je j trwałość.

• Trwałość koalicji utrzymywana je s t w drodze negocjacji, które przeprowadzane są według najkrótszej drogi (jeśli pom iędzy dwoma graczam i a i b znajduje się trzeci gracz c odległy od każdego z nich mniej, niż wynosi dystans dzielący gra­

czy a i b, wówczas c mediuje pom iędzy graczami a i by16.

• Przestrzenna generalizacja indeksu siły, dla n graczy usytuowanych w równych odległościach od siebie oraz usytuowanych w jednym punkcie (zachowujących pełną symetrię) powinna dawać wynik identyczny z wynikiem symetrycznego

(odpowiadającego mu) indeksu siły.

• Bardziej prawdopodobną koalicją je s t koalicja bardziej spójna.

16 W konsekw encji tego postulatu m iarą rozpiętości danej koalicji będzie długość dendrytu w rocław skiego rozpinającego tę koalicję. Dendryt w rocław ski to najkrótsze, niekoniecznie linio­

we, uporządkow anie zbioiu punktów usytuow anych w pewnej przestrzeni (tu: punktów idealnych w przestrzeni ideologicznej). D endryt taki je st w ynikiem zastosow ania m etody taksonom icznej zwanej taksonom ią w rocław ską (Florek i inni 1951; Perkal 1953; Styczeń 1971; Pociecha i inni 1988). W pierw szym etapie tej m etody łączy się punkty najm niej odległe od siebie. W ten sposób pow stają skupienia punktów zw ane skupieniam i (dendrytam i) pierw szego rzędu. Łącząc te skupie­

nia w edług najkrótszych odcinków łączących dane skupienie z innym otrzym am y skupienia dru­

giego rzędu. Procedurę tę należy kontynuow ać aż do utw orzenia dendrytu 1'ozpinającego cały zbiór obiektów.

Przestrzenna generalizacja indeksu budowania koalicji (nowa generaliza­

cja indeksu Shapleya-Shubika NGSS)

Konstruując nowy indeks siły dopuszczamy wszystkie uporządkowania zbio­

ru graczy (ujmując rzecz praktycznie: akceptowalne są wszystkie procedury for­

m owania koalicji). Odrzucamy jednak założenie o równym prawdopodobień­

stwie wszystkich uporządkowań. Prawdopodobieństwo to powinno być odwrot­

nie proporcjonalne do wielkości odległości między uczestnikami koalicji zm ie­

rzonej przy wykorzystaniu danej metryki.

O prawdopodobieństwie zawarcia przez graczy porozum ienia decyduje koszt zawarcia porozumienia, który jest m alejącą funkcją dystansu pomiędzy nimi.

Funkcja kosztów negocjacji będzie przyjmowała tym wyższe wartości, im więk­

sze bariery (dystanse ideologiczne) przyjdzie pokonać negocjatorom podczas konstruowania danego porozumienia. Z punktu widzenia graczy racjonalne w y­

daje się minimalizowanie kosztów budowania koalicji. Nie tylko ułatwi to zawar­

cie porozumienia, ale stworzy większe szanse na jego trwałość. M ożna również wprowadzić pojęcie koalicji optymalnej, a więc takiej, dla której funkcja ko­

sztów przyjm uje najm niejszą wartość.

Przyjmując to założenie, klasyczną wersję indeksu Shapleya-Shubika można zmodyfikować przyporządkowując każdemu uporządkowaniu wagę odwrotnie proporcjonalną do rozpiętości koalicji wygrywającej, utworzonej według tego uporządkowania. Jako m iarę rozpiętości takiej koalicji przyjąłem średnią odle­

głość pom iędzy wszystkimi graczami w podzbiorze całego zbioru graczy wyzna­

czonym przez gracza krytycznego w następujący sposób. Przy danym uporząd­

kowaniu do podzbioru (koalicji) należeliby wszyscy gracze z ciągu graczy, li­

cząc od pierwszego gracza do gracza kiytycznego. Zastosowanie takiego sposo­

bu oceny rozproszenia jest konsekwencją założenia o minimalizacji funkcji ko­

sztów budowania koalicji oraz przyjętego mechanizmu tworzenia koalicji. Dołą­

czenie do koalicji kolejnego uczestnika (kolejny gracz w danym uporządkowa­

niu) ma znaczenie dla wszystkich graczy, którzy poprzedzili go w budowaniu ko­

alicji. Im większy jest zatem łączny dystans pomiędzy wszystkimi parami graczy (suma odległości), tym większych wartości funkcji kosztów (przeszkód przy tworzeniu koalicji) należy się spodziewać. Zastosowanie średniej odległości, charakteryzującej rozproszenie koalicji, pozwala na niewłączanie do rozważań liczby uczestników koalicji. Klasyczna postać indeksu Shapleya-Shubika uwzględnia już bowiem złożone znaczenie liczebności w kontekście powstawa­

nia porozumienia, powtórne więc odwołanie się do liczebności (przypisując więc koalicjom wagi, które by były na przykład malejącymi funkcjami liczebności) niepotrzebnie tylko naruszyłoby koncepcję klasycznego indeksu Shapleya-Shu­

bika. Poza tym przyjęte przeze mnie rozwiązanie, w przypadku symetrycznego usytuowania punktów idealnych graczy w równej odległości od siebie, sprowa­

dzać będzie skonstruowany przeze mnie indeks do postaci klasycznego indeksu

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO ^ 5 5

Shapleya-Shubika. W ten sposób model wzbogacany jest wyłącznie o informa­

cję na temat przestrzennego usytuowania graczy. Tak skonstruowana waga jest podstaw ą wyznaczenia prawdopodobieństwa sformowania koalicji. Wartości wag są nieznormalizowane.

Rozważamy wszystkie uporządkowania zbioru N.

Niech π będzie pew ną perm utacją zbioru N, a {λ'π(|), χ π(2),..., *π(η)} wartością funkcji π(Ν).

Dla każdego uporządkowania zawsze pewien gracz jest graczem przekształ­

cającym koalicję przegrywającą w wygrywającą, czyli istnieje pewne k takie, że jc jest graczem krytycznym (decydującym) wobec koalicji {χπ(1), χ π(2),..., xn(k)}.

Zapiszemy to jako x K{k) = dec(7t).

Przy różnych regułach decyzyjnych (różnych wartościach q) różni gracze bę­

dą graczami krytycznymi. Zatem suma odległości pomiędzy wszystkimi parami graczy, przy danym uporządkowaniu, w podzbiorze od pierwszego gracza w tym uporządkowaniu do gracza krytycznego zależy od reguły decyzyjnej. Przez oznaczać będziemy rozproszenie koalicji wygrywającej, utworzonej przy upo­

rządkowaniu graczy π i regule decyzyjnej q. Określone jest ono przez średnią od­

ległość pom iędzy graczami w koalicji wygrywającej utworzonej w danym upo­

rządkowaniu. Będzie to więc iloraz wspomnianej sumy odległości pomiędzy wszystkimi dwójkami graczy takiego podzbioru, przez liczbę dwuelementowych podzbiorów graczy należących do koalicji

k-1 k

Σ Y j d i Xn(r)^n(s))

Λ ? _ r= 1 J=r+1___________________,

gdzie gracz. νπ(Κ) okazał się graczem krytycznym. Charakteryzuje on względne rozproszenie zbioru graczy uporządkowanych od gracza pierwszego do gracza krytycznego. Wagę przypisywaną koalicji wygrywającej utworzonej według da­

nego uporządkowania π i przy regule decyzyjnej q, składającej się z graczy o nie pokrywających się punktach idealnych będziemy oznaczać przez V% lv. Waga ta jest m iarą szansy sformowania tej koalicji wygrywającej. Vn jest odwrotnie pro­

porcjonalna do średniej odległości pomiędzy członkami tej koalicji. Zależy więc od rozproszenia graczy. Przypomnijmy, że symetryczny indeks Shapleya-Shubi­

ka każdemu uporządkowaniu przypisywał identyczną wagę (rów ną 1). Było to

17 Aby ograniczyć poziom skom plikow ania oznaczeń, w sym bolach odnoszących się do koali­

cji w ygryw ającej przy danej regule decyzyjnej, będę pom ijał sym bol ą. To, czy dana koalicja jest w ygryw ająca czy nie, zależy zaw sze od reguły decyzyjnej.

interpretowane jako równoważne przyjęciu równego praw dopodobieństwa wszy­

stkich dróg formownia koalicji wygrywających. W tym przypadku prawdopodo­

bieństwo to określa wspomniana waga (V% = ^ ? ).

n

Nową generalizacją indeksu Shapleya-Shubika głosującego xj (zapis: NGSS(xl)) jest liczba:

Ar^ocv.. a _ su m a waS tych uporządkow ań zb io ru N , w których x j e s t d ecydujący n: *, =</«: (n)Σ κ

J \jU i 3 i j ( X t J " ^ ~

sum a w a g w szystkich m ożliw ych uporządkow ań zb io ru N 7 Vn

neY\N Dla koalicji wygrywających o zerowym rozproszeniu (graczy o punktach ide­

alnych pokrywających się) można przyjąć stan pełnej symetrii (równoważnej anonimowości graczy). Uporządkowaniom wyznaczającym takie, nierozproszo- ne koalicje należałoby zatem przypisać identyczne prawdopodobieństwa (jak w symetrycznym indeksie Shapleya-Shubika). M iarą tego prawdopodobieństwa będzie waga V%. Tak ja k w indeksie Shapleya-Shubika będzie przyjmowała iden­

tyczną, niezerow ą wartość. Jeśli zatem w danej grze zaistnieje sytuacja, w której gracze zajmujący w przestrzeni to samo miejsce m ogą stworzyć koalicję wygry­

wającą, wówczas miara szansy sformowania innych koalicji wygrywających o niezerowym rozproszeniu przyjmie zerową wartość. M ożna bowiem z pow o­

dzeniem przewidywać, że, mając do wyboru wygrywające koalicje łączące odle­

głych graczy i koalicje pozbawione jakichkolw iek barier ideologicznych pom ię­

dzy członkami, gracze będą dokonywali wyboru wśród koalicji, których koszty utworzenia będą zerowe.

Przestrzenna generalizacja indeksu trwałości koalicyjnej (generalizacja poprawionego indeksu Deegana-Packela GPDP)

W przypadku generalizacji indeksu Deegana-Packela, zaproponowanej przez Rapoporta i Golan (1985) mankamentem było posłużenie się średnią, zamiast, jak w proponowanym przez mnie modelu, sumą odległości pomiędzy graczami.

Zależy mi bowiem na uwzględnieniu nie tylko „przestrzenności” koalicji (tak na­

leżało postąpić w przestrzennej generalizacji indeksu Shapleya-Shubika), ale również znaczenia liczby graczy. Im bowiem więcej graczy, tym większa możli­

wa suma odległości pomiędzy nimi. Poszukiwana poprawka do indeksu Deega­

na-Packela powinna polegać na zróżnicowaniu prawdopodobieństw m inimal­

nych koalicji wygrywających poprzez uwzględnienie m . in. liczby uczestników.

M iarą kosztu utrzym ania koalicji będzie długość rozpinającego j ą dendrytu wro­

cławskiego (określającego najkrótszą drogę porozumienia uczestników tej koali­

cji). Oznaczać będziemy ją dalej symbolem dc. Zatem każdej minimalnej koali­

cji wygrywającej można przyporządkować pew ną wagę — miarę szansy utrzym a­

nia jej w całości (miarę trwałości tej koalicji), odwrotnie proporcjonalną do ko­

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO I 5 7

sztu negocjacji trwałości tej koalicji. Tak rozum ianą wagą przyporządkowaną koalicji C będziemy oznaczać (analogicznie jak w przypadku generalizacji inde­

ksu Shapleya-Shubika) symbolem Vc (Vc = J - ) .

^c

Zgodnie z definicją minimalnej koalicji wygrywającej, wycofanie się z niej jakiegokolw iek uczestnika jest równoznaczne z przekształceniem jej w koalicję przegrywającą. M ożna więc przyjąć, że każdy uczestnik takiej koalicji ma iden­

tyczny, niezależnie od pozostałych, wpływ na jej trwałość. W skaźnikiem w pły­

wu każdego uczestnika danej minimalnej koalicji wygrywającej C na jej trwałość (przekształcenie koalicji wygrywającej w przegrywającą nazywam rozpadem koalicji wygrywającej) będzie zatem iloraz wagi koalicji przez liczebność tej ko­

alicji: Ze. Natom iast m iarą łącznego wpływu gracza na trwałość wszystkich mi- I ^ I

nimalnych koalicji wygrywających, w których uczestniczy, będzie suma takich wskaźników dla wszystkich minimalnych koalicji wygrywających, w których uczestniczy ów gracz.

Generalizacją poprawionego indeksu Deegana-Packela głosującego x. {za­

pis·. GPDP(xi)) jest liczba:

miara łącznego wpływu gracza x j na trwałość wszystkich MKW, w których uczestniczy

G PD P(x) = — —⁷— —— — --- ~ 1 miara trwałości wszystkich minimalnych koalicji wygiywających

a l b o b a r d z i e j f o r m a l n i e :

G P D P M ‘ ^ k

CeM

Zasadnicza różnica pomiędzy powyższą propozycją a klasycznym indeksem De­

egana-Packela oraz jego przestrzenną generalizacją autorstwa Rapoporta i Golan po­

lega na tym, że w tych ostatnich liczebność koalicji nie ma znaczenia dla jej trwało­

ści, a generalizacja poprawionego indeksu Deegana-Packela wielkość tę uwzględnia.

W danej grze wagi (Vc) przypisywane wszystkim minimalnym koalicjom wy­

grywającym o zerowej długości dendrytu (graczy o pokrywających się punktach idealnych) będą przyjmowały niezerowe wartości. Jeśli zaistnieje sytuacja, w której gracze zajmujący w przestrzeni to samo miejsce m ogą stworzyć m ini­

m alną koalicję wygrywającą, wówczas wagi (miary szans sformowania) dla in­

nych minimalnych koalicji wygrywających o niezerowej długości dendrytu przyjm ą zerow ą w artość18. Przy tym waga Vc koalicji o zerowej długości den-

18 U zasadnienie tego sądu je st analogiczne ja k dla generalizacji indeksu Shapleya-Shubika.

drytu będzie zależała wyłącznie od liczby uczestników koalicji C. Przypomnij­

my, że klasyczny indeks Deegana-Packela każdej minimalnej koalicji wygrywa­

jącej przypisywał identyczną wagę (równą 1). Oznaczało to przyjęcie kontrower­

syjnego założenia o równym prawdopodobieństwie wszystkich minimalnych ko­

alicji wygrywających, niezależnie od liczby uczestników. Waga Vc przypisywa­

na koalicji C przez now ą generalizację indeksu Deegana-Packela w sytuacji sy­

metrycznej powinna być odwrotnie proporcjonalna do jakiejś funkcji liczebności koalicji C.

Dysponujemy zatem dwoma indeksami siły posiadającymi tę sam ą podbudo­

wę teoretyczną - odwołują się do pojęcia funkcji kosztów budowania (utrzyma­

nia) koalicji, której minimalizacja określa prawdopodobieństwo utworzenia (trwałości) koalicji.

Obie, zaprezentow ane powyżej, przestrzenne generalizacje, dla zbioru N graczy o identycznych poglądach, a więc o punktach idealnych usytuow a­

nych w jednym punkcie lub usytuow anych sym etrycznie przedstaw iają ocenę siły graczy z pom inięciem wpływu przestrzennego ujęcia zgrom adzenia decy­

zyjnego. Przestrzenna generalizacja indeksu Shapleya-Shubika w obu sytua­

cjach przyjm uje postać klasycznego indeksu Shapleya-Shubika19. Analogiczne postępow anie, a więc usunięcie niesym etryczności ze zbioru graczy, w przy­

padku przestrzennej generalizacji poprawionego indeksu Deegana-Packela, po­

winno doprowadzić nas do poszukiwanej poprawki do symetrycznej postaci te­

go indeksu.

Symetryczny indeks siły trwałości koalicyjnej

Załóżm y symetryczne usytuowanie wszystkich n graczy - w równych odle­

głościach od siebie. W ówczas każdy gracz odległy jest od każdego z pozostałych o 1 (jednostkę),

W tej sytuacji długość dendrytu rozpinającego koalicję C (cl. ) będzie równa

|C| - 1.

Podstawiając tę wielkość do wyrażenia określającego wagę (Fc) przypisaną koalicji C po przekształceniach, otrzymamy wyrażenie określające symetryczną postać poprawionego indeksu siły Deegana-Packela. Indeks ten pozostaje ilora­

zem miary określającej łączny wpływ gracza na trwałość wszystkich minimal­

nych koalicji wygrywających, w których uczestniczy, przez m iarę trwałości wszystkich minimalnych koalicji wygrywających (w klasycznym indeksie Dee­

gana-Packela była to liczba minimalnych koalicji wygrywających).

19 Dowód tego tw ierdzenia gotów jestem zainteresow anym dostarczyć w razie potrzeby.

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO J 5 9

Zatem popraw iony indeks siły Deegana-Packela gracza x. określa wyrażenie:

1 P D P {x t ) =

Siłę /-tego gracza określa licznik powyższego wyrażenia. Jeśli licznik i m ia­

nownik tego wyrażenia pomnożyć przez 2, wówczas miara siły gracza x. będzie

Tak więc im więcej da się wydzielić z danej koalicji dwójek graczy, tym mniejsze znaczenie ma dla pozycji jej uczestników w zgromadzeniu decyzyjnym udział w tej koalicji. Od liczby owych dwójek uczestników koalicji zależy bo­

wiem liczba możliwych konfliktów, których zażegnanie jest warunkiem utrzy­

mania koalicji. Innymi słowy, im bardziej konfliktogenna koalicja, tym większe koszty jej utrzymania, a więc mniejsza szansa trwałości koalicji. W ten sposób otrzymaliśmy interpretowalną postać poszukiwanej poprawki.

W spółczynnik ideologizacji

Oba skonstruowane indeksy przestrzenne posiadają obecnie swoją wersję syme­

tryczną, odwołującą się wyłącznie do konfiguracji wag graczy i reguły decyzyjnej (kwoty), całkowicie abstrahującą od ideologiczności zgromadzenia decyzyjnego.

Porównanie wielkości wektorów siły pozwoli więc odpowiedzieć na pytanie o wpływ ideologii na siłę poszczególnych graczy w danym zgromadzeniu de­

cyzyjnym.

Niech K oznacza wektor, którego składowe są wartościami symetrycznego indeksu siły (SS oraz PDP), a GK - wektor wartości jego przestrzennej genera- lizacji (GSS i GPDP).

Zatem

I = G K - K

oznacza wektor różnic pomiędzy wskazaniami obu wersji indeksu dla poszcze­

gólnych graczy. Ujemna wartość składowej wektora oznacza więc, że usytuowa­

nie gracza w przestrzeni ideologicznej obniża jego znaczenie w zgromadzeniu.

W yznaczając zaś długość (normę) tego wektora (tj. pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów składowych tego wektora) otrzymamy miarę ideologizacji całego systemu:

||I|| = ||G K -K ||.

y 1

C eM |C | - 1

W skaźnik ten określa znaczenie ideologii w zgromadzeniu przy ustalonym sposobie podejmowania decyzji.

Proste przykłady

Zanim przedstawione indeksy zostaną wykorzystane do analizy rzeczywi­

stych sytuacji, warto przybliżyć ich niektóre własności, skonfrontować z podsta­

wowymi intuicjami. Posłuży temu rozważenie przykładów prostych gier dla róż­

nych konfiguracji graczy. W pierwszym przykładzie przedstawię przestrzenne generalizacje obu indeksów wraz ze wskaźnikiem ideologizacji. W drugim omówię niektóre własności symetrycznego indeksu trwałości koalicyjnej.

Przykład 3. Przestrzenne generalizacje indeksów siły w przestrzeni ideologicznej

• Charakterystyka gier

Jako ilustrację nowowprowadzonych modeli rozważmy gry jednow ym iaro­

we20 (911) przy różnych usytuowaniach graczy, przedstawionych za pom ocą m a­

cierzy odległości. W grach uczestniczy trzech graczy o równych wagach. Decy­

zje podejmowane są według reguły zwykłej większości.

Tabele przedstaw iają macierze odległości (dystansów ideologicznych) dzielą­

cych graczy. Rozważać będziemy sytuację równomiernego rozłożenia punktów graczy oraz przypadek skrajny.

Tabela 3. Punkty graczy skrajnych (a i c) usytuowane symetrycznie względem gracza medianowego (b)

a b c

a 0 1 2

b 0 1

c 0

Tabela 4. Punkt jednego z graczy skrajnycl łych graczy

a b c

a 0 100 101

b 0 1

c 0

20 Szczegółowe om ów ienie innych gier pełniej charakteryzujących om aw iane konstrukcje znaj­

duje się w mojej pracy doktorskiej.

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO J g J

• Analiza gier

W obu grach wskazania zmodyfikowanych indeksów przestrzennych będą identyczne, gdyż w tym przypadku wszystkie koalicje wygrywające uwzględnia­

ne przez indeks Shapleya-Shubika są zarazem minimalnymi koalicjami wygry­

wającymi, a poza tym są równie liczne, więc liczba uczestników nie różnicuje praw dopodobieństwa utrzymania (utworzenia) koalicji.

Dla przypadku jednowymiarowego, wedle generalizacji Shapleya-Owena gracz środkowy (medianowy) posiada całkow itą siłę. W rzeczywistości nie można wykluczyć koalicji „omijających” gracza medianowego. Należy wszakże oczekiwać, że będą one trudniejsze do sformowania. Zatem gracz medianowy powinien mieć największe znaczenie, jednakże musi się liczyć, że nie jest gra­

czem koniecznym do utworzenia koalicji wygrywającej. Fakt ten uwzględnia za­

równo indeks NGSS, jak i GPDP.

W sytuacji równomiernego usytuowania graczy (tabela 3) otrzymujemy takie wskazania indeksów symetrycznych oraz generalizacji Shapleya-Owena i zm o­

dyfikowanych wektorów siły:

SS = D P = PD P = [1/3; 1/3; 1/3]

GSS = [ 0 ; 1; 0]

NGSS = [0, 3 ; 0, 4; 0, 3]

G PD P = [0, 3 ; 0, 4; 0, 3]

oraz wskaźników ideologizacji:

I GXS, = [-0, 3 3 ; 0, 67; -0, 33], a ||IG5S|| = 0, 82

I IVGJS= [ · 0 ’0 3 i ° ’0 7 i - ° > 0 3 ]> a \ \ l NGSs\\ = 0 ’0 8

W = [-0’03; °’07; -°’03]’a li W ił = °’08

Jak widać, wszystkie indeksy symetryczne ignorują przestrzenne usytuowa­

nie graczy, natom iast indeksy przestrzenne w skazują na wzrost znaczenia gracza medianowego kosztem graczy skrajnych przy regule zwykłej większości. Wyra­

ziłem ju ż wcześniej moje wątpliwości co do skrajności oceny siły, generowanej przez model Shapleya i Owena.

Jeśli zwiększymy odległość jednego z graczy skrajnych od pozostałej dwójki (tabela 4), wówczas należy oczekiwać zmniejszenia się znaczenia „medianowości”

gracza b. Większe znaczenie powinno mieć to, że koalicja z ekstremistą jest ko­

sztowna (zarówno jej zbudowanie, jak i utrzymanie). Konstrukcja Shapleya i Owe­

na w ogóle nie odróżniała takiej sytuacji dla przypadku jednowymiarowego.

Dla przypadku jednowymiarowego z graczem a jako ekstrem istą otrzym uje­

my następujące wskazania zmodyfikowanych wektorów siły (wartości syme­

trycznych indeksów, rzecz jasna, pozostają bez zmian):

NGSS = [0, 0 1 ; 0, 495; 0, 495]

GPDP = [0, 0 1 ; 0, 495; 0, 495]

oraz wskaźników ideologizacji:

i « ® = [-°>3 2 ; o, i6 ; a II^ g J I = °>4 W = [-0 ’3 2 ; ° ’16; °>16]>a I I W I = °>4

Jak widać, przy tak znacznym ekstremizmie jednego z graczy zmniejsza się prze­

waga gracza b. Jest mu równie trudno się „dogadać” z graczem-ekstremistą, co

„umiarkowanemu ekstremiście” z przeciwnego bieguna (graczowi c). Dla obu umiar­

kowanych graczy, jak pokazują wskaźniki ideologizacji, konfiguracja ta jest korzyst­

na. Dla ekstremisty, naturalnie, zdecydowanie nie jest korzystna. Wyraźny wzrost zna­

czenia wskaźnika ideologizacji systemu wyraża znaczenie ideologii w tej grze.

Przykład 4. Klasyczny indeks Deegana-Packela oraz jego m odyfikacja Oto prosta ilustracja niektóiych własności symetrycznego indeksu trwałości koalicyjnej.

W przypadku gier, w których wszystkie minimalne koalicje wygrywające składają się z tej samej liczby graczy, wskazania indeksu Deegana-Packela (DP) oraz jego symetrycznej modyfikacji (PD P) są identyczne.

Rozważymy zatem grę [5: 3; 2; 1; 1; 1], w której minimalne koalicje wy­

grywające m ają różną liczebność.

Oznaczając graczy literami a, b, c, d oraz e, dla opisywanej gry możliwych jest 5 m inimalnych koalicji wygrywających: {a, b}, {a, c, d}, {a, c, e j, {a , d, e}

oraz {b , c, d, e j . Oto wyniki obliczeń:

Tabela 5. W skazania klasycznego oraz poprawionego indeksu Deegana-Packela (DP i PDP)

G r a c z W aga D P P D P *

a 3 0 , 3 0 0 0 , 35

b 2 0 , 150 0, 21

c 1 0 , 183 0 , 15

d 1 0 , 183 0 , 15

e 1 0 , 183 0 , 15

* wartości nie sumujące się do 1 wynikają z zaokrągleń.

Przedstaw iona powyżej gra pozw ala zaobserw ow ać interesującą własność indeksu D eegana-Packela polegającą na m ożliw ości przypisania m niejszej si-

STANOWISKO IDEOLOGICZNE A ZNACZENIE UCZESTNIKA ZGROMADZENIA DECYZYJNEGO J 5 3

ły graczowi o większej wadze. W przykładzie graczowi b, m im o jeg o wagi większej niż graczy c, d oraz e (2 wobec 1) indeks D eegana-Packela przypo­

rządkow uje m niejszą siłę (0 , 15 wobec 0 , 183). Jest to zw iązane ze w spom nia­

nym założeniem o rów nym praw dopodobieństw ie w szystkich m inim alnych koalicji wygryw ających. Popraw iony indeks D eegana-Packela, przypisujący m niejsze szanse utrzym ania w iększym koalicjom , w pow yższym przykładzie nie odw raca uporządkow ania graczy w stosunku do porządku w edług liczby głosów.

Zastosowania zmodyfikowanych indeksów siiy

W tej części artykułu przedstawię niektóre zastosowania przestrzennych inde­

ksów siły do analizy procesów decyzyjnych w zgromadzeniach politycznych.

Posłużę się przykładem Sejmu III kadencji w trzecim roku pracy (pierwsze pół­

rocze 2000 roku). Porównam wyniki uzyskiwane za pom ocą symetrycznych in­

deksów siły oraz ich przestrzennych generalizacji. Przedstawię też wskazania współczynników ideologizacji, zarówno dla poszczególnych graczy, jak i całego systemu.

Poniższa tabela przedstawia strukturę niższej izby naszego parlamentu w pierw­

szej połowie 2000 roku.

Tabela 6. Podział miejsc w Sejmie III kadencji w I połowie 2000 roku

G ra c z L ic z b a m ie js c (w a g a g ra c z a )

A W S 188

S L D 164

U W 59

P S L 26

N K 7

K P N 6

R O P 4

n ie z r z e s z e n i 6

R a z e m 4 6 0

* P o s łó w n ie z r z e s z o n y c h b ę d ę d a le j tr a k to w a ł ja k o je d n e g o g ra c z a o w a d z e 6.

Konstrukcja zaprezentowanych w poprzednim rozdziale przestrzennych ge­

neralizacji indeksów siły wymaga odwołania do m acierzy odległości pomiędzy graczami. Do jej konstrukcji wykorzystałem wyniki badań zrealizowanych