M ikołaj Jasiński
Uniwersytet Warszawski
C Z Y Z A W SZ E W IĘ K SZY JE S T S IL N IE JS Z Y , C ZY LI JA K ZM IERZY Ć SIŁĘ UCZESTNIKÓW ZG ROM A DZEŃ D EC Y ZY JN Y C H ?1
Autor omawia w artykule problem określenia pozycji glosujących w zgromadzeniu podejmującym wspólną decyzję. Kwestia, wydawałoby się, zupełnie oczywista i łatwa do wyjaśnienia, po uwzględnieniu możliwości porozumiewania się uczestników zgromadzenia decyzyjnego, okazuje się niejednoznaczna. Jej ocenie służą parametry zwane indeksami siły.
Autor prezentuje wybrane, najczęściej opisywane w literaturze indeksy siły (indeksy:
Shapleya-Shubika, Banzhafa-Colemena, Johnstona oraz Deegana-Packela) oraz porównuje ich własności analizując postulaty, które spełniać powinna pewna, intuicyjna miara siły.
Szczególną uwagę zwraca niespelnianie postawionych postulatów, zwane paradoksami. Na przykładzie analizy polskiej sceny politycznej autor prezentuje użyteczność niektórych paradoksalnych własności indeksów siły.
Główne pojęcia: Banzhaf, Deegan-Packel, gracz, koalicja, indeks siły, Johnston, postu
lowane własności indeksów siły, prekoalicja, Shapley-Shubik, ważony system głosowania.
Zasadniczym problem em , przed którym stają obserw atorzy i badacze zachow ań politycznych w zgrom adzeniach podejmujących decyzje, jest p o rów nanie siły uczestników tych zgromadzeń. Najprostszym sposobem oceny pozycji uczestników wydaje się liczba głosów (miejsc lub udziałów) posiadanych w parlam encie (na walnym zgrom adzeniu) przez dane ugrupow anie (udzia
łowca). Partie polityczne, oczekując, że ich wpływy będą proporcjonalne do liczby zdobytych miejsc, a przynajmniej będą równe wpływom innych ug ru
pow ań dysponujących tak ą sam ą ilością głosów, walczą o ja k największą liczbę miejsc w parlamencie.
Instytut Socjologii Uniwersytetu Warszawskiego, 00-324 Warszawa, ul. Karowa 18, e-mail:
mikoj@is.uw.edu.pl.
1 Autor dziękuje za pomoc w dotarciu do literatury prof, dr hab. Honoracie Sosnowskiej i dr hab. Marcinowi Malawskiemu oraz za uwagi Jackowi Hamanowi, prof, dr Markowi Kamińskiemu, d r Markowi Styczniowi, prof, dr Piotrowi Świstakowi oraz anonimowym recenzentom. Przede wszystkim jednak dziękuję za pomoc prof, dr hab. Grzegorzowi Lissowskiemu, bez którego cierpliwości i komentarzy tekst ten z pewnością by nie powstał.
N aw et w m ało precyzyjnych, czysto opisowych analizach funkcjonow ania parlam entu pojaw iają się elementy wykraczające poza zwykłe zestawienie liczby głosów, którym i dysponują uczestnicy politycznych gier. N ikogo nie dziwi drastyczna zm iana pozycji klubu Sojuszu Lewicy Dem okratycznej w naszym Sejmie, k tó ra nastąpiła w ciągu ostatnich dwóch kadencji. Sojusz, główny filar wszystkich gabinetów z okresu II kadencji Sejmu, w zasadzie przestał być po 1997 ro ku brany p o d uwagę jak o realny konkurent przy budow aniu koalicji rządowej, czy jak o członek alternatywnej koalicji rządowej. A przecież owa zm iana to jedynie 7 m andatów mniej w obecnej kadencji! K ażdy obserw ator sceny politycznej słusznie zwróci w takiej sytuacji uwagę na zmianę całego u kładu sił w III kadencji Sejmu - na to, że SLD przestał być największym klubem w parlam encie, że w Senacie bezwzględną większość m ają senatorowie Akcji W yborczej Solidarność. D o d a również, że przy głosowaniach wym aga
jących innej większości niż większość bezwzględna, Sojusz odgrywa jednak bardzo istotną rolę oraz że niebagatelne znaczenie m a bliskość polityczna Sojuszu i prezydenta dysponującego prawem weta. Generalnie, argum entem będzie „zm iana uk ładu sił” w naszym parlamencie. Podobnie, cechami struk tury decyzyjnej naszego zgrom adzenia ustawodawczego tłumaczy się pozycję Polskiego Stronnictw a Ludowego. W rozgrywkach politycznych posłowie PSL odgrywają często nie mniejszą rolę niż posłowie SLD, pom im o pięciokrotnego spadku reprezentacji parlam entarnej stronnictw a i w konsekwencji klubu sześciokrotnie mniejszego niż klub SLD.
W analizach tego typu wykorzystywane są indeksy siły, to jest funkcje, które określają pozycję poszczególnych uczestników zgrom adzenia przy ustalonej regule podejm ow ania decyzji.
Podstaw ow e zadania stawiane przed indeksam i siły, to:
• określenie względnej siły poszczególnych uczestników zgrom adzenia podej
mującego decyzję ze względu n a zapotrzebow anie na nich przy tworzeniu koalicji wygrywających;
• przedstawienie znaczenia (a w konsekwencji oczekiwanych udziałów przy podziale stanow isk np. w rządzie) koalicjantów w danej koalicji;
• zbadanie opłacalności koalicji dla jej uczestników, a przez to na przykład jej oczekiwanej stabilności.
W tym artykule dokonam przeglądu najczęściej spotykanych indeksów siły oraz ich własności. Zaprezentuję cztery indeksy, najczęściej dyskutow ane w literaturze: historycznie najstarszy indeks Shapleya-Shubika, zaprezento
wany po raz pierwszy w 1954 roku, indeks Banzhafa, zaprezentowany w 1965 roku, nazywany nieraz indeksem Banzhafa-Colem ana, indeks John sto na przed
stawiony w 1978 ro k u oraz indeks Deegana-Packela przedstaw iony po raz pierwszy w 1978 roku. Problem pom iaru siły pojawił się w literaturze światowej od 1953 roku, od artykułu L.S. Shapleya „A value for n-person games” , a następnie tekstu z 1954 ro ku L.S. Shapleya i M . Shubika „A m ethod o f evalu
ating the distribution o f pow er in a comm ittee system” . W naszym kraju indeksy siły zaczęły być powszechniej prezentow ane dopiero po rozpoczęciu w Polsce procesu dem okratycznych przem ian, czyli po 1989 roku. T rudno się tem u dziwić, wcześniej bowiem analiza n a przykład względnej siły partii usta
lanej na podstaw ie liczebności i konfiguracji ugrupow ań w sejmie, w sytuacji faktycznej dyktatury jednego ośrodka decyzyjnego, znajdującego się n a d o datek poza parlam entem (Biuro Polityczne PZPR ), nie m ogła w naszych w arunkach wyjść poza teoretyczny poziom rozw ażań2. M im o to już wtedy pojawiły się, nieliczne jeszcze, polskie publikacje poświęcone problem atyce indeksów siły. Były to prace J. M ercika (1988, 1990, 1999) J. H ołubca i J. M ercika (1992) i G. G am barellego i J. H ołubca (1990). Po 1989 ro k u tru d ny do przecenienia wpływ n a upowszechnianie wiedzy o indeksach siły m ają publikacje H. Sosnowskiej (1998, 1999), M . M alawskiego (1997) oraz M . M alawskiego, H . Sosnowskiej i A. W ieczorka (1997). Pośród innych naszych rodzim ych autorów , do których opracow ań dotyczących indeksów siły udało m i się dotrzeć, wymienić należy również m .in. A. M łodaka (1998a, 1998b). N adal jed n ak głównym źródłem informacji o indeksach siły pozostają zagraniczne publikacje.
Indeksy siły, którym i będę się zajmował, należą do kategorii zwanej indeksam i a priori - ich obliczenia są związane tylko z przeglądem różnych możliwych koalicji, które traktuje się jak o równie praw dopodobne, bez względu n a zachow ania głosujących, ich preferencje i wzajemne orientacje. Poszczegól
nych graczy (np. kluby poselskie) traktujem y jak o m onolity abstrahując od ich wewnętrznego zróżnicow ania. A naliza uwzględniająca wewnętrzne zróżnicowa
nie poszczególnych klubów czy koalicji wynikające z różnorodności interesów poszczególnych głosujących czy zhierarchizowanie badanych grup stała się podstaw ą innej kategorii indeksów zwanych dynamicznymi indeksami siły.
Indeksy a priori biorą p od uwagę różne aspekty. Jeden traktuje siłę jako spodziewany udział w pewnym stałym, wspólnym zasobie dóbr, k tóry m ógłby zostać podzielony wśród członków zwycięskiej koalicji. D rugi - jak o m iarę możliwości wpływu na wynik głosowania, k tó rą m ożna by wiązać z ceną za poparcie danej decyzji przez uczestnika głosowania.
J a k widać, zaprezentuję tylko niewielką, w ybraną część w całej rodzinie indeksów siły. N asuw a się więc pytanie o źródła tak wielkiej różnorodności ilościowych m iar siły. Jak o robocze pytanie stawiam sobie następującą kwestię:
czy lepiej poszukiw ać jednej, zobiektywizowanej, syntetycznej m iary siły (dysk
walifikując te indeksy, które nie spełniają wymogu uniwersalności), w pełni opisującej pozycję uczestników procesów decyzyjnych w zgrom adzeniach, czy, badając specyfikę poszczególnych indeksów, raczej próbow ać precyzyjniej przypisać im różnorodne zastosowania.
2 Nie było też odpowiednio dużych zgromadzeń akcjonariuszy, by sens miała analiza indeksów siły.
Stając przed tym zupełnie nieoczywistym problem em prezentuję wybrane kryteria, postulaty, które pozw olą bliżej scharakteryzow ać poszczególne indek
sy. K ryteria te okazują się niejednokrotnie paradoksam i, gdyż wyrażają pewne oczekiwania, jakie m ożna by racjonalnie stawiać przed indeksam i siły, a nie są spełniane przez niektóre (bądź wszystkie) indeksy.
D ru g a część tekstu poświęcona jest zastosowaniom i interpretacji indek
sów siły. Om awiam w niej wyniki obliczeń dla aktualnej konfiguracji klubów i kół poselskich w polskim Sejmie oraz w sejmiku województwa m azowiec
kiego.
W spom inam również interesującą i użyteczną modyfikację indeksu zwaną indeksem z prekoalicjam i. Przedstawiam ją dla indeksu Shapleya-Shubika (indeks Shapleya-Shubika z prekoalicjam i zaproponow ał G. Owen w 1977 roku), choć funkcjonuje w literaturze również jak o zm odyfikowana wersja innych indeksów (M łodak 1998a, 1998b).
Indeksy siły Indeksy siły a priori i ich własności
Proste gry decyzyjne
Większość gier parlam entarnych m ożna przedstawić jak o proste gry, w k tó rych uczestnicy gry m ogą opowiedzieć się za danym wnioskiem lub przeciw niemu. Decyzja całego zgrom adzenia m a również charakter dychotom iczny i polega na przyjęciu bądź odrzuceniu tego wniosku. Jedynym sposobem przyjęcia wniosku jest poparcie go przez większość określoną przez ustaloną regułę decyzyjną (często jest to zwykła większość, a niekiedy różne kwalifikowa
ne większości głosów). Będziemy rozważali tzw. ważone systemy głosowania, czyli takie, w których każdem u głosującemu przyporządkow ana jest nieujemna liczba rzeczywista, tzw. waga, a warunkiem koniecznym i wystarczającym przyjęcia w niosku jest osiągnięcie przez koalicję głosujących za nim ustalonej przez regułę decyzyjną kwoty, czyli sumy wag lub głosów większej niż połow a sumy wag (głosów).
Z biór uczestników gry będziemy oznaczali przez N , a jego poszczególnych uczestników m ałym i literami, tj. N — {a, b, c, ...}. F unkcja f przyporządkowuje poszczególnym uczestnikom gry ich wagi: /(a ), J{b), j{c) itd.
K w otę będziemy oznaczali przez q, przy czym m oże być ona w yrażona przez liczbę całkow itą (sum a głosów) lub też w postaci odsetka (udziału) sumy wag.
W ażony system głosowania, określony przez dwie wielkości: kwotę i wektor wag, będziemy zapisywali w następującej postaci: [q'· Α α)'·> A ^ )\ K c)\ ...].
K oalicją będziemy nazywali podzbiór uczestników gry i oznaczali dużymi literami: A , B, C. Koalicję C uczestników gry będziemy nazywać koalicją
wygrywającą, jeżeli Σ / (a) ^ q. W przeciwnym razie koalicja będzie koalicją przegrywającą. Z biór wszystkich koalicji wygrywających będziemy oznaczali przez W, a przegrywających przez P. Oczywiście W u P = 2N oraz N e W.
Ponieważ fakt, że d an a koalicja jest wygrywająca, zależy jedynie od sumy wag jej uczestników, więc ( Be W a B c: Q = > C ^ W .
Z biór wszystkich m inim alnych koalicji wygrywających (takich, które po w ycofaniu się z nich dowolnego gracza stają się koalicjami przegrywającymi) będziemy oznaczali przez M (oczywiście M c: W). M ożna to zapisać następują
co: M = { C : C e
w
Λ V ae C : C - {o} φ W}.Oznaczmy pewien indeks względnej siły przez K( ). Powiemy wówczas, że indeks ten jest znorm alizowany, jeśli:
Va e N : 0 ^ K(a) < 1 oraz = 1.
Proste przykłady3
Poniższe trzy przykłady pozwolą Czytelnikowi na przybliżenie pojęcia, na razie traktow anego ogólnie, indeksu względnej siły uczestników zgrom adzenia decyzyjnego.
P rzykład 1.
Rozważmy system głosowania: [6: 4; 4; 2]
czyli taki, w którym m am y łącznie 10 głosów, a do podjęcia decyzji potrzeba większości bezwzględnej.
W agi, ja k widać, są zróżnicowane. A co m ożna powiedzieć o poszczegól
nych graczach w kategoriach zapotrzebow ania przy podejm ow aniu decyzji przez całą dziesięcioosobową grupę?
G ru p a dw uosobow a (gracz o wadze równej 2) jest w tej samej sytuacji co pozostali, poniew aż koalicja wygrywająca (taka, której sum a wag osiąga kw otę rów ną 6) m oże zostać utw orzona przez każdą parę graczy. Jeśli więc siła głosującego to odpowiednia część całości, jak ą stanowi grupa, to w ektor siły przy podejm ow aniu decyzji powinien w tym systemie być następujący: (1/3; 1/3; 1/3).
P rzykład 2.
Sytuacja tutaj różni się tylko regułą decyzyjną: do podjęcia decyzji potrzeba osiągnąć nie bezwzględną, lecz kwalifikowaną większość 2/3 łącznej liczby głosów, czyli kw ota w zrasta o 1 głos - z 6 na 7. W agi wszystkich graczy pozostają nie zmienione.
M am y system głosowania: [7: 4; 4; 2].
A co z siłą każdego z graczy?
Trzeci gracz o wadze 2 traci swoje znaczenie - nie jest potrzebny w żadnej koalicji wygrywającej.
3 Systemy głosowania z przykładów 1 - 3 pochodzą z opracowania Gambarellego i Hołubca (1990).
W ektor siły nowego systemu: (1/2; 1/2; 0).
Jak widać relatywna siła graczy w procesie podejmowania grupowej decyzji nie tylko nie zachowuje proporcji wag, ale nawet gracze o różnych wagach m ogą mieć identyczne znaczenie. Intuicyjny „indeks” siły, jakim jest liczba czy odsetek głosów (waga), gracza istotnie odbiega od proponowanego, ogólnego na razie modelu.
P rzykład 3.
Pozostajemy przy tej samej kwocie. Zróżnicujmy natom iast nieco rozkład wag.
M am y system głosowania: [7: 5; 3; 2].
T u określenie relatywnej siły poszczególnych graczy nie jest ju ż tak jasne i jednoznaczne ja k powyżej. W eźmy następujące wektory:
(2/3; 1/6; 1/6), (3/5; 1/5; 1/5) oraz (1/2; 1/4; 1/4). N a pytanie, który z nich tym razem najlepiej określa relatywną siłę poszczególnych graczy, spróbujemy odpo
wiedzieć wykorzystując ten przykład przy prezentacji kolejnych indeksów siły.
Postulowane własności indeksów siły
Zanim zaprezentuję poszczególne indeksy siły przedstawię pewne racjonalne oczekiwania, postulaty, czy kryteria dotyczące indeksu siły jak o takiego. Nie jest to kom pletny zestaw postulatów racjonalności idealnego indeksu siły4.
Pozwolą one jednak n a pełniejszą prezentację om awianych przeze m nie indek
sów. R ozw ażania te dotyczyć będą indeksów siły a priori, a więc nie będą zakładać nic n a tem at relacji pom iędzy graczami. W obec założenia o ważonych systemach nie będziemy też w tej części rozważać postulatów związanych n a przykład z wieloizbowością parlam entu. Postulaty dopuszczające ograniczenia kooperacji niektórych graczy oraz dotyczące dwuizbowego parlam entu omówię w dalszej części artykułu.
Postulat nieistotnego gracza
Jeżeli w rozpatryw anym systemie dany gracz (głosujący, klub, akcjonariusz) nie jest niezbędny do tego, aby jakakolw iek koalicja była koalicją wygrywającą (nie wnosi żadnej dodatkow ej siły do żadnej koalicji), to indeks siły powinien dla takiego gracza przyjm ować w artość rów ną 0.
a - gracz nieistotny, czyli ~ (3 C : C e Μ λ a e C) => K(a) = 0
G raczem nieistotnym jest trzeci gracz z cytowanego powyżej przykładu 2.
Postulat anonimowości
W artość indeksu siły nie pow inna zależeć od uporządkow ania wag w sys
temie. Innym i słowy: niezależnie od tego, ja k zapisujemy strukturę systemu: [ą\
Λα)·, Ab)·, Ac)], [q- Ab)·, Aa); Ac)], [q· Ab); Ac); Aa)] itd., otrzym am y ten sam zestaw koalicji wygrywających i przegrywających - we wszystkich przypadkach
4 Wykorzystuję tutaj zestawienia przedstawione przez Taylora (1995), Hołubca i M erdka (1992), M erdka (1999) oraz Falsenthala i Machovera (1995).
powinniśm y uzyskać taki sam w ektor siły graczy z dokładnością do takiego samego uporządkow ania składowych w ektora siły. Podstaw ą wartości indeksu siły przypisanej graczowi pow inny być jedynie wagi jego i pozostałych graczy, a nie ich etykiety.
Postulat monotoniczności
Jeśli pewien gracz m a w danym systemie wagę większą od wagi drugiego gracza, to jego siła pow inna być nie mniejsza od siły tego ostatniego, czyli Vi¥=j:
A * i) > A x ) => K (x t) ^ K(xj) Postulat donacji
Indeks siły K (-) spełnia kryterium donacji jeśli jego w artość dla pewnego gracza a nie wzrośnie w sytuacji, kiedy gracz ten „o dd ał” część swojej wagi innem u graczowi i jest on jedynym takim graczem w rozważanym systemie (jeśli przez IC( ) oznaczymy w artość indeksu siły w nowym, przekształconym sys
temie, to oznacza to, że K(a) ^ K {aj).
Postulat bloku
W razie połączenia się w blok dwóch graczy takich, że jeden z nich jest graczem istotnym , indeks siły tego bloku powinien być większy od indeksu siły gracza, do którego dołączył się gracz istotny.
P ostulat ten m ożem y zapisać następująco:
a, b - uczestnicy głosowania K{b) > 0 => K ({a }u {b }) > K(a)
Intuicyjnie m ożna ten postulat przedstawić następująco: tru dn o sobie wyobrazić, żeby ktokolw iek, łącząc swoje siły z kimś na kogo jest zapo
trzebow anie w koalicjach, nie liczył n a wzrost znaczenia.
Postulat nowych członków
W raz z dodaniem nowych uczestników gry, przy stałym odsetku głosów potrzebnych do podjęcia decyzji (kwota) i przy zachow aniu proporcji pomiędzy
„starym i” graczami oczekujemy, że siła „starych” uczestników zmaleje, „roz
rzedzi się” . Jeśli indeks siły norm ow any jest do jedności, to m ożna oczekiwać, że w raz z przydzieleniem nowem u graczowi pewnej niezerowej wartości indeksu siły, a więc wraz z „zajęciem” przez niego pewnej części całkowitej siły (traktow anej jak o rów na 1) nastąpi proporcjonalne obniżenie wartości indek
sów wszystkich pozostałych graczy.
W dalszych, bardziej szczegółowych rozw ażaniach na tem at indeksów siły będę odwoływał się do przedstaw ionych powyżej pożądanych własności. N ie
które z nich spełniają wszystkie prezentow ane indeksy (postulat nieistotnego gracza i postulat anonim owości), pozostałe naruszają wszystkie bądź niektóre indeksy siły. Ze względu n a przeglądowy charakter tego tekstu postulaty te nie
m ają być p odstaw ą analiz definicji aksjom atycznych poszczególnych indeksów.
M im o niewątpliwej elegancji i większych możliwości analitycznych stwarzanych przez definicje form ułow ane za pom ocą układu aksjom atów , poprzestanę na definiowaniu indeksów za pom ocą algorytmów.
Wybrane indeksy siły
Indeks siły Shapleya-Shubika
Jest to historycznie pierwszy z indeksów siły - szczególny przypadek wartości Shapleya dla prostych gier znorm alizowanych według (0,1)5.
Rozważamy zbiór graczy w ważonym systemie głosowania. Zbadamy wszyst
kie możliwe uporządkow ania wszystkich graczy. W ówczas indeksem Shapleya- Shubika dla pewnego gracza x jest liczba między Oi l , k tó ra pokazuje, w jakiej części porządków budow ania koalicji jest on graczem decydującym o jej staw aniu się koalicją wygrywającą, czyli takim , który dokładając swój głos do danej koalicji przekształca ją z przegrywającej w wygrywającą.
Niech dany będzie system głosowania [q\ f [ x 2)',··· A x n)] dla zgro
m adzenia N = {xj , x 2,—, *„}■
Niech π będzie pewną perm utacją N , zaś χ π^ , . . . , - upo rząd kowaniem zbioru N według tej perm utacji.
Niech \A\ oznacza liczebność pewnego zbioru A.
D la każdego uporządkow ania istnieje pewne k takie, że jest decydujące o tym, że koalicja {χπ(1), x ną y . · , ^ ę k-i)} Jest przegrywająca, a koalicja {χπ,1)5 χ π(2),..., jest wygrywająca. M ówimy, że gracz xk jest decydujący, albo krytyczny dla tej perm utacji π, co zapisujemy jak o dec(n).
Indeksem Shapleya-Shubika głosującego x { (zapis: S S (x l)) jest liczba:
SS(*,) = ! i E Ś E S = t i . a więc
liczba uporządkow ań zbioru N , gdzie x t jest decydujący S S (Xi) =
łączna liczba możliwych uporządkow ań zbioru N
Dzięki tem u, że m ianow nik (n!) jest równy łącznej liczbie perm utacji zbioru N , S S ( ) spełnia, opisane wcześniej, w arunki indeksu znormalizowanego:
0 ^ S S & i) < 1 o r a z S S (x t) — l 6.
5 Przypomnę, że jeśli rozważamy wieloosobowe gry kooperacyjne, to mówimy, że gra z funkcją charakterystyczną v jest znormalizowana według (0,1) jeśli: v({/}) = 0 dla każdego gracza i ze zbioru N wszystkich graczy, oraz v(N) — 1. Bardziej szczegółowe opracowanie problemu znaj
dzie Czytelnik w dowolnym podręczniku teorii gier.
6 Przy prezentacji pozostałych indeksów siły, poza stwierdzeniem znormalizowania, nie będę przypominał już szczegółowo jego cech.
Przykład.
Powróćm y do przykładu 3 (przypom nijmy, rozważam y system: [7: 5, 3, 2]).
W ektor (2/3, 1/6, 1/6) odpow iada wartości S S ( ). A by to zobaczyć rozpatrzm y wszystkie możliwe uporządkow ania trzech graczy a, b, c o w agach odpowied
nio: 5, 3, 2:
a b c b a c b c a c b a c a b a c b
G racze zaznaczeni wytłuszczoną czcionką, to gracze decydujący. Ja k widać, na sześć możliwych porządków (3!), gracz a jest decydujący w czterech przy
padkach (stąd SS(a) = 4/6), gracz b i c - każdy w jednym przypadku (SS(b )
= SS(c) = 1/6). Stąd wynik.
W idać też, że nie jest spełniona tu intuicja o zgodności wag i sił.
Indeks siły Banzhafa-Colemana7
Indeks Shapleya-Shubika m ożna interpretow ać w kategoriach pow staw ania koalicji przez uwzględnienie perm utacji głosujących. Ocena siły danego głosują
cego związanej z m ożliwością rozbicia przez niego koalicji wygrywającej (koalicja ju ż jest i nie odróżniam y porządków ) prowadzi do indeksu Banzhafa.
Z p u n k tu widzenia uczestnika wygrywającej koalicji, którego odejście z niej byłoby krytyczne, porządek pow staw ania tej koalicji jest zupełnie obojętny.
Indeksem Banzhafa całkowitej siły (C SB (x kj) będziemy nazywać liczbę koalicji C spełniającą 3 w arun k i:
1. x k jest członkiem C.
2. C jest koalicją wygrywającą.
3. Jeśli x k usunie się z C, wtedy C przestaje być wygrywającą („odejście x k jest dla C krytyczne” ).
Form alnie m ożem y tę definicję zapisać następująco:
C SB (xk) = \{C: C e W λ C -{xk}$W}\, lub równoważnie:
C SB (xk) = |{C: C $ W a C u { x k} e W}\,
C SB (xk) jest więc liczbą całkowitą, nie zaś udziałem pom iędzy O i l . Żeby stworzyć ułam ek korespondujący z S S ( j znormalizujmy CSB( ).
Indeksem Banzhafa względnej siły gracza xk jest liczba:
B (xk) = CSB(-Xk) . I CSB(Xi) Przykład.
W yznaczmy w artości indeksu Banzhafa dla naszego prostego systemu [7: 5; 3; 2],
7 W dalszej części pracy będę używał określenia: „indeks Banzhafa” . W niektórych inter
pretacjach tego indeksu korzystam z wniosków Hołubca i M erdka (1992) oraz Taylora (1995).
Obserwacja:
M eto da liczenia, k tó rą zaproponuję, wykorzystuje wartościową obserwację dotyczącą koalicji. W eźmy pewnego gracza x. R ozpatrując zbiór koalicji zwycięskich rozważm y trzy jego rozłączne podzbiory:
Z „ x - koalicje wygrywające, które nie zawierają gracza jc;
Z +x - koalicje wygrywające, które pow stają z Z „ x przez dołączenie do nich gracza x , czyli Z +x = Z ^ x u { j c };
Ζ χ - pozostałe koalicje wygrywające.
Przy tym Z „x \j Z +x u Z x = W.
W arto zwrócić uwagę, że gracz x jest graczem krytycznym tylko w k o a licjach Z x (o ile takie w ogóle istnieją). Porzucenie przez niego którejkolwiek z koalicji ze zbioru Z +x nie powoduje, że koalicja przestaje być wy
grywająca. Poza tym liczebności Z „ x oraz Z +x m uszą być identyczne. Wiemy, że zbiór wszystkich koalicji wygrywających, w których uczestniczy x rów na się Z +x u Z x (wobec rozłączności zbiorów: |Z +x u Z x\ = \Z +X\ + \ZX\).
Stąd, żeby otrzym ać liczbę koalicji wygrywających, w których gracz x jest graczem krytycznym (C S B (x )= \Z x\) m ożna od liczby wszystkich koalicji wygrywających, w których uczestniczy x , odjąć liczbę koalicji wygrywających, które go nie zawierają ( \Z „ X\). Łatwiej bowiem określić liczbę koalicji wy
grywających, w których dany gracz nie uczestniczy niż liczbę tych koalicji, w których jest krytyczny.
Obserwację tę wykorzystuje poniższa m etoda:
Tabela 1. Obliczanie indeksu Banzhafa dla przykładu 3 GRACZE Koalicje wygrywające: a b c
{a,b} + 1 +1 -1
{a,c} + 1 -1 +1
{a.b.c} + 1 +1 +1
suma, czyli CSB( ) 3 1 1
2?() 3/5 1/5 1/5
D anem u graczowi przyporządkowujem y liczbę + 1 jeśli należy do danej koalicji wygrywającej, w przeciwnym w ypadku przyporządkowujem y m u liczbę -1. Jak widać każdy z graczy jest krytyczny w mniejszej liczbie koalicji wygrywających (C SB (-)) niż przy rozw ażaniu indeksu Shapleya-Shubika, ale też liczba w ogóle rozw ażanych koalicji jest tu mniejsza.
W ten sposób otrzym ujemy dla naszego systemu następujący w ektor siły:
(3/5; 1/5; 1/5) - jeden z proponow anych na początku.
Indeks siły Johnstona8
Indeks Jo h n sto n a bazuje n a pomyśle, że n a siłę gracza pow inno wpływać to, czy w koalicji wygrywającej jest on jedynym uczestnikiem, którego defekcja jest krytyczna (jego siła pow inna być większa), czy też wszyscy dysponują tak ą możliwością (siła tego gracza pow inna być mniejsza).
Indeks całkowitej siły Johnstona (ozn. C SJ(xk)) wyraża się następująco:
Niech C j, ..., Cj oznaczają wygrywające koalicje, dla których wyłamanie się x k jest krytyczne.
Niech n j oznacza liczbę graczy, których wyłamanie się z C j jest krytyczne itd. aż d o nj oznaczającego liczbę graczy, których wyłamanie się z Cj jest krytyczne.
Wówczas: , .
csJ(xk) = h-n.
Indeksem Johnstona względnej siły gracza x k J (x k), jest liczba d ana nastę
pującym wyrażeniem:
J(x k) = C5/(Xfc) . Σ C S J(xt)
i=l 1
Przykład.
D la naszego systemu [7: 5; 3; 2] budujem y tablicę zbliżoną do wyznaczonej przy indeksie Banzhafa:
Tabela 2. Obliczanie indeksu Johnstona dla przykładu 3 GRACZE Koalicje wygrywające: a b c
{a.b} 1/2 1/2
{a,c} 1/2 1/2
{a,b,c} 1
suma, czyli CSJ( ) 2 1/2 1/2
·/() 2/3 1/6 1/6
W ektor siły wynosi tutaj: (2/3; 1/6; 1/6), czyli identycznie ja k w przypadku indeksu S S ( j .
8 W niektórych interpretacjach tego indeksu korzystam z wniosków Taylora (1995).
Indeks siły Deegana-Packela9
Indeks Deegana-Packela opiera się n a trzech założeniach:
1. K iedy określam y względną siłę graczy, pow inny być brane pod uwagę tylko m inim alne koalicje wygrywające.
2. W szystkie m inim alne koalicje wygrywające są równie praw dopodobne.
3. W artość czy też siła gracza wynikająca z przynależności do pewnej m i
nimalnej wygrywającej koalicji jest tak a sam a jak ta, k tó ra dla innego gracza pochodzi z tej samej minimalnej wygrywającej koalicji.
T e założenia jednoznacznie określają indeks siły.
Indeks całkowitej siły Deegana-Packela gracza x k (ozn. C SD P(xkj) definiuje się następująco:
Niech C j, Cj będą m inimalnymi wygrywającymi koalicjami, do których należy x k,
nt, to liczba uczestników koalicji C,·.
Wówczas:
CSM 0
Indeksem całkowitej siły Deegana-Packela względnej siły gracza x k jest liczba D P (xk) = C SD P(x k)
Σ C S D P (x j Przykład.
Jedyne m inim alne koalicje wygrywające to {a, b) oraz {a, c}.
Tabela 3. O bliczanie in d e k su D ee g an a -P ac k ela d la p rzy k ła d u 3
Minimalne
koalicje wygrywające:
GRACZE
a b c
{a.b} 1/2 1/2
{a,c} 1/2 1/2
suma, czyli CSDP( ) 1 1/2 1/2
DP(j 1/2 1/4 1/4
W ektor siły wynosi tutaj: (1/2; 1/4; 1/4) - zgodnie z jednym z p ro p o n o wanych n a początku w ariantów 10.
9 W niektórych interpretacjach i definicjach tego indeksu korzystam z prac: Taylora (1995) oraz Falsenthala i Machovera (1995).
10 Jak widać CSDP{xj to suma wszystkich wyrażeń wewnątrz tablicy, zaś dla każdej koalicji sumują się one do 1. Ich łączna suma musi więc dawać w wyniku liczbę minimalnych koalicji wygrywających \M\ (|M] = XCSDP{xj). Pozwoli to nam zapisać definicję ideksu Deegana-Packela
W arto też zwrócić uwagę, że najsilniejszy z graczy (gracz a) m a wedle tego indeksu siłę najm niejszą z dotychczas przyporządkowywanych m u przez indek
sy. Indeks D eegana-Packela „w zm acnia” bowiem mniejsze ugrupow ania kosztem większych, które „nie mieszczą się” w m inim alnych koalicjach wy
grywających. Bardziej szczegółowo omówię tę własność indeksu D eegana- Packela w dalszej części.
Twierdzenia o własnościach indeksów siły
N ie przedstawiłem wszystkich indeksów siły. Zaprezentow ane powyżej, naw et w swojej kategorii indeksów a priori stanow ią, bardzo dobrze wprawdzie znaną (szczególnie indeks Shapleya-Shubika), ale niewielką część.
J a k je porównywać, ja k określać ich przydatność? Czy ich różnorodność oznacza różne zastosow ania, czy też dyskwalifikuje niektóre jak o bezużyteczne?
W udzieleniu odpowiedzi na te i inne pytania pojawiające się przy okazji przeglądu indeksów siły pom ocna jest analiza spełniania przez nie pożądanych postulatów , kryteriów , których naruszanie m ożna uznać za paradoksalne. Nie będę przedstaw iał wszystkich dowodów: poza najciekawszymi, które um ieś
ciłem w tekście, resztę m ożna znaleźć we wskazanej literaturze przedm iotu.
N ajbardziej oczywistą, w spom nianą ju ż intuicją jest, m ocno zakorzenione w nas przekonanie o proporcjonalności siły i wagi gracza - „W IĘK SZY JEST SIL N IE JSZ Y ” . Intuicję tę m ożna traktow ać jako pierwsze z kryteriów.
Jak pokazałem żaden z powyższych indeksów nie spełnia go. Zresztą, parado ks
alnie, ta właśnie rozbieżność jest jednym z zasadniczych argum entów prze
m awiających za stosowaniem indeksów siły. Pojęcie „siły” używane bowiem w tych rozw ażaniach wykracza poza statyczne relacje między uczestnikam i badanych zgrom adzeń. Interesuje nas tu raczej zapotrzebow anie na poszczegól
nych graczy w procesach podejm ow ania decyzji przez ich zgrom a
dzenie. Z apotrzebow anie to, poza udziałem w łącznej sumie wag, zależy od struktury rozkładu tychże wag. M ówiąc o indeksach, mówi się o pewnych nie zawsze głośno wygłaszanych intuicjach - składowych czynników stojących za różnym i decyzjami graczy - np. o zawiązaniu bądź rozbiciu koalicji. Stąd nieprzypadkow o tę dyscyplinę niejednokrotnie zalicza się do socjologii m atem a
tycznej czy psychologii m atem atycznej. D o rozw ażań tych wrócę w części poświęconej zastosowaniom indeksów siły.
Postulat nieistotnego gracza Twierdzenie.
Postulat ten spełniają wszystkie przedstaw ione indeksy siły.
w postaci równoważnej przedstawionej powyżej:
DP(X ) _ CSDP{xk) nF(Xk> - \M\
D ow ód tego twierdzenia, które wynika w prost z definicji przedstawionych indeksów siły pozostaw iam Czytelnikowi.
Postulat anonimowości Twierdzenie.
P ostulat ten spełniają wszystkie przedstaw ione indeksy siły.
D ow ód tego twierdzenia również pozostawiani Czytelnikowi.
Postulat monotoniczności Twierdzenie.
Indeksy: Shapleya-Shubika, Banzhafa i John stona spełniają postulat m o n o toniczności, natom iast indeks Deegana-Packela narusza go.
Zam iast dowodu.
Niech gracz x i m a większą wagę niż gracz χβ jeśli we wszystkich koalicjach gracza x i zastąpim y graczem Xj, a gracza Xj - graczem x t, to m ogą istnieć takie koalicje w ygryw ające, w których jcf był graczem krytycznym, które po zamianie przestaną być wygrywające. N ie pojaw ią się natom iast nowe koalicje wy
grywające.
Przykład niespełniania kryterium m onotoniczności przez indeks Deegana- Packela. podaję om awiając dalej zastosow ania indeksów (indeks D eegana- Packela narusza to kryterium w obecnym Sejmie).
Postulat donacji Twierdzenie.
Spośród przedstaw ionych indeksów siły tylko indeks Shapleya-Shubika spełnia postulat donacji.
D ow ód tego twierdzenia znajdzie Czytelnik w Falsenthal i M achover (1995).
Postulat bloku Twierdzenie.
Spośród przedstaw ionych indeksów tylko indeks Shapleya-Shubika nie narusza p o stulatu bloku.
D ow ód tego twierdzenia znajdzie Czytelnik w Falsenthal i M achover (1995).
Postulat nowych członków Twierdzenie.
P ostulatu tego nie spełnia żaden z przedstaw ionych indeksów siły.
Dowód.
Rozważm y 2 ważone systemy głosowania:
5 = [5: 5; 1; 1; 1; 1]
S ’ = [6-f: 5; 1; 1; 1; 1; 3]
W obu systemach obowiązuje ta sam a reguła decyzyjna (decyzja zostaje podjęta, gdy koalicja posiada większość bezwzględną), a kw oty są identyczne (q
= q' = f). System S odróżnia od systemu S jedynie dokooptow anie nowego gracza o wadze równej 3.
Niech K ( ) oznacza pewien uogólniony indeks siły będący m iarą zapo
trzebow ania n a danego gracza przy budow aniu koalicji wygrywającej.
O to przydatne dla dalszych rozw ażań założenia:
• rozw ażany indeks jest znorm alizowany;
• x k - gracz nieistotny => K (xk) = 0 - indeks K spełnia postulat nieistotnego gracza;
• 3C 6 M: x k e C => K (xk) > 0 - jeśli gracz x k jest graczem krytycznym w jakiejś koalicji wygrywającej to w artość indeksu siły K dla takiego gracza jest większa od zera.
Rozważm y K (x t) dla i e N λ ze [2;5].
Gracze ci m ają w systemie S wagę 1 i są graczem nieistotnymi - gracz x } m a wagę rów ną kwocie (rów ną 5), więc sam stanowi m inim alną koalicję wy
grywającą, więc nie m a m inimalnej koalicji wygrywającej, do której należałby którykolwiek z graczy o wagach równych 1.
Co się stało w systemie S I G racz Xj stracił bezwzględną większość (waga poniżej kwoty), każdy zaś z „jedynkow ych” graczy może stworzyć m inim alną koalicję wygrywającą (zarówno z dotychczasowymi graczami, ja k i z nowym graczem).
Stąd dla z e N λ i e [2;5]: K s(χ,·) = 0, ale K s ( x t) > 0 . □ D ow ód ten pokazuje, że siła m ierzona w powyższy sposób uwzględnia nie tylko kw otę i własną wyizolowaną wagę rozpatryw anego gracza, lecz również wagi pozostałych graczy, poprzez które ujaw niają się ich możliwości zawierania wygrywających koalicji. Tym , co zastanaw ia, jest to, że przy wprowadzeniu nowego głosującego, podczas redukcji względnych wag „starych” graczy m oże okazać się, że część z nich m a większe możliwości form ow ania wygrywających koalicji, a to um ożliw ia wzrost ich względnej siły.
O to przykład bliższy naszej politycznej codzienności.
Przykład. 4. Paradoks nowych członków na przykładzie E W G U
W 1958 ro k u do tra k ta tu rzymskiego przystąpiło 6 krajów: Francja, Niemcy, W łochy, Belgia, H olandia i Luksemburg. U stalając wpływy dokonano następującego podziału głosów: Francja, Niemcy i W łochy otrzym ały po 4 głosy, Belgia i H olandia - po 2 głosy, Luksem burg zaś - 1 głos. Razem 17 głosów. Postanow iono, że do podjęcia decyzji potrzeba zebrać przynajmniej 12 głosów, czyli 70,6% (kwota).
U tw orzony system głosowania m ożna zapisać w ten sposób:
[12: 4; 4; 4; 2; 2; 1] albo [70,6%: 23,5%; 23,5%; 23,5%; 11,8%; 11,8%; 5,9%].
11 Paradoks ten został opisany przez Taylora (1995).
Tabela 4. Zestawienie udziałów głosów i sił poszczególnych członków EWG w Radzie Ministrów Unii Europejskiej według indeksu Shapleya-Shubika dla 1958 roku
Kraj Liczba głosów Odsetek głosów Odsetek siły
Francja 4 23,5 23,3
Niemcy 4 23,5 23,3
Włochy 4 23,5 23,3
Belgia 2 11,8 15,0
Holandia 2 11,8 15,0
Luksemburg 1 5,9 0
J a k widać Luksem burg okazał się w chwili założenia EW G graczem nieistotnym.
Jednak w 1973 ro k u doszło do rozszerzenia EW G o nowych członków:
W ielką Brytanię, D anię i Irlandię. Zdecydowano, że W ielka Brytania pow inna mieć tę sam ą liczbę głosów co Francja, Niemcy i W łochy, D ania i Irlandia zaś - więcej głosów niż Luksem burg, ale mniej niż Belgia i H olandia.
Głosy dotychczasowych członków EW G zostały przem nożone przez 2,5 z wyjątkiem Luksem burga, którem u podw ojono jego głos.
Tabela 5. Rozkład liczby głosów poszczególnych członków EWG w Radzie Ministrów Unii Europejskiej w 1973 roku
Kraj Liczba głosów
Francja 10
Belgia 10
Wiochy 10
Belgia 5
Holandia 5
Luksemburg 2
Wielka Brytania 10
Dania 3
Irlandia 3
Sum a głosów wszystkich krajów wynosiła wówczas 58, kw ota zaś q = 41 (albo 70,7% ). M ożna powiedzieć, że, poza dodaniem nowych graczy, jedyną zm ianą w stosunku do stanu z 1958 ro ku było obniżenie proporcji wagi Luksem burga, a więc poszkodow anie go. Pom im o to w artość indeksu Shapleya-Shubika dla Luksem burga okazała się w 1973 większa od zera.
Istnieje takie co najmniej jedno uporządkow anie, w którym Luksem burg decyduje o tym, że koalicja z przegrywającej staje się wygrywająca. Co więcej, siła Luksem burga wzrosłaby, nawet gdyby pozostaw iono go z jednym tylko
głosem (analogiczne rozw ażania m ożna przeprowadzić dla pozostałych indek
sów siły).
Dalsze postulowane własności indeksów siły
Zgodnie z zapowiedzią przedstawię również postulaty, naruszające wprawdzie założony charakter indeksów a priori lub ważonych systemów głosowania, trudne jednak do pominięcia ze względów praktycznych. Dotychczas rozważaliśmy tylko przypadek pojedynczej izby. T rudno jednak badaczowi procesów decyzyjnych w parlam encie zrezygnować z możliwości analizy wielo- izbowego parlam entu, który nie jest przecież ważonym systemem głosowania lub zakładać rów ne praw dopodobieństw o zawierania porozum ień przez wszystkie kluby parlam entarne. Zaprezentuję trzy dodatkow e postulaty: postulat dwóch izb, postulat kłótni oraz postulat kłótni z graczem nieistotnym.
Postulat dwóch izb
Jeśli nie m a wspólnych głosujących w obu izbach, to dystrybucja siły pom iędzy głosujących pow inna być niezależna od tego, czy rozpatrujem y wydzielone ciało decyzyjne, czy jest ono w ram ach dwuizbowego systemu.
M ożna to zapisać następująco:
Niech I j i I 2 oznaczają dwie rozłączne izby, czyli I t n I 2 = 0
Κ γ(·), K 2(·), K 1+2( ) - indeksy siły, odpowiednio, w I j, I 2 i w systemie dwuizbowym ( j i +2)
x i y to istotni głosujący w izbie Ij, czyli x, y e Ij oraz K j(x) > 0 λ Kj(y) > 0 oczekujemy, że
K ^ / K j i y ) = K 1+2(x)/K 1+2(y) Twierdzenie.
Spośród prezentowanych indeksów spełnia ten postulat tylko indeks Banzhafa.
D ow ody tego twierdzenia znajdzie Czytelnik w Falsenthal i M achover (1998) o raz w T aylor (1995).
Postulat kłótni
Jeżeli w zgrom adzeniu są gracze (głosujący lub koalicje) nie tolerujący się („kłócący się” ), czyli wykluczający jakiekolwiek koalicje ze sobą, to naturalnym naszym oczekiwaniem pow inno być obniżenie wartości indeksu siły „skłóco
nych” graczy. Ponieważ nie wejdą oni do jednej koalicji, to liczba wy
grywających koalicji dla nich zmniejsza się.
Twierdzenie.
Spośród przedstaw ionych indeksów postulat kłótni naruszają wszystkie om awiane indeksy siły12.
12 Postulatu tego nie narusza nie prezentowany w tym artykule indeks Colemana inicjowa
nia akcji.
D ow ody tego twierdzenia znajdzie Czytelnik w M ercik (1992, 1999); oraz w K ilgour (1974), Bram s (1975), D eegan i Packel (1982) - ostatnie trzy pozycje cytuję za Falsenthal i M achover (1995).
K ryterium to jest dość kontrowersyjne. Zw racam uwagę n a jed ną tylko obserwację: wykluczając porozum ienie dwóch kłócących się graczy, fak
tycznie eliminujemy całą rodzinę koalicji wygrywających zawierających tych dwóch graczy. W ykluczone koalicje zawierać m ogą innych, nie skłóconych graczy, czyli faktycznie przedstaw iona kwestia dotyczy również ich. Takie, szersze potraktow anie problem u wym aga pogłębionej analizy tego proble
m u.
Postulat kłótni z graczem nieistotnym
Należy oczekiwać, że siła gracza nie pow inna się zmniejszyć w wyniku
„kłótni” z graczem nieistotnym.
Twierdzenie.
Spośród przedstaw ionych indeksów postu latu kłótni z graczem nieistotnym nie narusza tylko indeks Deegana-Packela.
D ow ody tego twierdzenia znajdzie Czytelnik w Straffm (1982), D eegan i Packel (1982) - cytuję za Falsenthal i M achover (1995).
Pow ażnym argum entem za stosowaniem kryteriów „kłótni” jest ich in- tuicyjność i powszechność w ystępowania zjawiska „kłótni” w życiu publicznym (np. w polityce).
Własności indeksów siły - podsumowanie Tabela 6. Własności indeksów siły
POSTULAT
Indeks
Shapleya-Shubika Banzhafa Johnstona Deegana-Packela
Nieistotnego gracza + + + +
Anonimowość + + + +
Monotoniczność + + + -
Donacji + - - -
Bloku + - - -
Nowych członków - - - -
Dwóch izb - + - -
Kłótni - - - -
Kłótni z graczem
nieistotnym — — — +
W róćm y teraz do pytania postaw ionego n a początku om aw iania kryteriów o to, ja k traktow ać poszczególne indeksy.
• Czy należy wybrać indeks Shapleya-Shubika, który spełnia najwięcej pos
tulatów ?
• Czy zdyskwalifikować indeks D eegana-Packela, który nie spełnia najbardziej chyba oczywistego postulatu m onotoniczności?
• Czy m oże próbow ać stosować wszystkie indeksy zgodnie z ograniczeniami, k tóre pokazują poszczególne kryteria?
W ydaje się nawet, że naruszanie niektórych kryteriów niekoniecznie oznacza ograniczenia danego indeksu.
Ze względu n a odm ienne możliwe zastosow ania poszczególnych indeksów siły, wynikające ze spełniania przez nie odmiennych zestawów postulatów , tru d n o bezwzględnie porów nyw ać indeksy w taki sposób, by nie zignorować któregoś z zastosowań.
• N a przykład do analizy podziału zysków wynikających ze zbudow ania koalicji bez w ątpienia najlepiej nadaje się indeks Shapleya-Shubika, który spełnia kryterium bloku oraz kryterium donacji (sam Shapley m ówił o sile, k tó ra jest m iarą oczekiwanej wypłaty). Indeks ten poza tym rzeczywiście podlega niewielu paradoksom i jest m iernikiem form alnie najbardziej klarow nym i posiadającym najmniej ograniczających założeń.
• Jednak jeśli przy budow aniu koalicji, zam iast o zyskach płynących z jej pow stania, koalicjanci m ów ią o szantażu związanym z jej rozpadem , do którego m o gą doprow adzić (systemy o niewykształconych stabilnych form ach współpracy, o większym poziom ie rywalizacji, o silnym poziomie konfliktu politycznego), wówczas lepszym narzędziem wydaje się indeks Banzhafa. Indeks ten ukazuje swoje zalety również przy badaniu wieloizbowego systemu głosow ania (system ten nie jest ważonym systemem głosowania).
• W edług Stevena Bram sa i innych (Brams, Affuso i K ilgour 1989), spośród zaprezentow anych indeksów siły indeks Johnstona najpełniej oddaje pozycję prezydenta w procesie ustawodawczym U SA (cały system USA: Izba Re
prezentantów - Senat - Prezydent nie jest ważonym systemem głosowania).
• Jeśli wziąć p o d uwagę fakt, że w całej demokratycznej Europie w ostatnich latach niezwykle rzadko zdarzały się koalicje rządow e inne niż m inim alne (np.
n a W ęgrzech koalicja kom unistów i W olnych D em okratów ) oraz, że praw do
podobieństw o utw orzenia koalicji przez poszczególne ugrupow ania nie jest równe (w szczególności niektóre koalicje są wykluczone), przydatnym m ier
nikiem siły wydaje się być indeks Deegana-Packela.
W dalszej części przedstawię propozyqe interpretacji wybranych indeksów siły.
Zastosowania indeksów siły
W części wstępnej wspom niałem o różnych zadaniach stawianych przed indeksam i siły:
1. Prezentacja względnej siły poszczególnych uczestników gry, np. politycznej.
2. Określenie wielkości możliwych udziałów poszczególnych koalicjantów przy podziale n a przykład stanow isk w rządzie, czyli określenie siły gracza wew nątrz koalicji.
3. Z badanie opłacalności koalicji dla jej uczestników, a przez to n a przykład jej oczekiwanej stabilności.
Spróbuję je teraz omówić nieco bardziej szczegółowo n a przykładzie systemu głosow ania obecnego Sejmu.
1. Przedstawienie generalnej oceny względnej siły poszczególnych graczy jest zastosowaniem najbardziej oczywistym, lecz zarazem wzbudzającym najwię
cej kontrow ersji.
Przykład. 5.
Tabela 7. Indeksy siły w Sejmie RP III kadencji (stan aktualny w listopadzie 1999 roku) Liczba
miejsc
Odsetek miejsc
SSQ B() Ą ) DP() DP+ (·)
AWS 188 40,9% 37,0% 32,5% 38,5% 13,3% 22,0%
SLD 164 35,7% 25,6% 29,5% 31,3% 19,4% 6,7%
UW 59 12,8% 25,6% 19,2% 18,7% 19,4% 16,7%
PSL 26 5,7% 3,7% 6,5% 4,9% 7,8% 18,7%
NK 7 1,5% 2,7% 3,6% 1,9% 11,3% 12,0%
KPN 6 1,3% 1,8% 2,9% 1,5% 9,6% 8,0%
ROP 4 0,9% 1,8% 2,9% 1,5% 9,6% 8,0%
niez. 6 1,3% 1,8% 2,9% 1,5% 9,6% 8,0%
W artości trzech pierwszych indeksów nie odbiegają radykalnie od siebie, przynajmniej jeśli kierować się towarzyszącą nam nieustannie intuicją porząd
kującą graczy według wag. M oże zwrócić jedynie uwagę zrównanie przez in
deks Shapleya-Shubika siły U W z siłą niemal trzykrotnie liczniejszego SLD.
A by być graczem decydującym każde z tych dwóch ugrupow ań potrzebuje w analogicznej perm utacji tej samej liczby graczy (klubów poselskich) p o przedzających je. O sile AW S świadczy natom iast fakt, że jest w stanie zdecy
dować o zwycięstwie koalicji dołączając się np. do pojedynczego klubu SLD czy UW . W idać ja k szerokim pojęciem może okazać się określenie: średni klub.
W idać przede wszystkim ja k ró żn a jest pozycja AW S i SLD (zaraz po wyborach AW S m iał jeszcze silniejszą pozycję).
Jednak niemal szokujące wyniki daje indeks Deegana-Packela. M am y tu do czynienia z drastycznym przykładem naruszania przez ten m iernik kryterium m onotoniczności. Czyżbyśmy bowiem mieli w Sejmie niemal równom ierny rozkład siły poszczególnych ugrupow ań, z niewielką d o m in a q ą SLD i U W nad bliskimi sobie AW S i NK?!
Przyjrzyjmy się m echanizm owi, który doprow adził do takiego wyniku.
Ograniczając rozw ażane koalicje do m inimalnych, indeks ten jak b y n a dwa sposoby zmniejsza dystans pom iędzy ugrupowaniam i:
po pierwsze tak ą sam ą w artość przyznaje wszystkim uczestnikom danej m inimalnej koalicji (wyjście kogokolwiek jest krytyczne), niezależnie od liczby
głosów (wagi), ja k ą wnoszą;
po drugie przy tym ograniczeniu, dla ugrupow ań średnich (SLD, UW ) i m ałych (N K , PSL, K P N , RO P, niez.) istnieje więcej kom binacji niż dla dużych klubów (AWS), które się po prostu „nie mieszczą” w owych m inim alnych koalicjach; w ten sposób indeks Deegana-Packela wzm acnia m ałe i średnie ugrupow ania kosztem największych.
Rzeczywiście, interpretując ten m iernik analogicznie do pozostałych indek
sów siły doszlibyśmy do wniosków nie do obronienia. W arto jed nak zwrócić uwagę, że nie do pogodzenia z rzeczywistością jest w tym przypadku jedno z założeń indeksu Deegana-Packela, który mówi o równym praw dopodobieńst
wie wszystkich m inim alnych koalicji. Jeśli n a przykład rzeczywiście SLD z równym praw dopodobieństw em m ogłoby tworzyć sojusz z U W , K P N i R O P ja k z U W i PSL, to wyniki nie dziwiłyby aż tak bardzo. Pokazywałyby po prostu ja k bardzo nieatrakcyjnym z p u n k tu widzenia „podziału łupów ” partnerem jest dla m ałych ugrupow ań dom inujący AW S. Przecież właśnie m .in. dlatego tak bardzo rozpowszechnione są m inim alne koalicje, że m aksym alizują wielkość wypłaty (np. ilość stanowisk) dla każdego z członków koalicji (poza tym fakt, że wszyscy członkowie koalicji są dla niej krytyczni, ogranicza dom inację dużych ugrupow ań nad mniejszymi - ta symetria zmusza być może koalicjantów do większej lojalności wobec siebie).
Jednak wspom niane koalicje nie są równie praw dopodobne. M ożna nawet, nie obawiając się zbytnio zarzutów o arbitralność, założyć stan „kłótni”
pom iędzy SLD oraz AW S, N K , K P N , czy RO P. Tablice pokazują zmiany, k tóre pow oduje wprowadzenie tego dodatkow ego ograniczenia.
Przykład. 5.
W artości zmodyfikowanego indeksu D eegana-Packela (D P + , tabela 8) pokazują zjawiska bliskie naszej politycznej rzeczywistości. W idać słabą pozycję SLD istotnie rzadko w obecnej kadencji występującego w roli potencjalnego uczestnika koalicji rządowej. Zw raca uwagę również wyjątkowo silna pozycja PSL, który często odgrywa bardzo w ażną rolę zarów no
• w przedsięwzięciach opozycyjnych (w porozum ieniu z SLD i częścią U W bądź AW S) jak też
• uczestnicząc w grach wew nątrz koalicji (występuje n a przykład jak o ta k tyczny p artn er dla AW S, razem z m ałymi kołam i prawicowymi, zamiast UW ).
Tabela 8. Indeks Deegana-Packela dla Sejmu RP (listopad 1999 roku)
Minimalne koalicje
wygrywające AWS SLD UW
Ugrupowania
PSL NK KPN ROP niez.
(AWS, SLD) 1/2 1/2 m
{AWS, UW) 1/2 1/2
{AWS, PSL, NK, KPN, niez.} 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
{AWS, PSL, NK, ROP, niez.} 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
{AWS, PSL, NK, KPN, ROP} 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
{SLD, UW, PSL} 1/3 1/3 1/3
{SLD, UW, NK, KPN} 1/4 1/4 1/4 1/4 Ι & ϋ
:{SLD, UW, NK, ROP} 1/4 1/4 1/4 1/4 j
{SLD, UW, NK, niez.} 1/4 1/4 1/4 1/4
4 SLD, UW, KPN, ROP} ' 1/4 1/4 1/4 1/4 i
{AWS, UW, KPN, niez.} 1/4 1/4 1/4 1/4
i {SLD, UW, ROP, niez.} 1/4 1/4 1/4 1/4
CSDP() 1,6 2,3 2,3 0,9 1,4 1,2 1,2 1,2
DP() 13,3% 19,4% 19,4% 7,8% 11,3% 9,6% 9,6% 9,6%
CSDP+i ) 1,1 0,3 0,8 0,9 0,6 0,4 0,4 0,4
DP+(·) 22,0% 6,7% 16,7% 18,7% 12,0% 8,0% 8,0 8,0%
Przykład. 6. Indeksy siły dla sejmiku województwa mazowieckiego Przyjrzyjmy się innem u przykładowi.
Tabela 9. Rozkład mandatów w sejmiku mazowieckim
Ugrupowanie Liczba mandatów Odsetek mandatów
Akcja Wyborcza Solidarność 32 40,00
Sojusz Lewicy Demokratycznej 30 37,50
Przymierze Społeczne 11 13,75
Unia Wolności 6 7,50
Stowarzyszenie „Rodzina Polska” 1 1,25
Razem 80 100,00
Zamiast pełnych nazw ugrupowań będę używał dalej skrótów (odpowiednio): AWS, SLD, PS, UW oraz SRP.
G eneralnie rzecz biorąc uchwały sejmiku zapadają zwykłą większością głosów, a więc, zakładając pełną frekwencję, do przegłosowania decyzji p o trzeba 50% + 1, czyli 41 głosów.
Zgodnie z naszą notacją m am y system: [41: 32; 30; 11; 6; 1].
W szystkie cztery przedstaw ione powyżej indeksy siły dają w ektor siły: (1/3;
1/3; 1/3; 0; 0).
O znacza to identyczną sytuację AW S, SLD i PS jak o potencjalnych partnerów któregokolw iek z pozostałych dwóch ugrupow ań. Wiemy jednak, że ugrupow aniem , które m iało w negocjacjach głos decydujący o kształcie koalicji było Przymierze Społeczne - m iało więc największą siłę. Obliczenia indeksów siły w klasycznej form ule nie dają nam możliwości zaobserwowania (przewidze
nia) tego faktu. Gdzie szukać rozw iązania tej kwestii? W arto zwrócić uwagę na różne praw dopodobieństw o wchodzenia w sojusze poszczególnych graczy - przede wszystkim n a wykluczenie koalicji pom iędzy AW S i SLD 13.
Tabela 10. O bliczenia zm o d y fik o w an eg o in d e k su D ee g an a -P ac k ela (D.P-I-) d la sejm iku m azow ieckiego
Ugrupowania
Minimalne koalicje wygrywające: AWS SLD PS UW SRP
(AWS, SLD) 1/2 1/2
mm
{AWS, PS) 1/2 1/2
{SLD, PS) 1/2 1/2
CSDP() 1 1 1 0 0
DP() 1/3 1/3 1/3 0 0
CSDP+() 1/2 1/2 1 0 0
DP+ (·) 1/4 1/4 1/2 0 0
W ektor siły wedle wartości zm odyfikowanego indeksu Deegana-Packela jak o jedyny pokazuje rzeczywistą siłę PS w sejmiku mazowieckim: (1/4,1/4, 1/2,0,0). Oczywiście, postulat m onotoniczności i w tym przypadku został naruszony.
T a k więc, paradoksalnie, postulat m onotoniczności, pom im o klarowności i intuicyjności m oże mieć dyskusyjne zastosowanie w analizie polityki.
M ożna by nawet sform ułować ogólniejszą sugestię. Przedstaw iona charakterystyka indeksów siły uczestników grupowych decyzji skłania do ponownego przyjrzenia się oczekiwaniom (postulatom ) stawianym przed in
deksam i siły. P otraktujm y wagę gracza jak o indeks siły, który każdem u przydziela w artość siły rów ną frakcji jego wagi (głosów, udziałów) w zgrom adzeniu. Postulat m onotoniczności właśnie ten indeks uznaje za podstaw ę uporządkow ania graczy. Jednak, jak pokazują powyższe przykłady,
13 Wprawdzie w niektórych powiatach i gminach dochodziło do takich „zakazanych”
porozumień, jednak na poziomie sejmików wojewódzkich wykluczenie przez władze AWS sojuszy z SLD było respektowane - prawdopodobnie ze względu na bardziej „polityczny” charakter sejmików.
jedynie p ro sto ta ta k skonstruow anego indeksu i jego intuicyjność (rzecz względna) przem awiałyby za stosowaniem go jak o wzorzec przy analizie postulatów indeksów siły. Wówczas nawet postulat m onotoniczności traci swoją oczywistość - staje się jedynie prostym porównaniem dwóch indeksów:
danego indeksu i indeksu wagi gracza.
Podsumowując kwestię opisu względnej siły poszczególnych uczestników, wydaje się, że nie m a sensu poszukiwać jednego, uniwersalnego indeksu siły.
N arzuca się tutaj analogia z param etram i opisu statystycznego - dzięki swojej odm ienności pokazują różne „strony” badanej rzeczywistości.
2. Określeniu wielkości możliwych udziałów koalicjantów służyć m oże zmodyfikowany indeks Shapleya-Shubika - tzw. indeks Shapleya-Shubika z prekoalicjami (w 1997 ro ku wprowadzony przez Owena, a zastosowany w 1988 wraz z Carrerasem do b adania parlam entu katalońskiego, w 1996 zaś - w kraju Basków).
W prow adzenie prekoalicji polega n a przyjęciu pewnego ograniczenia na rozpatryw ane perm utacje. O tóż jeśli zakładam y, że pewien zbiór graczy jest bardziej bliski sobie niż innym (prekoalicja), to dopuszcza się tylko takie perm utacje, w których poszczególni „prekoalicjanci” występują obok siebie.
Aby określić znaczenie gracza wewnątrz koalicji wygrywającej, trzeba więc rozważyć następujący układ prekoalicji: m inim alna koalicja wygrywająca i pozostałe ugrupow ania jak o prekoalicje jednoelementowe. T a k określo
n ą wagę danego ugrupow ania w koalicji wygrywającej m ożna traktow ać jak o znaczący czynnik przy podziale stanowisk np. w rządzie (Sosnowska
1998).
P rzykład 5. ( c.d.)
Tabela 11. Wartości indeksu Shapleya-Shubika z prekoalicjami dla prekoalicji AWS-UW w Sejmie (stan aktualny w listopadzie 1999 roku)
Indeks Shapleya-Shubika z prekoalicjami
AWS 55,7%
SLD 0
UW 44,3%
PSL 0
NK 0
KPN 0
ROP 0
niez. 0
Ze względu n a to, że rozpatruję tutaj tylko jed n ą prekoalicję, któ ra jest m inim alną koalicją wygrywającą, wartości indeksu Shapleya-Shubika z pre
koalicjam i dla pozostałych graczy są równe zero.
D o nieco innych rezultatów prowadzi rozważenie indeksu Deegana-Packela z prekoalicjami. Przypomnijm y, że uwzględniamy tylko m inim alne koalicje wygrywające. Jeśli założymy prekoalicję, k tó ra jest n a dodatek m inim alną koalicją wygrywającą, to ze wszystkich rozpatryw anych m inim alnych koalicji wygrywających pozostanie nam ta jedna, utw orzona wyłącznie przez graczy tw orzących prekoalicję (w przypadku indeksu Deegana-Packela rozważane są podzbiory graczy, a nie uporządkow ania). T ak więc w naszym Sejmie, przy założeniu prekoalicji AW S - U W , otrzym ujemy następujący w ektor siły (według indeksu D eegana-Packela z prekoalicjami):
(A W S-50% , SL D -0, U W -50% , PSL -0, N K -0 , K P N -0 , ROP-O, niez.-O).
W ynik nie powinien dziwić, skoro opuszczenie któregokolwiek z uczest
ników m inimalnej koalicji wygrywającej jest dla niej krytyczne. Stąd, niezależ
nie od różnic liczebności klubów, wpływy AW S oraz U W w koalicji według w artości indeksu D eegana-Packela są identyczne.
T o jednak, co zbliża oba wyniki, to dość w yrów nana pozycja obu partnerów koalicji rządowej. O ba indeksy w skazują na spodziewany podział wpływów koalicjantów w koalicji. O ba te indeksy zostały bowiem sform ułowane jako m iara wypłaty, podziału pewnego zasobu dóbr-korzyści wśród członków zwycięskiej koalicji.
Jak o obserw atorzy sceny politycznej wiemy, że podział stanowisk w obec
nym rządzie nie odpow iada wyznaczonym proporcjom . Ja k wytłumaczyć tę rozbieżność?
Indeksy siły m ożna potraktow ać jak o pewne, głębsze niż podział m andatów i nie zawsze w ypow iadane publicznie intuicje poszczególnych graczy, które wynikają z ich wiedzy o różnych możliwych porozum ieniach w ram ach danego systemu. W ówczas należy mówić o wpływie obu tych czynników n a podział korzyści w śród koalicjantów. W ielkość rozbieżności pom iędzy wskazaniami któregoś z tych dwóch m ierników (waga gracza i indeks siły gracza) a podziałem stanowisk wydaje się wpływać n a napięcia pom iędzy koalicjantam i. Strona poszkodow ana częściej m oże dom agać się modyfikacji w ram ach koalicji (umowy koalicyjnej czy podziału stanowisk). W przypadku koalicji AWS i U W stroną, k tó ra „czuje się” poszkodow ana jest UW . N iektórzy obserwatorzy polityki twierdzą, że ustępstw a personalne stara się rekom pensować kwestiami program ow ym i. Burzliwa historia obecnej koalicji rządowej wydaje się p o twierdzać te hipotezy.
3. Ja k sprawdzić czy d ana koalicja opłaca się grupie graczy, czy też się nie opłaca?
Jeśli indeks siły graczy, którzy utworzyli wspólny blok (koalicję) jest większy od sumy indeksów siły poszczególnych graczy występujących oddzielnie, to m ożem y oczekiwać, że taki sojusz „opłaca” się tym graczom. Zjawisko to nazywamy superaddytywnością. Subaddytywnością nazywamy sytuację prze
ciwną - gdy sum a indeksów siły graczy występujących oddzielnie przewyższa
w artość indeksu siły koalicji tych graczy. W przypadku subaddytywności bloku m ożna spodziewać się jego niestabilności.
Indeksem spełniającym kryterium bloku jest indeks Shapleya-Shubika. D o badania opłacalności zawierania koalicji przez graczy, co m a bez wątpienia wpływ n a ocenę szans zawarcia takiej a nie innej koalicji przez danego gracza, upraw nione jest więc stosow anie tego właśnie indeksu.
Poniżej przedstaw iam zestawienia ilustrujące ten sposób zastosowania indeksu Shapleya-Shubika w obecnym Sejmie na przykładzie potenqalnych koalicji: SLD z PSL oraz AW S z PSL.
Superaddytyw ność porozum ienia SLD i PSL:
SSCSLD) + &S(PSL) = 29,3% & S(SLD +PSL ) = 33,3%
Subaddytywność porozum ienia AW S i PSL:
SS(AW S) + S S ( P S L )= 40,7% S S (A W S + P S L ) = 40,2%
Uwagi końcowe
Bez w ątpienia zagadnienie porów nyw ania osób, ich znaczenia w relacjach z innymi, wreszcie wpływania n a całą zbiorowość jest problem em ta k starym ja k społeczeństwo. Starym i niezwykle skomplikowanym. Jakże bowiem precyzyj
nie i kró tk o ogarnąć możliwości oddziaływania jednostki na decyzje podej
m ow ane przez grupę? Pewną p ró b ą skonstruow ania teoretycznego m odelu jednego z wym iarów tej problem atyki jest teoria wieloosobowych gier k o
operacyjnych. N atom iast indeksy siły uczestników grupowych decyzji podej
m ują jeden z wycinków tej dziedziny - ocenę nierówności w procesach decyzyjnych. T u również, zarów no na ocenę opłacalności koalicji, jej stabilnoś
ci, czy generalny opis sytuacji w danym zgrom adzeniu decyzyjnym wpływają rozm aite czynniki - z reguły trudniejsze do pom iaru, bardziej subiektywne i doraźne niż indeksy siły. Bez w ątpienia jednakże zastosowanie indeksów siły uzupełnia m odel analizy o ważny element, który pozwala wykroczyć poza niekiedy obciążające nas intuicje typu: „większy czyli silniejszy, bardziej oczekiwany przy budow aniu porozum ień” .
Co więcej, otwiera drogę dużo precyzyjniejszemu opisowi decyzji faktycznie podejm owanych przez polityków w parlam entach czy samorządowych organach przedstawicielskich. K ażda analiza sytuacji w Sejmie, polegająca na zestawieniu liczebności klubów , w istocie zmierza do ustalenia tego, czyj wniosek zostanie przez zgrom adzenie przyjęty, a czyj odrzucony. N a przykład koalicja rządząca tylko wtedy m a szanse na stabilność, gdy posiada większość odpow iednią do przegłosowywania swoich wniosków oraz możliwie niewielką liczbę członków. Przy tw orzeniu koalicji chodzi więc często nie tyle o jak największą liczbę m andatów , lecz o to by dzieląc pewne dobro (na przykład stanow iska polityczne) pom iędzy ja k najmniejszą liczbę graczy (na przykład
