PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI (TRIP) W NUMERYCZNEJ ANALIZIE NAPRĘŻEŃ HARTOWNICZYCH

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 499-506, Gliwice 2006

PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI (TRIP) W NUMERYCZNEJ ANALIZIE NAPRĘŻEŃ HARTOWNICZYCH

JERZY ZIELNICA

Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska

MICHAŁ ZIELNICA

Przemysłowy Instytut Maszyn Rolniczych PIMR, Poznań

Streszczenie. W ramach rozbudowy systemu komputerowego SYSHART, realizującego wyznaczanie naprężeń w hartowanych elementach stalowych na drodze numerycznej, uwzględniono zjawisko TRIP (plastyczność wywołana przemianami fazowymi) i zbadano jego wpływ na chwilowe i szczątkowe naprężenia. Analiza uwzględnia możliwość obliczeń elementów nawęglanych. Do wyznaczania pól temperatur zastosowano metodę różnic skończonych, a naprężenia wyznaczono metodą elementów skończonych. Zrealizowano przykła- dowe obliczenia numeryczne dla hartowanych cylindrycznych elementów maszyn wykonanych z takich gatunków stali, które mają krzywe CTP w kształcie litery C.

1. WSTĘP

System komputerowy analizy naprężeń w hartowanych elementach maszyn o kształcie cylindrycznym o nazwie SYSHART wykorzystuje metodę różnic skończonych i metodę elementów skończonych do analizy pól temperatur, kinetyki przemian fazowych i naprężeń hartowniczych przy dość ogólnych założeniach. W systemie tym uwzględniono między innymi wszystkie podstawowe składniki przemian fazowych – ich właściwości zależą od temperatury i stopnia przemian fazowych, a analiza dotyczy takich gatunków stali, które mają krzywe CTP w kształcie litery C. Można prowadzić obliczenia elementów nawęglanych. Przyjęto, że zmiana współczynnika przewodności cieplnej, ciepła właściwego i współczynnika cieplnej dyfuzji może wpływać na względną zmianę objętości poszczególnych struktur i faz. Najistotniejszym czynnikiem jest uwzględnienie wpływu uplastycznienia materiału na naprężenia hartownicze, co znacznie komplikuje opis i rozwiązanie problemu z uwagi na konieczność wykorzystania związków fizycznych odpowiedniej teorii plastyczności.

W procesach obróbki cieplnej i plastycznej stali znany jest fakt, że gdy przemiany fazowe odbywają się z jednoczesnym występowaniem dowolnego stanu naprężeń, to odkształcenia wywołane przemianami fazowymi εtr nie są stałe, lecz wpływ na nie ma znak i wielkość tych chwilowych naprężeń. Gdy przemiany fazowe odbywają się w pełnym cyklu z ich powstawaniem, zanikaniem oraz powrotem do stanu wyjściowego (przed przemianami), to część odkształceń wywołanych przemianami fazowymi pozostaje nadal w postaci szczątkowej.

Wiąże się to ze zjawiskiem znanym jako TRIP (transformation induced plasticity), czyli

uplastycznienie wywołane przemianami fazowymi. Opis tego zjawiska można znaleźć w pracy np. Jonga i in. [3]. Z fizycznego punktu widzenia zjawisko TRIP może być wywołane anizotropowością przemian fazowych. Greenwood i Johnson [4] przeprowadzili analizę teoretyczną, która wykazała, że w rzeczywistości anizotropia wywołuje lokalne uplastycznienie w tych rejonach, w których występują składniki przemian fazowych o niższych własnościach wytrzymałościowych. Stopień uplastycznienia materiału jest proporcjonalny do chwilowych naprężeń. Wniosek ten został potwierdzony przez innych badaczy dla tych gatunków stali, które doznają przemian fazowych od austenitu do martenzytu. Komputerowa implementacja problemu sprężysto-plastycznej analizy naprężeń hartowniczych jest dość złożona, a opracowany program obliczeń numerycznych, otrzymane wyniki i ich graficzna prezentacja umożliwiają wyciągnięcie istotnych wniosków związanych z doborem parametrów procesu hartowania elementów maszyn.

2. POLE TEMPERATUR I KINETYKA PRZEMIAN FAZOWYCH

Najistotniejszą cechą opracowanego systemu komputerowego jest uzależnienie od temperatury i udziałów objętościowych poszczególnych struktur i faz wszystkich parametrów opisujących fizyczne właściwości materiału. Wartości tych parametrów podlegają aktualizacji w każdym węźle siatki podziału, zgodnego z metodą elementu skończonego, dla każdego kroku czasowego, według schematu

[ , ] [ ( , ), _k( , ), _c] _k( , ) _k[ _c, ( , )]

U r t =U T r t v r t w =v r t U w T r t⋅ (1) Tutaj r jest współrzędną przestrzenną, t – czas, T – temperatura, wc- zawartość węgla.

Udziały objętościowe składników przemian fazowych wyznacza się zgodnie z prawem wykładniczym Avramiego [1]:

1 exp ^nk

k k

v = − −b t . (2)

Współczynniki bk(T) i nk(T) można wyznaczyć z wykresu CTP dla poszczególnych gatunków stali w oparciu o krzywe początku i końca danej przemiany fazowej. Gdy krzywe te są dane dla udziałów objętościowych składników przemian vsk i vfk, (zwykle odpowiednio dla zawartości 0,01 i 0,99), wówczas dla danej temperatury T mamy:

( )

( )

1 exp ( ) ( ) ,

1 exp ( ) ( ) ,

k

k

n T

sk k sk

n T

fk k fk

v b T t T

v b T t T

 

= − − 

 

= − − 

(3)

skąd

( )

( ) _{( )}

( )

ln ln 1

ln 1 ln 1

( ) , ( )

( ) ( ) ln ( )

k

sk

fk sk

k k k n T

sk sk

fk

v

v v

n n T b T

t T t T

t T

 − 

 

 −  −

 

= = = −

 

 

 

 

(4)

Intensywność zmian vk początku i końca przemian poszczególnych składników przemian fazowych obliczamy przez zróżniczkowanie wyrażenia (2) względem czasu.

Na podstawie równań (2) i (4) i wykresu CTP, można przez interpolację obliczyć zmianę objętości vk dowolnego składnika przemian fazowych dla każdego odcinka czasu przy stałej

temperaturze, z których składa się ciągła krzywa chłodzenia. Po zróżniczkowaniu równania (2) względem czasu otrzymujemy

(nk 1) b tkⁿk

k

k k

dv b n t e dt

− −

= (5)

Dla elementów cylindrycznych podstawowe równania problemu przewodnictwa są następujące [1]:

2

2

0

, ( ), 0,

p

z

T T T T

b c T q T

r r r r r r

λ∂∂ +∂∂λ λ+ ∂∂ + =& ρ & λ∂∂  = −& ∂∂  = (6)

Równania te podlegają dyskretyzacji metodą różnic skończonych zgodnie ze schematem różnicowym:

2

1 1 1 1

2

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 2

, ,

2 2

1 ,

2

j j j j j j j j

i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i

j j j j

i i i i

i i i i

T T T T T T T T

T T

r r r r r r r r r r r r r

r r r r r

λ λ λ λ

λ

− + + −

− + − + + −

− +

− +

 − −   − − 

∂∂ =  − + −  ∂∂ =− + −  − + − 

 − − 

∂ =∂  − + − 

(7)

gdzie indeks dolny oznacza ‘węzeł’, a indeks górny – numer kroku czasowego. Rozwiązujemy równanie macierzowe:

⋅ j =

A T M , (8)

gdzie A jest macierzą pasmową o trzech elementach w każdym wierszu, zawierających współczyniki T_i−^j₁,T_i^j i T_i+^j₁ z równań (7); efektem rozwiązania jest pole temperatur w każdym węźle dla każdego kroku czasowego.

3. NAPRĘŻENIA HARTOWNICZE

Podstawą analizy są równania równowagi dla elementu cylindrycznego [1]:

0, 2 0, 0

r r r

r d zr zr

d d

dr r dr r dr r

ϕ ϕ ϕ

σ σ σ σ

σ − σ σ

+ = + = + = , (9)

dla którego obowiązują następujące liniowe związki geometryczne:

, , , 0

r r z

r z r z rz

du u du

dr ^ϕ r dz ^{ϕ ϕ}

ε = ε = ε = ε =ε =ε = . (10)

ur w powyższych równaniach nie jest funkcją z, a w związku z założeniem o obrotowej symetrii i płaskim stanie odkształcenia, uφ=0. Związki konstytutywne przyjmiemy w postaci:

( )

1 1 ^p

ij ij ij mm ij T ij

ε =E  +ν σ −δ νσ +δ ε +ε , (11) a w postaci przyrostowej mamy:

( )

2

( )

2

1 1 1 1

1 1

1 1

.

ij ij mm

ij ij

p T ij

ij mm ij

d d d d dE

dt E dt E dt E dt E dt

d d

d dE

E dt E dt dt dt

ε ν σ δ ν σ ν ν σ

ε ε

δ ν ν σ δ

 

= + − + − +  −

 

−  −  + +

(12)

Tutaj

( )

6 6

1 0 2

, ,

T

T k K c k trk

k k

v T w dT v

ε α ε

= =

=

∑ ∫

+

∑

⁽¹³⁾

6 6

1 0 2

( , ) ( , )

T

k k

T

k c k k c trk

k k

dv dv

d dT

T w dT v T w

dt dt dt dt

ε α α ε

= =

 

=  + +

 

∑ ∫ ∑

^.

Stowarzyszone prawo płynięcia plastycznego ma postać [2]:

6

1

2

, 2

3 2

ij ij ij f k

p f

ij ij k k

ij f

f p

ij ij

d d dv

F dT

d F dt dt dT dt v dt

dt F F

σ α σ σ

ε σ σ

σ σ

σ ε σ σ

=

∂ ∂

 

 

∂  − −  + 

∂ ∂

∂    

= Λ Λ =

∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∑

, (14)

gdzie parametr wzmocnienia kinematycznego α i naprężenie efektywne są określone _ij zależnościami:

( ) ( )

^{6 '}

1

' ^p, 1 ' ^p 1

ij ij ef Y Y k k k

k

H H v H

α β ε σ σ β ε σ β κ

=

= = + − = + −

∑

^{. (15)}

Wielkości powyższe odpowiadają biliniowej charakterystyce wzmocnienia materiału [1].

4. PLASTYCZNOŚĆ WYWOŁANA PRZEMIANAMI FAZOWYMI TRIP

Rys. 1 Schemat efektu TRIP [6]

Gdy przemiany fazowe odbywają z jednoczesnym występowaniem pola naprężeń, to odkształcenia wywołane przemianami fazowymi εtr nie są stałe, lecz wpływ na nie ma znak i wielkość chwilowych naprężeń.

Pełen cykl przemian fazowych (powstawanie, zanikanie oraz powrót do stanu wyjściowego przed przemianami) powoduje pozostanie w postaci szczątkowej części odkształceń wywołanych przemianami fazowymi. Wiąże się to ze zjawiskiem znanym jako TRIP (TRansformation Induced Plasticity), czyli plastyczność wywołana przemianami fazowymi [1]. Z fizycznego punktu widzenia zjawisko TRIP może być wywołane anizo- tropowością przemian fazowych. Greenwood i Johnson wykazali, że anizotropia wywołuje lokalne uplastycznienie w tych strefach hartowanych elementów, w których występują składniki przemian fazowych o niższych własnościach wytrzymałościowych. Na rys. 1 pokazano przykładowo efekt TRIP dla przemiany austenityczno-ferrytycznej podczas odkształcenia plastycznego. W obszarze koncentracji naprężeń austenit szczątkowy (rys. 1a)

przemiania się w martenzyt (rys. 1b), a w kolejności przemianie podlegają sąsiadujące obszary (rys. 1c) i dlatego uzyskuje się duże wydłużenie.

Poniżej, na rysunku 2, przedstawiono schemat zmian mikrostruktury podczas odkształcenia trzech typów stali TRIP [6].

Rys. 2 Schemat zmian mikrostruktury TRIP

(a) Klasyczny efekt TRIP występujący w stalach austenitycznych o wysokiej wytrzymałości i plastyczności. Struktura to austenit i martenzyt postały wskutek plastycznego odkształcenia.

(b) Stale z podwyższoną zawartością niklu (6-9%) stosowane dla potrzeb kriogeniki. Tutaj austenit szczątkowy znajduje się w osnowie złożonej z odpuszczonego martenzytu, gdzie w wyniku odkształcenia i efektu TRIP powstają listwy świeżego martenzytu.

(c) Przeniesienie efektu TRIP na stale niskowęglowe z dod. krzemu i manganu.

Mikrostruktura to bainitu w osnowie ferrytu i austenitu szczątkowego ulokowanego w pobliżu bainitu.

Zjawisko TRIP jest w systemie uwzględnione przez dodanie składnika dε_ij^tp/dt, wynikającego z przemianą od austenitu do fazy k, w podstawowych równaniach konstytutywnych (przyrostowych):

e th tr cp tp

ij ij ij ij ij ij

d d d d d d

dt dt dt dt dt dt

ε ε ε ε ε ε

= + + + +

_, (16)

( ) ¹

3 1

3

tp

ij k

k ij ij mm

d dv

K v

dt dt

ε = −    σ − δ σ   

^{, (17)}

gdzie vk =v6 jest udziałem objętościowym martenzytu występującego w danej chwili czasu; K jest pewną stałą. Wartość tej stałej wg [4] dla badanych stali mieści się w granicach 45⋅10^-12 m²/N do 50⋅10^-12 m²/N. Ogólnie można przyjąć, że równanie (17) jest ważne dla wszystkich składników przemian fazowych. Uwzględnienie składnika dε_ij^tp/dt w analizie teoretycznej, w procedurze numerycznej zmodyfikuje wektor dε^o/dt w równaniu przyrostowym

o t

d d d

dt dt dt

 

= ⋅ − 

 

σ ε ε

D , (18)

do postaci

o T

o o

o

r d z

d d

d

dt dt dt dt εϕ

ε ε

 

=  

 

 

ε , (19)

gdzie

( ) ( )

( ) ( )

2 6

2

1 1

3 1 ,

3

o r

r z z

k T

k r r z

k r

d dE d

dt E dt E dt

d dQ dF d

K P

dt dt d dt

ϕ ϕ

ϕ

ε σ ν σ σ ν σ σ

ν ε

ν σ σ σ σ

= σ

 

= −  − + − + +

 

+

∑

−  − + + + + ⁽²⁰⁾

( ) ( )

( ) ( )

2 6

2

1 1

3 1 1 ,

3

o

r z r z

k T

k r z

k

d dE d

dt E dt E dt

d dQ dF d

K P

dt dt d dt

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ε σ ν σ σ ν σ σ

ν ε

ν σ σ σ σ

= σ

 

= −  − + − + +

 

+

∑

−  − + + + + ⁽²¹⁾

( ) ( )

( ) ( )

2 6

2

1 1

3 1 1 .

3

o z

z r r

k T

k z r z

k z

d dE d

dt E dt E dt

d dQ dF d

K P

dt dt d dt

ϕ ϕ

ϕ

ε σ ν σ σ ν σ σ

ν ε

ν σ σ σ σ

= σ

 

= −  − + − + +

 

+

∑

−  − + + + + ⁽²²⁾

Zdefiniowany wektor dε^o/dt - uwzględniający zjawisko TRIP, zastępuje poprzedni wektor – nie uwzględniający tego zjawiska.

5. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH I WNIOSKI

Wykresy, rys. 3–6, przedstawiają przykładowo wyniki obliczeń numerycznych dotyczących analiz przebiegu naprężeń w stanach sprężysto-plastycznych dla procesu hartowania stalowego wałka φ19 z uwzględnieniem zjawiska TRIP. Przyjęto wodę jako ośrodek chłodzący. Dane materiałowe odpowiadają stali 12HN2.

Wykresy na rysunkach 3, 4 i 5 przedstawiają wyniki rozwiązań sprężysto-plastycznych obrazujących przebiegi składowych naprężeń promieniowych (rys. 3), obwodowych (rys. 4) i wzdłużnych (rys. 5) jako funkcji czasu dla pięciu współrzędnych promieniowych (r=0, 2, 4, 6, 8 mm). Analiza dotyczy wałka nawęglanego, przy zawartości węgla zmieniającej się wzdłuż promienia r. Na wykresach wyraźnie widać „zaburzenia” przebiegu naprężeń w zakresie 5-15s, w którym to okresie czasu odbywają się intensywne przemiany fazowe.

0 10 20 30 40 50

Czas [s]

-300 -200 -100 0 100 200

Naprężenie sr [MPa]

rozwiązanie SPR-PLAST wałek nawęglany, chł.w.

przebiegi sr

r = 8 mm r = 6 mm

r = 4 mm

r = 0 mm r = 2 mm

bez TRIP

Rys. 3 Przebiegi naprężeń promieniowych σr jako funkcji czasu dla różnych promieni r (rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)

Nadmienić należy, że przedstawione wyniki mają charakter ogólny, gdyż w analizie uwz- ględniono przemianę austenitu na wszystkie składniki przemian fazowych, tj. ferryt, perlit, cementyt, bainit i martenzyt. Dla porównania na wykresach zaznaczono również krzywe (linia przerywana) odpowiadające rozwiązaniu bez uwzględnienia zjawiska TRIP.

0 10 20 30 40 50

Czas [s]

-400 -200 0 200 400

Naprężenie sf [MPa]

rozwiązanie SPR-PLAST wałek nawęglany, chł.w.

przebiegi s_f

r = 8 mm r = 6 mm r = 4 mm

r = 0 mm r = 2 mm

bez TRIP

Rys. 4 Przebiegi naprężeń obwodowych σϕ jako funkcji czasu dla różnych promieni r (rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)

0 10 20 30 40 50

Czas [s]

-600 -400 -200 0 200 400

Naprężenie sz [MPa]

rozwiązanie SPR-PLAST wałek nawęglany, chł.w.

przebiegi sz

r = 8 mm r = 6 mm

r = 4 mm r = 0 mm r = 2 mm

bez TRIP

Rys. 5 Przebiegi naprężeń wzdłużnych σz jako funkcji czasu dla różnych promieni r (rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)

Wykres na rys. 6 przedstawia z kolei przebiegi naprężeń zredukowanych, ich poziom maksymalny przekracza granicę plastyczności materiału, którą przyjęto równą 200MPa. Jak pokazują otrzymane wyniki, uwzględnienie zjawiska TRIP w procesie hartowania stalowych elementów dość istotnie wpływa na poziom naprężeń chwilowych i szczątkowych, co

0 10 20 30 40 50 Czas [s]

0 100 200 300 400

Naprężenie sred [MPa]

rozwiązanie SPR-PLAST wałek nawęglany, chł.w.

przebiegi sre d

r = 8 mm

r = 6 mm r = 4 mm

r = 0 mm r = 2 mm

bez TRIP

Rys. 6 Przebiegi naprężeń zredukowanych σred jako funkcji czasu dla różnych promieni r (rozwiązanie sprężysto-plastyczne, wałek nawęglany, chłodzenie w wodzie)

szczególnie uwidacznia się w środkowym i końcowym okresie procesu chłodzenia. Różnice wartości naprężeń zredukowanych z uwzględnieniem i bez uwzględnienia efektu TRIP są poza tym większe w warstwie przypowierzchniowej (dla r=8 mm) niż wewnątrz elementu.

LITERATURA

1. Fletcher A. J.: Thermal Stress and Strain Generation in Heat Treatment, Elsevier Applied Science, London, New York, 1989.

2. Inoue T., Raniecki B.: J. Soc. Met. Sci. 1977, vol. 26, p. 105-117.

3. Jong M, Rathenau G. W., Acta Metallurgica, Vol 7, 1959, p. 246-253.

4. Grenwood G. W., Johnson R. H., Proc Roy Soc, Vol 238A, 1965, p. 403-422.

5. Sjöström S.: Interactions and constitutive models for calculating quench stresses in steel, Materials Science and Technology, 1995, nr 4, s. 823-830.

6. Popławski M., Rola austenitu szczątkowego w kształtowaniu własności mechanicznych średniowęglowych stali hartowanych bainitycznie. Rozprawa doktorska, Poznań 2004.

7. Woelke J., Zielnica J.: The influence of cooling rates on the distribution of the structure and phase in harhened cylindrical elements. Archive Appl. Mech., 1997, 67, p. 422-432.

TRANSFORMATION INDUCED PLASTICITY

IN NUMERICAL ANALYSIS OF QUENCHING STRESSES

Summary. Transformation induced plasticity effect was included in the SYSHART computer system which computes quenching stresses in steel machine elements. Finite difference method was used to determine temperature distribution and phase transformation kinetics and the finite element method was used to determine quenching stresses. Numerical results are presented in diagrams for those steel grades which present the C- shaped TTT curves.