WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNYCH MATERIAŁU

MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 35, s. 131-138, Gliwice 2008

WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNYCH

MATERIAŁU

T

ADEUSZ

W

EGNER

, D

ARIUSZ

K

URPISZ

Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska e-mail: Tadeusz.Wegner@put.poznan.pl, darek_kurpisz@o2.pl

Streszczenie. W niniejszej pracy, bazując na gruncie zasady zachowania energii oraz geometrycznej interpretacji procesu odkształcenia przedstawionej w pracy [Wegner T., Matematyczne modelowanie mechanicznych właściwości materiałów. Biuletyn WAT, Vol. LIV, Nr 12, 2005, s. 5-51.] wyprowadzono wzór na funkcję gęstości energii wewnętrznej oraz zaproponowano sposób jej podziału na część objętościową i postaciową. Przyjęto takŜe inny sposób opisu wybranych właściwości materiału bazujący na intensywności przyrostu funkcji gęstości energii wewnętrznej. Na podstawie tej koncepcji uzyskano związki pozwalające na wyznaczenie zaleŜności odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie odciąŜania oraz składowych stanu odkształcenia po zakończeniu tego procesu.

Całość rozwaŜań odniesiono do jednoosiowego rozciągania i poddano weryfikacji, wykorzystując wyniki eksperymentu przeprowadzonego dla aluminium w statycznej próbie rozciągania, uzupełnionej o pomiary odkształceń poprzecznych do osi rozciągania.

1. WSTĘP

Matematyczny opis właściwości mechanicznych materiału, bazujący na klarownych załoŜeniach i trafnej interpretacji fizycznej, jest niezwykle istotny w badaniu zjawiska zniszczenia materiału.

Większość modeli właściwości fizycznych materiałów, cytowanych powszechnie w literaturze, sprowadza się do aproksymacji eksperymentalnych zaleŜności uzyskanych w próbie jednoosiowego rozciągania np. [5]. Tego rodzaju modele nie stwarzają moŜliwości opisu właściwości materiału w złoŜonym stanie napręŜenia. Budowa modeli mechanicznych właściwości materiału dla trójosiowego stanu napręŜenia jest trudnym zadaniem, zwłaszcza wtedy, gdy właściwości te są nieliniowe.

W takich przypadkach pomocne są modele energetyczne. Opierają się one na zdefiniowaniu wielkości skalarnej nazywanej funkcją gęstości energii wewnętrznej, która wprowadza związek pomiędzy niezmiennikami stanu odkształcenia a całkowitą energią zakumulowaną w odkształconym materiale. Wprowadzenie takiego związku pomiędzy składowymi stanu odkształcenia a energią zgromadzoną w materiale pozwala na ocenę stanów

niebezpiecznych ze względu na moŜliwość plastycznego płynięcia bądź zniszczenia materiału.

Energetyczne kryteria niestabilności stosowane są między innymi w pracach [4] i [7].

Nie istnieje ogólnie obowiązująca postać funkcji gęstości energii, która byłaby prawdziwa dla wszystkich materiałów. Znany jest jednak zespół załoŜeń, który powinna spełniać prawidłowo dobrana funkcja gęstości energii wewnętrznej. Podają je min. Ogden i Taylor w swojej pracy [3]. Wykorzystując te załoŜenia, konstruuje się postać funkcji gęstości energii wewnętrznej, aproksymującej właściwości materiału. Przedmiotem zainteresowania są takŜe materiały anizotropowe, stąd podejmowane są próby wykorzystania modelu energetycznego do opisu właściwości tych materiałów [1], [6].

Zdecydowana większość modeli energetycznych niezaleŜnie od przyjętych załoŜeń cechuje się znacznym stopniem trudności matematycznej, tymczasem przyroda rządzi się prostymi prawami, które mogą skutecznie pomóc w rozpatrywaniu skomplikowanych zagadnień.

W niniejszej pracy, co jest jej oryginalną częścią, posługując się zasadą zachowania energii oraz fizyczną interpretacją procesu odciąŜania, wyprowadzono związki matematyczne pozwalające na dokonanie podziału energii na część objętościową i postaciową.

Wykorzystując pojęcie intensywności przyrostu funkcji gęstości energii wewnętrznej, wyznaczono trajektorię obciąŜenia, wzdłuŜ której materiał wykazuje największą sztywność.

Określono takŜe zaleŜność odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie odciąŜania oraz składowe stanu odkształcenia po całkowitym odciąŜeniu elementu. Teoretyczne rozwaŜania przeprowadzono dla statycznej próby jednoosiowego rozciągania, przy załoŜeniu izotropowości materiału oraz zmienności współczynnika odkształceń poprzecznych.

Uzyskane związki poddano weryfikacji na postawie wyników eksperymentu przeprowadzonego dla aluminium.

2. PODSTAWOWE ZWIĄZKI MATEMATYCZNO FIZYCZNE

Przyjmijmy, zgodnie z tokiem rozumowania przedstawionym w pracy [7], Ŝe proces odkształcenia materiału poddanego działaniu zewnętrznych obciąŜeń moŜna przedstawić w przestrzeni głównych składowych odkształcenia za pomocą linii, której punkty odpowiadają określonym stanom odkształcenia.

Rys. 1. Proces jednoosiowego rozciągania materiału liniowo spręŜystego w przestrzeni głównych składowych odkształcenia x=ε1, y=ε2, z=ε3

Przy odkształceniu czysto objętościowym linia ta jest pochylona pod jednakowym kątem do wszystkich osi układu (odcinek OO₁), co oznacza, Ŝe odległość mierzona wzdłuŜ tej linii moŜe być uznawana za miarę odkształcenia objętościowego. ZałóŜmy dalej analogicznie, Ŝe odległość mierzona w kierunku prostopadłym do tej linii określać będzie odkształcenie postaciowe. Oznaczając główne składowe stanu odkształcenia przez ε₁,ε₂,ε₃, zaś wspomniane odległości przez h i r , otrzymujemy

( )

,

3 1 3

1 2

1 2 3 2 1

2 I

h = ε +ε +ε = (1)

( ) ( )

[ ] (

³

)

^,

3 3 2

3

2 2

2 2 1 3

2 3 1 2 1 2 3 2 1

2 I I

r = ε +ε +ε − εε +εε +ε ε = − (2)

gdzie I₁ oraz I₂ są niezmiennikami stanu odkształcenia. Gwarantuje to ich niezaleŜność od przyjętego układu odniesienia, dzięki czemu moŜemy od nich uzaleŜnić funkcje gęstości energii wewnętrznej W(h,r)∈C². Przyrost wartości tej funkcji wyraŜa się wzorem

. r dr dh W h dW W

∂ +∂

∂

= ∂ (3)

Zakładając, Ŝe mamy do czynienia z procesem statycznego jednoosiowego rozciągania oraz przyjmując izotropowość materiału i znajomość aproksymacji jego charakterystyk eksperymentalnych, otrzymujemy wzory transformacyjne

, cos ) ( 2 sin

) (

, sin ) ( 2 cos

) (

1 2 1

1

1 2 1

1

α ε

ε α ε ε

α ε ε α ε ε

−

=

+

= r

h (4)

określające zaleŜność pomiędzy składowymi stanu odkształcenia h i r w przestrzeni R0H a wydłuŜeniem względnym

ε

₁.

Korzystając z faktu, Ŝe

, )

(

1 1

1 ε ε

σ d

= dW (5)

na mocy związku (3) otrzymujemy

, )) ( , ( ))

( , ( )

(

1 1 2 1 1

1 2 1 1

1 ε ε ε ε

ε ε ε ε ε

σ d

dr r

W d

dh h

W

∂ +∂

∂

=∂ (6)

który po wykorzystaniu związków (4) i wykonaniu kilku elementarnych przekształceń przyjmuje postać równania róŜniczkowego cząstkowego

, cos ) , ( 2 sin

sin ) , ( 2 cos

) ,

( _{2 2}

1 





 − ′

∂ + ∂



 

 + ′

∂

= ∂ α ε α α ε α

σ h r

r r W

h h r W

h (7)

gdzie

), sin cos

( ) ,

( ₁

1 σ α α

σ h r = h +r

).

sin cos

( ) ,

( ₂

2 ε α α

ε ′ h r = ′ h +r

Rozwiązanie ogólne równania (7) moŜna przedstawić w postaci

, 0 )

( ) , ( ), , ( 2 sin

cos

1

0

1 1 1

2 =









^{r α}−^{h α}+ ^{ε r h W r h} −^ε

∫

^{σ ε dε}

F (8)

gdzie F jest dowolną funkcją ε₁ =hcosα +rsinα , zaś ε₂(h,r)=ε₂(hcosα +rsinα), bądź równowaŜnie w postaci

(

^{cos sin 2 ( , )}

)

) ( )

,

( ₂

0

1 1 1

1

h r h

r G d r

h

W σ ε ε α α ε

ε

+

− +

=

∫

^, (9)

gdzie G jest dowolną funkcją, zaś ε₁ i ε₂(h,r) określone są tak jak wyŜej . W interpretacji fizycznej funkcja G jest funkcją kary, przyjmującą wartości niezerowe poza ścieŜką odkształcenia. Jest to bezpośrednią konsekwencją zasady zachowania energii. Zatem na ścieŜce odkształcenia mamy

. ) ( )

, (

1

0

1 1

∫

1

=

ε

ε ε

σ d

r h

W (10) W celu dokonania podziału energii na części objętościową i postaciową wystarczy powołać się na wyniki doświadczalne procesu odciąŜania materiału. Korzystając z faktu, Ŝe proces odciąŜania przebiega wzdłuŜ prostejrównoległej do linii reprezentującej zaleŜność napręŜenia od odkształcenia w początkowym etapie obciąŜania próbki oraz zakładając, Ŝe odzyskiwana jest tylko część objętościowa energii, otrzymujemy

2 , ) ) (

( ¹

2 1 ) (

W ^v ε =σ Eε (11) oraz

2 , ) ) (

( )

( ¹

2 1 1

) (

W E

W ^s σ ε

ε

ε = − (12)

gdzie W^(v)(ε₁) i W^(s)(ε₁) oznaczają odpowiednio część objętościową i postaciową energii.

Odwołując się do przedstawionej wcześniej interpretacji składowych stanu odkształcenia oraz wykorzystując związki (4), po wykonaniu serii przekształceń otrzymujemy:

2 , )) ( ) (

( ¹

2 )

(

E h h g

W ^v σ

= (13) gdzie

, sin ) ( cos

)

( ₁

1 h h α f h α

g = + (14) zaś r jest funkcją składowej h , r = f₁(h) wyznaczoną na podstawie związków (4). Podobnie na podstawie zaleŜności (12) mamy

2 , )) ( ) (

( )

( ²

2 1 )

(

0 1 )

(

2

E r d g

r W

r g

s =

∫

σ ε ε −σ (15) gdzie

, sin cos

) ( )

( ₂

2 r f r α r α

g = + (16) zaś f₂(r) jest wyznaczoną na mocy związków (4) zaleŜnością składowej h od r .

Całkowita energia zgromadzona wewnątrz odkształconego materiału wyraŜa się zatem za pomocą związku

).

( )

( )

,

(h r W^{( )} r W^{( )} h

W = ^s + ^v (17) 3. INTENSYWNOŚĆ PRZYROSTU FUNKCJI GĘSTOŚCI ENERGII WEWNĘTRZNEJ

Przyjmując, Ŝe związki (4) określają postać parametryczną dowolnej krzywej C zawartej w płaszczyźnie R0H, zaś W(h,r) jest klasy C na tej płaszczyźnie, pochodną kierunkową ¹ funkcji W(h,r) względem krzywej C moŜemy wyrazić związkiem

, c W ds

dW ==== oc ∇∇∇∇

(18)

gdzie , ,

1 1



 



=

ε ε d

dh d cccc dr

s jest długością łuku, natomiast , .





∂

∂

∂

= ∂

∇ h

W r W W

Z drugiej strony na mocy definicji iloczynu skalarnego, związek (18) moŜemy przedstawić w postaci

(

^,

)

^.

cos W

ds W

dW = ∇ ⋅ ∠c∇ (19)

Z otrzymanego powyŜej związku wynika, Ŝe o intensywności przyrostu funkcji gęstości energii wewnętrznej decydował będzie cos∠ ,

(

c∇W

)

_. W zaleŜności od wartości przyjmowanej przez cos∠ ,

(

c∇^W

)

moŜemy wyróŜnić następujące skrajne przypadki:

1. cos∠

(

c,∇W

)

=1, co odpowiada sytuacji, w której intensywność przyrostu energii wewnętrznej jest maksymalna. Przekształcenie związku (19) pozwala wyznaczyć w przestrzeni R0Hrównanie róŜniczkowe trajektorii stanów odkształcenia, wzdłuŜ której następuje najszybszy przyrost energii wewnętrznej, a więc sztywność materiału jest największa. Równanie tej trajektorii przyjmuje postać

. r W

h W dr dh

∂

∂∂

∂

= (20)

2. ^cos∠

(

^lr,∇W

)

^=0, w wyniku, czego uzyskujemy zerową intensywność przyrostu energii wewnętrznej, co odpowiada brakowi obciąŜenia.

3. ^cos∠

(

^c,∇W(v)

)

^=−1, gdzie mamy do czynienia z największą intensywnością spadku części objętościowej energii. Odpowiada to procesowi odciąŜenia elementu. Wykorzystując związek (19) w odniesieniu do części objętościowej energii i wykonując kilka elementarnych przekształceń, otrzymujemy w przestrzeni R0Hrównanie róŜniczkowe trajektorii, wzdłuŜ której następuje proces odciąŜania

) .

( ) (

r W

h W dr dh

v v

∂

∂

∂

∂

= (21)

W celu wyznaczenia zaleŜności odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie odciąŜania wystarczy tylko wykorzystać związki (4) (11) i (21), które po wykonaniu przekształceń pozwalają zapisać

2 . 2 )

( ) (

1 1

1 1

=

=

dr d E

dh d E dr

dh

ε ε σ

ε ε σ

(22)

Z drugiej strony

. )) ( 1 ( 2

) ( 2 1

1 2

1 2

ε ε

ε ε

− ′ + ′ dr =

dh (23)

Wykorzystując związki (22) i (23) oraz wykonując serię przekształceń, otrzymujemy równanie zaleŜności odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych, które przyjmuje postać

ε₂(ε₁)=ε₂^odc, (24) gdzie ε₂^odc jest składowa poprzeczną stanu odkształcenia w chwili inicjacji procesu odciąŜania.

Składowe wzdłuŜną i poprzeczną po zakończeniu procesu odciąŜania moŜemy wyznaczyć ze wzorów

odc odc c

od

Eσ ε

ε₁ ^′ = ₁ − ¹ oraz ε₂^odc′ =ε₂(ε₁^odc′).

Korzystając z definicji współczynnika odkształceń poprzecznych i związku (24), mamy .

)

~ (

1 2

1 ε

ε ε ν

odc

odc =− (25) Otrzymane równanie opisuje współczynnik odkształceń poprzecznych w trakcie odciąŜania elementu.

4. WYKORZYSTANIE WYNIKÓW PRÓBY STATYCZNEGO JEDNOOSIOWEGO ROZCIĄGANIA DLA ALUMINIUM.

Doświadczalne charakterystyki zaczerpnięte z badań M. Obsta [2] moŜna aproksymować funkcjami







>

+ +

−

= ≤

, ) ,

(

1 1

2 1

1 1

1

e e e

e

dla c b a

R dla

ε ε ε

ε

ε ε ε ε

ε

σ (26)

oraz

( )











<

≤

−

⋅

−

−

<

<

−

−

≤

⋅

=

, 121 , 0 074

, 0 )

074 , 0 exp(

) ) 074 , 0 ( 10 exp(

) (

, 074 , 0 )

) (

10 exp(

) (

, )

( 4 4 1 )

~(

1 1

6 , 1

1 6

, 1 1

1

1

1

ε ε

ε ε

ν

ε ε ε

ε ε

ν

ε ε ε

ν ε

ν

ε ε

dla dla dla

e e

e e

e

e e

e

(27)

gdzie ,

) ( _{m e} ²

e

m R

a R

ε ε −

= − ,

) 2(

2 r

e m

e

m R

b R ε

ε

ε − ^⋅

= − ,

) (

) (

2 2

e m

r e m r

R R R

c ε ε

ε

−

− −

= ε_e =0,0063, natomiast MPa

238 ,

MPa

184 =

= _m

e R

R są stałymi materiałowymi. Zestawienie tych aproksymacji z wykresami doświadczalnymi przedstawiają rysunki 2 i 3.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

)

~( ε1

ν

ε1 D

Rys. 2. Aproksymacja wykresu zaleŜności napręŜenia od odkształcenia względnego w próbie jednoosiowego

rozciągania dla aluminium

0 50 100 150 200 250 300

0 0,05 0,1 0,15 0,2

ε1

•

D

σ(ε1)[MPa]

Rys. 3. Aproksymacja zaleŜności współczynnika odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w próbie jednoosiowego rozciągania dla aluminium

Na podstawie wprowadzonych aproksymacji (26), (27) oraz wzorów (13) i (15) otrzymujemy wykresy części objętościoweji postaciowej energii.

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

•P

Rys. 4. Wykres części objętościowej funkcji gęstości energii wewnętrznej w zaleŜności od składowej h stanu

odkształcenia

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Rys. 5. Wykres części postaciowej funkcji gęstości energii wewnętrznej w zaleŜności od składowej r

stanu odkształcenia

Punkt P na wykresach 2 i 4 określa początek procesu plastycznego płynięcia, który zachodzi wskutek poślizgów w sieci krystalicznej, na co wskazuje stałość części objętościowej energii przy zmianie składowej h stanu odkształcenia.

Na podstawie charakterystyk eksperymentalnych i wzorów (24), (25) otrzymujemy wykresy zaleŜności odkształceń poprzecznych oraz współczynnika odkształceń poprzecznych od odkształceń wzdłuŜnych w procesie odciąŜania elementu.

-0,045 -0,0448 -0,0446 -0,0444 -0,0442 -0,044 -0,0438 -0,0436 -0,0434 -0,0432 -0,043

0,098 0,099 0,1 0,101 0,102 0,103

ε1

odc

ε2

obc

ε2

Rys. 6. Wykres przedstawiający zaleŜność odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie obciąŜania i

odciąŜania materiału

0,436 0,438 0,44 0,442 0,444 0,446 0,448 0,45 0,452 0,454 0,456

0,098 0,099 0,1 0,101 0,102 0,103

ε )

~ ( ε1

vobc

)

~ ( ε1

vodc

Rys. 7. Wykres przedstawiający zaleŜność współczynnika odkształceń poprzecznych od odkształceń wzdłuŜnych w procesie obciąŜania i

odciąŜania materiału

5. WNIOSKI

• Zaproponowany w niniejszej pracy opis zjawisk zachodzących w odkształcanym materiale umoŜliwia wyznaczanie zmian energii wewnętrznej odkształcenia objętościowego i postaciowego w procesie odkształcenia materiału.

• Przyjęty sposób podziału energii wewnętrznej jest koncepcją pomocną w opisie odciąŜania elementu.

• Energia odkształcenia objętościowego zgromadzona w obciąŜonym materiale stanowi niewielką część całkowitej energii odkształcenia.

• W procesie plastycznego płynięcia energia odkształcenia objętościowego zachowuje stałą wartość

• Szybkość wzrostu współczynnika odkształceń poprzecznych w procesie odciąŜania (rys.6.) jest stała.

• Zmiana współczynnika odkształceń poprzecznych w procesie odciąŜania jest w przybliŜeniu liniowa.

LITERATURA

1. Kambouchev N, Radovitzky R, Fernandez J.: Anisotropic materials which can be modeled by polyconvex strain energy functions. 47th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference 1 – 4 May 2006, Newport, Rhode Island.

2. Obst M.: Energetyczny model materiału o nieliniowych właściwościach. Rozprawa doktorska pod kierunkiem T. Wegnera. Poznań 2007.

3. Ogden R. W.: Non-linear elastic deformations. Dover Publications, Mineola, NY 1997.

4. Petryk H.: The energy criteria of instability in the time-independent inelastic solids.

“Archiwum Mechaniki Stosowanej” 1991, 43. 4, s. 519-545.

5. Rasmussen K.J.R.: Full-range stress-strain curves for stainless steel alloys., “Journal of Constructional Steel Research” 2003, 59 s. 47-61.

6. Rovati M, Talirecio A.: A general approach for the evaluation of strain energy extrema in anisotropic elasticity. The Frithiof Niordson Volume’.

7. Wegner T., Matematyczne modelowanie mechanicznych właściwości materiałów.

Biuletyn WAT, Vol. LIV, Nr 12, 2005, s. 5-51.

APPLYING OF BASIC PHYSICAL PRINCIPLES IN MODELING OF MECHANICAL PROPERTIES OF MATERIAL

Summary. The physical model of the material properties, based on physical laws, was proposed by authors in this paper. The conservation energy principle was used to build strain energy density function. On the base of this principle and definition of the strain energy increment intensity, the division of energy was proposed, what is important element of this work. The conception of energy splitting into volumetric and shear parts is accepted for description of material properties.

All assumptions are based on uniaxial tension test supported by transverse deformations measurements. The results of uniaxial tension test were acquired from dissertation [2], while geometrical interpretation of material deformation process was taken from paper [7]. All considerations were carried out for aluminium.