Arytmetyka teoretyczna
LISTA 4. Standardowe funkcje arytmetyczne:
Funkcja Gaussa-Eulera φ(n) - zliczaj¸aca liczby mniejsze od n i wzgl¸ednie pierwsze z n.
Funkcje Θ(n) - zliczaj¸aca oraz σ(n) - sumuj¸aca dzielniki liczby nat- uralnej n.
Twierdzenie 1. Jeśli liczby n i m s¸a wzgl¸ednie pierwsze, to φ(nm) = φ(n)φ(m).
Zad. 1. Pokazać, że jeśli n > 2, to φ(n) jest liczb¸a parzyst¸a.
Zad. 2. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n jeśli d1, d2, . . . , ds s¸a wszystkimi jej dzielnikami, to φ(d1) + φ(d2) + . . . + φ(ds) = n.
Zad. 3. Pokazać, że jeśli liczby n i m s¸a wzgl¸ednie pierwsze, to σ(nm) = σ(n)σ(m).
Zad. 4. (a) Dowieść, że nie ma liczby n, dla której σ(n) = 5.
(b) Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb n, dla których σ(n + 1) < σ(n).
Zad. 5. Udowodnić nast¸epuj¸ace twierdzenie.
Twierdzenie 2. Niech n ma rozkład postaci iloczynu (∗) n = pα11 · pα22 · . . . · pαss , gdzie
p1 < p2 < . . . < pn jest rosn¸acym ci¸agiem liczb pierwszych.
Wówczas
Θ(n) = (1 + α1)(1 + α2) · . . . (1 + αs), σ(n) = pα1+11p −1
1−1 ·pα2+12p −1
2−1 · . . . ·pαs+1sp −1
s−1
φ(n) = n · (1 − p1
1) · (1 − p1
2) · . . . · (1 − p1
s).
Zad. 6. Dla jakich liczb naturalnych n mamy (a) Θ(n) = 4;
(b) Θ(n) = 5?
Liczb¸e naturaln¸a n nazywamy doskonał¸a jeśli jest ona sum¸a wszystkich swoich dzielników od niej mniejszych.
Dwie pierwsze liczby doskonałe to 6 i 28. Wszystkie znane liczby doskon- ałe s¸a parzyste, nie wiadomo, czy istniej¸a nieparzyste liczby doskonałe.
Twierdzenie 3. Każda parzysta liczba doskonała ma postać 2p−1(2p− 1), gdzie 2p− 1 jest liczb¸a pierwsz¸a.
1
Uwaga (zadanie): Wtedy p jest liczb¸a pierwsz¸a.
Zad. 7. Znaleźć trzeci¸a i czwart¸a (parzyst¸a) liczb¸e doskonał¸a.
Liczby n i m nazywamy zaprzyjaźnionymi, jeśli n + m = σ(n) = σ(m).
Zad. 8. Sprawdzić, że liczby 220 i 284 s¸a zaprzyjaźnione.
2
