Lista 1: Liczby zespolone I

Lista 1: Liczby zespolone I

(1) Znale¹¢ sume i ró»nice podanych liczb zespolonych:

(a) 2 + 6i, 3 − 3i;

(b) 5 + i, 5 − i;

(c) 6, −2i;

(d) 2 + i, 2 + i;

(e) 1 + √

2 i, 2 − √ 2 i ; (f) i, 3i;

(g) 12 − 7i, 3 + 4i;

(h) 2 + i, 2 − i.

(2) Wskaza¢ taka liczbe x, aby podane pary liczb zespolo- nych byªy równe:

(a) x + 3i, 6 + 3i;

(b) (2x − 8) + (x − 1)i, 2 + 4i;

(c) (x

+ 6) + (2x)i, 15 + 6i ; (d) (−x + 4) + (x + 1)i, x + 3i.

(3) Oblicz:

(a) (5 − 5i) · (1 + 3i);

(b) (3 + i) · (

+ i) ; (c) ( √

7 − i) · ( √

7 + i) ; (d) (a + bi)

;

(e) (a + bi) · (a − bi);

(f) (2−i)·(2+2i)·(4+i);

(g) (1 + i)

; (h) (a + bi)

. (4) Oblicz:

(a) i

dla n = 1, 2, 3, 4, 5;

(b) i

, i

;

(c) * znajd¹ ogólny wzór na i

dla n ∈ N

.

(5) Znajd¹ sprze»enie ¯z liczby zespolonej z, a nastepnie przedstaw gracznie z, ¯z, je»eli

(a) z = 6 − 3i;

(b) z = −8i; (c) z = 2 + 5i;

(d) z = 4.

(6) Znajd¹ moduªy podanych liczb zespolonych, je»eli z = 2 + i , w = −3 + 2i

1

2

(a) |z|;

(b) |z

| ; (c) |zw|;

(d) |wz|.

(7) Wykonaj wskazane operacje:

(a)

; (b)

;

(c)

;

(d)

; (e)

4−2i

; (f)

.

(8) Poka», »e z = ¯z wtedy i tylko wtedy, gdy z jest liczba rzeczywista.

(9) Poka», »e dla dowolnych liczb zespolonych z, w (a) |zw| = |z| · |w|;

(b) je»eli w 6= 0, to |

| =

.

(10) Znajd¹ posta¢ trygonometeryczna podanej liczby ze- polonej:

(a) −2 − 2i;

(b) −2(1+ √ 3i) ; (c) √

3 + i ;

(d) 6i;

(e) 4;

(f) −2i;

(g) 7 + 7i, (h) √

3 − i , (i) −5 + 5 √

3i.

(11) Podaj posta¢ algebraiczna liczby zespolonej:

(a) 2(cos

+ i sin

) ;

(b)

(cos

+ i sin

) ; (c) 5(cos

+ i cos

) ; (d)

(cos

+ i sin

) . (12) Wykonaj wskazane dziaªanie, wynik pozostaw w po-

staci trygonometrycznej

(a) 3(cos

+ i sin

) · 4(cos

+ i sin

)  (b) 

(cos

+ i sin

) · 6(cos

+ i sin

)  ;

; (c) [

]

[

];

(d) [

]

[

]

3

(13) * Poka», »e je»eli iloczyn dwóch liczb zespolonych jest

równy 0, to co najmniej jedna z tych liczb jest równa

0.