Układy magnetyczne

(1)

Układy magnetyczne

Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna

Instytut Fizyki

2015

Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna Układy magnetyczne

(2)

Cel

• Opisa´c własno´sciparamagnetyczne(magnesowanie sie˛ substancji w polu magnetycznym) iferromagnetyczne(trwałe namagnesowanie nawet w nieobecno´sci pola) substancji.

• Zidentyfikowa´c niezbe˛dne warunki potrzebne by wysta˛piło zjawisko ferromagnetyzmu.

• Własno´sci magnetyczne substancji opisujemagnetyzacja(namagnesowanie)

m(T, B) = −∂f (T, B)

∂B

• Własno´sci ferromagnetyczne w temperaturze T zale˙za˛ (w uproszczeniu) od tego, czy m(T, 0) 6= 0.

(3)

Cel

m(T, B) = −∂f (T, B)

∂B

(4)

Cel

m(T, B) = −∂f (T, B)

∂B

(5)

Cel

m(T, B) = −∂f (T, B)

∂B

(6)

Cel

m(T, B) = −∂f (T, B)

∂B

(7)

Paramagnetyzm

• Niech w obje˛to´sci V próbki substancji be˛dzie rozmieszczonych N momentów magnetycznych opisanych wektorami ~µ o tej samej długo´sci, ale ró˙znej orientacji.

• Przy braku zewne˛trznego pola magnetycznego momenty magnetyczne

ustawione sa˛ w sposób nieuporza˛dkowany i ´srednie pole magnetyczne wynosi 0.

• Wiadomo, ˙ze w zewne˛trznym polu magnetycznym o indukcji ~B momenty magnetyczne porza˛dkuja˛ sie˛.

• Energia oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi

E = −~µ · ~B = −µB cos ϑ ,

• W stanie równowagi prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze energia oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym przyjmuje warto´s´c z przedziału (E, E + dE) dane jest przez rozkład kanoniczny

p(E) = C e^−βEdE dla −µB ¬ E ¬ µB, gdzie

C⁻¹ =

µB

Z

−µB

e^−βEdE = 2

βsinh(βµB) .

(8)

Paramagnetyzm

E = −~µ · ~B = −µB cos ϑ ,

C⁻¹ =

µB

Z

−µB

e^−βEdE = 2

βsinh(βµB) .

(9)

Paramagnetyzm

E = −~µ · ~B = −µB cos ϑ ,

C⁻¹ =

µB

Z

−µB

e^−βEdE = 2

βsinh(βµB) .

(10)

Paramagnetyzm

E = −~µ · ~B = −µB cos ϑ ,

C⁻¹ =

µB

Z

−µB

e^−βEdE = 2

βsinh(βµB) .

(11)

Paramagnetyzm

E = −~µ · ~B = −µB cos ϑ ,

C⁻¹ =

µB

Z

−µB

e^−βEdE = 2

βsinh(βµB) .

(12)

Magnetyzacja próbki

magnetyzacja = ´sredni moment magnetyczny obje˛to´s´c

M = N

Vµh cos ϑ i = −N V

hEi B .

• Poniewa˙z

hEi =

µB

Z

−µB

Ep(E)dE = µB ₁

βµB − ctgh(βµB) ,

• to

M (T, B) = N V µ

h ctgh

_µB kT

− kT µB i

.

(13)

Magnetyzacja próbki

M = N

Vµh cos ϑ i = −N V

hEi B .

• Poniewa˙z

hEi =

µB

Z

−µB

Ep(E)dE = µB ₁

• to

M (T, B) = N V µ

h ctgh

_µB kT

− kT µB i

.

(14)

Magnetyzacja próbki

M = N

V µh cos ϑ i = −N V

hEi B .

• Poniewa˙z

hEi =

µB

Z

−µB

Ep(E)dE = µB ₁

• to

M (T, B) = N V µ

h ctgh

_µB kT

− kT µB i

.

(15)

Magnetyzacja próbki

M = N

hEi B .

• Poniewa˙z

hEi =

µB

Z

−µB

Ep(E)dE = µB ₁

• to

M (T, B) = N V µ

h ctgh

_µB kT

− kT µB i

.

(16)

Magnetyzacja próbki

M = N

hEi B .

• Poniewa˙z

hEi =

µB

Z

−µB

Ep(E)dE = µB ₁

• to

M (T, B) = N V µ

h ctgh

_µB kT

− kT µB i

.

(17)

Prawo Curie i obszar nasycenia

W zachowaniu sie˛ magnetyzacji w funkcji pola magnetycznego B mo˙zna wyró˙zni´c trzy obszary:

• obszar niewielkich pól: µB kT , wówczas ctgh(x) −1 x∼1

3x Prawo P. Curie

Magnetyzacja jest wprost proporcjonalna do indukcji pola magnetycznego

M (T, B) = N µ² 3kT VB ,

współczynnik proporcjonalno´sci (podatno´s´c magnetyczna) jest odwrotnie proporcjo- nalny do temperatury T .

• obszar przej´sciowy

• obszar nasycenia: µB kT , wówczas ctgh(x) −1

x∼ 1, magnetyzacja nie zale˙zy praktycznie od pola magnetycznego

M = N

Vµ

W tym obszarze praktycznie wszystkie momenty magnetyczne w próbce sa˛ ustawione zgodnie z zewne˛trznym polem magnetycznym

(18)

Prawo Curie i obszar nasycenia

3x

Prawo P. Curie

M (T, B) = N µ² 3kT VB ,

M = N

Vµ

(19)

Prawo Curie i obszar nasycenia

3x Prawo P. Curie

M (T, B) = N µ² 3kT VB ,

M = N

Vµ

(20)

Prawo Curie i obszar nasycenia

3x Prawo P. Curie

M (T, B) = N µ² 3kT VB ,

M = N

Vµ

W tym obszarze praktycznie wszystkie momenty magnetyczne w próbce sa˛

ustawione zgodnie z zewne˛trznym polem magnetycznym

(21)

Sieci spinowe

• Zlokalizowane momenty magnetyczne (spiny) na d-wymiarowej sieci

• N momentów magnetycznych opisujemy przy pomocy skalarnych wielko´sci si= ±1 , i = 1, . . . , N , a ich poło˙zenie przez wektory poło˙zenia ~ri. Konfiguracje˛ spinowa˛ sieci okre´sla wówczas wielko´s´c s = (s1, . . . , sN)

• Spiny oddziałuja˛ ze soba˛ za pomoca˛ potencjału V(rij), gdzie rij= |~ri− ~rj|,

V(rij) =

+ oddziaływanie antyferromagnetyczne

− oddziaływanie ferromagnetyczne

• Spiny moga˛ oddziaływa´c tak˙ze z zewne˛trznym polem magnetycznym o indukcji B~

(22)

Sieci spinowe

V(rij) =

(23)

Sieci spinowe

V(rij) =

(24)

Sieci spinowe

V(rij) =

(25)

Sieci spinowe

V(rij) =

(26)

Hamiltonian

• Hamiltonian układu spinowego ma posta´c

H(s, B) =

N

X

1=i<j

V(rij)sisj

oddziaływanie pomie˛dzy spinami

− B

N

X

i=1

si

oddziaływanie z polem

• Mo˙zliwy jest ogólniejszy Hamiltonian

H(s, B) =b

N

X

1=i<j

V(rij)b^sⁱ^·b^s^j^{− B}

N

X

i=1

bsi

gdzie b^sⁱ sa˛ operatorami opisuja˛cymi momenty magnetyczne (ale w tym wypadku konieczny jestopis kwantowy)

(27)

Hamiltonian

H(s, B) =

N

X

1=i<j

V(rij)sisj

− B

N

X

i=1

si

H(s, B) =b

N

X

1=i<j

N

X

i=1

bsi

(28)

Hamiltonian

H(s, B) =

N

X

1=i<j

V(rij)sisj

− B

N

X

i=1

si

H(s, B) =b

N

X

1=i<j

N

X

i=1

bsi

(29)

Suma statystyczna

• Suma statystyczna w ramach formalizmu kanonicznego ma posta´c ZN(β, B) = Tre^−βH = X

{s}

e^−βH(s,B)

gdzie suma rozcia˛ga sie˛ na wszystkie mo˙zliwe konfiguracje spinowe s

(30)

Suma statystyczna

• Suma statystyczna w ramach formalizmu kanonicznego ma posta´c ZN(β, B) = Tre^−βH = X

{s}

e^−βH(s,B)

gdzie suma rozcia˛ga sie˛ na wszystkie mo˙zliwe konfiguracje spinowe s

(31)

Modele magnetyczne

• Kluczowy jest wybór potencjału oddziaływania pomie˛dzy spinami V(rij) Modele magnetyczne

1 model najbli˙zszych sa˛siadów (Isinga)

H(s, B) = −JX

(i,j)

sisj− B

N

X

i=1

si

gdzie sumowanie rozcia˛ga sie˛ na pary najbli˙zszych sa˛siadów (i, j)

2 model pola ´sredniego (Curie-Weissa-Kaca)

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si

gdzie

hsi = 1 N − 1

N −1

X

i6=j=1

sj

(32)

Modele magnetyczne

• Kluczowy jest wybór potencjału oddziaływania pomie˛dzy spinami V(rij)

Modele magnetyczne

H(s, B) = −JX

(i,j)

sisj− B

N

X

i=1

si

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si

gdzie

hsi = 1 N − 1

N −1

X

i6=j=1

sj

(33)

Modele magnetyczne

H(s, B) = −JX

(i,j)

sisj− B

N

X

i=1

si

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si

gdzie

hsi = 1 N − 1

N −1

X

i6=j=1

sj

(34)

Modele magnetyczne

H(s, B) = −JX

(i,j)

sisj− B

N

X

i=1

si

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si

gdzie

hsi = 1 N − 1

N −1

X

i6=j=1

sj

(35)

Modele magnetyczne

H(s, B) = −JX

(i,j)

sisj− B

N

X

i=1

si

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si

gdzie

hsi = 1 N − 1

N −1

X

i6=j=1

sj

(36)

Jednowymiarowy model Isinga na okre˛gu (Onsager)

• Hamiltoniam mo˙zna zapisa´c w postaci

H(s, B) = −J

N

X

i=1

sisi+1−B 2

N

X

i=1

(si+ si+1)

• Policzenie sumy statystycznej prowadzi do . . .

ZN = Tr (P^N) = λ^N+ + λ^N−

gdzie λ+oraz λ−sa˛ warto´sciami własnymi macierzy

P =

e^{β(J −B)} e^−βJ e^−βJ e^{β(J +B)}

(37)

Jednowymiarowy model Isinga na okre˛gu (Onsager)

H(s, B) = −J

N

X

i=1

sisi+1−B 2

N

X

i=1

(si+ si+1)

ZN = Tr (P^N) = λ^N+ + λ^N−

P =

(38)

Jednowymiarowy model Isinga na okre˛gu (Onsager)

H(s, B) = −J

N

X

i=1

sisi+1−B 2

N

X

i=1

(si+ si+1)

ZN = Tr (P^N) = λ^N+ + λ^N−

P =

(39)

Jednowymiarowy model Isinga na okre˛gu (Onsager)

H(s, B) = −J

N

X

i=1

sisi+1−B 2

N

X

i=1

(si+ si+1)

ZN = Tr (P^N) = λ^N+ + λ^N−

P =

(40)

Jednowymiarowy model Isinga na okre˛gu (Onsager)

• Warto´sci własne zale˙za˛ od β oraz B λ±(β, B) = e^βJ

h

cosh(βB) ±p

sinh²(βB) + e^−4βJ i

• Energia swobodna F (T, B, N ) = −kT ln ZN(T, B)

(41)

Jednowymiarowy model Isinga na okre˛gu (Onsager)

h

cosh(βB) ±p

(42)

Jednowymiarowy model Isinga na okre˛gu (Onsager)

h

cosh(βB) ±p

(43)

Granica termodynamiczna

• Przej´scie graniczne N → ∞ na poziomie energii swobodnej

• Energia swobodna na jeden spin w granicy termodynamicznej

f (T, B) = lim

N →∞

1

NF (T, B, N )

− 1

kTf (T, B) = lim

N →∞

1

Nln ZN(T, B)

(44)

Granica termodynamiczna

f (T, B) = lim

N →∞

1

NF (T, B, N )

− 1

kTf (T, B) = lim

N →∞

1

Nln ZN(T, B)

(45)

Granica termodynamiczna

f (T, B) = lim

N →∞

1

NF (T, B, N )

− 1

kTf (T, B) = lim

N →∞

1

Nln ZN(T, B)

(46)

Granica termodynamiczna

f (T, B) = lim

N →∞

1

NF (T, B, N )

− 1

kTf (T, B) = lim

N →∞

1

Nln ZN(T, B)

(47)

Energia swobodna modelu Isinga w granicy termodynamicznej

• Łatwo pokaza´c, ˙ze . . .

f (T, B) = −J − kT ln h

cosh

_B kT

+

r sinh²

_B kT

+ e^{−4J/(kT )} i

• Magnetyzacjana jeden spin w granicy termodynamicznej

m(T, B) = −∂f

∂B = sinh(B/kT )

psinh²(B/kT ) + e^−4J/kT

• m(T, 0) = 0 nie ma ferromagnetyzmu

• Przy J = 0

mJ =0(T, B) = tgh

_B kT

jak dla paramagnetyków

• Do podobnych wniosków prowadzi obliczenie funkcji korelacji dla tego modelu hs1sr+1i = Z_N⁻¹(β, B)X

{s}

s1sr+1e^−βH.

(48)

Energia swobodna modelu Isinga w granicy termodynamicznej

f (T, B) = −J − kT ln h

cosh

_B kT

+

r sinh²

_B kT

+ e^{−4J/(kT )} i

m(T, B) = −∂f

• Przy J = 0

mJ =0(T, B) = tgh

_B kT

{s}

s1sr+1e^−βH.

(49)

Energia swobodna modelu Isinga w granicy termodynamicznej

f (T, B) = −J − kT ln h

cosh

_B kT

+

r sinh²

_B kT

+ e^{−4J/(kT )} i

m(T, B) = −∂f

• Przy J = 0

mJ =0(T, B) = tgh

_B kT

{s}

s1sr+1e^−βH.

(50)

Energia swobodna modelu Isinga w granicy termodynamicznej

f (T, B) = −J − kT ln h

cosh

_B kT

+

r sinh²

_B kT

+ e^{−4J/(kT )} i

m(T, B) = −∂f

• Przy J = 0

mJ =0(T, B) = tgh

_B kT

{s}

s1sr+1e^−βH.

(51)

Energia swobodna modelu Isinga w granicy termodynamicznej

f (T, B) = −J − kT ln h

cosh

_B kT

+

r sinh²

_B kT

+ e^{−4J/(kT )} i

m(T, B) = −∂f

• Przy J = 0

mJ =0(T, B) = tgh

_B kT

{s}

s1sr+1e^−βH.

(52)

Energia swobodna modelu Isinga w granicy termodynamicznej

f (T, B) = −J − kT ln h

cosh

_B kT

+

r sinh²

_B kT

+ e^{−4J/(kT )} i

m(T, B) = −∂f

• Przy J = 0

mJ =0(T, B) = tgh

_B kT

{s}

s1sr+1e^−βH.

(53)

W poszukiwaniu ferromagnetyzmu!

• Model Curie-Weissa-Kaca (model ´sredniopolowy)

• Hamiltonian

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si ∼= −J N

N

X

1=i<j

sisj− B

N

X

i=1

si

• Suma statystyczna

ZN(β, B) = X

{s}

e^−βH(s,B)

• Mo˙zna pokaza´c (nie be˛dziemy tego liczy´c), ˙ze

ZN(β, B) = 2^N

_{βJ N} 2π

^1/2 e⁻¹²^βJ

∞

Z

−∞

e^{−N c(x)}dx

gdzie c(x) = ¹₂βJ x²− ln cosh(βJ x + βB).

(54)

W poszukiwaniu ferromagnetyzmu!

• Hamiltonian

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si ∼= −J N

N

X

1=i<j

sisj− B

N

X

i=1

si

ZN(β, B) = X

{s}

e^−βH(s,B)

ZN(β, B) = 2^N

_{βJ N} 2π

^1/2 e⁻¹²^βJ

∞

Z

−∞

e^{−N c(x)}dx

(55)

W poszukiwaniu ferromagnetyzmu!

• Hamiltonian

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si ∼= −J N

N

X

1=i<j

sisj− B

N

X

i=1

si

ZN(β, B) = X

{s}

e^−βH(s,B)

ZN(β, B) = 2^N

_{βJ N} 2π

^1/2 e⁻¹²^βJ

∞

Z

−∞

e^{−N c(x)}dx

(56)

W poszukiwaniu ferromagnetyzmu!

• Hamiltonian

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si ∼= −J N

N

X

1=i<j

sisj− B

N

X

i=1

si

ZN(β, B) = X

{s}

e^−βH(s,B)

ZN(β, B) = 2^N

_{βJ N} 2π

^1/2 e⁻¹²^βJ

∞

Z

−∞

e^{−N c(x)}dx

(57)

W poszukiwaniu ferromagnetyzmu!

• Hamiltonian

H(s, B) = −J⁰

N

X

i=1

sihsi − B

N

X

i=1

si ∼= −J N

N

X

1=i<j

sisj− B

N

X

i=1

si

ZN(β, B) = X

{s}

e^−βH(s,B)

ZN(β, B) = 2^N

_{βJ N} 2π

1/2

e⁻¹²^βJ

∞

Z

−∞

e^{−N c(x)}dx

(58)

Metoda punktu siodłowego

Lemat Niech

IN =

∞

Z

−∞

e^{−N f (x)}dx

gdzie f : R → R+ jest analityczna˛ funkcja˛. Przez x0 oznaczmy punkt, w którym funkcja f osia˛ga globalne minimum, tzn. f⁰⁰(x0) > 0. Wówczas

lim

N →∞

1

Nln IN = −f (x0)

(59)

Metoda punktu siodłowego

Lemat Niech

IN =

∞

Z

−∞

e^{−N f (x)}dx

gdzie f : R → R+ jest analityczna˛ funkcja˛. Przez x0 oznaczmy punkt, w którym funkcja f osia˛ga globalne minimum, tzn. f⁰⁰(x0) > 0. Wówczas

lim

N →∞

1

Nln IN = −f (x0)

(60)

Model Curie-Weissa-Kaca

• Stosuja˛c metode˛ punktu siodłowego otrzymamy: . . .

−βf (β, B) = ln 2 − c(x0) gdzie x0jest punktem, w którym c(x) osia˛ga minimum, tzn.

x0 = tgh(βJ x0+ βB) równanie pola ´sredniego

• Niech B = 0.Niezerowe rozwia˛zania równania pola ´sredniego pojawiaja˛ sie˛, gdy β > βc= 1/J

(61)

Model Curie-Weissa-Kaca

(62)

Model Curie-Weissa-Kaca

(63)

Model Curie-Weissa-Kaca

(64)

Model Curie-Weissa-Kaca

(65)

Energia swobodna i magnetyzacja

• Energia swobodna przyjmuje posta´c . . .

f (T, 0) =

−kT ln 2 dla T Tc

−kT ln 2 + kT c(a(T )) dla T < Tc

gdzie a(T ) jest rozwia˛zaniem równania pola ´sredniego w temperaturze T

• Magnetyzacja przyjmuje posta´c:

m(T, 0) =

0 dla T Tc

a(T ) dla T < Tc

(66)

Energia swobodna i magnetyzacja

f (T, 0) =

m(T, 0) =

0 dla T Tc

(67)

Energia swobodna i magnetyzacja

f (T, 0) =

m(T, 0) =

0 dla T Tc

(68)

Rozwinie˛cie magnetyzacji

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze w pobli˙zu Tc: a(T ) ≈ r

3

T_c T − 1

(69)

Rozwinie˛cie magnetyzacji

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze w pobli˙zu Tc: a(T ) ≈ r

3

T_c T − 1

(70)

Przej´scie fazowe

• Oznacza to, ˙ze wtemperaturze krytycznej Tc= J/k naste˛pujeprzej´scie fazoweporza˛dkuja˛ce ustawienie momentów magnetycznych

• Oddziaływanie typu pola ´sredniego w 1D jest na tyle silne, ˙ze w odpowiednio niskiej temperaturze, doprowadza do uporza˛dkowania spinów.

• Oddziaływanie najbli˙zszych sa˛siadów w 1D jest zbyt słabe (za mało sa˛siadów!). Mo˙ze wystarczy sa˛siadów w sieciach o wie˛kszej liczbie wymiarów?

(71)

Przej´scie fazowe

(72)

Przej´scie fazowe

(73)

Przej´scie fazowe

• Oddziaływanie najbli˙zszych sa˛siadów w 1D jest zbyt słabe (za mało sa˛siadów!).

Mo˙ze wystarczy sa˛siadów w sieciach o wie˛kszej liczbie wymiarów?