0. Przeprowadź konstrukcyjnie inwersje,.
1. Proste k i l sa, styczne do okre,gu ω w punktach A i B odpowiednio. Udowodnij, że obrazem punktu przecie,cia prostych k i l wzgle,dem okre,gu ω jest środek odcinka AB.
2. Udowodnij, że jeśli okre,gi ω i Ω sa, prostopadłe, to inwersja wzgle,dem okre,gu ω prze- kształca okra,g Ω na samego siebie.
3. Udowodnij, że złożenie dwóch inwersji współśrodkowych jest jednokładnościa,. 4*. Udowodnij, że złożenie dwóch inwersji jest podobieństwem.
5*. Udowodnij, że każde dwa nieprzecinaja,ce sie, okre,gi można przekształcić przez inwersje,
na okre,gi współśrodkowe.
6. Okre,gi ω1 i ω2 przecinaja, sie, w punktach A i B. Punkt C leży na okre,gu ω1, a punkt D na ω2. Udowodnij, że jeśli okre,gi opisane na trójka,tach CAB i CDB sa,prostopadłe, to również okre,gi ω1 i ω2 sa,prostopadłe.
7. Okra,g ω leży we wne,trzu okre,gu Ω. Okra,g o1 jest styczny zewne,trznie do okre,gu ω i wewne,trznie do okre,gu Ω. Dla i = 2, 3, 4, . . . definiujemy okra,g oijako okra,g styczny zewne,trznie do oi−1 i do ω oraz wewne,trznie do Ω, przy czym konstruuja,c kolejne okre,gi oi poruszamy sie,
w ta,sama,strone,. Udowodnij, że jeśli dla pewnego n > 2 i pewnego o1 okra,g on jest styczne do o1, to wówczas dla każdego pocza,tkowego o1 okra,g o1 be,dzie styczny do on.
8. Dane sa, okre,gi ω1, ω2, ω3 i ω4 oraz ich punkty przecie,cia: punkty Ai i Bi sa, punktami przecie,ć okre,gów ωi i ωi+1 dla i = 1, 2, 3, 4 (przyjmujemy ω1 = ω5. Udowodnij, że jeśli na czworoka,cie A1B1C1D1 da sie, opisać okra,g, to również na czworoka,cie A2B2C2D2 da sie, opisać okra,g.
9. Okra,g ω leży wewna,trz okre,gu Ω i przechodzi przez jego środek. Okre,gi o1, o2, . . . , o6
sa, styczne we,wne,trznie do okre,gu Ω i zewne,trznie do okre,gu ω. Ponadto dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 okżegi oi i oi+1 sa, styczne zewne,trznie (przyjmujemy o1 = o7). Wyznacz możliwe wartości stosunku promienia okre,gu ω do promienia okre,gu Ω.
10. Okra,g ω leży wewna,trz okre,gu Ω i przechodzi przez jego środek. Okre,gi o1, o2, . . . , on
sa, styczne we,wne,trznie do okre,gu Ω i zewne,trznie do okre,gu ω. Ponadto dla i = 1, 2, 3, . . . , n okżegi oi i oi+1 sa, styczne zewne,trznie (przyjmujemy o1 = on+1). Wykaż, że wspólne styczne okre,gów oi i oi+1 przecinaja, sie, w jednym punkcie.
11. Dane sa,rozłaczne okre,gi A, B i C. Skonstruuj okra,g styczny do tych okre,gów.
12. Dane sa, okre,gi o1, o2, o3 i o4, przy czym okre,gi oi i oi+1 sa, styczne zewne,trznie dla i= 1, 2, 3, 4 (przyjmujemy o1 = o5). Wykaż, że punkty styczności tych okre,gów leża,na jednym okżegu.
13. Okra,g ω leży wewna,trz okre,gu Ω i przechodzi przez jego środek. Okre,gi o1, o2, . . . , on
sa, styczne we,wne,trznie do okre,gu Ω i zewne,trznie do okre,gu ω. Ponadto dla i = 1, 2, 3, . . . , n okżegi oi i oi+1 sa, styczne zewne,trznie (przyjmujemy o1 = on+1). Wykaż, że wspólne styczne okre,gów oi i oi+1 leża na jednym okre,gu.
