Zadanie 1. Niech macierze zespolone A, B wymiaru n × n b ed

(1)

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 2

Kolokwium 11-04-2006

Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 6 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

Zadanie 1. Niech macierze zespolone A, B wymiaru n × n b ed

,

a nieosobliwe. Wyka˙z, ˙ze

_,

macierze AA

^H

i BB

^H

s a kongruentne (przystaj

_,

ace).

_,

Zadanie 2. Znajd´z macierz rzutu prostopad lego w IR

⁴

(ze zwyk lym iloczynem skalarnym) na podprzestrze´ n rozpi et

_,

a przez wektory e

_, 1

+ e

2

+ e

3

i e

2

+ e

3

+ e

4

, w bazie e

1

, e

2

, e

3

, e

4

.

Zadanie 3. Niech v

1

= [0, 1, 1]

^T

, v

2

= [1, 0, 1]

^T

, v

3

= [1, 1, 0]

^T

. Niech przekszta lcenie A : IR

³

→ IR

³

b edzie z lo˙zeniem obrotu w p laszczy´znie rozpi

_,

etej przez v

_, ₁

i v

₂

o k at

_,

−π/2 (gdzie orientacja wyznaczona jest przez wektory v

1

, v

2

) i odbicia wzgl edem tej samej p laszczyzny.

_,

Znajd´z obj eto´s´c r´ownoleg lo´scianu rozpi

_,

etego na wektorach v

_, 1

, v

2

i Av

3

.

Zadanie 4. Stosuj ac ortogonalizacj

_,

e Grama-Schmidta roz l´o˙z macierz

_,

A =







1 1 1

1 −1 −2

1 0 3

1 −1 −2







na iloczyn A = QR, gdzie Q ∈ IR

^4,3

spe lnia Q

^T

Q = I

3

oraz R ∈ IR

^3,3

jest macierz a tr´ojk

_,

atn

_,

a

_,

g´orn a.

_,

Zadanie 5. Niech X, Y b ed

_,

a dwoma sko´

_,

nczenie wymiarowymi przestrzeniami unitarnymi

oraz A : X → Y przekszta lceniem liniowym. Wyka˙z, ˙ze istnieje podprzestrze´n V ⊂ X oraz

przekszta lcenie r´o˙znowarto´sciowe B : V → Y takie, ˙ze A jest z lo˙zeniem A = BP , gdzie

P jest rzutem prostopad lym w X na podprzestrze´ n V . Czy podprzestrze´ n V i wskazany

rozk lad s a wyznaczone jednoznacznie?

_,