OKREŚLENIE OSI OBROTU MAŁYCH
ROBOTÓW GĄSIENICOWYCH DLA POTRZEB OPISU MODELEM DWUKOŁOWYM
Konrad Majkut
1a, Mariusz Giergiel
1b1Katedra Robotyki i Mechatroniki, Akademia Górniczo-Hutnicza
akmajkut@agh.edu.pl, bgiergiel@agh.edu.pl
Streszczenie
Problem opisany w niniejszym artykule jest częścią szerszego zagadnienia związanego z poruszaniem się robotów gąsienicowych podczas skrętu. Zagadnienie to dotyczy dokładniej kinematyki skrętu niewielkich (do 40 kg) pojaz- dów gąsienicowych. Teza artykułu: dla pewnego zmiennego na długości gąsienicy nacisku jednostkowego pomiędzy gąsienicą a podłożem, środek obrotu gąsienicy nie leży na osi symetrii gąsienicy dzielącej jej długość na pół. Wnio- sek z tego jest następujący: zmiana środka masy robota gąsienicowego ma wpływ na sposób, w jaki będzie on skręcał. Opisany tu problem jest częścią badań związanych z kinematyką robotów gąsienicowych na różnych pod- łożach.
Słowa kluczowe: kinematyka, roboty gąsienicowe
DEFINING AN AXIS OF ROTATION OF SMALL TRACKED ROBOTS FOR TWO-WHEELED MODEL DESCRIPTION
Summary
The problem described in this article is part of a wider problem of movement of tracked robot when turning; it’s related to a problem of turn kinematics of small (max. 40kg) tracked vehicles. Thesis of the article is: for some va- riable unitary pressure of tracks on ground, the rotation center of the track lies out of symmetry line splitting length of track into equal halves. The conclusion of this is: when we change center of mass of tracked robot, it will turn in different way. Described problem is part of wider research relating to kinematics of tracked robots on dif- ferent grounds.
Keywords: kinematics, tracked robots
1. WSTĘP
Tematyka niniejszego artykułu dotyczy sposobu po- ruszania się robotów gąsienicowych. Wzorowano się tu głównie na pracy [1]. Ze względu na próbę powiązania modelu gąsienicowego z kołowym zasięgnięto również informacji w pracach [2], [3], [4] i [6]. Model kinematyki, którego część jest opisana w tym artykule będzie wyko- rzystany w obliczeniach dynamiki [5]. Na początku założono, że rozmiary robota są niewielkie (ok. 0,5 m długości), a jego masa wynosi około 40kg. Jako robot gąsienicowy należy rozumieć pojazd z dwoma gąsienica- mi. Poza tym założono brak niezależnej amortyzacji kół – zawieszenie jest sztywne. Rozważono ruch po płaskiej powierzchni (potraktowano obszar styku między gąsieni-
cą a podłożem jako prostokąt). Oryginalną propozycją artykułu jest zastosowanie modelu dwukołowego do opisu zachowania pojazdów dwugąsienicowych. Założo- no, że pojazd posiada dwa sztywne koła, które nie odkształcają się pod wpływem nacisku na podłoże. Aby lepiej zrozumieć przyczyny użycia modelu dwukołowego do rozwiązania problemu ruchu robota gąsienicowego, najpierw należy zdefiniować model dwukołowy. Charak- terystyczną cechą tego modelu jest to, że ma tylko dwa punkty wspólne z podłożem. Poza tym, jeśli założyć ruch bez poślizgów (czyli idealna przyczepność kół do podłoża) można stwierdzić, że chwilowa prędkość tych
dwóch punktów względem podłoża jest równa zeru (punkty L’ i P’ na rys. 1).
Rys. 1. Model dwukołowy
Głównym celem przejścia na model dwukołowy jest znalezienie osi “wirtualnych” kół oraz odstępu między nimi (rys. 2). Jak widać, cel ten składa się z dwóch etapów. Ten artykuł opisuje etap poszukiwania osi kół.
Rys. 2. Przejście z modelu gąsienicowego na dwukołowy;
opracowane na podstawie [1]
Przyczyną zastosowania modelu dwukołowego w opisie (także i sterowaniu) ruchu pojazdów gąsienico- wych jest możliwość wprowadzenia autokalibracji pojaz- du, tzn. pojazd sam będzie w stanie określić położenie osi kół wirtualnych oraz odstępu między nimi w zależno- ści od tego na jakim porusza się podłożu. Autokalibracja polega na wykonaniu przez pojazd okręgu (prędkości gąsienic są identyczne, kierunki przeciwne). Promień okręgu pozwoli określić położenie wirtualnej osi kół.
Po autokalibracji uzyskane wyniki są wprowadzone jako parametry do modelu dwukołowego. Powodem zastoso- wania takich zabiegów jest wyposażenie sterowania robota w cechy adaptacyjne, tj. dobór pewnych parame- trów wpływających na kinematykę w zależności od podłoża.
2. ZDEFINIOWANIE OSI SKRĘTU ROBOTA
Podczas skrętu pojazdu gąsienicowego potrzebny jest moment napędowy M (rys.3), który równoważy moment oporu skrętu pochodzący od sił tarcia o podłoże. Można więc zapisać:
M = M (1)
Ponieważ pojazd posiada dwie gąsienice, na jedną z gąsienic oddziałuje połowa Mr, która jest sumą mo- mentów tarcia od podłożaMorazMx-Zapisać można:
M
2 = M + M =M
2= M (2)
Rys. 3. Rysunek pomocniczy dla obliczeń
Widać więc, że połowa momentu napędowego M po- trzebna jest do obrotu pojedynczej gąsienicy. Określono ją jako MG (tak jak we wzorze (2)). Dodatkowo można stwierdzić, że połowa momentu MG równoważy moment oporu skrętu M dolnej części gąsienicy z rys. 1 (x<0,>). Druga połowa momentu MG równoważy moment oporu skrętu Mx- górnej części gąsienicy z rys. 3 (x<,L>). Opisuje to poniższa formuła:
M 2 =M
4= M = M (3)
Z równania (3) wynika, że:
M − M = 0 (4)
Tak więc co do wartości moment tarcia dolnego przedziału długości gąsienicy musi być równy momen- towi tarcia górnego przedziału długości gąsienicy. Na rys.3 celowo wprowadzono odległość aby sprawdzić, jaką wartość ona przyjmuje, gdy rozkład obciążenia q(x) na długości gąsienicy jest zmienny. Bazując nadal na rys.3, można stwierdzić, że:
r = ψ − x (5)
oraz:
r = x − ψ (6)
Elementarna siła nacisku dN elementu gąsienicy na podłoże:
dN = q(x)dx (7)
Jeśli założyć współczynnik tarcia pomiędzy gąsienicą a podłożem jako µ, wtedy elementarna siła tarcia dT pomiędzy gąsienicą a podłożem wynosi:
dT = μdN = μq(x)dx (8)
Elementarny moment tarcia w dolnym obszarze gąsieni- cy (x<0,>) na podstawie (5) i (8) wynosi:
dM = r dT = μq(x)(ψ − x)dx (9) Elementarny moment tarcia w górnym obszarze gąsieni- cy (x<,L> na podstawie (6) i (8) wynosi:
dM = r dT = μq(x)(x − ψ)dx (10)
W związku z tym z (9) wynika, że:
M = μq(x)(ψ − x)dx (11)
oraz z (10):
M = μq(x)(x − ψ)dx (12)
Podstawiając (11) i (12) do (4), otrzymać można:
μ q(x)(ψ − x)dx − μ q(x)(x − ψ)dx
= 0
(13) Co można zapisać jako:
μ q(x)(ψ − x)dx + μ q(x)(ψ − x)dx = 0 (14)
W równaniu (14) można zredukować wielkość µ, dzieląc obydwie strony równania przez µ (co można uczynić, gdyż współczynnik tarcia µ jest różny od zera). Możli- wość redukcji µ w równaniu (14) oznacza, że rodzaj podłoża nie ma wpływu na powyższą relację. Jest to pierwszy wniosek wynikający z (14). Jeśli przyjąć, że q(x)=const=q (czyli rozkład obciążenia na całej długości gąsienicy jest stały, jednakowy):
q (ψ − x)dx + q (ψ − x)dx = 0 (15)
Podobnie jak w przypadku µ, q jako stałą można wtedy wyłączyć przed całkę. Następnie q zostaje zredukowane, dzieląc przezeń obydwie strony równania (15). Oblicza- jąc całki w (15) i rozwiązując równanie ze względu na
otrzymać można (rys.4):
ψ =L
2 (16)
Wynik z (16) oznacza, że jeśli rozkład obciążenia na gąsienicy jest równomierny, to oś obrotu gąsienicy znajduje się w połowie jej długości.
Założono teraz q(x) jako np. funkcję trapezową q(x)=ax+b.
Rys. 4. Położenie osi dla stałego nacisku q(x)
Podstawiając do (14) i rozwiązując:
ψ =2aL + 3b 3a +6b
L
(17)
Jeśli uprościć (17), przyjmując b=0 (funkcja obciążenia trójkątnego):
ψ =2
3L (18)
Rys. 5. Położenie osi dla liniowego nacisku q(x)
Wynik z (18) pokazuje, że jeśli obciążenie gąsienicy jest nierównomierne, oś obrotu nie musi znajdować się w połowie długości gąsienicy. Dla obciążenia trójkątnego zostało to pokazane na rys.5 i jest drugim wnioskiem wyciągniętym z relacji (14).
3. PORÓWNANIE TEORII Z EKSPERYMENTEM
Rozważono sytuację pokazaną na rys. 6. Pojazd gą- sienicowy, którego środek masy leży na osi symetrii (połowa długości gąsienicy), jest wyposażony w marker przymocowany do korpusu również w połowie długości gąsienicy. Przeprowadzono doświadczenie z dodatkowym obciążeniem pojazdu przyłożonym w trzech różnych miejscach na jego długości.
Rys. 6. Wpływ zmiany pozycji dodatkowego obciążenia na trajektorię skrętu (skręt 360°)
W pierwszym przypadku obciążenie jest przyłożone z przodu pojazdu (F), w drugim – na środku długości gąsienicy (C), w trzecim – w tylnej części pojazdu (R).
Za każdym razem pojazd startuje z tego samego punktu startowego (SP) i obraca się o 360°. Poza tym, założono przeciwne kierunki ruchu gąsienic. Wartości prędkości gąsienic muszą jednak pozostać identyczne.
Jest to bardzo istotne założenie z punktu widzenia doświadczenia.
Oczekiwano różnego zachowania się pojazdu podczas skrętu z powodu zmiany położenia osi obrotu w każdym przypadku. Oczekiwane trajektorie markera zostały pokazane na rys.6. Trajektorie te zostały zweryfikowane za pomocą doświadczenia. Dla celów weryfikacyjnych została przygotowana specjalna niewielka platforma gąsienicowa.
Pojazd został wyposażony w obciążenie, które może być przymontowane z przodu (F), w środku (C) oraz z tyłu (R). Pokazano to na rys.7 b).
Na pojeździe przyklejono marker w postaci strzałki.
Pokazany na rys.7a) jest użyty tylko w celu informacji o tym, gdzie znajduje się przód pojazdu (F). Z kolei przedstawiony na rys.8 ołówek został użyty do rysowa- nia trajektorii środka pojazdu. Trzeba zaznaczyć, że ołówek znajduje się dokładnie w połowie długości gąsie- nicy.
Dla potrzeb tego artykułu zastosowano kreślenie tra- jektorii za pomocą ołówka. Celem jest pokazanie istoty doświadczenia. Dla lepszej analizy trajektorii będą użyte systemy optyczne.
Rys. 8. Ołówek rysuje trajektorię
Rys. 9 pokazuje rezultaty doświadczenia. Tak jak oczekiwano, trajektorie w każdym z trzech przypadków zgadzają się z odpowiadającymi im przewidywaniami z rys.6. Doświadczenie dowodzi, że zmieniając rozkład obciążenia na długości gąsienicy q(x), oś kół wirtualnych (czyli oś, na której znajduje się środek obrotu naszego pojazdu) przesuwa się w kierunku większej koncentracji obciążenia.
4. WNIOSKI
Tak jak widać z poprzedniego rozdziału, doświad- czenie potwierdza teorię. Dlatego też można użyć teorii o zmiennej osi obrotu w kinematyce niewielkich robotów gąsienicowych. W szczególności na uwagę zasługuje fakt, że pojazd może się autokalibrować w celu znalezienia swojej aktualnej osi obrotu. Z rozdziału drugiego widać, że położenie osi pozostaje stałe bez względu na podłoże po jakim porusza się pojazd (jeśli tylko przebieg nacisku na długości gąsienicy q(x) pozostaje ten sam).
Rys. 9. Wyniki doświadczenia
Ten artykuł pokazuje pierwszy etap tworzenia modelu dwukołowego dla pojazdów gąsienicowych - znajdywanie osi kół wirtualnych modelu. Drugi etap – poszukiwanie odstępu pomiędzy kołami wirtualnymi zależy od poślizgu pomiędzy gąsienicami a podłożem i nie został omówiony w tym artykule. Całość tworzy model dwukołowy z rys.2. Jak to zostało stwierdzone w rozdziale trzecim, założono przeciwne kierunki obrotów gąsienic przy czym wartości prędkości gąsienic muszą pozostawać identycz- ne. Na rys.10 przedstawiono sytuację, kiedy to założenie nie zostało spełnione. Trajektorie markera stają się spiralami, a nie okręgami, co jest wymagane. Jakkolwiek nawet i w tym wypadku widać wyraźny wpływ rozkładu nacisku q(x) na trajektorię skrętu pojazdu.
Rys. 10. Efekt, gdy prędkości gąsienic nie są jednakowe
Rys. 11. Przykład robota gąsienicowego ze zmienną osią obrotu
Na koniec, na rys.11 pokazano typowy przykład ro- bota gąsienicowego ze zmienną osią obrotu.
Ze względu na zmianę położenia przenoszonego ob- ciążenia zmienia się rozkład nacisku powierzchniowego pomiędzy gąsienicami a podłożem. Należy też nadmienić, że efekt przesunięcia osi jest tym wyraźniejszy, im większy jest stosunek masy manipulowanego obciążenia do masy całego pojazdu.
Praca powstała w ramach projektu rozwojowego NR03 0057 10 dofinansowanego przez NCBiR
Literatura
1. Burdziński Z.: Teoria ruchu pojazdu gąsienicowego. Warszaw: WKŁ, 1972 .
2. Giergiel J., Hendzel Z., Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa:PWN, 2002.
3. Giergiel J., Hendzel Z, Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa: Wyd.
Nauk. PWN, 2002.
4. Hendzel Z.: Sterowanie ruchem nadążnym mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Politechniki Rzeszowskiej, 1996.
5. Majkut K., Giergiel M.: Modelling of dynamics of small caterpillar robot. In: „Modelling and Optimization of Physical Systems” . Gliwice: Pol. Śl., 2011, nr 10, s. 53 – 58.
6. Małka P.: Pozycjonowanie i nadążanie minirobota kołowego. Praca doktorska. Kraków: AGH, 2008.
