TH ´ EOR ` EME DE MINIMAX SANS TOPOLOGIE NI CONVEXIT ´ E

C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M

VOL. LXIII 1992 FASC. 2

TH ´ EOR ` EME DE MINIMAX SANS TOPOLOGIE NI CONVEXIT ´ E

PAR

ANDRZEJ G R A N A S (MONTR ´ EAL), JIN-RONG L E E (TAIPEI)

ET

FON-CHE L I U (TAIPEI)

Dans cete note, nous pr´ esentons un th´ eor` eme de minimax (Th´ eor` eme A) formul´ e seulement en langage de la th´ eorie des ensembles. Ce r´ esultat per- met de d´ eduire de fa¸con imm´ ediate (en utilisant un lemme de topologie g´ en´ erale) plusieurs th´ eor` emes de minimax bien connus.

Soient X et Y deux ensembles non vides et f : X × Y → R une fonc- tion num´ erique. On d´ esigne {f x } _x∈X et {f y } _y∈Y deux familles de fonctions num´ eriques f x : Y → R, f y : X → R o` u f x (y) = f (x, y), f y (x) = f (x, y) pour tout (x, y) ∈ X × Y . Dans la suite, on note

∆ ⁿ⁻¹ = n

λ = (λ 1 , . . . , λ n ) ∈ R ⁿ   

n

X

i=1

λ i = 1, λ i ≥ 0 o

le simplexe standard de dimension n−1 et on pose [n] = {i ∈ Z | 1 ≤ i ≤ n}.

Une famille H = {h} de fonctions num´ eriques h : Y → R est appel´ee F -concave (resp. F -convexe) si pour tout h 1 , . . . , h n ∈ H et tout λ = (λ i , . . . , λ n ) ∈ ∆ ⁿ⁻¹ il existe h ∈ H tel que h(y) ≥ P n

i=1 λ i h i (y) (resp.

h(y) ≤ P n

i=1 λ i h i (y)) pour chaque y ∈ Y .

Nous partirons du lemme suivant qui nous servira dans la d´ emonstration du th´ eor` eme principal :

Lemme 1. Soient X et Y deux ensembles non vides quelconques et f, g : X × Y → R deux fonctions num´eriques. Alors les propri´et´es suivantes sont

´

equivalentes :

(i) Quels que soient {x 1 , . . . , x n } ⊂ X et {y ₁ , . . . , y m } ⊂ Y , l’in´ egalit´ e de minimax suivante est v´ erifi´ ee :

x∈X Inf Max

j∈[m] f (x, y j ) ≤ Sup

y∈Y

Min

i∈[n] g(x i , y) .

(ii) Quels que soient {x 1 , . . . , x n } ⊂ X et {y 1 , . . . , y m } ⊂ Y , et ε > 0, il existe b x ∈ X et b y ∈ Y tels que

f ( x, y b j ) ≤ g(x i , y) + ε b

pour tout i ∈ [n], j ∈ [m].

142 A. G R A N A S ET AL.

Nous pouvons maintenant ´ enoncer notre r´ esultat principal :

Th´ eor` eme. Soient X et Y deux ensembles non vides quelconques et f, g : X ×Y → R deux fonctions num´eriques telles que f (x, y) ≤ g(x, y) pour tout (x, y) ∈ X × Y . Supposons en plus qu’au moins l’une des conditions suivantes est satisfaite :



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



A1. Etant donn´ e x 1 , x 2 ∈ X et {y 1 , . . . , y m } ⊂ Y il existe b x ∈ X tel que

f ( x, y b j ) ≤ ¹ ₂ [f (x 1 , y j ) + f (x 2 , y j )]

pour tout j ∈ [m].

A2. Etant donn´ e y 1 , y 2 ∈ Y et {x ₁ , . . . , x n } ⊂ X il existe b y ∈ Y tel que

g(x i , y) ≥ b ¹ ₂ [g(x i , y 1 ) + g(x i , y 2 )]

pour tout i ∈ [n].

(A)

 B1. La famille {f x } x∈X est F -convexe.

B2. La famille {g y } _y∈Y est F -concave.

(B)







C1. X et Y sont convexes.

C2. x → f (x, y) est convexe sur X pour tout y ∈ Y . C3. y → g(x, y) est concave sur Y pour tout x ∈ X.

(C)

Alors, quels que soient {x 1 , . . . , x n } ⊂ X et {y ₁ , . . . , y m } ⊂ Y , l’in´ egalit´ e suivante est v´ erifi´ ee :

x∈X Inf Max

j∈[m] f (x, y j ) ≤ Sup

y∈Y

Min i∈[n] g(x i , y) .

P r e u v e. Evidemment, il est suffisant de d´ emontrer le th´ eor` eme dans le cas o` u (A) est v´ erifi´ e. D’apr` es le Lemme 1, il suffit de montrer que la propri´ et´ e (ii) du lemme est v´ erifi´ ee. Donnons-nous alors deux syst` emes {x 1 , . . . , x n } ⊂ X et {y 1 , . . . , y m } ⊂ Y . Nous allons montrer qu’il existe b x ∈ X et y ∈ Y tels que pour tout i ∈ [n], j ∈ [m] on a f ( b b x, y j ) ≤ g(x i , y) + ε. b

En effet, pour chaque α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ ∆ ⁿ⁻¹ et β = (β 1 , . . . , β m ) ∈

∆ ^m−1 posons

G(α, β) =

n

X

i=1 m

X

j=1

α i β j f (x i , y j ) .

Evidemment, la fonction G : ∆ ⁿ⁻¹ × ∆ ^m−1 → R v´erifie les conditions du

th´ eor` eme de minimax de von Neumann. D’apr` es ce th´ eor` eme, on peut

trouver α = ( b α b 1 , . . . , α b n ) ∈ ∆ ⁿ⁻¹ et b β = ( b β 1 , . . . , b β m ) ∈ ∆ ^m−1 tels que

(1) G( α, β) ≤ G(α, b b β) pour tout (α, β) ∈ ∆ ⁿ⁻¹ × ∆ ^m−1 .

TH ´ EOR ` EME DE MINIMAX 143

En utilisant (1) et la d´ efinition de G on obtient ais´ ement

(2) Max

j∈[m]

n

X

i=1

α b i f (x i , y j ) ≤ Min

i∈[n]

m

X

j=1

β b j f (x i , y j ) ≤ Min

i∈[n]

m

X

j=1

β b j g(x i , y j ) . Choisissons α = ( e α e 1 , . . . , α e n ) ∈ ∆ ⁿ⁻¹ , e β = ( e β 1 , . . . , e β m ) ∈ ∆ ^m−1 avec tous les α e i , e β j rationnels dyadiques tels que

(3)

n

X

i=1

α e i f (x i , y j ) ≤

n

X

i=1

α b i f (x i , y j ) + ε/2 pour tout j ∈ [m] ,

m

X

j=1

β b j g(x i , y j ) ≤

m

X

j=1

β e j g(x i , y j ) + ε/2 pout tout i ∈ [n] . Par les hypoth` eses A1 et A2 il existe b x ∈ X et y ∈ Y tels que b

(4)

f ( x, y b j ) ≤

n

X

i=1

α e i f (x i , y j ) pour tout j ∈ [m] , g(x i , y) ≥ b

m

X

j=1

β e j g(x i , y j ) pour tout i ∈ [n] .

Cela ´ etant, fixons arbitrairement i ∈ [n] et j ∈ [m]. En utilisant (1)–(4) on obtient

f ( x, y b j ) ≤

n

X

i=1

α b i f (x i , y j ) + ε/2 ≤ Max

j∈[m]

n

X

i=1

α b i f (x i , y j ) + ε/2

≤ Min

i∈[n]

m

X

j=1

β b j g(x i , y j ) + ε/2 ≤

m

X

j=1

β b j g(x i , y j ) + ε/2

≤

m

X

j=1

β e j g(x i , y j ) + ε ≤ g(x i , b y) + ε . La preuve est compl` ete.

Le lemme suivant nous servira ` a tirer les cons´ equences du th´ eor` eme prin- cipal.

Lemme 2. Soient X et Y deux espaces compacts non vides et f, g : X × Y → R deux fonctions num´eriques telles que :

(a) x → f (x, y) est semi-continue inf´ erieurement sur X pour tout y ∈ Y ;

(b) y → g(x, y) est semi-continue sup´ erieurement sur Y pour tout x ∈ X.

144 A. G R A N A S ET AL.

Alors les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :



 

 

Quels que soient {x 1 , . . . , x n } ⊂ X et {y ₁ , . . . , y m } ⊂ Y, l’in´ egalit´ e de minimax suivante est v´ erifi´ ee :

x∈X Inf Max

j∈[m] f (x, y j ) ≤ Sup

y∈Y

Min i∈[n] g(x i , y).

(∗)







L’in´ egalit´ e de minimax suivante est v´ erifi´ ee : Inf Sup

x∈X y∈Y

f (x, y) ≤ Sup Inf

y∈Y x∈X

g(x, y).

(∗∗)

En s’aidant du Lemme 2, on obtient, du th´ eor` eme principal, les r´ esultats suivants.

Corollaire 1. Soient X et Y deux espaces compacts non vides et f, g : X × Y → R deux fonctions num´eriques telles que :

(i) f (x, y) ≤ g(x, y) pour tout (x, y) ∈ X × Y ;

(ii) x → f (x, y) est semi-continue inf´ erieurement sur X pour tout y ∈ Y ; (iii) y → g(x, y) est semi-continue sup´ erieurement sur Y pour tout x ∈ X.

Supposons en plus qu’au moins l’une des conditions (A), (B), (C) du th´ eo- r` eme est v´ erifi´ ee. Alors

Inf Sup

x y

f (x, y) ≤ Sup Inf

y x

g(x, y) .

Corollaire 2 (Nikaidˆ o–von Neumann). Soient X et Y deux convexes compacts non vides et f : X × Y → R une fonction num´erique telle que :

(i) x → f (x, y) est semi-continue inf´ erieurement et convexe sur X pour tout y ∈ Y et

(ii) y → f (x, y) est semi-continue sup´ erieurement et concave sur Y pour tout x ∈ X.

Alors

Inf Sup

x y

f (x, y) = Sup Inf

y x

f (x, y) .

Andrzej Granas Fon-Che Liu

D ´ EPARTEMENT DE MATH ´ EMATIQUES INSTITUTE OF MATHEMATICS

ET DE STATISTIQUE ACADEMIA SINICA

UNIVERSIT ´ E DE MONTR ´ EAL, C.P. 6128 NANKANG, TAIPEI, 11529 SUCCURSALE A, MONTR ´ EAL, P.Q. REPUBLIC OF CHINA CANADA H3C3J7

Jin-Rong Lee

DEPARTMENT OF MATHEMATICS NATIONAL TAIWAN UNIVERSITY TAIPEI, REPUBLIC OF CHINA

Re¸ cu par la R´ edaction le 14.6.1990