Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: A U T O M A T Y K A z. 113
1994 N r kol. 1246
Jacek Ł Ę S K I
P R O JE K T O W A N IE P ER IO D Y C Z N IE Z M IE N N Y C H R E K U R S Y - W N Y C H F IL T R Ó W C Y F R O W Y C H
Streszczenie. W artykule przedstawiono metodę projektowania rekursywnych filtrów cyfrowych, których współczynniki są potęgami liczby dwa. Filtr opiera się na systemie liniowym o współczynnikach periodycznie zmiennych w czasie. Przez zastosowanie jako macierzy tranzycyjnej macierzy stowarzyszonej z równaniem algebraicznym możliwe jest łatwe umieszczanie biegunów transmitancji filtru w dowolnych miejscach płaszczyzny zespolonej. Przedstawione jest rozwiązanie usuwające efekt modulacji sygnału wyjściowego filtru o współczynnikach periodycznie zmiennych w czasie.
DESIGN OF RECURSIVE PERIODICALLY TIME-VARYING
DIGITAL FILTERS
Summary. The paper deals with a desing method of recursive periodically time- varying digital filters with power of two coefficients. The filters are based on linear periodically time-varying system. The matrix associated with algebraic equation usedas a transition matrix enables easy locations of poles of filter transmitancies in the complex plane. Elimination of modulation efect in output signal of periodically time-varying filters is presented.
riPOEKTMPOBAHME riEPHO^PNECKM ilEPEMEHHblX
PEKYPCMBHblX UMOPOBbIX OMJ1TPOB
Pe3»Me. B cra m e npeacTaEJien Mcraa npoescTHpoBanna pexypCHBHbix un$poBbix
$HJIbTpOB, KOTOpbIX K03$$HUHeHTbI eCTb CTeneHH BHCJia 2. QttJIbp OCHOBaH Ha
jimieilHOii CHCTeMe c nepnoamecKH ri3MeHjnomnMHCH bo BpeMenu K03(J)<S)HuneHTaMH.
Enarogapa npiiMeiieHHio b bhac Tpa3HUnonnoft MaTpnm>i ofitenHHeHHoB c aarcSpanaccKHM ypaBnemieM bo3m oxho npocToe pacnoJioaceHHe noaiocoB TpaHCMHrraHca tpnjibTpa b upoim oiiLiiLie MecTa KOMruietccHOił iijiockocth.
ripeacTaBBCHO pemeuHe ycrpamnomne scjj^eKT MonyjmpoBaitHH cnraaiia Btixoanoro
$HJibTpa c nepHOfluaecKH H3MeiiaiOLUHMncH bo BpeMeim K03(l)<l)nuneHTaMH.
1. W STĘP
W literaturze poświęconej cyfrowemu przetw arzaniu sygnałów pojaw iają się artykuły poświęcone m etodom projektow ania filtrów cyfrowych, których współczynniki są potęgam i liczby dwa [1, 4, 6, 7], Filtry takie są atrakcyjne ze względów obliczeniowych. W tym przypadku m nożenie może być zastąpione przesuwaniem zawartości rejestrów.
W artykule zastosowano idee przedstaw ione przez K itsona i G rifiisa [5] do projektow ania filtrów o w spółczynnikach będących potęgą liczby dwa. Zastosowano m etodę konstruow ania m acierzy sprzężenia jak o stowarzyszonej z równaniem algebraicznym . W ad ą tak projektowanych filtrów je st efekt m odulow ania sygnału wyjściowego filtru. W artykule przedstawiono metodę usunięcia tej wady.
2. LIN IO W Y SY STEM PERIODYCZNIE ZM IEN N Y W CZASIE
W dalszej części stosowany będzie następujący system liniowy:
x - wektor stanu, dim (x) = N, u - sygnał wejściowy, skalar, z - sygnał wyjściowy, skalar, g ,h - w ektory stale,
F(k) - m acierz zm ienna w czasie z okresem p,
(la) (lb)
gdzie:
F(k+p) = F(k)
(2 )Projektowanie periodycznie zmiennych. 169 Systemy liniowe spełniające w arunek (20 nazywane są systemami Floąueta [3]. W artykule [11] W u udowodnił, że system (1) m ożna sprowadzić do systemu o stałych współczynnikach.
W ektor stanu dla system u (1) m ożna przedstaw ić w postaci:
x ( k ) = O ( k , 0 ) x ( 0 ) + £<I>(k,i + l ) g u ( i ) , (3)
i= 0gdzie <h - m acierz tranzycyjna.
M acierz tranzycyjną m ożemy przedstawić w postaci:
® ( i , j ) - X ( i ) X ( j ) - 1, (4)
gdzie X - m acierz podstawowa.
D la systemu zm iennego w czasie (1) m a ona postać:
X(i) = F(i-l) F(i-2)....F(1) F(0) (5)
W u udowodnił, że system (1) je st równoważny systemowi stałem u w czasie z następującym wektorem stanu:
x ( k ) = T - 1 ( k ) x ( k ) , (6)
gdzie T(k) = X (k) R"^; R - stała m acierz (7)
Po zastosowaniu transform acji (6) dla systemu (1) otrzymujemy:
x (k +1) = T -1 (k + l) F ( k ) T ( k ) x ( k ) + T _1 (k + l)g u (k ) (8a)
z(k ) = hTT ( k ) x ( k ) (8b)
Na podstawie (7), (8a) m acierz przejścia systemu m a postać:
F ( k ) = T "1 ( k + l ) F ( k ) T ( k ) = R k+1X _1 (k + l ) F ( k ) X ( k ) R ~ k =
= R k+1X _1(k + l ) X ( k + l ) R “ k = R = F
Czyli m acierz przejścia je st m acierzą stałą. Stąd systemowi (1) odpowiada następujący system:
x ( k + 1 ) = R x ( k ) + T - 1 ( k + l) g u ( k ) (lOa)
z ( k ) = h TT ( k ) x ( k ) (lOb)
Systemy (1) i (10) m ają tak ą sam ą transm itancję [10], Z rów nania (5) przy w arunku (2) mamy:
X ( k ) = f [ F [ ( k - i ) m o d p ] (11) i = 1
Stąd X (k+p) = QX(k) (12)
gdzie: Q = F(p-1) F(p-2)...F(1) F(0) (13)
D la równoważnego system u (10) otrzymujemy:
Q = RP (14)
Porów nując (13) i (14) otrzymujemy
R P = n F ( P - i ) (15)
i —1
3. M A CIERZ STOW ARZYSZONA Z RÓW NANIEM ALGEBRAICZNYM
Przyjm ujem y, że m acierze F(i) w systemie (1) są m acierzam i stowarzyszonymi z następującym rów naniem algebraicznym [2]:
rN = a, (16)
gdzie: N - stała, a - wartość +1 lub -1.
Rów nanie (16) posiada pierw iastki rozłożone n a kole jednostkow ym zmiennej zespolonej r dla argumentów:
dla a = +1 9 k = ~ ~ ^ — i 0 s k < N (17)
2 k n
dla a = - 1 0 ^ k < N (18)
Projektowanie periodycznie zmiennych.. 171 Można udowodnić, że m acierz kolumnowa wektorów własnych macierzy stowarzy
szonej z rów naniem (16) ma postać:
P =
0 - 0
r l 2
,1 -1
r l_ 2
. N - l _ N - 1 2
r N
N - l N
(19)
gdzie: rj - pierw iastki równania (16).
Po zastosowaniu czynnika 1/Vn wektory własne tw orzą zbiór ortonorm alny. Wtedy macierz P u = PI -/N je s t m acierzą unitarną.
Stąd m acierz tranzycyjną możemy przedstawić jako:
F (i) = PuA ( i) P u1 ,
(20
)gdzie: A - m acierz diagonalna złożona z wartości własnych m acierzy stowarzyszonej z równaniem (16).
P rz y k ła d
Równanie r^ = -1 posiada pierwiastki położone na kole jednostkow ym zmiennej zespolonej r dla argumentów:
7l + 2k7t „ .
<pk = ; 0 < k < 4
Jeżeli oznaczymy:to:
Ai = a 0 + a l ri + ct2 r2 + a 3r3 ;
V i - a o ri + a i r i2 + a 2 r3 + a 3r.4 = - a 3 + a 0 ri + a .\r? + a 2 r3 ,
Podobnie:
V * = “ a 2 " a 3 ri + a 0 ^ + « 1 ^
X iv? = - C 4 - a 2 ii - c ^ r 2 + a 0 r 2
Stąd m acierz stowarzyszona z rów naniem m a postać:
F =
« 0 « i « 2 « 3
" « 3 a 0 a l « 2
~ a 2 - a 3 a 0 « i
~ a l — ct2 - a 3 « 0
N atom iast w ektor w łasn y odpowiadający w artości własnej Xj:
Vj =
O gólnie wartości w łasne m acierzy stowarzyszonej wyznaczamy z równania:
N - l . h = 2 a k*i
k = 0
(
22
)Jeżeli teraz kolejne m acierze tranzycyjne F(0), F (l),...b ę d ą stowarzyszone z tym sam ym rów naniem algebraicznym (16), to n a podstawie (15) mamy:
R p - n F ( p - i ) n p « A ( p - i ) p j ' - p u
. i = l i =1 n A ( P - i )
i = l
P T =
p ua p tu u u
(23)
Projektowanie periodycznie zm iennych.. 173
Jeżeli elem enty diagonalne m acierzy A oznaczymy k i , X 2 to m acierz diagonalna odpowiadająca m acierzy R m a postać [2]:
gdzie:
A = D ia g(X 1,X.2 , . . . A p ) ,
Xi = ( X* ) P
(24)
4. TRA N SM ITA N CJA FILTRU PERIODYCZNIE ZM IENNEGO W CZASIE
Po zastosow aniu transform acji Z do systemu (10) otrzymujemy [10]:
K(z) - hT(Iz - R)-!g
(25)Na podstawie (23, 24) otrzymujemy:
K ( 2 ) = h T ( I z - P u A p T ) - l g .
Z -
z - X o
0
gdzie:
■N
=
2
N ( r 0 ) 2 i N2
-i =1 z N i =i z
(26)
>4 = P n ^ i j j = i .
(27)
gdzie: Xjj - i-ta wartość własna j-tej macierzy tranzycyjnej dana równaniem:
N - l • .
* ij = Z cc£r. . (
28
)k = 0
gdzie a ^ - współczynniki j-tej macierzy stowarzyszonej będące potęgam i liczby dwa.
Projektow anie filtrów opiera się na doborze takiego rów nania (16), aby liniowa kom binacja jeg o pierwiastków um ożliwiała uzyskanie wymaganych biegunów transm itancji filtru.
5. PRZYKŁAD PROJEKTOW ANIA
Z aprojektow ać filtr o transm itacji posiadającej bieguny sprzężone + ¡24 55°
b j
2
= 0 , 9 e J ' . N ajpierw dobieramy postać rów nania (16). Oczywiście dla biegunów zespolonych rząd tego rów nania powinien być większy od jedności. D la N=1 z rów nania (28) otrzymujemy następujące argum enty wartości własnych: 0°, 180°(niezależnie od znaku w'spółczymnika a w równaniu (16)). D la argum entów tych nie możemy uzyskać wymaganych biegunów transm itancji. D la N = 3 m am y argum enty:
dla a = 1: 0 .0 °, + 6 .5 8 °, + 13.89°, + 3 0 .0 °, + 4 6 .1 0 °, + 5 3 .4 1 °, + 6 0 .0 °, + 6 6 .5 8 °, + 73.89°, + 9 0 .0 °.
d l a a = - l : 0.0°, + 5 .8 1 °, + 1 0 .8 9 °, + 1 9 .1 °, + 3 0 .0 °, + 4 9 .1 0 °, + 5 4 .1 8 °, + 6 5 .8 1 °, + 79.10°, + 9 0 .0 °.
P rzez sum ę wartości własnych o argum entach + 19.1° i + 3 0 ° uzyskujemy argum ent 2 * 24.55. Czyli dla tego przykładu postać równania (16) jest:
r3=- l
Pierw iastki tego rów nania m ają postać:7t + 2 k 7 t . , „
( p k = ; 0 < k 3
{ ( P k } = 6 0 o , 1 8 0 o , 3 0 0 o
Projektowanie periodycznie zmiennych.. 175 Stąd dla a 0 = 1, a j = 0.5, a 2 = 0 z równania (22) otrzymujemy następujące wartości własne macierzy stowarzyszonej z wybranym równaniem algebraicznym 1 . 3 2 e - ^ 3 , 0.5, 1 .3 2 e - ^ '^ . N atom iast dla oto = 1, a j = 1, a j = 0 wartości własne: 1.73e-*30 ,0 , 1.73e ^3® . N a podstawie (27) dla p = 2
i24 55° — i24 55®
otrzymujemy wartości własne macierzy R: 1.51eJ ' ,0 ,1 .5 1 J ' .W idzim y, że moduł wartości własnych nie jest równy wymaganemu, tj. 0.9. Stosujemy czynnik skalujący 1.51/0.9 = 0.596. Stąd iloczyn czynników skalujących m acierze F wynosi 0.596^ = 0.355. Ale nie ma dwóch takich l i c i będących potęgam i liczby dwa, których iloczyn wynosi 0.355. Dlatego przyjmujemy p = 4 stosując:
F(0) = P0 F(0) F ( l) = p 1F(0)'
F(2) = p 2 F( l ) F(3) = p3 F( l )
Czyli: p0 p j p2 P3 = 0.5964 = 0.126 * 0.125.
Stąd: p 0 = 1.0 P0 = 0.5 p0 = 0.5 p o = 0.5 Ostatecznie m acierze F m ają postać:
1.0 0.5 0.0 0.5 0.25 0.0
Fi = 0.0 1.0 0.5
f2 = 0.0 0.5 0.25
-0 .5 0.0 1.0 -0 .2 5 0.0 0.5
0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0
f
3 = 0.0 0.5 0.5 ll 0.0 0.5 0.5
-0 .5 0.0 0.5 -0 .5 0.0 0.5
Odpowiedź im pulsową projektowanego filtru przedstawia rys. 1. Widzimy, żc sygnał ten nie je st gładki. M odulacje pojawiają się w wyniku cyklicznych zm ian macierzy F.
Efekt ten możemy usunąć stosując strukturę pokazaną na rysunku 2. Sekwencje macierzy F dla poszczególnych filtrów z rysunku 2 przedstawia tabela 1. Odpowiedź impulsowa filtru z rysunku 2 przedstawia rysunek 3. Charakterystykę częstotliwością (przekształcenie Fouriera odpowiedzi impulsowej) tego filtru przedstawia rysunek 4.
Jest to filtr pasmowu-przepustowy o częstotliwości środkowej 16.65Hz i dobroci 3.91 dla częstotliwości próbkowania 250Hz. Zgodnie z pracą [8] jest to filtr dopasowany do zespołów QRS sygnału EKG. Sygnał wyjściowy filtru dla zakłóconego sygnału E K G z rysunku 5 przedstawia rysunek 6. Przykład ten wskazuje , że filtr z przykładu może służyć do budowy detektora zespołów QRS.
Tabela 1 Sekwencja m acierzy F dla struktury z rys. 2.
FO F iltr 1 F iltr 2 F iltr 3 F iltr 4
F(0) F l f2 f3 f4
F ( l) f2 F 3 f4 F l
F(2) F 3 F4 F l f2
F(3) F4 Fi f2 f3
F(4) Fi f2 f3 f4
* * i 2
h Ck )
k
Rys. 1. Odpowiedź impulsowa filtru z przykładu Fig. 1. Impulse response for examplary Ólter
Projektow anie periodycznie zm iennych.. 177
Rys.2. Równoległa struktura filtrów periodycznie zmiennych w czasie Fig. 2. Parallel structure periodical time-vary filters
h( k )
Rys. 3. Odpowiedź impulsowa filtru z rys. 2.
Fig. 3. Impulse response for Fig. 2 filter
Rys. 4. Charakterystyka częstotliwościowa filtru z przykładu Fig. 4. Frequency characteristic for examplary filter
Projektow anie periodycznie zm iennych...
Rys. 5. Przykładowy sygnał EKG Fig. 5. Examplary ECG signal
Rys. 6. Sygnał wyjściowy filtra z przykładu dla sygnału z rys. 4 Fig. 6. Output signal of examplary fłlter for Fig. 4 signal
Projektowanie periodycznie zm ien n y ch .. 181
6. PODSUM OW ANIE
Przedstaw iona została m etoda um ożliwiająca uzyskiwanie filtrów o dowolnym położeniu biegunów transm itancji przy w spółczynnikach będących potęgam i liczby dwa. Jest to atrakcyjne ze względów obliczeniowych. M etoda opiera się n a liniowym systemie o w spółczynnikach periodycznie zm iennych w czasie. Przedstawiono m etodę budowy m acierzy tranzycyjnej pozw alającą n a łatwe uzyskiwanie dowolnych w artości własnych. W artości własne jednoznacznie określają transm itancje filtru.
Przedstawiono rów nież rozw iązanie pozwalające zlikwidować efekt modulacji sygnału wyjściowego filtru o współczynnikach periodycznie zm iennych w czasie.
LITERATURA
[1] M .L. Ahlstrom , W. J. Tom pkins: D igital filters for realtim e E C G processing using m icroprocessors. IEEE Trans. BM E-32, 1985.
[2] R. B ellm an: Introduction to m atrix analysis, M cGraw-Hill, N ew Y ork 1960.
[3] S.W .Director, R_A.Rohrer: Introduction to system theory, M cGraw-Hill, New Y ork 1972.
[4] Y .C .Lim , S.R. Parker: FIR filter desing over a discrete powers o f two coefficient space, IE E E Trans. ASSP, vol. 31, no. 3, 1983.
[5] L.K .K itson, L.J.G rifiiths: D esing and analysis o f recursive periodically tim e- varing digital filters w ith highly quantized coefficients. IEEE Trans. ASSP, vol.
36, no.5, 1988.
[6] J.C .Principe, J.R.Sm ith: D esign and im plem entation o f linear phase FIR filters for biological signal processing, IEEE Trans. Biomed. Eng., BM E-33, no.6, ju n e
1986, str. 550-559.
[7] N .V .Thakor, D .M oreau: D esign and analysis o f quantised coefficient digital filters; application to biom edical signals processing w ith m icroprocessors, M ed.&
B iol.E ng.& Com put., 1987, 25, str. 18-25, 158-165.
[8] L.SOmmo, O .Pahlm : Software QRS detection in am bulatory m onitoring - a review, M ed. & Biol.Eng. & Com put, 1984, 22.
[9] C.S. W illiam s: D esignning digital filters, Prentice - Hall, N ew Jersey, 1986.
[10] A. W ojtkiewicz: Elem enty syntezy filtrów cyfrowych, W NT W arszawa 1984.
[11] M .Y .W u: T ransform ation o f a linear tim e-varying system into a linear tim e- invariant system, Int.J.C ontrol, 1978, vol. 27, no. 4, pp.589-602.
Recenzent: Prof. d r hab. inż. T adeusz P a łk o Wpłynęło do R edakcji 11. 12. 1991 r.
A b s tra c t
T he paper deals w ith a desing m ethod for recursive periodically tim e-vaiying digital filters w ith coefficients being o f two. The filters is based on linear periodically tim e-varying system. It is shown th at linear tim e-vaiying system can be transform ed into a tim e-invariant one by the use o f a periodically varying algebraic transform ation.
By applying as a transition m atrix associted w ith algebraic equation it is easy to locate poles o f filter transm itancies in the com plex plane. E lim ination o f m odulation effect in the output signal o f periodically tim e-varying filters is presented. T his result will be especially useful in filter application w here hig h speed m ultipliers are not available.
T he desing procedure is also useful for producing very narrow passband u sing few filter coefficients.
