Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony

(1)

Poziom rozszerzony

Listopad 2010

W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane w kluczu, ale poprawne.

Numer

zadania Zdający otrzymuje po 1 punkcie za Suma

punktów 1. rozwiązanie, w którym jest istotny postęp

Zdający sprowadzi wyrażenie do najprostszej postaci

,

gdzie , , .

x x x

x x

x x x

x x

3 2 3 2

9 4 1

3 2 3 2

3 2 3 2 1

1 1 3 2

3 2 3 2 1

1 3 2

3 2

2

$

2

+ - -

- +

= + - +

- + +

= - + +

+ - +

= -

^ ^

-

^ ^

^ ^ ^

h h

h h h

x 3

! - 2 1 x ! - 1 x !

1 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania

Zdający zapisze iloraz w postaci sumy dwóch składników, z których jeden jest liczbą całkowitą.

Np.:

( )

x 3 x

x x

x 1

3 2

1 3 1 1

1 1 -

- = -

- +

= + -

2 pkt

rozwiązanie zadania do końca, ale z usterkami

Zdający rozważy tylko dzielniki liczby , będące liczbami naturalnymi, lub nie sprawdzi, czy znalezione liczby należą do dziedziny wyrażenia.

1

3 pkt

rozwiązanie pełne

Zdający zauważy, że wartość wyrażenia jest liczbą całkowitą, gdy jest dzielnikiem . lub

Zdający zapisze odpowiedź.

lub – obie te liczby należą do dziedziny wyrażenia.

1 1

x -

1 1

x - = - 1 1

x - = 0 x = 2

x =

4 pkt

2. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania

Zdający wyróżni przedziały:

] - 3 , - 2 g

,

- 2, 4

h,

4 3 , )

.

1 pkt

rozwiązanie, w którym jest istotny postęp

Zdający zapisze równanie w poszczególnych przedziałach.

Np.:

2 4 6

x x

- - + - = ( , 2)

x ! - 3 -

2 4 6

x + + - x = ,

x ! - 2 4

h

2 4 6

x + - + x = , )

x ! 4 3

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający rozwiąże równania.

Zdający ustali, że

dla równanie nie ma rozwiązania, dla równanie nie ma rozwiązania,

dla równane jest tożsamościowe – każda liczba rzeczywista należąca do tego przedziału spełnia równanie.

( , 2) x ! - 3 -

, x ! - 2 4

h

, ) x ! 4 3

3 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(2)

rozwiązanie pełne Zdający poda odpowiedź:

Do przedziału należy co najmniej jedna liczba niewymierna, np. . Liczba ta należy do zbioru rozwiązań równania.

39 , )

4 3

4 pkt

3. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający obliczy długość

r

promienia okręgu i jego średnicę

d

.

2 r r = 13 r r = 6,5

13 d =

1 pkt

Zdający zauważy, że przekątna trapezu jest prostopadła do jednego z ramion (kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty) i obliczy długość tego ramienia.

,

x 5

x = 12 13 x

²

+

²

=

²

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający obliczy wysokość trapezu.

,

h 13

= 60 13 $ h = 12 5 $

3 pkt

rozwiązanie prawie całkowite

Zdający zauważy, że trapez jest równoramienny i obliczy długość krótszej podstawy.

b 13

= 119

4 pkt

Zdający obliczy pole trapezu.

P 2 1 13

13 119

13 60 51

169 $ 21

= d + n =

5 pkt

4. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający zapisze wielomian za pomocą wielomianu niezerowego , wielomianu

i reszty .

( ) Q x ( )

W x ( )

R x = ax

²

+ bx + c ( )

P x

( ) ( ) ( )

W x = Q x $ P x + ax

²

+ bx + c

1 pkt

Zdający zauważy, że reszta z dzielenia wielomianu przez jest równa i zapisze odpowiednie równości.

( ) W a x - a

( ) W x 1

a + b + c = 1 a - b + c = - 4 a - 2 b + c = 3

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający rozwiąże otrzymany układ równań.

, ,

c

3 = - 5 1 b = a 3

= 5

3 pkt

rozwiązanie pełne Zdający zapisze resztę.

( )

R x x x

3 5

3

2

5 = + -

4 pkt

5. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający obliczy wyróżnik trójmianu.

m m m

4 7 14 53

2 2

m 5

D =

^

-

h

-

^

-

h

= - +

1 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(3)

Zdający zapisze wyróżnik np. w postaci i stwierdzi, że wartość tego wyrażenia jest zawsze dodatnia, zatem równanie ma dla każdej liczby rzeczywistej dwa różne pierwiastki.

7 4

m

²

D =

^

-

h

+

m

2 pkt

Zdający zapisze warunek podany w zadaniu, wykorzystując np. wzory Viete’a.

2 2 ( 7) 12 39

x

₁²

+ x

₂²

= ^ x

₁

+ x

₂

h

²

- x x

_{1 2}

= 6 - ( m - 5 ) @

²

- $ m - = m

²

- m +

3 pkt

Zdający zapisze sumę kwadratów pierwiastków równania w postaci

( 6) 3

.

x

₁²

+ x

₂²

= m -

²

+

4 pkt

Zdający stwierdzi, że wartość wyrażenia ^

m - 6 +

h²

3

jest najmniejsza, gdy

m = 6

.

5 pkt

Zdający obliczy wysokość graniastosłupa i długość jego krawędzi podstawy.

,

x H

6 x + 3 H = 60 6 x + 3 ( x + 2) = 60

8 H = 6 x =

1 pkt

Zdający sporządzi rysunek graniastosłupa, zaznaczając odpowiedni przekrój lub narysuje odpowiedni trójkąt.

2 pkt

Zdający obliczy długość przekątnej ściany bocznej graniastosłupa i długość ramienia trójkąta, będącego przekrojem.

a c

10 c = 6

²

+ 8

²

= a = 6

²

+ 4

²

= 52

3 pkt

Zdający stwierdzi, że rozpatrywany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie i ramieniu

52

i obliczy wysokość tego trójkąta.

10 h = 52 - 25 = 27

4 pkt

Zdający obliczy pole przekroju.

P 2

1 $ 10 $ 27 15 3

= =

5 pkt c

a x

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(4)

Zdający przekształci rozpatrywane wyrażenie, wykorzystując odpowiednie wzory.

( )

cos a + b $ cos ] a - b g = ] cos a cos b - sin a sin b g ] cos a cos b + sin a sin b g = cos

²

a cos

²

b sin

²

a sin

²

b

= -

1 pkt

Zdający wykorzysta związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do zapisania wyrażenia za pomocą jednej funkcji trygonometrycznej.

Np.:

cos

²

a cos

²

b - sin

²

a sin

²

b = cos

²

a cos

²

b -

^{^}

1 - cos

²

a

^h^{^}

1 - cos

²

b

^h.

2 pkt

Zdający przekształci otrzymane wyrażenie do postaci

cos

²

a + cos

²

b - 1

.

3 pkt

Zdający zauważy, że

cos

²

a + cos

²

b G 2

, zatem

cos

²

a + cos

²

b - 1 G 1

.

4 pkt

Zdający wykaże, że utworzone w ten sposób czworokąty są kwadratami – jest rombem, w którym każdy kąt ma miarę , jest więc kwadratem. Podobnie następne czworokąty są kwadratami.

C

₁

90°

1 pkt

Zdający wykaże, że pole każdego z następnych kwadratów jest równe połowie pola kwadratu, z którego powstał.

2 pkt

Zdający zauważy, że ciąg pól tworzonych kwadratów jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie .

2 8 1

3 pkt

Zdający zastosuje wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie.

m

8 15

1 2 1 1 2

1 4 3

m

$ - -

=

b l

1 64

63

m

2 -

^{b l}

1 =

64

m

1 2 1 =

b l

6 m =

4 pkt

Zdający wyznaczy liczbę

n

.

6 1 5 n = - =

5 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(5)

Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch skarpetek zielonych.

– liczba skarpetek zielonych

x ( )

P ZZ x

x x x 3 3 1

$ 1

= -

-

1 pkt

Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch skarpetek różnych kolorów.

( ) P RK x

x x

x x x

x x 3 3 1

2 3 2

3 1

$ $

= - +

-

2 pkt

Zdający zapisze odpowiednie równanie i sprowadzi je do najprostszej postaci.

x x

x x 3 3 1

1 33 13

3 3 1 2

3 2

3 1

$ $ $

-

- + =

- +

- x

x

x x 3 1

1 33 39

3 1 4 -

- + =

-

3 pkt

Zdający rozwiąże równanie – obliczy liczbę skarpetek zielonych.

4 x =

4 pkt

Zdający poda liczbę wszystkich skarpetek:

4 + 8 = 12

.

5 pkt

Zdający zapisze równanie okręgu i zauważy, że każdy punkt leżący na osi ma współrzędne .

2 2

17 x - 2 + y - 1 =

^ h ^ h

, ] x 0 g OX

1 pkt

Zdający wyznaczy współrzędne punktów przecięcia okręgu z osią .

lub lub

OX x - 2

²

+ 1 = 17

^ h

( x - 2)

²

- 16 = 0

2 4 0 x - + = 2 4 0

x - - = 2 x = - 6

x = , A = ] 6 0 g

( 2, 0) B = -

2 pkt

Zdający wyznaczy długość odcinka : oraz odległość punktu od osi .

C d

AB = 8 AB

OX

8 d 24 2

1 $ $ = 6 d =

3 pkt

rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)

4 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(6)

Zdający wyznaczy pierwszą współrzędną punktu , wiedząc, że druga współrzędna jest równa lub .

lub lub

Zdający poda współrzędne punktu . lub

C 6

3 x - + 6 3 = 0 1

x =

C 6

- x

3 - -

^

6

h

+ 3 = 0 x = - 3

, C = -

^

3 - 6

h

,

C = ] 1 6 g

5 pkt

Zdający zauważy, że wykres funkcji powstał w wyniku przekształcenia przez symetrię względem osi wykresu funkcji oraz dwukrotnego „rozciągnięcia” go wzdłuż osi .