Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 3

19.X.2017

Stałe przyspieszenie

Przyspieszenie

charakteryzuje się zmiana prędkości wraz z czasem: a=  v/  t.

Gdy przyspieszenie jest stałe, wtedy prędkość rośnie w stałym tempie.

Graficznie, wykreślając prędkość od czasu uzyskujemy prostą o nachyleniu równym przyspieszeniu.

  t v v v a t

v 

  

  

Stałe

przyspieszenie

Bugatti Veyron przyspiesza od 0 do 100 km/h w 2,5 s.

Prędkości 200 i 300 km/h osiąga odpowiednio w 7,3 i

16,7 sekund.

2 3 2

3

1 , 9 11

100 5

, 2 10

6 , 3

10 100 5

, 2

/ 100

s m s

m s

s m s

h km t

a v  





 

 

 

!

!

!

g

a 

Przyspieszenie grawitacyjne

Położenie jest kwadratową funkcją czasu. Licząc dla x₀=h, x_t=0, v₀=0, t₀=0 mamy

 

²

2 2

1

t g h

t h g

t g h

x   











Przyspieszenie grawitacyjne

Położenie jest kwadratową funkcją czasu.

Licząc dla x₀=h, x_t=0, v₀=0, t₀=0 mamy

2

t

g  h

Skok

stratosferyczny

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

15 20 25 30 35 40 45 50

prędkość [km/h]

czas [s]

v[km/h]

v[km/h]

Skok stratosferyczny

t[s] v[km/h] v[m/s] <a>[m/s^2] a[m/s^2] s[m] h(km)

21 697 193,6 9,2 9,2 2033 37,0

22 728 202,2 9,2 8,6 2244 36,8

30 957 265,8 8,9 8,0 4879 34,1

35 1062 295,0 8,4 5,8 6500 32,5 40 1143 317,5 7,9 4,5 8200 30,8 43 1165 323,6 7,5 2,0 9189 29,8 45 1173 325,8 7,2 1,1 9845 29,2 46 1173 325,8 7,1 0,0 10171 28,8

14.10.2012. godz. 20:00 skok Felixa Baumgartnera

t v

a  / ^{a   v /  t}

Rzut poziomy i ukośny

Ruch w polu grawitacyjnym

Niezależność ruchów:

t

=0, x

=0, y

=h

Ruch w poziomie zależy tylko od V

Ruch w pionie zależy od V_0y i przyspieszenia g

Rzut poziomy:

=0  czas spadania nie zależy od V₀ Z rozwiązania równania dla y=0 mamy:



 cos

cos

0

0

t V t V t

V

x 

   

sin 2 2

2 0

2 0

t gt V gt h

t V h

y  

     

g

t  2 h

Rzut ukośny

Tor w rzucie ukośnym to parabola





0 2

cos tan 2

V x g

x h

y    Zasięg dla h=0 (żądamy y=0)

  ^{2 }

2

sin g

g x  V

Największy dla  =  /4=45

I zasada dynamiki

Przed sformułowaniem praw dynamiki przez Newtona sądzono, że aby utrzymać ciało w ruchu, musi działać na nie jakaś siła.

„Stanem naturalnym” ciała jest spoczynek.

Rydwan bez

zaprzęgu nie

porusza się.

I zasada dynamiki

Doświadczenia z torem powietrznym wskazują, że eliminacja tarcia pozwala zachować ruch ze stała prędkością.

Obserwacje pozwalają wyciągnąć wniosek, że jeśli na ciało nie działa żadna siła, to porusza się ono ze stałą prędkością.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona:

Jeśli na ciało nie działa żadna siła, to nie może zmienić się jego prędkość, czyli nie może ono

przyspieszyć.

Innymi słowy:

Jeśli ciało spoczywa to pozostanie w spoczynku, jeśli się porusza to będzie się poruszać tą samą prędkością.

II zasada dynamiki

II prawo Newtona

“Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona”

Zmiana ruchu ciała (w układzie inercjalnym) jest zawsze wynikiem oddziaływania otoczenia (innych ciał).

Oddziaływanie to opisujemy ilościowo wprowadzając pojęcie siły

Siła jest wielkością wektorową (kierunek zmiany ruchu

Siły możemy porównywać ilościowo niezależnie od ruchu ciał

Na ogół wykorzystujemy przy tym I zasadę dynamiki (równowaga sił) np. porównywanie ciężaru poprzez ważenie ciał, pomiar siły

dynamometrem...

II zasada dynamiki

Masa bezwładna

Akcelerator

Ustalona siła F działając na różne ciała P nadaje im różne przyspieszenia a

Możemy wprowadzić współczynniki m, które określają stosunki przyspieszeń różnych ciał

1 : 1 :

1 : :

: :

3 2

1 3

2

1

a a m m m

a 

Lub też:

m

a

 m

a

 m

a



Stosunki przyspieszeń zależą od masy badanych ciał ale nie zależą od przyłożonej siły. Możemy wybrać jakieś ciało i uznać jego masę za

“jednostkową”

m – masa bezwładna

II zasada dynamiki (zmienna masa)

Tabela pomiarów przyspieszeń dla wózka o zmiennej masie.Pomiary na drodze L=1,4m

Okazuje się, że ta stała F=0,46 N, to w przybliżeniu wartość siły przyciągania ziemskiego obciążnika (bez sznurka).

Iloczyny masy i przyspieszenia F=Ma są bliskie stałej (szósty wiersz w tabeli).

Z drugiej strony ciężar obciążnika to:

s N kg m

g m

F   0 , 050  9 , 81

 0 , 5

2 1

2 t a  L

Prędkość z czasu przelotu Prędkość ze wzoru v=at

Stała siła F=mg dla m=50g

pomiar 1 pomiar 2 pomiar 3

l [m] 1,40 1,40 1,40

M [kg] 3,02 2,02 1,02

t [s] 4,40 3,40 2,55

t^2 [s^2] 19,36 11,56 6,50

a [m/s^2] 0,14 0,24 0,43

F=M*a [N] 0,44 0,49 0,44

v (końc)=at [m/s] 0,64 0,82 1,10

t1 dla 0,2m 0,30 0,26 0,19

v (końc)=0,2m/t1 0,67 0,77 1,05

II zasada dynamiki

Na dane ciało P działają różne siły nadając mu różne przyspieszenia.

Porównując przyspieszenia możemy porównywać wartości siły.

Przy warunku początkowym:

^r     ^{0  v 0  0}

Przyspieszenie możemy mierzyć bezpośrednio, albo mierząc czas t

przebycia odległości L lub uzyskaną na końcu tego odcinka

prędkość v

L a v

a at v

at t v

a L L at

2 2

2 2

2

2 1 2

2 1 1 1

2 1 1 2

1

       



II zasada dynamiki (zmienna siła)

Tabela pomiarów przyspieszeń dla toru powietrznego o zmiennej sile F=mg Pomiary na drodze L=1,4 m, dla wózka o masie M=3,12kg

Okazuje się, że ta stała to w przybliżeniu wartość masy wózka,

co uzyskaliśmy podczas pokazu na wykładzie (8-my wiersz niebieski).

Iloraz siły i przyspieszenia M=F/a=mg/a są bliskie stałej.

Z drugiej strony masa wózka to M=3,12 kg:

a kg mg a

M F Ma

F      3 , 13

2 1

2 t a  L

Prędkość ze wzoru v=at Prędkość z czasu przelotu

Stała masa wózka - M=3,00 kg +0,15kg

pomiar 1 pomiar 2 pomiar 3

l [m] 1,40 1,40 1,40

M [kg] 3.12 3.12 3.12

t [s] 4,30 2,90 2,40

t^2 [s^2] 18,49 8,41 5,76

a [m/s^2] 0,15 0,33 0,49

m [kg] 0,05 0,10 0,15

F=mg [N] 0,50 1,00 1,50

M=F/a 3,30 3,00 3,09

v (końc)=at [m/s] 0,65 0,97 1,17

t1 dla 0,2m 0,26 0,18 0,15

v (końc)=0,2m/t1 0,77 1,11 1,33

II zasada dynamiki

Ruch harmoniczny

Położeniem równowagi jest x=0 Przyjmijmy, że x(0)=R i v_x(0)=0 ruch harmoniczny:

Druga zasada dynamiki daje:

   

   

m k T

m k

gdzie T t

x t

a

t R

t x



















2 2 2

2

4

2 cos

 

 





Siła z jaką działa sprężyna zależy wyłącznie od położenia wózka

m T

k m

T

4

~



  m x

a k

x k a

m x

k F



















II zasada dynamiki

Przyspieszenie w

ruchu harmonicznym

Pomiar okresu drgań sprężyny dla różnych mas

Druga zasada dynamiki daje:

   

   

    ^x   ^t

t T m x

t k a

gdzie T t

x t

a

t R

t x

2 2

2 2 cos

 

 



 



















 





const T

k m k m

T

 4 

  4 

  k m k T

T

 4

 4 

m 

 4 







Ruch harmoniczny (sprężyna k= 2 N / 0,245m, k =8,15 N/m)

masa [kg T [s] T^2 k=4m/T^2

0,05 0,48 0,23 8,56

0,10 0,70 0,48 8,14

0,15 0,85 0,72 8,19

Ruch harmoniczny (sprężyna k=7,6N / 0,2m, k =38 N/m)

0,15 0,41 0,16 36,07

0,15 0,41 0,16 36,07

Wartości

współczynnika sprężystości k

wyznaczane z pomiaru siły i wychylenia są zgodne z wartościami uzyskanymi z pomiaru okresów i mas.

II zasada dynamiki

Badając okres drgań wózka T, przy zmierzonej masie wózka – m, możemy wyznaczyć stalą sprężystości sprężyny

m N s

s kg kg

T k

k 4 m 40 0 , 15 / 0 , 16 2 , 4 2 , 4

2 2

2

2

     

 

2 2 2

, 4

T

m T

T m

m 



 

II zasada dynamiki

Przyspieszenie w

ruchu harmonicznym

Pomiar okresu drgań sprężyny dla różnych mas

(Sprężyna pod wpływem siły 1,95 N wychyliła się na 30 cm)

Druga zasada dynamiki daje:

   

   

    ^x   ^t

t T m x

t k a

gdzie T t

x t

a

t R

t x

2 2

2

2 cos

 

 



 



















 



 _{m T m}

T

4 k

~



 

m N s

kg

kg T

k m

5 , 6 5

, 6

61 , 0

1 , 40 0

4

2 2 2







 

 

masa [kg T [s] T^2

k=4m/T^

2

0,05 0,56 0,31 6,36

0,10 0,78 0,61 6,52

0,15 0,95 0,90 6,58

II zasada dynamiki

II zasada dynamiki w postaci uogólnionej jest słuszna także dla ciał o zmieniającej się masie (np. rakieta) oraz w przypadku relatywistycznym (choć zmieni się definicja pędu).

a m F 

ważna jest tylko dla ciał których masa jest stała m = const Możemy jednak ją uogólnić wprowadzając definicję pędu:

Uogólnienie

Druga zasada dynamiki Newtona w postaci “klasycznej”

 

dt p F d

dt p d dt

v m d

dt v m d

F

const

m

   



gdzie:

v m p 

 ^



 p F dt I - popęd siły

II zasada dynamiki

Zasada addytywności masy

Gdy dwie siły działając na dwie masy wywołują równe przyspieszenie

 ^{a a}  ^{F m a}

m F

F a

m F

a m

F     



 







2 1

2 1

2 2

1 1

Przyspieszenie wywołane przez siłę wypadkową jest równe sumie przyspieszeń.

Zasada niezależności działania sił

Gdy na ciało o masie m działają dwie niezależne siły F₁ i F₂

Siła wypadkowa w działaniu na całkowitą masę daje takie samo przyspieszenie.

 ^{m m}  ^{a F m a}

F F

a m F

a m

F     



 







2 1

2 1

2 2

1 1

Równanie oscylatora

Rozwiązanie takiego

równania łatwo odgadnąć:

x k

x m

x k

a m

x k

F

       

  

m x x

  k

  ^{t R}     ^{t x t R}     ^{t x t R}   ^t

x cos  ,  sin  , 

cos 

..

.

   





m k T

T m

gdzie

 k  2  4



,   



  ^{t R}     ^{t v t R}     ^{t a t R}   ^t

x   cos  ,    sin  ,   

cos 

Rozwiązanie równania oscylatora

Wartości współczynników A i B wyznaczamy z

warunków początkowych:

Ruch jest płaski, odbywa się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory r

v

.Torem ruchu w ogólnym przypadku jest elipsa.

W szczególnym przypadku torem ruchu może być odcinek lub okrąg.

0 ,

0

0 0

0

v albo r  albo v 

Odcinek gdy: r

 

 

  ^{t r t v t}

r

B t

v v

A t

r r

 





sin cos

0 0

0 0

0 0

















0 0

0

0

v i v r

r    

Okrąg gdy:

  ^{t A t B t}

r  cos   sin 