Geometria i Algebra Liniowa (dla I-go roku informatyki WMIM UW)

Geometria i Algebra Liniowa

(dla I-go roku informatyki WMIM UW)

Leszek Plaskota

Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski

stycze´ n 2009

ii

Spis tre´ sci

1 Grupy i cia la, liczby zespolone 3

1.1 Podstawowe struktury algebraiczne . . . 3

1.1.1 Grupa . . . 3

1.1.2 Cia lo . . . 5

1.2 Cia lo liczb zespolonych . . . 6

1.2.1 Definicja . . . 6

1.2.2 Posta´c trygonometryczna . . . 7

1.2.3 Wz´or de Moivre’a . . . 8

1.2.4 Pierwiastki z jedynki . . . 9

1.2.5 Sprze˙zenie . . . ._, 9

1.3 Wielomiany . . . 10

1.3.1 Algorytm Hornera . . . 10

1.3.2 Zasadnicze twierdzenie algebry . . . 10

2 Macierze liczbowe 13 2.1 Podstawowe definicje . . . 13

2.1.1 Macierze szczeg´olnych format´ow . . . 13

2.1.2 Podzia l blokowy . . . 14

2.2 Dzia lania na macierzach . . . 14

2.2.1 Podstawowe dzia lania . . . 14

2.2.2 Mno˙zenie macierzy . . . 15

2.2.3 Mno˙zenie macierzy w postaci blokowej . . . 17

2.3 Dalsze oznaczenia . . . 18

2.3.1 Macierze tr´ojkatne i jednostkowe_, . . . 18

2.3.2 Uk lad r´owna´n jako r´ownanie macierzowe . . . 19

2.4 Macierze nieosobliwe . . . 19

2.4.1 Grupa macierzy nieosobliwych . . . 19

2.4.2 Warunek nieosobliwo´sci macierzy . . . 21 iii

iv SPIS TRE´SCI

2.4.3 Permutacje . . . 21

3 Normy wektor´ow i macierzy 25 3.1 Og´olna definicja normy . . . 25

3.2 Normy wektor´ow . . . 26

3.2.1 Normy p-te . . . 26

3.2.2 Po˙zyteczne (nie)r´owno´sci . . . 27

3.3 Normy macierzy . . . 28

3.3.1 Normy p-te . . . 28

3.3.2 Po˙zyteczne (nie)r´owno´sci . . . 29

3.3.3 Norma Frobeniusa . . . 31

4 Przestrzenie liniowe 35 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie . . . 35

4.1.1 Definicja i podstawowe w lasno´sci . . . 35

4.1.2 Podprzestrzenie liniowe . . . 36

4.2 Baza i wymiar przestrzeni . . . 37

4.2.1 Liniowa (nie)zale˙zno´s´c . . . 37

4.2.2 Baza i wymiar, twierdzenie Steinitza . . . 39

4.2.3 Przyk lady . . . 40

4.3 Sumy i sumy proste . . . 41

4.3.1 Suma (prosta) dw´och podprzestrzeni . . . 41

4.3.2 Suma (prosta) w og´olnym przypadku . . . 43

4.4 Izomorfizm przestrzeni . . . 44

4.5 Warstwy modulo Y . . . 45

4.5.1 Definicja . . . 45

4.5.2 Przestrze´n warstw . . . 46

5 Obraz, rzad i j_, adro macierzy_, 49 5.1 Obraz i rzad macierzy_, . . . 49

5.1.1 Rzad kolumnowy i rz_, ad wierszowy . . . ._, 49

5.1.2 Rzad macierzy_, . . . 50

5.2 Przestrze´n zerowa (jadro) macierzy . . . ._, 51

5.3 Rozk lad wzgledem obrazu i j_, adra . . . ._, 52

6 Funkcjona ly liniowe 55 6.1 Funkcjona ly . . . 55

6.1.1 Definicja i przyk lady . . . 55

SPIS TRE´SCI v

6.1.2 Przestrze´n sprze˙zona . . . ._, 56

6.2 Refleksywno´s´c . . . 57

6.2.1 R´owno´s´c X i X^∗∗ . . . 57

6.2.2 Przyk lady . . . 58

6.3 Rozszerzenie rachunku macierzy . . . 59

6.3.1 Macierze wektor´ow i funkcjona l´ow . . . 59

6.3.2 Posta´c macierzowa izomorfizm´ow . . . 60

7 Uk lady r´owna´n liniowych 63 7.1 Zbi´or rozwiaza´_, n . . . 63

7.1.1 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . . . 63

7.1.2 Zbi´or rozwiaza´_, n jako warstwa . . . 64

7.1.3 Uk lady nieosobliwe . . . 65

7.2 Efektywna metoda rozwiazania_, . . . 65

7.2.1 Og´olny schemat . . . 66

7.2.2 Eliminacja Gaussa . . . 66

7.2.3 Konstrukcja rozwiazania og´_, olnego . . . 68

7.3 Interpretacja macierzowa eliminacji . . . 69

7.3.1 Analiza operacji elementarnych . . . 69

7.3.2 Rozk lad tr´ojkatno-tr´_, ojkatny macierzy . . . ._, 71

7.4 Eliminacja bez przestawie´n . . . 72

8 Przekszta lcenia liniowe 75 8.1 Podstawowe pojecia i w lasno´sci . . . ._, 75

8.1.1 Obraz, jadro i rz_, ad przekszta lcenia . . . ._, 75

8.1.2 Przyk lady . . . 77

8.1.3 R´o˙znowarto´sciowo´s´c . . . 77

8.1.4 Przestrze´n przekszta lce´n liniowych . . . 78

8.2 Macierz przekszta lcenia liniowego . . . 78

8.2.1 Definicja . . . 78

8.2.2 Izomorfizm Lin(X , Y) i K^m,n . . . 79

8.3 Dalsze w lasno´sci macierzy przekszta lce´n . . . 80

8.3.1 Obraz i jadro przekszta lcenia/macierzy . . . ._, 80

8.3.2 Zmiana bazy . . . 80

8.3.3 Z lo˙zenie przekszta lce´n . . . 81

vi SPIS TRE´SCI

9 Wyznacznik macierzy 83

9.1 Definicja i pierwsze w lasno´sci . . . 83

9.2 Wyznacznik a operacje elementarne . . . 84

9.2.1 Permutacja kolumn . . . 84

9.2.2 Kombinacja liniowa kolumn . . . 86

9.3 Dalsze w lasno´sci wyznacznik´ow . . . 87

9.3.1 Wyznacznik iloczynu macierzy . . . 87

9.3.2 Wyznacznik macierzy nieosobliwej i transponowanej . . 88

9.4 Definicja kombinatoryczna wyznacznika . . . 89

9.5 Wzory Cramera . . . 90

10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 93 10.1 Formy dwuliniowe . . . 93

10.1.1 Definicja i przyk lady . . . 93

10.1.2 Macierz formy dwuliniowej . . . 94

10.2 Twierdzenie Sylwester’a . . . 96

10.3 Formy kwadratowe . . . 97

10.3.1 Okre´slono´s´c formy kwadratowej . . . 97

10.3.2 Kryterium Sylwester’a . . . 98

11 Przestrzenie Euklidesowe 101 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma . . . 101

11.2 Rzut prostopad ly . . . 102

11.2.1 Zadanie aproksymacji . . . 102

11.2.2 Twierdzenie o rzucie prostopad lym . . . 103

11.3 Uk lady ortogonalne . . . 104

11.3.1 Macierz Grama . . . 104

11.3.2 Ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . 105

11.3.3 Rozk lad ortogonalno-tr´ojkatny macierzy . . . 107_,

Nota autora

Niniejszy skrypt zosta l napisany z my´sla o studentach pierwszego roku in-_, formatyki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego, uczeszczaj_, acych na semestralny wyk lad pt. “Geometria z_, algebra liniow_, a”. Skrypt powstawa l r´_, ownolegle z prowadzonym wyk ladem, a stad zawiera tre´sci przekazywane na wyk ladzie i praktycznie tylko te tre´sci._, Powinien wiec, i takie by lo moje zamierzenie, stanowi´_, c dla student´ow pod- stawowy przewodnik po w/w wyk ladzie.

Skrypt ma swoja histori_, e._, W swoim czasie prof. Andrzej Kie lbasi´n- ski prowadzi l na tym samym wydziale i tak˙ze dla student´ow informatyki wyk lad pt. “Algebra liniowa i jej metody obliczeniowe”. Pozosta lo´scia po_, tym wyk ladzie sa, m.in., obszerne odr_, eczne notatki prowadz_, acego. Notatki_, te wyda ly mi sie (i nie tylko mi) na tyle cenne, ˙ze sta ly si_, e podstaw_, a do przy-_, gotowania bie˙zacego wyk ladu. Poniewa˙z, w wyniku reformy studi´_, ow, wyk lad zosta l ograniczony do jednego semestru, materia l musia l by´c z konieczno´sci mocno skr´ocony. Jednak duch wyk ladu i w szczeg´olno´sci oryginalna notacja wprowadzona przez prof. Kie lbasi´nskiego pozosta ly, mam nadzieje, niezmie-_, nione.

Skrypt ma dynamiczny charakter i jest na bie˙zaco poprawiany i modyfi-_, kowany.

Leszek Plaskota

Warszawa, stycze´n 2009

1

2 SPIS TRE´SCI

Rozdzia l 1

Grupy i cia la, liczby zespolone

Dla ustalenia uwagi, bedziemy u˙zywa´_, c nastepuj_, acych oznacze´_, n:

N = { 1, 2, 3, . . . } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2, . . . } - liczby ca lkowite, W =_m

n : m ∈ Z, n ∈ N - liczby wymierne, R = W - liczby rzeczywiste,

C = { (a, b) : a, b ∈ R } - liczby zespolone.

Dwuargumentowym dzia laniem wewnetrznym ‘◦’ w zbiorze X nazywamy_, dowolna funkcj_, e z iloczynu kartezja´_, nskiego X × X w X. Wynik takiego dzia lania na parze (x, y) bedziemy oznacza´_, c przez x ◦ y.

1.1 Podstawowe struktury algebraiczne

Zaczniemy od przedstawienia abstrakcyjnych definicji grupy i cia la.

1.1.1 Grupa

Definicja 1.1 Zbi´or (niepusty) G wraz z wewnetrznym dzia laniem dwuargu-_, mentowym ‘◦⁰ jest grupa je´_, sli spe lnione sa nast_, epuj_, ace warunki (aksjomaty_, grupy):

3

4 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE (i) ∀a, b, c ∈ G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

( laczno´_, s´c dzia lania)

(ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = a = e ◦ a (istnienie elementu neutralnego) (iii) ∀a ∈ G ∃a⁰ ∈ G a ◦ a⁰ = e = a⁰◦ a

(istnienie element´ow przeciwnych/odwrotnych) Je´sli ponadto

(iv) ∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a

to grupe nazywamy przemienn_, a (lub abelow_, a)._, Grupe b_, edziemy oznacza´_, c przez {G, ◦}.

Zauwa˙zmy, ˙ze ju˙z z aksjomat´ow grupy wynika, i˙z element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywi´scie, za l´o˙zmy, ˙ze istnieja dwa elementy_, neutralne, e₁ i e₂. Wtedy, z warunku (ii) wynika, ˙ze e₁ = e₁ ◦ e₂ = e₂. Podobnie, istnieje tylko jeden element odwrotny dla ka˙zdego a ∈ G. Je´sli bowiem istnia lyby dwa odwrotne, a⁰₁ i a⁰₂, to mieliby´smy

a⁰₁ = e ◦ a⁰₁ = (a⁰₂ ◦ a) ◦ a⁰₁ = a⁰₂◦ (a ◦ a⁰₁) = a⁰₂◦ e = a⁰₂,

przy czym skorzystali´smy kolejno z w lasno´sci (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i (ii).

Latwo te˙z pokaza´c, ˙ze w grupie {G, ◦} r´ownania a ◦ x = b oraz y ◦ c = d

dla a, b, c, d ∈ G maja jednoznaczne rozwi_, azania. W uzasadnieniu, ograni-_, czymy sie tylko do pierwszego r´_, ownania. Latwo sprawdzi´c, ˙ze x = a⁰◦ b jest rozwiazaniem. Z drugiej strony, je´sli x jest rozwi_, azaniem to a_, ⁰◦(a◦x) = a⁰◦b, czyli x = a⁰◦ b.

Przyk ladami grup sa:_,

• {Z, +}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciw- nym do a⁰ do a jest −a.

• {W \ {0}, ∗}, gdzie e = 1 a a⁰ = a⁻¹ jest odwrotno´scia a._,

1.1. PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE 5

• Grupa obrot´ow p laszczyzny wok´o l poczatku uk ladu wsp´_, o lrzednych,_, gdzie elementem neutralnym jest obr´ot o kat zerowy, a elementem od-_, wrotnym do obrotu o kat α jest obr´_, ot o kat −α._,

Zwr´o´cmy uwage na istotno´s´_, c wyjecia zera w drugim przyk ladzie. Poniewa˙z_, 0 nie ma elementu odwrotnego, {W, ∗} nie jest grupa. Nie s_, a te˙z grupami_, np. {N, ∗} (nie ma element´ow odwrotnych) oraz {R, −} (nie ma laczno´sci_, oraz elementu neutralnego).

1.1.2 Cia lo

Definicja 1.2 Cia lem (a ´sci´slej, cia lem przemiennym) nazywamy (co naj- mniej dwuelementowy) zbi´or K z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami we- wnetrznymi, dodawaniem ‘+’ i mno˙zeniem ‘∗’, spe lniaj_, ace nast_, epuj_, ace wa-_, runki (aksjomaty cia la):

(i) {K, +} jest grupa przemienn_, a (w kt´_, orej element neutralny oznaczamy przez 0, a element przeciwny do a przez −a),

(ii) {K \ {0}, ∗} jest grupa przemienn_, a (w kt´_, orej element neutralny ozna- czamy przez 1, a odwrotny do a przez a⁻¹),

(iii) ∀a, b, c ∈ K a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

(mno˙zenie jest rozdzielne wzgledem dodawania)._, ¹

Bezpo´srednio z definicji cia la mo˙zna pokaza´c nastepuj_, ace og´_, olne w lasno´sci (uzasadnienie pozostawiamy jako proste ´cwiczenie):

1. 0 6= 1,

2. ∀a ∈ K 0 ∗ a = 0 = a ∗ 0, 3. ∀a ∈ K (−1) ∗ a = −a,

4. je´sli a ∗ b = 0 to a = 0 lub b = 0,

5. je´sli a 6= 0 i b 6= 0 to (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹∗ a⁻¹,

1Przyjmujemy konwencje, ˙ze w wyra˙zeniach w kt´_, orych wystepuj_, a i dodawania i_, mno˙zenia najpierw wykonujemy mno˙zenia.

6 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE dla dowolnych a, b ∈ K.

W ciele mo˙zemy formalnie zdefiniowa´c odejmowanie i dzielenie, mianowi- cie

a − b := a + (−b) ∀a, b ∈ K,

a/b := a ∗ b⁻¹ ∀a ∈ K, b ∈ K \ {0}.

Przyk ladem cia la sa liczby rzeczywiste R z naturalnymi dzia laniami do-_, dawania i mno˙zenia. Cia lem jest te˙z zbi´or liczb

{ a + b√

2 : a, b ∈ W } ⊂ R z tymi samymi dzia laniami.

1.2 Cia lo liczb zespolonych

Wa˙znym przyk ladem cia la jest cia lo liczb zespolonych, kt´oremu po´swiecimy_, ta cz_, e´s´_, c wyk ladu.

1.2.1 Definicja

Definicja 1.3 Cia lo liczb zespolonych to zbi´or par uporzadkowanych_, C := R × R = { (a, b) : a, b ∈ R }

z dzia laniami dodawania i mno˙zenia zdefiniowanymi jako:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + b ∗ c), dla dowolnych a, b, c, d ∈ R. ²

Formalne sprawdzenie, ˙ze C ze zdefiniowanymi dzia laniami jest cia lem pozostawiamy czytelnikowi. Tu zauwa˙zymy tylko, ˙ze elementem neutralnym

2Zauwa˙zmy, ˙ze znaki dodawania i mno˙zenia wystepuj_, a tu w dw´_, och znaczeniach, jako dzia lania na liczbach rzeczywistych oraz jako dzia lania na liczbach zespolonych. Z kon- tekstu zawsze wiadomo w jakim znaczeniu te dzia lania sa u˙zyte._,

1.2. CIA LO LICZB ZESPOLONYCH 7 dodawania jest (0, 0), a mno˙zenia (1, 0). Elementem przeciwnym do (a, b) jest −(a, b) = (−a, −b), a odwrotnym do (a, b) 6= (0, 0) jest

(a, b)⁻¹ =

 a

a²+ b², −b a²+ b²

 .

Zdefiniujemy mno˙zenie liczby zespolonej przez rzeczywista w nast_, epuj_, acy_, (naturalny) spos´ob. Niech z = (a, b) ∈ C i c ∈ R. Wtedy

c ∗ (a, b) = (a, b) ∗ c = (c ∗ a, c ∗ b).

Przyjmujac t_, a konwencj_, e, mamy_,

(a, b) = a ∗ (1, 0) + b ∗ (0, 1).

W ko´ncu, uto˙zsamiajac liczb_, e zespolon_, a (a, 0) z liczb_, a rzeczywist_, a a, oraz_, wprowadzajac dodatkowo oznaczenie_,

ı := (0, 1) otrzymujemy

(a, b) = a + ı ∗ b. (1.1)

a = <z nazywa sie cz_, e´_,scia rzeczywist_, a, a b = =z cz_, e´_,scia urojon_, a liczby ze-_, spolonej. Sama liczb_, e zespolon_, a ı nazywamy jednostk_, a urojon_, a. Zauwa˙zmy,_,

˙ze

ı² = (−1, 0) = −1.

1.2.2 Posta´ c trygonometryczna

Posta´c (1.1) jest najbardziej rozpowszechniona. Czesto wygodnie jest u˙zy´_, c r´ownie˙z postaci trygonometrycznej, kt´ora jest konsekwencja interpretacji_, liczby zespolonej (a, b) jako punktu na p laszczy´znie (tzw. p laszczy´znie ze- spolonej) o wsp´o lrzednych a i b. Dok ladniej, przyjmuj_, ac_,

|z| := √

a²+ b² oraz kat φ tak, ˙ze_,

sin φ = b

|z|, cos φ = a

|z|,

8 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE otrzymujemy

z = |z|(cos φ + ı sin φ). (1.2) Jest to w la´snie posta´c trygonometryczna. Liczbe rzeczywist_, a |z| nazywamy_, modu lem liczby zespolonej z, a φ jej argumentem, φ = argz.

Je´sli z 6= 0 i za lo˙zymy, ˙ze φ ∈ [0, 2π) to posta´c trygonometryczna jest wyznaczona jednoznacznie. Piszemy wtedy φ = Argz.

1.2.3 Wz´ or de Moivre’a

Niech z = |z|(cos φ + ı sin φ), w = |w|(cos ψ + ı sin ψ) bed_, a dwoma liczbami_, zespolonymi. Wtedy

w ∗ z = |w||z| ((cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + ı(sin φ cos ψ + sin ψ cos φ))

= |w||z| (cos(φ + ψ) + ı sin(φ + ψ)) , a stad_,

|w ∗ z| = |w||z| oraz arg(w ∗ z) = argw + argz.

W la´snie w tych r´owno´sciach przejawia sie wygoda postaci trygonometrycznej._, W szczeg´olno´sci mamy bowiem z² = |z|²(cos 2φ + ı sin 2φ) i postepuj_, ac dalej_, indukcyjnie otrzymujemy wz´or de Moivre’a. Mianowicie, dla dowolnej liczby zespolonej z w postaci trygonometrycznej (1.2) mamy

zⁿ= |z|ⁿ(cos(nφ) + ı sin(nφ)), n = 0, 1, 2, . . . (1.3) Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze wz´or (1.3) jest prawdziwy r´ownie˙z dla n = −1, a stad_, dla wszystkich ca lkowitych n. Przyjmujac za z_, ^1/n szczeg´olne rozwiazanie_, r´ownania wⁿ= z, mianowicie

z^1/n = |z|^1/n(cos(φ/n) + ı sin(φ/n)) ,

gdzie φ = Argz, uog´olniamy (1.3) dla wszystkich wyk ladnik´ow wymiernych.

Stosujac dalej argument z przej´sciem granicznym (ka˙zda liczba rzeczywi-_, sta jest granica ci_, agu liczb wymiernych) otrzymujemy w ko´_, ncu nastepuj_, acy_, uog´olniony wz´or de Moivre’a:

∀a ∈ R z^a = |z|^a(cos(aφ) + ı sin(aφ)) . Prostym wnioskiem z ostatniego wzoru jest r´ownanie

z = |z| ∗ ω^φ,

1.2. CIA LO LICZB ZESPOLONYCH 9 gdzie ω = cos 1 + ı sin 1 = 0, 540302 . . . + ı ∗ 0, 84147 . . . ∈ C. Jest to uog´olnienie na przypadek liczb zespolonych wzoru x = |x| ∗ sgn(x) znanego z przypadku liczb rzeczywistych.

1.2.4 Pierwiastki z jedynki

Rozpatrzmy rozwiazania r´_, ownania

zⁿ= 1

dla dowolnej naturalej n. W dziedzinie rzeczywistej pierwiastkiem jest 1 je´sli n jest nieparzyste, albo 1 i (−1) je´sli n jest parzyste. W dziedzi- nie zespolonej mamy zawsze n pierwiastk´ow. Rzeczywi´scie, poniewa˙z 1 = cos(2kπ) + ı sin(2kπ), ze wzoru de Moivre’a dostajemy, ˙ze wszyskie pier- wiastki wyra˙zaja si_, e wzorami_,

z_k:= cos 2kπ n



+ ı sin 2kπ n



, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Zauwa˙zmy, ˙ze z_j le˙za na okr_, egu jednostkowym p laszczyzny zespolonej. Zbi´_, or G = {z_k : k = 0, 1, . . . , n − 1} ze zwyk lym mno˙zeniem liczb zespolonych tworzy grupe z elementem neutralnym z_, 0 = 1.

1.2.5 Sprz e ˙zenie

Liczbe sprz_, e˙zon_, a do z = a + ıb definiujemy jako_, z := a − ıb.

Zauwa˙zmy, ˙ze z = z oraz z ∗ z = |z|². Mamy te˙z z + z

2 = <z i z − z

2ı = =z.

I jeszcze jedna wa˙zna w lasno´s´c sprze˙zenia. Je´sli  ∈ {+, −, ∗, /} to_, w  z = w  z.

Stosujac indukcj_, e, mo˙zna ten wz´_, or uog´olni´c w nastepuj_, acy spos´_, ob. Je´sli f (u₁, u₂, . . . , u_s) jest wyra˙zeniem arytmetycznym, gdzie u_j sa sta lymi lub_, zmiennymi zespolonymi, to

f (u₁, u₂, . . . , u_s) = f (u₁, u₂, . . . , u_s).

10 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE

1.3 Wielomiany

Definicja 1.4 Wielomianem p nad cia lem K nazywamy funkcje zmiennej z_, o warto´sciach w ciele K dana wzorem_,

p(z) :=

n

X

j=0

ajz^j = a0 + a1z + · · · + anzⁿ,

gdzie a_j ∈ K, 0 ≤ j ≤ n, a_n6= 0, sa wsp´_, o lczynnikami wielomianu. Liczbe n_, nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy

n = deg p.

(Przyjmujemy przy tym, ˙ze deg 0 = −∞.)

1.3.1 Algorytm Hornera

Ka˙zdy wielomian p(z) =Pn

k=0a_kz^k stopnia n ≥ 1 o wsp´o lczynnikach zespo- lonych mo˙zna podzieli´c przez dwumian z − ξ otrzymujac_,

p(z) = q(z)(z − ξ) + η,

gdzie deg q = n − 1, a η ∈ C. Dodatkowo, je´sli p ma wsp´o lczynniki rzeczy- wiste i ξ ∈ R, to q ma r´ownie˙z wsp´o lczynniki rzeczywiste i η ∈ R.

Iloraz q oraz reszte η z dzielenia mo˙zna otrzyma´_, c stosujac algorytm Hor-_, nera:

{ b_n:= a_n;

for k := n − 1 downto 0 do b_k := a_k+ ξ ∗ b_k+1; }

Wtedy q(z) =Pn

k=1b_kz^k−1 oraz reszta η = b₀.

1.3.2 Zasadnicze twierdzenie algebry

Dla wielomian´ow zespolonych prawdziwe jest nastepuj_, ace wa˙zne twierdzenie._, Twierdzenie 1.1 (Zasadnicze Twierdzenie Algebry)

Ka˙zdy wielomian zespolony p stopnia co najmniej pierwszego ma pierwiastek zespolony, tzn. r´ownanie p(z) = 0 ma rozwiazanie._,

1.3. WIELOMIANY 11 Twierdzenie 1.1 m´owi, ˙ze liczby zespolone C sa cia lem algebraicznie do-_, mknietym. (Przypomnijmy, ˙ze liczby rzeczywiste R nie s_, a algebraicznie do-_, mkniete, bo np. r´_, ownanie x²+ 1 = 0 nie ma rozwiaza´_, n w R.)

Konsekwencja algebraicznej domkni_, eto´sci C jest faktoryzacja (rozk lad)_, wielomianu zespolonego na czynniki pierwszego stopnia. Dok ladniej, sto- sujac n-krotnie zasadnicze twierdzenie algebry oraz fakt, ˙ze je´sli ξ jest pier-_, wiastkiem wielomianu p to reszta z dzielenia p przez ( · − ξ) jest zerowa, otrzymujemy rozk lad

p(z) = a_n(z − z₁)(z − z₂) · · · (z − z_n), (1.4) gdzie z_j, 1 ≤ j ≤ n, sa pierwiastkami p. Zak ladaj_, ac, ˙ze tylko m pierwiastk´_, ow jest parami r´o˙znych (1 ≤ m ≤ n), mo˙zemy r´ownowa˙znie napisa´c, ˙ze

p(z) = a_n(z − u₁)^s1(z − u₂)^s2· · · (z − u_m)^sm, gdzie u_i 6= u_j o ile i 6= j, oraz Pm

j=1s_j = n. Przy tym zapisie, s_j nazywamy krotno´scia pierwiastka u_{, j}.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze wsp´o lczynniki wielomianu p sa rzeczywiste, a_{, j} ∈ R, 0 ≤ j ≤ n. Za l´o˙zmy te˙z, ˙ze p(ξ) = 0 i ξ /∈ R. Wtedy ξ 6= ξ i

p(ξ) =

n

X

j=0

ajξ^j =

n

X

j=0

ajξ^j =

n

X

j=0

ajξ^j = 0 = 0,

tzn. je´sli ξ jest pierwiastkiem to tak˙ze liczba sprze˙zona ξ jest pierwiastkiem;_, obie wystepuj_, a w rozwini_, eciu (1.4). Ale_,

(z − ξ)(z − ξ) = z²− z(ξ + ξ) + ξξ = z²− 2z<ξ + |ξ|²

jest tr´ojmianem kwadratowym o wsp´o lczynnikach rzeczywistych. Stad wnio-_, sek, ˙ze wielomian rzeczywisty daje sie roz lo˙zy´_, c na iloczyn czynnik´ow stopnia co najwy˙zej drugiego.

12 ROZDZIA L 1. GRUPY I CIA LA, LICZBY ZESPOLONE

Rozdzia l 2

Macierze liczbowe

2.1 Podstawowe definicje

Macierza (nad cia lem K) nazywamy tablic_, e prostok_, atn_, a_,

A =











a1,1 a1,2 . . . a1,n

a_2,1 a_2,2 . . . a_2,n ... ... ... a_m,1 a_m,2 . . . a_m,n









 ,

gdzie ai,j ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Bedziemy m´_, owi´c, ˙ze A jest macierza_, formatu m×n, tzn. macierza o m wierszach i n kolumnach. Zbi´_, or wszystkich takich macierzy oznaczamy przez K^m,n.

2.1.1 Macierze szczeg´ olnych format´ ow

• n × n Macierze kwadratowe K^n,n.

• m × 1 Macierze jednokolumnowe nazywane wektorami.

Zbi´or wektor´ow oznaczamy przez K^m,1= K^m,

K^m 3 A = (a_i,1) = ~a = ˆa = (a_i)^m_i=1=









 a₁ a₂ ... a_m









 .

13

14 ROZDZIA L 2. MACIERZE LICZBOWE

• 1 × n Macierze jednowierszowe nazywane funkcjona lami.

Zbi´or funkcjona l´ow oznaczamy przez K^1,n= K^nT (albo K^nH), K^nT 3 A = (a_1,j) = ~a^T = ˆa^T = (a_j)ⁿ_j=1 = [a₁, . . . , a_n] .

• 1 × 1 Macierze jednoelementowe, uto˙zsamiane z K, tzn. K^1,1 = K.

2.1.2 Podzia l blokowy

Czesto wygodnie jest przedstawi´_, c macierz w postaci blokowej, kt´ora w og´o- lno´sci wyglada nast_, epuj_, aco:_,

A =







A_1,1 . . . A_1,t ... ... As,1 . . . As,t





 ∈ K^m,n, (2.1)

gdzie A_p,q∈ K^mp,nq, 1 ≤ p ≤ s, 1 ≤ q ≤ t, Ps

p=1m_p = m, Pt

q=1n_q = n.

Na posta´c blokowa mo˙zna patrzy´_, c jak na macierz, kt´orej elementami sa macierze. Z drugiej strony, macierz liczbow_, a mo˙zna interpretowa´_, c jako macierz w postaci blokowej z blokami formatu 1 × 1.

Wa˙zne szczeg´olne przypadki to podzia l kolumnowy macierzy,

A = [~a₁, ~a₂, . . . , ~a_n] , gdzie ~a_j =









 a1,j

a_2,j ... a_m,j











, 1 ≤ j ≤ n,

oraz podzia l wierszowy macierzy,

A =









 ˆ a^T₁ ˆ a^T₂

... ˆ a^T_m











, gdzie aˆ^T_i = [a_i,1, a_i,2, . . . , a_i,n] , 1 ≤ i ≤ m.

2.2 Dzia lania na macierzach

2.2.1 Podstawowe dzia lania

Mo˙zemy na macierzach wykonywa´c r´o˙zne dzia lania. Podstawowe z nich to:

2.2. DZIA LANIA NA MACIERZACH 15 u ∈ K, A ∈ K^m,n =⇒ B = u ∗ A ∈ K^m,n, b_i,j = u ∗ a_i,j

(mno˙zenie macierzy przez liczbe)_,

A, B ∈ K^m,n =⇒ C = A + B ∈ K^m,n, c_i,j = a_i,j+ b_i,j (dodawanie macierzy)

A ∈ K^m,n =⇒ B = A^T ∈ K^n,m, b_j,i= a_i,j (transpozycja macierzy) A ∈ C^m,n =⇒ B = A^H ∈ K^n,m, bj,i= ai,j (sprze˙zenie hermitowskie)_, A ∈ C^m,n =⇒ B = |A| ∈ C^m,n, b_i,j = |a_i,j| (modu l macierzy)

W szczeg´olno´sci, mamy te˙z dla u, v ∈ K ⊂ C, A, B ∈ C^m,n, (u ∗ A ± v ∗ B)^H = u ∗ A^H ± v ∗ B^H,

A^T
T

= A = A^H
H

.

Zauwa˙zmy, ˙ze macierze formatu m × n z dzia laniem dodawania sa grup_, a_, przemienna, przy czym elementem neutralnym jest macierz zerowa (gdzie_, a_i,j = 0 ∀i, j), a przeciwna do (a_{, i,j}) jest macierz (−a_i,j).

Je´sli macierze dane sa w postaci blokowej (2.1) to:_, B = u ∗ A =⇒ B_p,q = u ∗ A_p,q

C = A + B =⇒ C_p,q= A_p,q+ B_p,q B = A^T =⇒ B_p,q = A^T_q,p

B = A^H =⇒ B_p,q = A^H_q,p

2.2.2 Mno ˙zenie macierzy

Je´sli A ∈ K^m,l i B ∈ K^l,n to

C = A ∗ B ∈ K^m,n, gdzie

c_i,j =

l

X

k=1

a_i,k∗ b_k,j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

16 ROZDZIA L 2. MACIERZE LICZBOWE Zauwa˙zmy, ˙ze mno˙zenie A ∗ B jest wykonalne wtedy i tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest r´owna liczbie wierszy macierzy B. Je´sli A jest w postaci wierszowej, a B kolumnowej,

A =





 ˆ a^T₁

... ˆ a^T_m





, B =h~b₁, . . . ,~b_li ,

to c_i,j = ˆa^T_i ∗ ~b_j ∀i, j.

Podstawowe w lasno´sci mno˙zenia macierzy sa nast_, epuj_, ace. (Zak ladamy,_,

˙ze macierze sa odpowiednich format´_, ow tak, ˙ze dzia lania sa wykonalne.)_, (A + B) ∗ C = A ∗ C + B ∗ C

C ∗ (A + B) = C ∗ A + C ∗ B

(rozdzielno´s´c mno˙zenia wzgledem dodawania)_,

u ∗ (A ∗ B) = (u ∗ A) ∗ B = A ∗ (u ∗ B) = (A ∗ B) ∗ u (u ∈ K) (A ∗ B) ∗ C = A ∗ (B ∗ C) ( laczno´s´_, c mno˙zenia)

Dowody tych w lasno´sci polegaja na zwyk lym sprawdzeniu. Dlatego, dla_, przyk ladu, poka˙zemy tu jedynie laczno´s´_, c. Niech macierze A, B, C bed_, a odpo-_, wiednio format´ow m×k, k ×l, l ×n. (Zauwa˙zmy, ˙ze tylko wtedy odpowiednie mno˙zenia sa wykonalne.) Mamy_,

((A ∗ B) ∗ C)_i,j =

l

X

s=1

(A ∗ B)_i,sc_s,j =

l

X

s=1 k

X

t=1

a_i,tb_t,s

! c_s,j

=

k

X

t=1

a_i,t

l

X

s=1

b_t,sc_s,j =

k

X

t=1

a_i,t(B ∗ C)_t,j

= (A ∗ (B ∗ C))_i,j. Mamy te˙z

(A ∗ B)^T = B^T ∗ A^T, (A ∗ B)^H = B^H ∗ A^H. Rzeczywi´scie,

(A ∗ B)^H

i,j = (A ∗ B)_j,i =

l

X

k=1

a_j,kb_k,i

2.2. DZIA LANIA NA MACIERZACH 17

=

l

X

k=1

aj,kbk,i =

l

X

k=1

bk,iaj,k

=

l

X

k=1

B^H

i,k A^H

k,j = B^H ∗ A^H

i,j.

2.2.3 Mno ˙zenie macierzy w postaci blokowej

Je´sli macierze sa podane w postaci blokowej to mo˙zna je mno˙zy´_, c ‘blok-po- bloku’ (tak jak w przypadku blok´ow 1×1) o ile formaty odpowiednich blok´ow sa zgodne. Dok ladniej, je´sli A = (A_{, i,k}), B = (B_k,j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ l, 1 ≤ j ≤ n, oraz dla wszystkich i, j, k liczba kolumn bloku A_i,k macierzy A jest r´owna liczbie wierszy bloku B_k,j macierzy B to iloczyn

C = A ∗ B = (C_i,j) , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, gdzie

C_i,j =

l

X

k=1

A_i,k ∗ B_k,n. Poka˙zemy to na przyk ladzie. Niech

A =





A_1,1 A_1,2 A_1,3 A_1,4 A_2,1 A_2,2 A_2,3 A_2,4 A_3,1 A_3,2 A_3,3 A_3,4



, B =









B1,1 B1,2

B_2,1 B_2,2 B_3,1 B_3,2 B4,1 B4,2







 .

Wtedy

C =





C_1,1 C_1,2 C_2,1 C_2,2 C_3,1 C_3,2



, gdzie

C_1,1 = A_1,1∗ B_1,1+ A_1,2∗ B_2,1+ A_1,3∗ B_3,1+ A_1,4∗ B_4,1, C_1,2 = A_1,1∗ B_1,2+ A_1,2∗ B_2,2+ A_1,3∗ B_3,2+ A_1,4∗ B_4,2, C_2,1 = A_2,1∗ B_1,1+ A_2,2∗ B_2,1+ A_2,3∗ B_3,1+ A_2,4∗ B_4,1, C_2,2 = A_2,1∗ B_1,2+ A_2,2∗ B_2,2+ A_2,3∗ B_3,2+ A_2,4∗ B_4,2, C3,1 = A3,1∗ B1,1+ A3,2∗ B2,1+ A3,3∗ B3,1+ A3,4∗ B4,1, C_3,2 = A_3,1∗ B_1,2+ A_3,2∗ B_2,2+ A_3,3∗ B_3,2+ A_3,4∗ B_4,2,

18 ROZDZIA L 2. MACIERZE LICZBOWE o ile formaty blok´ow A_i,k i B_k,j sa zgodnie._,

Bardzo wa˙znym przypadkiem szczeg´olnym mno˙zenia blokowego jest A ∗ B = A ∗h~b₁,~b₂, . . . ,~b_li

= h

A ∗ ~b₁, A ∗ ~b₂, . . . , A ∗ ~b_li .

Zwr´o´cmy jeszcze uwage na fakt, ˙ze je´sli ~a ∈ K_, ^m oraz ~b ∈ Kⁿ to C = ~a ∗ ~b^T ∈ K^m,n

jest macierza formatu m × n, nazywan_, a iloczynem wewn_, etrznym wektor´_, ow.

Je´sli natomiast wektory sa tych samych format´_, ow, ~a,~b ∈ Kⁿ, to c = ~a^T ∗ ~b = ~b^T ∗ ~a ∈ K

jest liczba, nazywan_, a iloczynem zewn_, etrznym. W przypadku ~a,~b ∈ C_, ⁿ defi- niujemy r´ownie˙z iloczyn skalarny wektor´ow jako liczbe zespolon_, a_,

g = ~b^H ∗ ~a ∈ C.

2.3 Dalsze oznaczenia

2.3.1 Macierze tr´ ojk atne i jednostkowe

Wyr´o˙znimy nastepuj_, ace podzbiory macierzy formatu m × n (niekoniecznie_, kwadratowych):

TRIU^m,n = { A ∈ K^m,n : ∀i > j a_i,j = 0 } , TRIL^m,n = { A ∈ K^m,n : ∀i < j a_i,j = 0 } , DIAG^m,n = { A ∈ K^m,n : ∀i 6= j a_i,j = 0 } .

Sa to odpowiednio macierze tr´_, ojkatne g´_, orne, tr´ojkatne dolne i diagonalne._, Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy z tych podzbior´ow macierzy stanowi grupe ze wzgl_, edu_, na dzia lanie dodawania macierzy (sa to podgrupy {K_, ^m,n, +}), oraz

DIAG^m,n = TRIU^m,n∩ TRIL^m,n.

2.4. MACIERZE NIEOSOBLIWE 19 Poniewa˙z macierze diagonalne D ∈ DIAG^m,n maja elementy niezerowe_, jedynie na g l´ownej diagonali, powiedzmy d_i, 1 ≤ i ≤ min(m, n), bedziemy_, pisa´c

D = diag d₁, d₂, . . . , d_min(m,n)
.

Szczeg´olnie wa˙znymi macierzami diagonalnymi sa (kwadratowe) macierze_, jednostkowe

I_n = diag_n(1, 1, . . . , 1

| {z }

n

) ∈ K^n,n. Je´sli A ∈ K^m,n to

I_m∗ A = A = A ∗ I_n,

co oznacza, ˙ze I_m i I_n sa elementami neutralnymi mno˙zenia (odpowiednio_, lewostronnym i prawostronnym).

2.3.2 Uk lad r´ owna´ n jako r´ ownanie macierzowe

Rozpatrzmy nastepuj_, acy uk lad r´_, owna´n:











a_1,1x₁ + a_1,2x₂ + · · · + a_1,nx_n = b₁ a_2,1x₁ + a_2,2x₂ + · · · + a_2,nx_n = b₂

... ... ... ...

a_m,1x₁ + a_m,2x₂ + · · · + a_m,nx_n = b_m

. (2.2)

M´owimy, ˙ze jest to uk lad m r´owna´n liniowych z n niewiadomymi. Liczby ai,j ∈ K nazywamy i wsp´o lczynnikami uk ladu, bi wyrazami wolnymi, a xj to niewiadome.

Oznaczmy

A = (a_i,j) ∈ K^m,n, ~b = (b_i) ∈ K^m, ~x = (x_j) ∈ Kⁿ.

Wtedy uk lad (2.2) mo˙zemy r´ownowa˙znie zapisa´c po prostu jako r´ownanie macierzowe

A ∗ ~x = ~b.

2.4 Macierze nieosobliwe

2.4.1 Grupa macierzy nieosobliwych

W zbiorze K^n,n mno˙zenie macierzy jest dzia laniem wewnetrznym. Ponadto,_, jak wcze´sniej zauwa˙zyli´smy, mno˙zenie jest laczne, a macierz jednostkowa_,

20 ROZDZIA L 2. MACIERZE LICZBOWE

I_n = diag(1, . . . , 1) ∈ K^n,n jest elementem neutralnym mno˙zenia,

∀A ∈ K^n,n A ∗ I_n= A = I_n∗ A.

(Przypomnijmy, ˙ze element neutralny, je´sli istnieje, jest tylko jeden.) Natu- ralnym staje sie teraz pytanie, czy istniej_, a elementy odwrotne. Niestety, nie_, zawsze. Na przyk lad, latwo sprawdzi´c, ˙ze (niezerowa) macierz

 1 −2

−2 4



nie ma odwrotno´sci (zar´owno lewostronnej jak i prawostronnej). Z drugiej strony, wiele macierzy niezerowych maja odwrotno´sci. Na przyk lad, macierze_,

A =

 1 0

−1 2



oraz B =

 1 0

1/2 1/2



stanowia par_, e macierzy do siebie wzajemnie odwrotnych, A ∗ B = I_, 2 = B ∗ A, tak, ˙ze mo˙zemy napisa´c B = A⁻¹ i A = B⁻¹. (Przypomnijmy, ˙ze element odwrotny, je´sli istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie.)

Definicja 2.1 Macierz kwadratowa A ∈ K_, ^n,n dla kt´orej istnieje macierz od- wrotna A⁻¹ ∈ K^n,n nazywamy odwracalna albo nieosobliw_, a. Macierz, kt´_, ora nie posiada macierzy odwrotnej nazywamy osobliwa._,

Zwr´o´cmy uwage na fakt, ˙ze poj_, ecie macierzy (nie)osobliwej przys luguje_, jedynie macierzy kwadratowej.

Iloczyn macierzy nieosobliwych jest macierza nieosobliw_, a. Rzeczywi´scie,_, je´sli A, B ∈ K^n,n to sprawdzamy bezpo´srednio, ˙ze odwrotno´scia C = A ∗ B_, jest macierz

C⁻¹ = B⁻¹∗ A⁻¹. Stad wniosek, ˙ze_,

zbi´or macierzy nieosobliwych formatu n × n z dzia laniem mno ˙zenia macierzy jest grupa (nieprzemienn_, a)._,

2.4. MACIERZE NIEOSOBLIWE 21

2.4.2 Warunek nieosobliwo´ sci macierzy

Twierdzenie 2.1 Aby macierz A ∈ K^n,n by la nieosobliwa potrzeba i wy- starcza, aby dla ka˙zdego ~b ∈ Kⁿ uk lad r´owna´n A ∗ ~x = ~b mia l jednoznaczne rozwiazanie ~_, x ∈ Kⁿ.

Dow´od. (Konieczno´s´c.) Jes li A jest nieosobliwa to latwo sprawdzi´c, ˙ze

~

x = A⁻¹ ∗ ~b jest rozwiazaniem. Z drugiej strony, je´sli ~_, x jest rozwiazaniem,_, A ∗ ~x = ~b, to A⁻¹∗ (A ∗ ~x) = A⁻¹ ∗ ~b, czyli ~x = A⁻¹ ∗ ~b jest rozwiazaniem_, jednoznacznym.

(Dostateczno´s´c.) Uk lady r´owna´n A∗~b_j = ~e_j, gdzie ~e_j jest j-tym wersorem,

~

ej = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]^T,

(gdzie jedynka stoi na j-tym miejscu) maja jednoznaczne rozwi_, azania ~b_, j, 1 ≤ j ≤ n. Biorac B = [~b_, 1,~b2, . . . ,~bn] mamy

A ∗ B = [A ∗ ~b₁, . . . , A ∗ ~b_n] = [~e₁, . . . , ~e_n] = I_n.

Pozostaje jeszcze pokaza´c, ˙ze B∗A = In. Rzeczywi´scie, mamy (A∗B)∗A = A, czyli A ∗ (B ∗ A) = A. Rozwiazaniem r´_, ownania A ∗ Z = A jest Z = I_n, a poniewa˙z z za lo˙zenia rozwiazanie to jest jednoznaczne to B ∗ A = I_{, n}. Stad_, B = A⁻¹, co ko´nczy dow´od.

Jednym z wa˙znych wniosk´ow z tego twierdzenie jest nastepuj_, acy._,

Wniosek 2.1 Macierz tr´ojkatna (g´_, orna lub dolna) T ∈ K^n,njest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy na g l´ownej diagonali sa niezerowe._, Rzeczywi´scie, wystarczy sprawdzi´c jednoznaczna rozwi_, azywalno´s´_, c odpo- wiedniego uk ladu r´owna´n. Dodajmy, ˙ze macierz odwrotna do tr´ojkatnej_, dolnej (g´ornej), je´sli istnieje, jest te˙z tr´ojkatna dolna (g´_, orna).

2.4.3 Permutacje

Niech p = [p(1), p(2), . . . , p(n)] ∈ Perm(n) bedzie permutacj_, a n elementow_, a._, Odpowiadajac_, a tej permutacji macierz P = (p_{, i,j}) ∈ K^n,n zdefiniowana jako_,

pi,j =

 1 gdy j = p(i), 0 gdy j 6= p(i),

22 ROZDZIA L 2. MACIERZE LICZBOWE nazywamy macierza permutacji. Na przyk lad, je´sli p = [3, 1, 4, 2] ∈ Perm(4)_, to

P =









0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0







 .

R´ownowa˙znie, macierz kwadratowa P jest macierza permutacji wtedy i tylko_, wtedy gdy w ka˙zdym wierszu i w ka˙zdej kolumnie wystepuje dok ladnie jedna_, jedynka, a pozosta le elementy sa zerami._,

Latwo sprawdzi´c, ˙ze permutacje n-elementowe Perm(n) tworza grup_, e ze_, wzgledu na ich z lo˙zenie,_,

(q ◦ p)(i) = q(p(i)) 1 ≤ i ≤ n.

Elementem neutralnym jest permutacja identyczno´sciowa id(i) = i ∀i, a ele- mentem odwrotnym do p jest permutacja odwrotna p⁰zdefiniowana r´owno´scia_, p⁰(p(i)) = i ∀i.

Podobnie, macierze permutacji tworza grup_, e ze wzgl_, edu na mno˙zenie_, macierzy, przy czym

P (q ◦ p) = P (p) ∗ P (q).

Rzeczywi´scie, (P (q ◦ p))_i,j = 1 w.t.w. gdy q(p(i)) = j. Z drugiej strony, (P (p) ∗ P (q))_i,j = 1 w.t.w gdy (P (q))_p(i),j = 1, czyli zn´ow q(p(i)) = j.

Podobnie pokazujemy, ˙ze

P (p⁰) = (P (p))⁻¹ = (P (p))^T . Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli P = P (p), p ∈ Perm(n), to

P ∗





 x₁

... x_n





=





 x_p(1)

... x_p(n)





,

czyli mno˙zenie wektora z lewej strony przez macierz permutacji skutkuje zamiana kolejno´sci wsp´_, o lrzednych. Podobnie,_,

P ∗





 ˆ a^T₁

... ˆ a^T_n





=





 ˆ a^T_p(1)

... ˆ a^T_p(n)







2.4. MACIERZE NIEOSOBLIWE 23 powoduje przestawienie wierszy macierzy zgodnie z p. Poniewa˙z

A ∗ P = (A ∗ P )^T
T

= P^T ∗ A^T
T

, dochodzimy do wniosku, ˙ze

A ∗ P permutuje kolumny A zgodnie z p⁰, A ∗ P^T permutuje kolumny A zgodnie z p.

24 ROZDZIA L 2. MACIERZE LICZBOWE

Rozdzia l 3

Normy wektor´ ow i macierzy

W tym rozdziale zak ladamy, ˙ze

K ⊆ C.

3.1 Og´ olna definicja normy

Niech ψ : K^m,n → [0, +∞) bedzie przekszta lceniem spe lniaj_, acym warunki:_, (i) ∀A ∈ K^m,n ψ(A) = 0 ⇐⇒ A = 0,

(ii) ∀A ∈ K^m,n∀u ∈ K ψ(u ∗ A) = |u| · ψ(A), (iii) ∀A, B ∈ K^m,n ψ(A + B) ≤ ψ(A) + ψ(B)

(nier´owno´s´c tr´ojkata albo subaddytywno´_, s´c).

Ka˙zde takie przekszta lcenie ψ nazywamy norma w K_, ^m,n i oznaczamy ψ(A) = kAk.

Norma jest miara “wielko´sci” macierzy. Dlatego_, kA − Bk

uznajemy za miare odleg lo´sci mi_, edzy macierzami A i B._,

Powiemy, ˙ze norma jest monotoniczna gdy warunek |A| ≤ |B| (tzn. gdy

|a_i,j| ≤ |b_i,j| ∀i, j) implikuje kAk ≤ kBk. Je´sli norma w K^n,n spe lnia kA ∗ Bk ≤ kAk · kBk, ∀A, B ∈ K^n,n,

to m´owimy, ˙ze norma jest submultiplikatywna.

25

26 ROZDZIA L 3. NORMY WEKTOR ´OW I MACIERZY

3.2 Normy wektor´ ow

3.2.1 Normy p-te

Wektory w Kⁿ sa szczeg´_, olnymi macierzami. W tym przypadku, wa˙znymi przyk ladami norm sa normy Schura, zdefiniowane dla danej p, 1 ≤ p ≤ ∞,_, jako

k~xkp =

n

X

i=1

|xi|^p

!1/p

dla 1 ≤ p < ∞, k~xk∞ = max

1≤i≤n|xi|.

Nietrudno zauwa˙zy´c, ˙ze k~xk∞= lim_p→∞k~xk_p, ∀~x ∈ Kⁿ.

Warunki (i) i (ii) normy sa trywialnie spe lnione przez normy Schura._, Warunek (iii) latwo sprawdzi´c dla p = 1, ∞. Dla p = 1 mamy bowiem

k~x + ~yk1 =

n

X

i=1

|xi+ yi| ≤

n

X

i=1

|xi| +

n

X

i=1

|yi| = k~xk1+ k~yk1,

a dla p = ∞

k~x + ~yk∞= max

1≤i≤n|x_i+ y_i| ≤ max

1≤i≤n|x_i| + max

1≤i≤n|y_i| = k~xk∞+ k~yk∞. (W obu przypadkach zastosowali´smy nier´owno´s´c tr´ojkata |u + v| ≤ |u| + |v|_, dla liczb zespolonych u i v.) Dla innych warto´sci p warunek (iii) jest du˙zo trudniej pokaza´c. Dlatego ograniczymy sie tu jedynie do przypadku p = 2._, Lemat 3.1 (Nier´owno´s´c Schwarza)

Dla dowolnych ~u, ~v ∈ Kⁿ mamy

|~u^H ∗ ~v| ≤ k~uk₂ · k~vk₂. Dow´od. Dla t ∈ K mamy

0 ≤ k~u + ~v ∗ tk²₂ = (~u + ~v ∗ t)^H · (~u + ~v ∗ t)

= ~u^H ∗ ~u + ¯t · t ∗ ~v^H ∗ ~v + ~u^H ∗ ~v ∗ t + ~v^H ∗ ~u ∗ ¯t

= k~uk²₂+ |t|²· k~vk₂²+ |t| · |~u^H ∗ ~v| · ω^(ϕ+ψ)+ ω^−(ϕ+ψ)
, gdzie t = |t| · ω^ψ, ~u^H ∗ ~v = |~u^H ∗ ~v| · ω^ϕ, ω = cos 1 + ı · sin 1.

3.2. NORMY WEKTOR ´OW 27 Biorac teraz ψ = −ϕ mamy_,

0 ≤ k~uk²₂+ 2|t| · |~u^H ∗ ~v| + |t|²· k~vk²₂, a biorac ψ = π − ϕ mamy_,

0 ≤ k~uk²₂− 2|t| · |~u^H ∗ ~v| + |t|²· k~vk²₂. Stad dla dowolnej τ ∈ R otrzymujemy_,

0 ≤ k~uk²₂+ 2τ |~u^H ∗ ~v| + τ²k~vk²₂.

Poniewa˙z prawa strona ostatniej nier´owno´sci jest, jako funkcja τ , tr´ojmianem kwadratowym o warto´sciach nieujemnych, to

0 ≥ ∆ = 4 |~u ∗ ~v|²− k~uk²₂· k~vk²₂
, co implikuje |~u^H ∗ ~v| ≤ k~uk₂· k~vk₂ i ko´nczy dow´od.

Na podstawie nier´owno´sci Schwarza mamy teraz

k~u + ~vk²₂ = k~uk²₂+ k~vk²₂+ ~u^H ∗ ~v + ~v^H ∗ ~u

= k~uk²₂+ k~vk²₂+ 2<(~u^H ∗ ~v)

≤ k~uk²₂+ k~vk²₂+ 2|~u^H ∗ ~v|

≤ k~uk²₂+ k~vk²₂+ 2k~uk₂k~vk₂

= (k~uk2+ k~vk2)², czyli nier´owno´s´c tr´ojkata dla k · k_{, 2}.

3.2.2 Po ˙zyteczne (nie)r´ owno´ sci

Nietrudno pokaza´c nastepuj_, ace nier´_, owno´sci lacz_, ace normy p-te Schura dla_, p = 1, 2, ∞. Mianowicie, dla ka˙zdego ~u ∈ Kⁿ mamy

k~uk_∞ ≤ k~uk₁ ≤ n · k~uk_∞, k~uk∞ ≤ k~uk2 ≤ √

n · k~uk∞, k~uk₂ ≤ k~uk₁ ≤ √

n · k~uk₂,

28 ROZDZIA L 3. NORMY WEKTOR ´OW I MACIERZY przy czym ostatnia z tych nier´owno´sci jest konsekwencja nier´_, owno´sci Schwa- rza,

k~uk₁ =

n

X

i=1

|u_i| =

n

X

i=1

|u_i| · |1| ≤

n

X

i=1

|u_i|²

!1/2 n

X

i=1

1²

!1/2

=√

n · k~uk₂.

Dodatkowo zauwa˙zamy, ˙ze nier´owno´sci tych nie mo˙zna poprawi´c. Na przy- k lad, dla pierwszego wersora ~e₁ mamy k~e₁k_p = 1 ∀p, a dla ~1 = [1, 1, . . . , 1] ∈ Kⁿ mamy k~1k₁ =√

nk~1k₂ = nk~1k_∞.

Kula jednostkow_, a w K_, ⁿ (ze wzgledu na norm_, e k · k) nazywamy zbi´_, or wektor´ow

K = { ~u ∈ Kⁿ: k~uk ≤ 1} .

Z podanych powy˙zej nier´owno´sci wynika w szczeg´olno´sci, ˙ze K₁ ⊂ K₂ ⊂ K_∞,

gdzie K_p jest kula jednostkow_, a w normie p-tej Schura._,

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze normy p-te sa monotoniczne oraz, ˙ze dla dowolnej_, macierzy permutacji P ∈ K^n,n i wektora ~x ∈ Kⁿ

kP ∗ ~xk_p = k~xk_p,

tzn. norma p-ta wektora jest niezmiennicza ze wzgledu na przestawienia_, kolejno´sci jego wsp´o lrzednych._,

3.3 Normy macierzy

3.3.1 Normy p-te

Normy p-te macierzy sa definiowane (indukowane) przez normy p-te wek-_, tor´ow w nastepuj_, acy spos´_, ob:

kAk_p = sup

~06=~x∈Kⁿ

kA ∗ ~xk_p k~xk_p

= sup { kA ∗ ~xk_p : ~x ∈ Kⁿ, k~xk_p = 1} .

Zauwa˙zmy, ˙ze u˙zywamy tego samego oznaczenia dla norm wektora jak i ma- cierzy. Jest to uzasadnione, gdy˙z norma p-ta macierzy jest uog´olnieniem

3.3. NORMY MACIERZY 29 normy p-tej wektora. Dla A = [u₁, . . . , u_m]^T ∈ K^m,1 = K^m mamy bowiem kAk_p = sup_|t|=1kA ∗ tk_p = (Pm

i=1|u_i|^p)^1/p. (Tutaj t ∈ K!)

Wprost z definicji wynika, ˙ze normy indukowane macierzy spe lniaja wa-_, runek zgodno´sci (z norma wektorow_, a), tzn._,

∀A ∈ K^m,n∀~x ∈ Kⁿ kA ∗ ~xkp ≤ kAkp· k~xkp. Normy te sa r´_, ownie˙z submultiplikatywne,

∀A ∈ K^m,l∀B ∈ K^l,n kA ∗ Bk_p ≤ kAk_p· kBk_p. Rzeczywi´scie, dla ~x ∈ K^l mamy

k(A ∗ B) ∗ ~xk_p = kA ∗ (B ∗ ~x)k_p ≤ kAk_p· kB ∗ ~xk_p

≤ kAkp· kBkp · k~xkp, skad_,

sup

~ x6=~0

k(A ∗ B) ∗ ~xk_p

k~xk_p ≤ kAk_p· kBk_p. Dla macierzy permutacji P ∈ K^m,m i Q ∈ K^n,n mamy

kP ∗ A ∗ Q^Tk_p = kAk_p,

co oznacza, ˙ze przestawienie kolumn i wierszy macierzy nie zmienia jej p- tej normy. Rzeczywi´scie, poniewa˙z przestawienie wsp´o lrzednych nie zmienia_, normy p-tej wektora, mamy

sup

~ x6=~0

kP ∗ A ∗ Q^T ∗ ~xk_p k~xkp

= sup

~x6=~0

kA ∗ Q^T ∗ ~xk_p kQ^T ∗ ~xkp

= sup

~ y6=~0

kA ∗ ~yk_p k~ykp

.

3.3.2 Po ˙zyteczne (nie)r´ owno´ sci

Dla niekt´orych p, norme mo˙zna wyrazi´_, c w spos´ob pozwalajacy j_, a latwo ob-_, liczy´c.

Lemat 3.2 Dla dowolnej macierzy A = (a_i,j) ∈ K^m,n (a) kAk∞ = max_1≤i≤mPn

j=1|a_i,j|, (b) kAk1 = max1≤j≤nPm

i=1|ai,j|.