ALGEBRA I
GEOMETRIA
ANALITYCZNA
Opracowanie
Marian Gewert Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA I
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Kolokwia i egzaminy
Wydanie piętnaste zmienione
GiS
Oficyna Wydawnicza GiS
Wrocław 2014
Marian Gewert
Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska
marian.gewert@pwr.edu.pl www.im.pwr.edu.pl/egewert
Zbigniew Skoczylas
Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska
zbigniew.skoczylas@pwr.edu.pl www.im.pwr.edu.pl/eskoczylas
Projekt okładki:
IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej
Copyright c 1996 – 2014 by Oficyna Wydawnicza GiS
Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posia- dacza praw autorskich.
Skład wykonano w systemie LATEX.
ISBN 978-83–62780–28–0
Wydanie XV zmienione, Wrocław 2014 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT
Spis treści
Wstęp 7
Zestawy zadań z kolokwiów 9
Pierwsze kolokwium . . . 9
Drugie kolokwium . . . 19
Zestawy zadań z egzaminów 34 Egzamin podstawowy . . . 34
Egzamin poprawkowy . . . 53
Odpowiedzi i wskazówki 73 Pierwsze kolokwium . . . 73
Drugie kolokwium . . . 81
Egzamin podstawowy . . . 87
Egzamin poprawkowy . . . 92
5
Wstęp
Niniejszy opracowanie∗jest trzecią częścią zestawu podręczników do przedmiotu Algebra z geometrią analityczną. Pozostałymi częściami zestawu są „Algebra i geometria analityczna. Definicje, twierdzenia, wzory” oraz „Algebra i geometria analityczna. Przykłady i zadania”. Opracowanie zawiera zestawy zadań, które w ubie- głych latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na kolokwiach i egzami- nach. Zadania obejmują liczby zespolone, wielomiany, macierze i wyznaczniki, układy równań liniowych oraz geometrię analityczną w przestrzeni. Do wszystkich zestawów z kolokwiów oraz do zestawów egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi.
Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudno- ści zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych. Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki.
Z tego wydania zbioru usunięto zestawy zadań z egzaminu na ocenę celującą. Będą one częścią nowego opracowania pt. ”Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą”.
Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki.
Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Instytutu Matematyki i Informatyki Poli- techniki Wrocławskiej za zestawy z kolokwiów i egzaminów, a także za uwagi o poprzednich wydaniach tego zbioru.
Marian Gewert Zbigniew Skoczylas
∗Do 2005 r. książka miała tytuł „Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy”.
Egzamin poprawkowy 53
4.Rozwiązać układ równań
x+ 2y + 3z + 4t = 10 x+ y + 2z + 3t = 0 x+ y + z + 2t = 10 x+ y + z + t = 0
.Wykorzystać metodę elimi-
nacji Gaussa.
5.Obliczyć A2 i A3 i następnie znaleźć wzór ogólny na An dla A =
2 2 2 1 1 1 0 0 0
.
6.Znaleźć rzut prostopadły prostej l :
x = −2 + t y = − 3t z = 1 − t
(t ∈ R) na płaszczyznę π : 2x + 3y − z − 9 = 0.
Zestaw 40.
1.Korzystając z liczb zespolonych obliczyć sin π 12. Wskazówka. Wykorzystać równości arg
1 + i√ 3
= π
3, arg(1 + i) = π 4.
2.Liczba z1= 1 + 2i jest pierwiastkiem wielomianu W (z) = z4+ z3+ 3z2+ 7z + 20.
Znaleźć pozostałe pierwiastki.
3.Dla jakiej wartości z ∈ C wyznacznik
3 z z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z11 z12 z13 z14 z15
jest równy 2?
4.Znaleźć macierze kwadratowe A stopnia 2 takie, że A2 jest macierzą trójkątną górną.
5.Rozwiązać układ równań
x+ 3y − z + 2t = 1 2x − y + z − t = 2 4x + 5y − z + 3t = 3 .
6.Obliczyć odległość między prostymi l1:
x= 1 + 2t
y = 4t
z = 3 + 3t
(t ∈ R), l2:
x = s
y = 3 + 2s z = 1 − s
(s ∈ R).
Egzamin poprawkowy
Zestaw 1. odp. str. 92
1.Naszkicować zbiór
z∈ C : π
6 ¬ argz(1 + i)
−1 + i ¬ π 3
.
2.Znaleźć postać algebraiczną liczby
2 + i 3 − i
4 .
54 Zestawy zadań z egzaminów 3.Sprawdzić, czy wektory u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1), w = (1, 1, 3) są współpłaszczy- znowe.
4.Obliczyć
1 1 1 1 2 3 0 1 1
−1
.Wykorzystać metodę operacji elementarnych.
5.Wyznaczyć równanie prostej zawierającej dłuższą przekątną równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (1, 1, 3), B = (3, 2, 3), C = (1, 4, 3).
6.Z układu równań
2x + 2y − z + t = 4 4x + 3y − z + 2t = 6 8x + 5y − 3z + 4t = 12 3x + 3y − 2z + 2t = 6
obliczyć niewiadomą x stosując
wzory Cramera.
Zestaw 2.
1.Naszkicować zbiór
z∈ C :
z− 1 z− i
> 1, arg z < π
. 2.Obliczyć W (−i) i następnie znaleźć pierwiastki wielomianu
W(z) = z4+ z3+ 2z2+ z + 1.
3.Znaleźć zbiór tych liczb zespolonych z, dla których macierz A =
1 0 z
0 1 + z 0
z 0 1
jest nieosobliwa. Obliczyć A−1 dla z = i.
4.Rozwiązać układ równań
x+ 2y − z − t = 1 2x − y + z − 2t = 2 3x + y − 3t = 3 5x + z − 5t = 5 .
5.Obliczyć kosinus kąta między bokami równoległoboku, którego przekątnymi są wek- tory u = −2i + 2j + k, v = 4i + j + 5k.
6.Napisać równanie prostej l przechodzącej przez punkt przecięcia prostych l1:
x= 2 + 2t y= 2 + t z= −1 − t
(t ∈ R), l1:
x= −3 + 3s
y= s
z= −1 + s
(s ∈ R).
i prostopadłej do nich.
Zestaw 3. odp. str. 92
1.Rozwiązać równanie (2 + i)z2− (5 − i)z + (2 − 2i) = 0.
2.Funkcję wymierną x
x4− 1 rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.
Egzamin poprawkowy 55
3.Rozwiązać układ równań
x− y + 2z + 2t = 2
− y − z + 2t = 7
−x + 2y − 2t = −7 x+ 2y − 2z − t = 1
.Wykorzystać metodę eli-
minacji Gaussa.
4.Obliczyć
1 1 1 0 1 2 0 0 2
−1
.
5.Obliczyć kosinus kąta między przekątnymi równoległoboku rozpiętego na wektorach u= (1, 2, 3), v = (2, 1, 0).
6.Znaleźć równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P = (1, 2, 3) i prostopadłej do prostych
l1:
x= t
y = 1 + 2t
z = 3t
(t ∈ R), l2:
x = 1 + 2s
y = s
z = 2 + s
(s ∈ R).
Zestaw 4.
1.Naszkicować zbiórn
z∈ C : |1 + iz| ¬ 3, arg(z + 1) ¬ π 2 o
.
2.Rozwiązanie równania z6= 2(1 − i)4 przedstawić w postaci algebraicznej.
3.Znaleźć pierwiastki wielomianu W (z) = z4− 5z3+ 10z2− 10z + 4, jeśli wiadomo, że jednym z nich jest z1= 1 + i.
4.Rozwiązać układ
x− 2y − 3z = −7 3x + y + 4z = 5 2x + 5y + z = 18
.Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa.
5.Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A = (3, −1, 4), która jest rów- noległa do osi Oz.
6.W R3 dane są punkty A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 1), C = (1, −3, 5), D = (4, −2, 3).
Obliczyć objętość czworościanu ABCD.
Zestaw 5. odp. str. 92
1.Wielomian W (x) = x3+ x2−x+2 rozłożyć na rzeczywiste czynniki nierozkładalne.
2.Obliczyć kosinus kąta między płaszczyznami
π1: x − 2y + z = 0, π2: 2x − y − 3z + 1 = 0.
3.Rozwiązać układ równań
x+ y + z + t = 5
−x + 2y − z + t = 2 3x + 3z + t = 8 .
56 Zestawy zadań z egzaminów
4.Obliczyć wyznacznik
2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 .
5.Czy kwadrat macierzy
1 x y 1
może być macierzą zerową dla odpowiednio dobra- nych wartości x, y?
6.Obliczyć pierwiastki √3
8 − 8i i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej.
Zestaw 6.
1.Naszkicować zbiór (
z∈ C : z3= i z5
zz )
przechodząc do postaci wykładniczej liczb zespolonych.
2.Rozwiązać równanie macierzowe A ·
1 0 0 0 2 0 0 0 3
=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
· A .
3.Funkcję wymierną x+ 1
x4+ 1 rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.
4.Rozwiązać układ równań
x+ y + z + 2t = 0 x+ y − z + 2t = 1 x− y + z − 2t = 4
−x + y − z + 2t = −4
.Wykorzystać metodę elimi-
nacji Gaussa.
5.Obliczyć kąt między płaszczyznami π1: x −√
2y + z = 1, π2: x +√
2y − z = −3.
6.Wyznaczyć odległość między prostymi k:
x= 1 + t
y= t
z= −2 + t
(t ∈ R), l :
x− 3y − 3 = 0 y− z + 1 = 0.
Zestaw 7. odp. str. 93
1.Wyznaczyć postać algebraiczną elementów zbioru√ 8 − 6i.
2.Obliczyć 1 + i√ 312
. Wynik podać w postaci algebraicznej.
3.Czy istnieje macierz odwrotna do macierzy
1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 1 8 27 64
?
4.Rozwiązać układ równań z parametrem a
ax + 2y = 3
−x + (a − 3)y = −3 .
Egzamin poprawkowy 57 5.Obliczyć pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (−1, 1, 0).
6.Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór
z∈ C :
z z+ i
1
.
Zestaw 8.
1.Naszkicować zbiór
z∈ C : Im z4
0 .
2.Znaleźć pierwiastki zespolone wielomianu W (z) = z6+ z4+ 2z2− 4 i przedstawić je w postaci algebraicznej.
3.Funkcję wymierną x2− 5x + 9
x2+ 5x + 6 rozłożyć na sumę wielomianu i ułamków prostych.
4.Z układu równań
2x + y − z + t = 5 x + y + z − 2t = −1 x − 2y + z + t = 2
x + z = 3
wyznaczyć niewiadomą x wykorzy-
stując wzory Cramera.
5.Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = (4, −3, −2) i prosto- padłej do płaszczyzn π1: x + 2y − z = 0, π2: 2x − 3y + 4z − 5 = 0.
6.Przez prostą l :
x = 1 + 2t y = 2 + t z = − 3t
(t ∈ R) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny π : 3x − 2y + 4z + 6 = 0.
Zestaw 9. odp. str. 93
1.Obliczyć 3
s 1
(1 − i)2. Wynik podać w postaci algebraicznej.
2.Znaleźć pierwiastki zespolone wielomianu W (x) = x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1.
3.Znaleźć macierz A, która spełnia równanie A ·
1 1 2 0 1 1
=
1 1 2 3 5 8
.
4.Dla jakich wartości parametru m ∈ R układ równań
3x + + z = 1
mx− my + z = −m x+ my + z = 3
jest układem Cramera?
5.Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = (4, 7, 2) i prostopadłej do prostej l :
3x + 2y − z = 3 x− y − 3z = 6 .
6.Obliczyć miarę kąta między prostą l : x = 3 + 2t, y = 1, z = −2 + 3t (t ∈ R) i płaszczyzną π : x − z = 0.
58 Zestawy zadań z egzaminów
Zestaw 10.
1.Naszkicować zbiór
z∈ C : Im z
z+ 2 >0, |z + 1 − i| < 2
. 2.Obliczyć
cosπ
3 + i sinπ 6
8
. Wynik podać w postaci algebraicznej.
3.Z układu równań
− z + t = 4 4x + 3y − z + 2t = 6
− 3z + 4t = 12 y − 2z + 2t = 6
wyznaczyć niewiadomą x korzysta-
jąc ze wzorów Cramera.
4.Rozwiązać równanie macierzowe Y ·
5 3 1
1 −3 −2
−5 2 1
+
3 −1 0 2 −4 0 1 −10 0
=
−5 2 0
−3 5 0
−1 5 0
. Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się metodą bezwyznacznikową.
5.Znaleźć pierwiastki wielomianu W (x) = x4− 5x3+ 10x2− 10x + 4.
6.Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (−1, 1, 2) i prostą l:
x = 1 + 5t y = −1 + t
z = 2t
(t ∈ R).
Zestaw 11. odp. str. 93
1.Rozwiązać równanie z6+ 2i|z|6 = (z)6 używając odpowiedniej postaci liczby ze- spolonej. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
2.Liczbę (1 + i)3 √ 3 − i2 i2 1 +√
3i3 przedstawić w postaci algebraicznej.
3.Znaleźć wielomian rzeczywisty W możliwie najniższego stopnia taki, że W (2i) = 0, W(i) = 3 + 3i.
4.Obliczyć pole trójkąta leżącego na płaszczyźnie π : 2x − 3y + 2z = 3, którego wierzchołkami są punkty przecięcia tej płaszczyzny z prostymi
k: x = t, y = t, z = t (t ∈ R), l: x = 2s, y = s, z = −2s (s ∈ R), m: x = 3u, y = 2u, z = 3u (u ∈ R).
5.Znaleźć macierz X spełniającą równanie
1 −2 3
0 0 4
−1 0 −2
· X =
4 0 0 8
−2 0
.
6.Sprawdzić, czy punkty A = (−1, −2, 2), B = (−1, 3, 3), C = (2, −2, 2), D = (1, 0, 3) leżą na jednej płaszczyźnie.
Egzamin poprawkowy 59
Zestaw 12.
1.Naszkicować zbiór
z∈ C : Re z2− 3
>0,
z z+ 1
< 1
. 2.Rozwiązać równanie z3= (z − i)3.
3.Rozwiązać układ równań
3x − 2y − 5z + t = 3 2x − 3y + z + 5t = −3 x+ 2y − 4t = −3 x− y − 4z + 9t = 22
.Wykorzystać metodę eli-
minacji Gaussa.
4.Rozwiązać równanie macierzowe
1 2 −3 3 2 −4 2 −1 0
· Y +
0 1 0
−5 −1 −3
−4 −3 −3
=
1 −2 0 5 1 4 6 4 5
. Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym.
5.Wielomian W (x) = x4− x3+ x2− 3x + 2 rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego.
6.Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt A = (1, 3, 0) i równole- głej do prostych
l1:
x+ y − z + 3 = 0
2x − y + 5z + 1 = 0 , l2:
x= −1 − t
y = − t
z = −3 − 6t
(t ∈ R).
Zestaw 13. odp. str. 93
1.Rozwiązać równanie z4− 2z2+ 4 = 0.
2.Naszkicować zbiór {z ∈ C : |z − 1| = Re (z + 1)} . 3.Funkcję wymierną 4x
(x + 1) (x2+ 1)2 rozłożyć na zespolone ułamki proste.
4.Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
2 0 0 3 5 0 4 2 6
, korzystając z definicji.
5.Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach−−→
AB= (1, 5, −3)−→
AC= (−1, 0, 4). Obliczyć wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka C.
6.Określić i opisać zbiór punktów wspólnych płaszczyzn
π1: 3x + y + z + 1 = 0, π2: x + 2z + 6 = 0, π3: 3y + 2z = 0.
Zestaw 14.
1.Naszkicować zbiór {z ∈ C : |z − i| < Im z + 3} .
60 Zestawy zadań z egzaminów 2.Rozwiązać równanie 2z|z| = z4.
3.Z układu równań
2x + 3y = 2
x + y + 5z + 2t = 1 2x + y + 3t = −3 x + y + 3z = −3
wyznaczyć niewiadomą t stosując
wzory Cramera.
4.Rozwiązać równanie macierzowe
1 2 0 2 5 −2 0 −2 5
· Y +
−2 3 4 1 1 −3 3 −2 3
=
−1 3 4 1 2 −2 3 −1 3
. Macierz odwrotną wyznaczyć stosując metodę bezwyznacznikową.
5.Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu P(x) = x6+ x5+ 3x2+ x − 3 przez wielomian Q(x) = x3+ x2− 2.
6.Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez prostą l1: x = 1 + 3t, y = −2 + 4t, z = 1 + 2t (t ∈ R), i równoległej do prostej l2: x = 5s, y = 1 + 4s, z = −1 + 3s (s ∈ R).
Zestaw 15. odp. str. 94
1.Naszkicować zbiór {z ∈ C : Re [2zz − (2 + 4i)z + (4i − 2)z] < 0} .
2.Obliczyć 1 + i√ 3 1 − i
!20
.Wynik podać w postaci algebraicznej.
3.Znaleźć i naszkicować pierwiastki wielomianu W (x) = x4+8x3+x+8 oraz rozłożyć go na nierozkładalne czynniki rzeczywiste.
4.Rozwiązać układ równań
x− 2y − 3z = −3 2x + 6y − 10z = 0
−3x + 12y + 3z = 9
.Wykorzystać metodę elimi- nacji Gaussa.
5.Znaleźć wektor u wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów v = (0, 2, −3), w= (−1, 4, 2) i spełnia warunek u ◦ (4, 5, 1) = −150.
6.Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty P1 = (2, 1, 3), P2 = (−1, 2, 1) i równoległej do osi Oz.
Zestaw 16.
1.Naszkicować zbiór
z∈ C : argz+ 1 i = 3
2π
. 2.Rozwiązać równanie z4= z(1 − i)5.
Egzamin poprawkowy 61
3.Rozwiązać układ równań
2x + 7y + 3z + t = 5 x + 3y + 5z − 2t = 3 x + 5y − 9z + 8t = 1 5x + 18y + 4z + 5t = 12
.Wykorzystać metodę eli-
minacji Gaussa.
4.Rozwiązać równanie macierzowe Y ·
2 2 −1 2 −1 2
−1 2 2
=
5 5 2 5 8 −1
.Macierz od- wrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym.
5.Funkcję wymierną x
x4− 1 rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.
6.Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A = (1, 3, 1) i prostopa- dłej do prostej l1:
x+ y − z + 2 = 0 2x + 3y + z − 1 = 0 .
Zestaw 17. odp. str. 94
1.Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić elementy zbioru√3 2 − 2i.
2.Funkcję wymierną x+ 1
x3+ x rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.
3.Rozwiązać równanie macierzowe
0 −1 1 0
· B ·
1 0 0 1 1 0 1 1 1
=
−1 0 0 2 2 1
4.Rozwiązać układ równań
x+ 2y + 3z − t = −1 3x + 6y + 7z + t = 5 2x + 4y + 7z − 4t = −6
.Wykorzystać metodę ko- lumn jednostkowych.
5.Zbadać, dla jakich wartości parametru p, punkty A = (1, 2, 1), B = (3, 3, −2), C= 2, 4, −p2
, D = (3, 1, 0) należą do jednej płaszczyzny.
6.Obliczyć kąt między prostymi l1:
x− 4y + 3 = 0
x+ y − z + 2 = 0 , l2:
x= 1 + t y= −3 + 2t z= 2 + 3t
(t ∈ R).
Zestaw 18.
1.Wyznaczyć elementy zbioru p3
(3 − i)6 i podać je w postaci algebraicznej.
2.Wielomian W (x) = x4+16 przedstawić w postaci iloczynu rzeczywistych czynników nierozkladalnych.
3.Podać wzór na macierz odwrotną i korzystając z niego obliczyć A−1 dla
A=
1 2 1 2 0 1
2 −1 0 0 1 2
.
62 Zestawy zadań z egzaminów 4.Rozwiązać równanie macierzowe:
1 −2 3
−1 2 1
· X ·
2 1
=
0 0
.
5.Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnych z płaszczyzną π : 3x + 2y + z = 6.
6.Napisać równanie ogólne płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P = (1, 2, 1) i jest równoległa do płaszczyzny π : 2x − y + 3z + 5 = 0.
Zestaw 19. odp. str. 94
1.Narysować zbiór
z∈ C :
4i − 3
3i − z 5
.
2.Znaleźć pierwiastki wielomianu W (z) = 2z3+ 3z2+ 2z − 2.
3.Wyznaczyć niewiadomą x z układu równań
3x + y + z + t = 0 3x + 3y + z + t = 0 3x + 3y + 3z + t = 0 3x + 3y + 3z + 3t = 3
, stosując
wzory Cramera.
4.Obliczyć macierz
1 0 0 1 0 2 0 2 0 0 3 3 0 0 0 4
−1
.Zastosować metodę operacji elementarnych.
5.Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnych z płaszczyzną π : 3x + 2y + z = 6.
6.Znaleźć punkt symetryczny do A = (6, −3, 0) względem płaszczyzny π : x+y+z = 0.
Zestaw 20.
1.Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej rozwiązać równanie z6 = (z)6. Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór jego pierwiastków.
2.Wielomian W (z) = z4− (1 − 2i)4przedstawić jako iloczyn zespolonych czynników nierozkładalnych.
3.Stosując operacje elementarne obliczyć wyznacznik stopnia n
1 2 3 4 5 . . . n 1 4 3 4 5 . . . n 1 2 5 4 5 . . . n 1 2 3 6 5 . . . n 1 2 3 4 7 . . . n ... ... ... ... ... . .. ... 1 2 3 4 5 . . . n + 2
.
